Решение логических задач

Задача 1. Волейбольные команды А, Б, В, Г, Д, и Е разыгрывали первенство. Известно, что команда А отстала от Б на три места, команда В оказалась между Г и Д, команда Е опередила Б, но отстала от Д. Какое место заняла каждая из команд?

Решим задачу методом неравенств. Команды заняли места 1,2,3.4,5,6. Составим систему неравенств:     

Ответ: Д – 1, Е – 2, Б – 3, В – 4, Г – 5, А - 6.  

Задача 2. Полиция задержала четырех гангстеров, подозреваемых в краже автомобиля: Анри, Луи, Жоржа и Тома. При допросе они дали следующие показания:  Анри: «Это был Луи». Луи: « Это сделал Том». Жорж: «Это не я». Том: «Луи лжет, говоря, что это сделал я». Дополнительное расследование показало, что правду сказал только один из них. Кто украл машину?

Решение.   С помощью алгебры логики. Введем обозначения:

А= «Анри украл машину»;

Л= «Луи украл машину»;

Ж= «Жорж украл машину»;

Т= «Том украл машину».

Тогда  результаты допроса и дополнительного расследования можно выразить так:  Согласно закону исключенного третьего, тогда Л = 0 и  откуда следует, что Ж = 1.

Ответ: машину украл Жорж.  

Задача 3. Лукавые инопланетяне.

Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты: А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались ложными:

а) А – не третья планета от звезды;

б) Б – вторая планета.

Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

Решение: А – не третья планета от звезды – сообщение ложно, следовательно А = 3. Б – вторая планета, сообщение ложно, следовательно  Б = 1. Значит, В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

Ответ: А является третьей планетой,  Б – первая планета от звезды, В - вторая планета, на которой живут инопланетяне.  

Задача 4. Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал: « Это Витя или Толя». Витя сказал : « Это сделал не я и не Юра». Толя сказал : «Вы оба шутите». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой – нет». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог?

Решение. Обозначим высказывание Андрея через А,  высказывание Вити – через В.   Тогда высказывание Толи:    (оба шутят). Высказывание Димы:   (отрицание эквивалентности – истинно, когда истинно только одно из двух высказываний). Высказывание Юры отрицает высказывание Димы, то есть  Составим таблицу истинности:

Из таблицы видно, что три истинных высказывания есть только в последней строке ( в других – по два), значит правду сказали Андрей, Витя и Юра. Так как  Андрей сказал, что это сделал Витя или Толя, а Витя сказал, что не он, следовательно, по закону исключенного третьего, это сделал Толя.

                                                    Ответ: пирог испек Толя.

Задача 5. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?

Решим задачу методом неравенств. В детский сад ходит девочка, следовательно,  Боре не 5 лет. Составим систему неравенств:

     

Если бы А = 15, то:  В  13, т.к.  (15+13) не кратно 3;  В  5, т.к.  (15+5) не кратно 3;  следовательно, А   15, значит, А = 13. Тогда В = 5, т.к.  13+5= 18 кратно 3, остается Г = 15.

Ответ: Вере – 5, Боре – 8, Ане – 13, Гале – 15.

Задача 6. Узнай фамилию.

В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей.

Ответ. Так как Володя учится в 6 классе, а Герасимов – в 5 классе, то Володя не Герасимов. Так как отец Иванова – учитель, отец Володи – инженер, то Володя не Иванов. Тогда Володя – Семенов, Миша – Иванов, а Петя – Герасимов. (таблица)