Электронная школа Знаника

Решение для 4-5 классов. Вариант 2

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите полное решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (1 балл)

В турнире по шашкам участвовало 8 человек. Каждый сыграл с каждым ровно 1 партию. Сколько всего партий было сыграно?

Решение

Каждый участник сыграл по 7 партий (со всеми кроме себя), если мы умножим 8*7, то получим, что мы посчитали каждую партию 2 раза, так как в ней участвуют 2 человека. Значит всего партий было сыграно 8*7/2=28.

Ответ: Б. 28

Задача №2 (1 балл)

Когда число увеличили на 3, его последняя цифра уменьшилась. Насколько?

Решение

Если число оканчивалось на 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6, то при увеличении его на 3, изменится только последняя цифра, и станет 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 соответственно. Так как мы знаем, что последняя цифра уменьшилась, а не увеличилась, то число могло оканчиваться на 7, 8 или 9. При прибавлении 3 к такому числу, последняя цифра будет равняться 0, 1 или 2 соответственно. Мы видим, что на какую бы из этих цифр ни оканчивалось число, при прибавлении 3, последняя цифра уменьшилась на 7.

Ответ: В. На 7

Задача №3 (1 балл)

Петя купил 4 шоколадки. Все шоколадки без первой стоили 185 рублей, без второй 200, без третьей 250, а без четвертой 220. Сколько рублей стоили все 4 шоколадки вместе?

Решение

Если мы сложим 185, 200, 250 и 220 рублей, то получится, что стоимость каждой шоколадки мы учли трижды. Значит 4 шоколадки вместе стоят (185+200+250+220) / 3 = 285.

Ответ: Б. 285

Задача №4 (1 балл)

Коля пошел гулять. Выйдя из дома, он сначала прошел 600 метров на запад, затем 200 метров на север, потом 300 метров на восток и еще 200 метров на юг. После чего устал и сел на пенек. В скольких метрах от дома находится пенек?

Решение

Заметим, что если бы Коля прошел сначала 600 метров на запад, потом 300 метров на восток, потом 200 метров на север, а потом еще 200 метров на юг, то он пришел бы к тому же самому пеньку. Если пройти 200 метров на север, а потом 200 метров на юг, то ты вернешься туда же, откуда пришел. Значит всего Коля преодолел расстояние равное 600 - 300 = 300 метров на запад. Значит пенек находится в 300 метрах от дома.

Ответ: А. 300

Задача №5 (1 балл)

У Маши есть 25 карандашей. Из них 12 красные, 8 синие, остальные зеленые.  10 карандашей короткие, остальные длинные. Среди длинных карандашей поровну красных, синих и зеленых. Сколько у Маши коротких синих карандашей?

Решение

Длинных карандашей 25 - 10 = 15. Мы знаем, что среди них поровну красных, синих и зеленых, значит их по 5. Всего у Маши 8 синих карандашей, 5 из них длинные, значит коротких синих карандашей 3.

Ответ: В. 3

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (2 балл)

Сумма двух чисел равна 275. Одно из них оканчивается нулём. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Запиши, какие это числа.

Решение

Если к числу приписать ноль, то получится число в 10 раз больше. То есть сумма этих двух чисел равна меньшему числу, умноженному на 11. Значит 275/11 = 25 – это и есть меньшее число, а большее равно 250.

Ответ: 250 и 25

Задача №7 (2 балл)

Белочка собирала на зиму орехи.

- Много ли собрала? Спросил ёж.

- Если принесу еще 4 ореха, то у меня будет столько же орехов, сколько в прошлом году. А если найду не 4, а еще 28 орехов, то у меня будет в 3 раза больше, чем в прошлом году.

Сколько орехов уже собрала белочка?

Решение

Количество найденных белочкой орехов, да еще 4 – это количество собранных ею орехов в прошлом году. Количество найденных белочкой орехов, да еще 28 – это утроенное количество собранных ею орехов в прошлом году. Значит 28-4 =24 – это удвоенное количество найденных ею в прошлом году орехов. Значит в прошлом году она собрала 24/2 = 12 орехов, а сейчас пока на 4 меньше, то есть 8.

Ответ: 8

Задача №8 (2 балл)

Ребята повели лошадей на водопой. Сколько было ребят и сколько лошадей, если при подсчёте оказалось 30 голов и 100 ног?

Решение

Так как голов всего 30, значит всего ребят и лошадей вместе тоже 30. Если бы у ребят не было ни одной лошади, то при 30 головах у них было бы 60 ног. Каждая лошадь имеет 2 дополнительных ноги по сравнению с ребенком. Значит 40 дополнительных ног (100 - 60) получаются за счет 40/2 = 20 лошадей, а ребят значит 30-20= 10.

Ответ: 20 лошадей и 10 ребят

Задача №9 (2 балл)

На карточках написаны числа 21, 16, 32, 9, 28, 4, 15. Какое наибольшее число можно получить, если выложить все карточки в ряд?

Решение

Так как нужно использовать все карточки, то выкладывая их в ряд в числе всегда будет одинаковое количество цифр. Число тем больше, чем больше цифры, стоящие в первых разрядах.

Начнем конструировать наше число. Самая большая первая цифра – 9, ее ставим первой, за ней идет цифра 4. С 3 начинается только карточка 32. С 2 начинаются карточки 21 и 28, так как 8 больше 1, то сначала ставим 28, а за ней 21. Затем аналогично идет карточка 16, а за ней 15. Получили число: 943228211615.

Ответ:  943228211615

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (6 балл)

Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно два литра воды, если никакими другими емкостями пользоваться нельзя?

Решение

Заполним таблицу переливаний, в первой строке будет количество литров в пятилитровой банке, а во второй в девятилитровом ведре. Покажем, как отмерить 2 литра воды.

Так мы получили 2 литра воды в пятилитровой банке. Обратите внимание, что в этой задаче есть и другие способы, достаточно привести любой из них.

Решение для 6-7 классов. Вариант 2

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (1 балл)

Какой результат не может получиться, если перемножить три однозначных числа?

Решение

117 = 3*3*13, значит один из множителей обязательно должен делиться на 13. Но ни одна из цифр на 13 не делиться, значит и 117 никак не получить. Убедимся, что все остальные числа получить с помощью перемножения трех цифр можно. 125 = 5*5*5. 315 = 5*7*9. 49 = 1*7*7.

Ответ: Г. 117

Задача №2 (1 балл)

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу по одной и той же дороге, соединяющей две деревни. Одному на все расстояние от одной деревни до другой требуется 1 час, а другому — полтора часа. Через сколько минут они встретятся?

Решение

Первый велосипедист едет в полтора раза быстрее второго, значит до встречи он проедет в полтора раза большее расстояние, чем второй, а вместе они проедут расстояние между двумя деревнями. Значит первый проедет 3/5 всего расстояния, а второй 2/5. Если весь путь первый велосипедист проезжает за 1 час, то 3/5 этого же пути он проедет за 36 минут. Значит и встретятся они через 36 минут.

Ответ: В. 36

Задача №3 (1 балл)

На острове Мао-пао по вторникам всегда дождь, по пятницам и воскресеньям туманно, а во все остальные дни - солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 37 дней и захватить при этом как можно больше солнечных дней?

Решение

Получается, что солнечно на острове Мао-пао по понедельникам, средам, четвергам и субботам. 37 дней – это 2 дня и еще 5 полных недель. В эти 5 полных недель солнечных дней будет ровно 5*4 = 20 дней. Максимальное число солнечных дней будет если оставшиеся 2 дня будут солнечными. Так как 2 дня подряд могут быть солнечными только если это среда и четверг, то туристам стоит приехать на остров Мао-пао в среду.

Ответ: Б. Среда

Задача №4 (1 балл)

На полке стоят учебники. Учебник по русскому языку стоит седьмым слева и одиннадцатым справа. Сколько всего учебников на полке?

Решение

Так как учебник по русскому языку стоит седьмым слева, значит слева от него стоят 6 других учебников. Так как учебник по русскому языку стоит одиннадцатым справа, значит справа от него стоят 10 других учебников. Значит всего учебников 6+1+10=17.

Ответ: Б. 17

Задача №5 (1 балл)

Есть четыре карточки с надписями: «больше 50», «четное», «делится на 5» и «простое». На другой стороне карточек написаны числа 2, 21, 10 и 100. Для любой карточки число, написанное на ней, не обладает свойством, написанным на ее обороте. Какое число написано на карточке с надписью «делится на 5»?

Решение

2, 10 и 100 – четные. Значит на обороте карточки с надписью «четное» написано 21. Значит на карточке с надписью «делится на 5» написано 2. 100 больше 50, значит на карточке «больше 50» написано число 10, а на карточке с надписью «простое» написано 100. Ответ определяется однозначно: на карточке с надписью «делится на 5» написано 2.

Ответ: А. 2

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (2 балл)

Света загадала трехзначное число. Все его цифры четные. Первая цифра меньше второй, вторая меньше третьей, а сумма всех трех цифр равна 14. Какое число загадала Даша?

Решение

Первая цифра числа не может быть меньше 2, а вторая не может быть меньше 4, значит третья цифра не больше 14 – 2 - 4 = 8, при этом она не меньше 6. Если она 8, то сумма первой и второй 6, значит они обязательно 2 и 4, и это число 248. Если бы третья цифра была 6, то первая и вторая должны были бы обязательно быть равны 2 и 4, чтобы обеспечить условие, что они все различны, но тогда сумма их была бы только 12. Значит единственное число, которое подходит под все условия – 248.

Ответ: 248

Задача №7 (2 балл)

В магазине продается 4 вида блокнотов, 5 видов карандашей и 6 вида ручек. Сколько существует различных наборов, состоящих из одного блокнота, одного карандаша и одной ручки?

Решение

Каждому виду блокнотов можно поставить в пару каждый вид карандашей, а каждому такому сочетанию любую из ручек. Значит всего можно составить 4*5*6=120 различных наборов

Ответ: 120

Задача №8 (2 балл)

Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 6, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1.
Какое число стоит на 3000 месте?

Решение

Посчитаем, какое число стоит на втором месте. 6 в квадрате – это 36. Его сумма цифр 9, значит на втором месте стоит 10. На третьем месте стоит число 2, на четвертом 5, на пятом 8, на шестом 11, а на седьмом 5. Но мы уже знаем, что после 5 идет 8. Значит числа последовательности такие: 6; 10; 2; 5; 8; 11; 5; 8 … т.е. сначала идет три числа, а потом период из трех чисел 5, 8 и 11 повторяется.

3000 = 3 + 999 * 3. Это значит, что на 3000-м месте стоит последнее из цикла число, это 11.

Ответ: 11

Задача №9 (2 балл)

После неудачного ремонта обе стрелки механических часов стали двигаться на 20% быстрее. Какое время покажут часы в 5 утра, если в полночь было выставлено верное время?

Решение

Минутная стрелка должна делать 5 полных оборотов за 5 часов, но так как стрелка крутится на 20% быстрее, она сделает 6 полных оборотов, то есть будет на нуле. Часовая же стрелка аналогично вместо деления, соответствующего 5 часам, будет показывать на отметку 6. Значит часы покажут 6:00.

Ответ: 6:00

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (6 балл)

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 78?

Решение

Будем анализировать с конца. Число 78 можно получить, указанными операциями, из числа 39 (умножением на 2) или из числа 87 (перестановкой цифр). Числа 39 и 87 нечётные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 39 можно получить из числа 93, а 87 из 78 (начальное число). 93 — нечётное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 39 (тоже уже встречалось). Получается, что 78 применением указанных операций можно получить только из чисел 39, 87 и 93. Таким образом, из 1 нельзя получить 78.

Решение для 8-9 классов. Вариант 2

Ответы записывай в специальный бланк ответов.

Выполняя тестовые задания, выбирай правильный ответ из 4-х возможных и отмечай значком X только одну букву в бланке ответов.

Выполняя задания с открытым ответом, записывай только ответ на строке рядом с номером соответствующего задания.

Выполняя творческое задание, напишите развёрнутое решение задачи.

Тестовые задания

Ответь на вопросы, выбрав правильный вариант ответа.

Задача №1 (1 балл)

Сколько существует пар трехзначных чисел, разность которых равна 100?

Решение

Первая такая пара 100 и 200, а последняя 899 и 999. Значит всего таких пар столько же, сколько чисел от 100 до 899 включительно, а их 899 – 100 + 1 = 800.

Ответ: Б. 800

Задача №2 (1 балл)

Мартышка нацепила на себя очки и сказала: «теперь я самая умная и самая красивая среди зверей». Конечно же, она соврала. Это значит, что

Решение

Чтобы оказалось, что мартышка соврала достаточно, чтобы среди зверей нашелся хотя бы один зверь умнее или красивее, чем она. Значит правильный ответ Г.

Ответ: Г. Найдется более умный или более красивый зверь

Задача №3 (1 балл)

Сколько существует способов составить башню из 4-х кубиков: зеленого, белого, черного и красного так, чтобы зеленый кубик был ниже белого?

Решение

Для начала посчитаем, сколько всего способов составить башню из четырех разных кубиков. На первое место можно выбрать один из 4-х кубиков, на второе один из 3-х оставшихся, на второе один из 2-х оставшихся, а затем обязательно ставим четвертый кубик. То есть всего вариантов 4*3*2=24. Башен, в которых зеленый кубик стоит ниже белого ровно столько же, сколько башен, в которых белый кубик стоит ниже зеленого. Потому что все башни можно разбить на пары, где одна получается из другой перестановкой зеленого и белого кубиков. Значит нужных нам башен 24/2 = 12.

Ответ: Б. 12

Задача №4 (1 балл)

У Вани и Тани были две одинаковые прямоугольные карточки. Каждый разрезал свою карточку на два прямоугольника. Сумма периметров прямоугольников, которые получились у Вани, равна 40, а у Тани — 44. Чему равен периметр исходной карточки?

Решение

Пусть одна сторона исходного прямоугольника равна x, а вторая y. Тогда при разрезе на два прямоугольника сумма их периметров становится либо 4x + 2y, либо 4y + 2x, в зависимости от того, параллельно которой из сторон делался разрез. Пусть большая сторона x. Тогда 4x + 2y = 44, а 4y + 2x = 40. Значит 2x + y = 22, т.е. y = 22 – 2x.

2y + x = 20, вместо y подставляем 22 – 2x.

2*(22 – 2x) + x = 20

44 – 3x = 20

3x = 24

x = 8

y = 22 – 16 = 6.

Значит периметр исходной карточки равен (8 + 6) * 2 = 28.

Ответ: В. 28

Задача №5 (1 балл)

С крыши дома высотой 20 метров бросают резиновый мяч. После каждого удара о землю он отскакивает на 3/5 своей прежней высоты. Сколько раз мяч промелькнет в окне, подоконник которого расположен в 4 метрах над землей, если высота этого окна равна 1 м?

Решение

Будем считать, сколько раз мяч промелькнет в окне (то есть будет на высоте от 4 до 5 метров от земли).

1) Мяч летит вниз с высоты 20 метров до земли.

2) Мяч летит вверх с земли до высоты 12 метров.

3) Мяч летит вниз с высоты 12 метров до земли.

4) Мяч летит с земли до высоты 12* 3/5 = 7 1/5 метров.

5) Мяч летит с высоты 7 1/5 метров до земли.

6) Мяч летит с земли до высоты 36/5 *3/5 = 108/25 = 4 8/25 метра, то есть он попадает в пределы видимости в окне, но начинает падать раньше, чем вылетает из них.

В следующий раз мяч подлетит на высоту 108/25 * 3/5 = 324 / 125 <4 метров.

Значит больше мяч в окне не промелькнет, а всего он промелькнет 6 раз.

Ответ: А. 6

Задания с открытым ответом

Выполни задания и запиши ответы на вопросы.

Задача №6 (2 балл)

Страницы в книге пронумерованы с первой. Для нумерации страниц в книге потребовалось 2625 цифр. Сколько страниц в этой книге?

Решение

На номера с 1 по 9 нужно 9 цифр, на номера с 10 по 99 нужно 180 цифр (90 номеров по 2 цифры). Осталось еще 2625 – 9 – 180 =2436 цифр. 2436/3 = 812. 812-е трехзначное число это 911. Значит в книге 911 страниц.

Ответ: 911

Задача №7 (2 балл)

Миша ежедневно записывает дату и вычисляет сумму написанных цифр. Например, 6-го сентября он записал 06.09 и вычислил сумму 0 + 6 + 0 + 9 = 15. Какую самую большую сумму он может получить?

Решение

Месяц с самой большой суммой цифр – сентябрь. Так как у всех месяцев до него сумма цифр от 1 до 8, а у октября, ноября и декабря суммы цифр 1, 2 и 3 соответственно. Самая большая сумма цифр у чисел от 1 до 31 – 11, у числа 29. Значит самая большая сумма получается 29 сентября. 2+9+0*9=20.

Ответ: 20

Задача №8 (2 балл)

Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат.

Решение

Перечислим все двузначные числа, являющиеся точным квадратом: 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Пусть число начинается на 16, тогда дальше обязательно идет цифра 4, после нее обязательно идет 9, после чего мы не можем ничего поставить. Получилось число 1649.

Пусть число начинается на 25, но тогда какую бы следующую цифру мы не поставили, не удастся получить точный квадрат. Получилось число 25.

Пусть число начинается на 36, тогда дальше обязательно идет цифра 4, после нее обязательно идет 9, после чего мы не можем ничего поставить. Получилось число 3649.

Пусть число начинается на 49, но тогда какую бы следующую цифру мы не поставили, не удастся получить точный квадрат. Получилось число 49.

Пусть число начинается на 64, тогда дальше обязательно идет цифра 9, после чего мы не можем ничего поставить. Получилось число 649.

Пусть число начинается на 81, тогда дальше обязательно идет цифра 6, после нее обязательно идет 4, после нее обязательно идет 9, после чего мы не можем ничего поставить. Получилось число 81649.

Значит наибольшее число 81649.

Ответ: 81649

Задача №9 (2 балл)

Последнее воскресенье месяца Игорь провёл в Мурманске, а последнее воскресенье до последнего понедельника - в Новосибирске. В предыдущем месяце Игорь провёл последнее воскресенье в Томске, а последнее воскресенье до последнего понедельника — в Кирове. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Игорь был в Кирове?

Решение

Поскольку Игорь не мог провести один и тот же день и в Мурманске, и в Новосибирске, значит, месяц заканчивался в воскресенье (ведь иначе последнее воскресенье и последнее воскресенье до последнего понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен заканчиваться в воскресенье. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль, а предыдущий — январь, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Мурманске Игорь был 28 февраля, в Новосибирске — 21 февраля, в Томске — 31 января, в Кирове — 24 января. 

Ответ: 24 января.

Творческое задание

Выполни задания и запиши развёрнутое решение.

Задача №10 (6 балл)

У племени папуасов было 26 слитков золота, 22 редких жемчужин и 23 стеклянных бус. Они могут обменять у белых людей слиток золота и жемчужину на одни бусы, один слиток и одни бусы на одну жемчужину, либо одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у папуасов осталось только одна вещь. Какая?

Решение

Заметим, что после любого обмена четность количества любых предметов меняется (так как оно либо увеличивается на 1, либо уменьшается на 1). Изначально было 26 + 22 + 23 = 71 предмет. После каждого обмена число предметов уменьшается на 1. Так как в конце остался один предмет, то обменов было 70. Если четное количество раз сменить четность количества предметов одного типа, то финальная четность не изменится. Изначально было нечетное число (23) стеклянных бус, значит и в конце их будет нечетное число – 1. Остальных предметов изначально было четное количество, и в конце их останется четное количество – 0.