Работы моих учеников

Слет научных обществ обучающихся

образовательных организаций общего и дополнительного

образования детей города Нижневартовска в 2014 году

Секция: Прикладная математика

Математика заторов

 «Математика заторов»

Слайд № 1. Здравствуйте, я Вероника Баширова, ученица 6А класса школы № 15, представляю работу «Математика заторов»

Слайд №2. Всю жизнь стоять — чего-то ждать…
     Не надоело?! Вопрошать,
          И без ответов оставаться…

Иван Зерюкаев

Слайд № 3. Современный человек проводит в ожидании более или менее значительную часть своей жизни. Разве есть среди нас те, кто никогда ни стоял в очереди? Мир ожидания очень разнообразен: очереди машин на въезде на платную дорогу, очереди самолётов на выезде на взлётную полосу и, как следствие, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам в больших зданиях, очередь на приём к врачу или очередь телефонных звонков, которые должны быть обработаны на пожарной станции... Это лишь некоторые примеры.  

Меня это заинтересовало, и у меня возник вопрос: «Можно ли  решить проблему очередей? Эту проблему увидела только я или она является актуальной и для других?  Если  «да», то какую роль в  ее решении сыграет математика?»

Слайд №4. Гипотеза: Условия создания очередей выражаются через математическую модель. 

Целью моего исследования: выяснить причины образования заторов и очередей в нашем городе и найти пути их ликвидации.

Слайд №5. Перед собой я поставила следующие задачи..(вы видите их на слайде)

Слайд №6. Для установления актуальности вопроса, мною была разработана и проведена анкета, результаты которой показывают, что  85% опрошенных не любят стоять в очередях и более 50%   попадают в очереди в разных ситуациях: в магазинах или столовых, на дорогах, в больницах, в аэропорту и т.д. Следовательно, существует необходимость найти решение этой проблемы.

Слайд №7 (анкета)

Слайд № 8. (результаты анкетирования)

Слайд № 9. Очередь - это линия ожидания. Теория очередей – часть более широкой теории,  в рамках которой проводятся оперативные исследования и создаются математические модели.

Слайд № 10. Первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) , взявшийся анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий

Слайд № 11. В ходе рассмотрения истории вопроса я узнала, что в теории изучения очередей существуют законы Харпера, подобные знаменитым законам Мерфи. Первый закон Харпера: неважно, в какую очередь ты становишься – всегда есть одна, движущаяся быстрее остальных. Второй закон Харпера: если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее

Слайд № 12. Еще я изучила закон Литтла, который гласит, что время, необходимое на обработку заказа, прямо пропорционально объему незавершенного производства и обратно пропорционально средней скорости выполнения работы.

Слайд № 13. Кроме того я узнала о распределение Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Работа Пуассона впервые была опубликована в 1837 году. Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков на коммутатор.

Слайд № 14. Некоторые модели очередей очень просты, другие требуют применения сложных математических теорий. Все очереди можно разбить на две большие группы.

-Детерминированная очередь –наиболее простая модель, которую можно заранее спрогнозировать опираясь на временные интервалы прибытия и ожидания. Это «очередь без сюрпризов».

- Вероятностная очередь не может быть описана без применения вероятностей. Это более реалистичная модель, чем предыдущая. В дождливый день, например, есть большая вероятность того, что увеличатся очереди на стоянках такси и уменьшатся очереди в кассы зоопарка или другие развлекательные учреждения на свежем воздухе.

Слайд № 15. Мои исследования.

Слайд № 16. Исследование №1. Существуют ли очереди в математике?

Рассмотрим пример: (24 * 7-377:29)*(2378:58-38).

Чтобы решить этот пример, действия выполняются в строго установленном законами порядке и каждое действие ожидает своей очереди.

Вывод: В математике существует очередность.

Слайд № № 17. Исследование №2. Очередь в аэропорту.

1)Первое мое наблюдение было связано с образованием очереди на регистрацию на рейс до Москвы. Как известно. Регистрация начинается за 1,5 часа и заканчивается за 20мин. до вылета.   Вместимость самолета -  140 чел.  Следовательно, за 70минут  необходимо зарегистрировать 140чел, т. е. на каждого пассажира надо будет затратить по 0,5 мин. В реальности я наблюдала следующую картину. После объявления о начале регистрации к стойке подошли 5 человека, которые зарегистрировались в течение 5мин. За это время подошёл еще 1 чел. За 1час до вылета очередь стала собираться( Приложение 2.фото №1) и каждому пассажиру пришлось стоять от 10 до 15 минут. За 30 минут - очередь увеличилась (Приложение 2. фото №2) и стоять пришлось дольше, что и вызывало беспокойство у пассажиров. За 5 минут до окончания регистрации очередь заметно уменьшилась, у стойки осталось 4 человека. (Приложение 2,фото № 3).

2) Второе мое наблюдение было за созданием и движением очереди при прохождении паспортного контроля, который начинался за 40 минут до вылета. В отличие от регистрации здесь очередь создалась сразу после объявления прохождения паспортного контроля на рейс (Приложение 2, фото №4). Через 15 минут очередь рассеялась (Приложение 2,фото №5).

Вывод: Если бы пассажиры приходили вовремя и постепенно, то очередь  была бы равномерной, и ждать приходилось приблизительно одно и то же время всем.

Слайд № 18. Исследование №3.  Очередь в школьной столовой.

По результатам моего анкетирования 32% учащихся попадают в очередь в столовой. Я пронаблюдала за ней на 3 и 4 переменах.  На третьей перемене в основном очередь была из учащихся  5-7 классов, которые питались на 1 и 2 переменах( Приложение 3,фото №6), но в это же время в очереди находились учащиеся 9 классов, которые в это время кушали и хотели еще получить еду за дополнительную плату. И, конечно же, пятиклассникам добраться до раздачи было трудно. На четвертой перемене питаются 10 и 11 классы и некоторые из них за дополнительную плату получают еду  (Приложение 3,фото №7), но в это время как раз приходят на обед и учителя, и дети, у которых закончились уроки, но перед внеурочными занятиями желают подкрепиться.  Самая большая очередь после 4 урока.

Вывод: За дополнительную плату удобнее всего покупать еду на тех переменах, когда питается класс. Рекомендовать  работникам столовой организовать отдельно буфет, в котором могли бы продавать булочки, бутерброды, пиццу, чай, сок. И тогда бы очередь была бы меньше. То есть подтверждается закон Харпера: «если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее».

Слайд № 19  Исследование №4. По результатам анкетирования в  среднем 30% опрошенных попадают в автомобильные заторы на дорогах нашего города. Мною было проведено наблюдение на перекрестках улиц Спортивная и Чапаева, Мира и Чапаева в разное время и в разные дни. Время работы красного света светофора 40 секунд, время зеленого света светофора 30 секунд. (Приложение 4, фото № 8-13)

Слайд № 20 . Автомобильные заторы.(таблица)

Слайд № 21

• Предложить работникам ГИБДД увеличить промежутки работы зеленого света светофора, чтобы успевало больше количество машин проехать за это время.
• Так же, порекомендовать автолюбителям в часы загруженности этого светофора намечать свой путь движения по другим, более разгруженным улицам. Опять же подтверждается закон Харпера.

Слайд № 22. Математическая модель

Анализируя полученные данные, я пришла к выводу, что можно создать математическую модель изученных ситуаций:

Слайд №23

1. Если за Х обозначить количество регулярно прибывающих участников события через равные промежутки времени, а за У – количество участников, прошедших данное событие за тот же временной интервал, то при условии, что скорость прибытия новых участников события  медленнее, чем скорость участвующих в этом событии, то получим следующую модель: Х<У. При этих условиях очередь неизбежна и длина ее будет увеличиваться.
2. Модель: Х=У. Эта модель говорит о том, что длина очереди будет постоянной или незначительна, потому что только происходит событие Х, наступает событие У или обслуживание одного клиента заканчивается в тот момент, когда приходит следующий.
3. Модель: Х >У-очередь не образуется так как событие Х заканчивается, а событие У еще не наступило.

Слайд №24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Выполняя данную работу, я узнала много нового и интересного.

• Узнала, что первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) .
• Узнала, что в теории очередей применяются законы Харпера, Литтла
• Кроме того я узнала о распределение Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
•  Изучила модели очередей
• Провела исследования очередей, которые образуются в аэропорту, в школьной столовой и на улицах нашего города
• Составила математическую модель очередей в зависимости от условий.

Слайд № 25. Вывод:

Моя гипотеза: «Условия создания очередей выражаются через математическую модель.» подтвердилась.

Простейшая модель очередей может быть проанализирована с точки зрения только двух переменных: интервал прибытия Х и отправления У, которые будут связаны между собой знаками «=», «<» и «>» в зависимости от условий.