Муниципальное образовательное учреждение

Школа N 7

Работа для Научного Сообщества Учащихся (НОУ)

Тема: «Решение задач на смешивание растворов и сплавов»

Выполнила:

Бурденёва Елизавета

Ученица 9 «А» класса

Научный руководитель:

Долгова Валентина Александровна

Нижний Новгород

2014 год

Содержание

Вступление……………………………………..3

Теоретическая часть………………………….....

Глава I……………………………………………

        Общие сведения…………………………4

        Старинный способ решения……………6

        Решение задач методом стаканчиков…13

        Алгебраический метод…………………18

        Метод прямоугольников……………….22

Глава II……………………………………………

        Сложные задачи. Сложный метод…….26

Заключение……………………………………28

Использованный ресурсы…………………… 30

Приложение…………………………………...31

«Решение задач на смешение растворов и процентное содержание вещества в растворе и сплаве»

Что интереснее всего: решать задачи про то, чего не можешь представить или представлять то, чего не можешь решить? Что интереснее в математике: решать задачи про движение или же про смеси растворов? Искать количество или процентное содержание? На самом деле, интерес к данным тематикам может быть вполне равным, но сегодня я хочу поговорить о втором типе задач, наиболее редко встречающемся, но крайне полезным в жизни. Вы спросите: «Где же в жизни нам могут понадобится задачи на сплавы и растворы? Разве не находят они применение только в химии или же бытовых экспериментах?» Я же могу сказать, что задачи на процентное содержание вещества в сплавах и растворах поджидают человека всегда: решаете ли вы сколько сахара положить в чай в соответствии с пропорцией обычной чашки или же пытаетесь определить стоимость кольца, содержание золота в котором менее 50%. Такие задачи, как выяснилось, не самые простые не только для понимания школьниками, но и для решения даже взрослыми, именно поэтому я хотела бы сегодня о них рассказать. Примечательно также, что такие задачи встречаются в ГИА и ЕГЭ, поэтому их решение очень полезно для учащихся. Как и у множества задач, применимых к жизни, данный тип имеет несколько нестандартных видов решения, которые я бы с удовольствием продемонстрировала на наглядных примерах, поэтому в этой работе я ставлю для себя следующие цели:

1. Изложение теории задач на процентное содержание в растворах
2. Представление различных способов решения задач с примерами
3. Выбор наиболее простого на мой взгляд решения

Надеюсь, моя работа покажется Вам интересной и во многом поможет в дальнейшем, поэтому, давайте приступим!

Глава I. Теория задач на процентное содержание

Прежде того, как изучать, непосредственно, саму теорию, я считаю нужным, пояснить, что же такое, собственно, задачи на процентное содержание вещества в растворе или сплаве.

 Задачи на процентное содержание – задачи, в которых требуется выяснить содержание того или иного элемента.  В такой задаче может быть задан вопрос, например, о концентрации какого-то вещества, после переливания жидкости или  смешения еще одного металла в сплаве. Чаще всего, в такого типа задачах, речь идет о смещение именно двух металлов или же смешении воды и какого-то вещества, однако встречаются также и задачи на смешение трех и более элементов, но, спешу заверить, они встречаются гораздо реже, так как рассчитаны на достаточно высокий уровень знаний.

Также, хочу сказать, что эти задачи можно рассматривать с двух сторон: математической стороны и стороны химии. Мы будем рассматривать со стороны математической, однако даже в их решение принимаются допущения из химии.

В работе приведены решения нескольких задач, а также предложены задачи для самостоятельного решения. Для удобства к задачам прилагаются ответы.

Как и у многих математических задач, задачи на смешение растворов и сплавов имеют несколько способ решения. Но для начала, давайте вспомним теорию.

 Составными частями данного типа задач являются:

1. Масса/массовая доля растворенного вещества
2. Масса/массовая доля раствора
3. масса получившейся смеси

Концентрация вещества - отношение количества растворённого вещества или его массы к объёму раствора (моль/л, г/л), то есть это отношение неоднородных величин. Концентрация – отношение объема чистого вещества к объему всего раствора.

 Если раствор m и состоит из веществ A, B, C, массы которых соответственно mA, mB, mC, то величину mA/m( а также mB/m и mC/m) и называют концентрацией вещества в растворе.

Процентное содержание – величина, показывающая в процентах долю вещества. Похожа на концентрацию, только уже в процентах.

mA/m * 100% - процентное содержание вещества. (а также mB/m*100% и mC/m*100%).

Поскольку доли в растворе всегда должны быть равны единому веществу, то для любой задачи справедливо данное выражение:

(mA/m)+(mB/m)+(mC/m)=1

В таких задачах используют следующие допущения:

1. все полученные растворы(сплавы или смеси) – однородны
2. смешивание растворов происходит мгновенно
3. объем полученного раствора или сплава всегда равен сумме его составляющих
4. объем растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными
5. не делается различия между литром, как мерой вместимости сосуда и литром как мерой жидкости (или газа)
6. потери некоторого количества вещества(массы), которые возможны в силу протекания соответствующей хим. реакции (или физических процессов) считаются незначительными, если происходят во время хим. реакции.

Старинный способ решения задачи(«Метод креста», также «Конверт Пирсона»)

Данный старинный способ решения задач на смешение растворов и сплавов был подробно описан в первом русском учебнике математики, написанном великим русским деятелем педагогики и математических наук Леонтием Филипповичем Магницким в его учебнике “Арифметика” 1703 года и до сих пор находит себе самое почетное место в современных учебниках алгебры.

Кстати, также необходимо отметить, что это самый распространенный тип решения задач на смешение растворов, гораздо более удобный чем табличное решение.

Обозначения:

a – первый раствор кислоты, которую надо смешать

b – второй раствор кислоты, который нужно смешать

c – раствор, который должен получиться

Допущения:

А < B, причем выполняется неравенство a < c < b.

Так как если принять, что c < a или c < b, то одна из частей получившегося раствора по объему будет больше всего раствора, что, естественно, не возможно.

Пусть требуется смешать растворы а-процентной и b-процентной кислоты, чтобы получить с-процентный раствор. Пусть а < b, причем a < c < b: если с < a или c > b, то с-процентный раствор, конечно получить нельзя. Пусть берется х частей первого раствора и у частей второго.

 a+b = c, тогда преобразуем это в выражение:

(b – c)y = (c – a)x, из которого можно вывести следующее:

, тогда для решения подобных задач применима вот такая схема:

,

где         с – желаемое, финальное число

         а – масса или процентное содержание первого(обычно меньшего) раствора

        в – масса или процентное содержание второго раствора (соответственно, большего).

Давайте теперь решим задачу, в соответствии со старинным методом.

Задача 1.

Определите, в какой пропорции нужно взять растворы соли 60% и 10% концентрации для приготовления раствора 25% концентрации.

Решение: для решения задачи необходимо построить схему, по аналогии с предыдущей.

Значит, для того чтобы из 60%-ого и 10%-ого растворов солей получить 25%-ный, соли нужно смешать кислоты в пропорции 35:15, то есть7:3.

Ответ: растворы солей должны быть взяты в пропорции 7:3.

Также в задаче может быть другой вопрос, например, может быть запрашиваема не только пропорция, а массы необходимых для реакции веществ. Тогда справедливой является такая схема:

где, m – масса необходимого количества первого вещества

        n – масса необходимого второго вещества.

Тогда давайте решим еще одну задачу, в которой будет фигурировать не только пропорция и процентное содержание, но и массы веществ.

Задача 2.

Пресная вода содержит 0% соли, морская – 8%. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, для того, чтобы получить содержание соли в растворе 5%?

Решение:

Пусть масса пресной воды – x кг, которую необходимо добавить к морской. Составим схему:

Напомню, x – масса пресной воды в килограммах, а 30 кг – масса морской воды.

 Значит, вещества должны быть смешаны в пропорции 3:5, а поскольку морской воды уже 30 кг, то пресную легко высчитать из уравнения 5x = 3*30, 5x=90, а x=18.

Ответ: необходимо добавить 18 кг пресной воды.

Такие же задачи можно решать и с большим количеством составляющих, хотя даже задача с 3 растворами уже вызывает большее затруднение, чем с двумя, поэтому я объясню какие принципиальные моменты нужны отложить в голове для решения задачи на сплавы и растворы с тремя составляющими методом Креста.

Итак, задача на смешение трех растворов.

Имеются три раствора с различным процентным содержанием в них какого-либо вещества, например, соли.

Раствор А с процентным содержанием соли в нем = a%

Раствор B с процентным содержанием соли = b%

И раствор С с процентным содержанием соли = c%.

Новый раствор, который необходимо получить, имеет процентное содержание k%.

При чем a

Теперь составим схемы для смешивания раствора А с растворов В и раствора А с раствором С.

Далее, проще всего решать эту задачу совмещая растворы, получившиеся обеих картинках. То есть, смешать раствор, полученный из первого и второго компонентов, и раствор, полученный из первого и третьего компонентов.

Для наглядности продолжим схему:

ответ, который мы можем получить из данной схемы таков: для того, чтобы получить раствор с концентрацией соли k%, необходимо смешать первый раствор в количестве (b-k)+(c-k) или же, что то же самое, b+c-2k, второй и третий растворы в количестве k-a каждый.

Теперь же давайте рассмотрим решение такой задачи на примере.

Задача

Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Решение:

Составим таблицу, где в числах укажем количество фунтов за каждый сорт чая.

Ответ: необходимо взять  6 + 2 = 8 частей чая ценой 5 гривен за фунт и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.

 Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценною 8/10 * гривен + 1/10 * 8 гривен + 1/10 * 12 гривен = 6 гривен.

Вот так, приблизительно, решаются задачи на смешение растворов и сплавов методом Креста, или как его еще называют конвертом Пирсона, но все равно необходимо понимать, что для каждой задачи необходим свой особенный подход и этот метод, будучи самым распространенным, тем не менее, подходит не для всех задач.

Теперь я предлагаю рассмотреть менее формальный, но более наглядный метод. Хочу заметить, что им очень удобно пользоваться во время решения задач именно на сплавы.

Решение задач методом стаканчиков

Одним из интереснейших и наиболее наглядных и простых методов решения задач на сплавы и растворы является так называемый Метод стаканчиков.

Метод стаканчиков, по сути, является новым методом, поскольку был введен тогда, когда задачи по смешиванию растворов стали входить в обязательный курс математики, потому что когда эти задачи решались в химии, то использовались чаще методы Креста и таблицы, о которых я расскажу чуть позже.

Суть данного метода заключается в том, что условие задачи вписывается в три нарисованных стакана(первый  и второй – смешиваемые вещества, третий – желаемое) , где сверху приписывается масса, данная в условии, чуть ниже – процентное содержание вещества, а внизу – общая масса, то есть произведение массы вещества и ее процентного содержания.

Теперь давайте попробуем решить задачу данной схемой.

Задача.

Вместе слили два раствора. Первый раствор, процентным содержанием 24%, имеет массу 30 граммов, а второй, процентным содержанием 12% - 75 граммов. Какой будет массовая доля серной кислоты?

Далее, решим задачу:

30г × 0,24+75 × 0,12= x г × 0,36

7,2 + 9 = 0,36 x г

0,36 x г = 16,2

x г = 16,2/ 0,36

x г = 45

Ответ: масса вещества, получившегося в ходу смешивания данных двух растворов равна 45 граммов.

Если же решать такую же задачу со сплавами, то данные заносятся в таком же практически порядке, но не в стаканчики, а в бруски.

По сути, решение задачи совершенно такое же, как и со стаканчиками, поэтому я продемонстрирую это на одном примере, а остальные задачи для практики этого метода вы можете найти уже в Приложении к работе.

Задача:         Внимание! Задача из ГИА!

Имеются 2 сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30% золота, а его масса 10 г, во втором сплаве - 50% золота, а масса 15 г. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получился из них новый сплав, содержащий 35% золота? Какова будет его масса?

Решение:

Составим схему:

1. Для начала давайте вычислим в какой пропорции нужно смешать два сплава, чтобы получить сплав с примесью 35%.

Обозначим примеси в первом растворе – m, а во втором – n, тогда:

30 m + 50 n = 35(m + n)

30 m – 35 m = 35 n – 50 n

-5 m = -15 n

m = 3 n

Значит, для того, чтобы получить раствор с содержанием примесей 35%, нужно смешать два сплава в пропорции 1:3.

2. Чтобы выяснить, какой массы будет полученный раствор, нужно составить вот такое уравнение:

10 × 0,3 + 15 × 0,5 = 0,35 × x

3 + 7,5 = 0,35 x

0,35 x = 10, 5

x = 10,5 : 0,35

x = 30

Значит, масса полученного при смешение сплавов раствора равна 30 граммам. Задача решена.

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 1:3, а масса полученного раствора равняется 30 граммам.

Задача:     Внимание! Задача из ГИА!

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Составим нам уже знакомую схему:

А теперь, для решения задачи, составим уравнение:

0,1 × X + 0,4 × (X+3) = 0,3 × (X+X+3)

0,1 X+ 0,4 X + 1,2 = 0,3 X +0,3 X + 0,9

0,5 X + 1,2 = 0,6 X + 0,9

0,5 X – 0,6 X = 0,9 – 1,2

-0,1 X = -0,3

X= -0,3 : (-0,1)

X = 3

Поскольку, масса третьего вещества задана формулой X+X+3, то его масса равна 3+3+3=9

Ответ: масса третьего вещества равна 9 кг.

Теперь, пора перейти к новому методу решения задач на смеси и сплавы – алгебраическому методу. Задачи для решения можно найти в Приложении.

Алгебраический метод

Следующий метод, по моему мнению, труднее чем предыдущие, потому что он не столь нагляден, хотя является довольно популярным и считается более классическим, чем метод стаканчиков.

Суть табличного метода в том, чтобы заносить условия задачи в таблицы. Общий упрощенный вид таблицы выглядит вот так:

Рассмотрим применение алгебраического метода на задаче.

Задача:      Внимание! Задача из ГИА!

Имеется сметана двух сортов. Жирная содержит 20% жира, а нежирная содержит 5% жира. Определите процент жирности полученной сметаны, если смешали 2 кг жирной и 3 килограмма нежирной сметаны.

Решение:

Составим уравнение:

2 × 0,2 + 3 × 0,05 = 5 × 0,01 Х

0,4 + 0,15 = 0,05 Х

0,05 Х = 0,55

Х = 0,55 : 0,05

Х = 11

Ответ: Жирность полученной сметаны равна 11%.

На первый взгляд, задачи данным способ решаются довольно таки, но необходимо помнить, что задачи подобного вида могут быть со смесью не только двух веществ, но и больше: трех, реже четырех. Поэтому, я хочу решить одну задачу, на смесь трех веществ, чтоб пояснить, как делать это, если вы случайно с ней столкнетесь.

Задача:

Значения процентного содержания (по объему) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в объемном отношении 2 : 3 : 4, то получится 32%-й раствор спирта. Если смешать их в объемном отношении
3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Решение: Для решения данной задачи необходимо составить две таблицы в соответствии с двумя условиями:

2х/100 + 3y/100 + 4z/100 = 288/100,

2х + 3y + 4z = 288

До того, мы создали таблицу на условие, при котором вещества смешиваются в пропорции 2:3:4, а теперь, давайте сделаем ко второму условию, когда смешиваются в пропорции 3:2:1

  3X/100+2Y/100+Z/100=132/100

3X+2Y+Z=132

А поскольку прогрессия геометрическая, то также верно данное утверждение:

Y2=XZ

При z1 = 48, x = 12, y = 24;

при z2 = 100, x = 64, y = –80, решение не имеет смысла.

Ответ: первый раствор содержит 12%, второй – 24%, а третий – 48%.

Я думаю, вы сами убедились, что такие задачи решаются труднее обыкновенных, но тем не менее, табличный метод сильно облегчает их решение. Позже я расскажу о другом способе решения сложных задач, а пока разберемся с еще одним методом решения простых задач на смешение.

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников – второстепенный и гораздо менее известный метод. Он применяется довольно редко, да и не сильно облегчает задачу, но все же, я решила представить его, потому что выбор метода решения задачи всегда за решающим ее.

Метод заключается в том, что пропорции смешанных веществ записываются в прямоугольники. Вот так:

Заполняется она таким способом:

1. Над каждым маленьким прямоугольником  указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Задача: Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение:

Составим схему:

Теперь составим систему уравнений по меди:

        0,15x + (200-x) × 0,65 = 60

        0,15 x + 130 – 0,65 x = 60

        -0,5 x = 60 – 130

        0,5 x = 70

        x = 70 : 0,5

        x = 140

        y = 200 - 140 = 60

        Ответ: нужно взять 140 г первого сплава и 60 второго.

Таким образом, я завершаю свое обсуждение методов решения простых задач на смешение сплавов и растворов. Мне кажется, что каждый из данных методов уникален и каждый может быть удобен в решении. И каждый из них находит свое применение. Например, метод с таблицами, т.е. алгебраический, применим по большей части в химии, а метод Креста и метод Стаканчиков – в алгебре. Разумеется, каждый выбирает свой метод. Однако, существуют такие задачи, которые сложнее решить с помощью этих методов. Они обычно не входят в стандартную школьную программу и редко появляются в ГИА, но я все таки представляю вам еще одну главу моей работы «Сложные задачи. Сложный метод».

Глава 2. Сложные задачи. Сложный метод.

Глава вторая полностью состоит из описания одного единственного метода. Этот метод применим только для решения задач, в которых смешение происходит между тремя, четырьмя, пятерыми растворами. Общий вид таких задач можно представить как сложную, многоуровневую блок схему, но с ней вы познакомитесь непосредственно вовремя решения задачи.

Давайте попробуем решить задачу, согласно этой схеме.

Задача:

Имеются три смеси (I–III), составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в массовом отношении 1 : 2, во вторую смесь входят только элементы В и С в массовом отношении 1 : 3, в третью смесь входят только элементы А и С в массовом отношении 2 : 1. В каком соотношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8?

Решение:

Составим схему:

В верхнем уровне запишем все три вещества и выразим их содержание через формулы:

I смесь = A + B          A : B = 1 : 2

II смесь = B + C         B : C = 1 : 3

III смесь = A + C       A : C = 2 : 1

Обозначим все три вещества x, y, z кг соответственно.

По условию задачи в полученной смеси соотношение масс А : В : С = 11 : 3 : 8. Поэтому

Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть = а, = b, тогда система примет вид:

Значит,

х : z = 1 : 5 = 3 : 15, х : у = 3 : 4,

поэтому

х : у : z = 3 : 4 : 15.

Ответ: Чтобы элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8, смеси I, II, III надо взять в соотношении 3 : 4 : 15 по массе.

Заключение

Итак, теперь мы рассмотрели все методы решений задач на растворы и сплавы. Какие-то из них могут показаться легче, какие-то сложнее, но в целом их принцип очень похож. Все-таки в каждой задаче половину успеха решает правильно составленное условие, которое мы видели в совершенно разных вариациях, а остальное – умный человек. Мы видели множество различий между решениями, и я думаю, каждый уже выбрал для себя метод, который кажется ему привлекательным. Конечно, каждый из них с какой-то стороны силен, с какой-то имеет свои недочеты. И если нужен тонкий расчет, даже в самом обычном, бытовом деле как смешение сахара в чае или смешивание кондиционера и порошка для стирки, решение этого вопроса с помощью задачи – лучшее решение. И многие задачи в математике кажутся нам интересными, задачи на движение, задачи на количество и цену, экономические задачи, задачи на пропорции, а теперь еще и задачи на растворы и сплавы. С древних времен и до нашего времени простор для практики знаний и развития ума просто огромен, и с каждым годом наша научная база увеличивается, а казавшееся чем-то высшим и далеким от понимания становится простым и доступным любому образованному. Поэтому, именно поэтому мы должны, обязаны следовать желанию наших предков – исследовать, проводить исследования, складывать старые знания и находить множество многих. В этой работе я постаралась сложить воедино хоть крошечную частичку великой науки – математики, и открыть для себя и для других что-то новое, притягательное в практике ума и дать плоды новым задумкам и способам решения головоломок от простых до сложнейших. В следующем году, возможно,  я продолжу исследование отраслей математической науки и надеюсь, что многие вещи с помощью таких работ обычных учеников станут проще и ближе к нам.

Я очень надеюсь, что моя работа не только ознакомила вас с методами решения задач, казавшихся до сих пор сложными, но и значительно упростила для вас понятие о задачах в целом и, что когда-то, возможно, вам пригодится решение таких задач и вы вспомните как это делать благодаря данной работе. Благодарю вас за внимание!

Список использованных ресурсов и литературы:

1. Источники

Книги и бумажные справочники:

1. Алгебра. 9 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений/Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/ 17-е издание/ Издательство «Просвещение», 2010 год/ 271 стр.
2. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса/ А.П. Ершова, В.В. Голобродько, А.С. Ершова/8-е издание/ издательство «Илекса» 2011 год/ 240 стр.
3. Живая математика. Математические рассказы и головоломки/ Я.И. Перельман/ издательство «АСТ», 2007 год/ 268 стр.
4. Сборник задач для подготовки ГИА 9 класс, ФИПИ

2. Статьи и доклады

Электронные ресурсы:

5. «Решение задач на смеси и сплавы с помощью схем и таблиц» учителя химии школы № 1954(Москвы) Т.Н. Епифановой.

6. «Решение задач на сплавы и смеси» учителя математики МБОУ СОШ №3 Стромынского района Краснодарского края Соколян Татьяны Вячеславовны
   

Приложение

Задачи для самостоятельного решения

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
2. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего  25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
3. Имеется 600г сплава золота с серебром, содержащего золото и серебро в отношении один к пяти соответственно. Сколько граммов золота необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50% серебра?
4. Из веществ А и В приготовили две смеси. В первой смеси отношение масс веществ А и В равно 5:1, а во второй – 9:2. Сколько килограммов вещества В содержится в первой смеси, если ее масса 102 кг?
5. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
6. Имеется два сосуда. Первый содержит 10 кг, а второй — 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором сосуде?
7. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
8.  Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.
9.  Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?
10.  Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
11. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?
12. Имеется сплав серебра с медью. Вычислите массу сплава и процентное содержание серебра в нем, зная, что сплавив его с 3кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2кг чистого серебра, получается сплав, содержащий 86% серебра.
13. В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и , наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?