Математика

Вторая производная, её физический смысл

От каждой имеющейся функции можно находить бесконечное количество последовательных производных. В нашем курсе математики мы учимся находить две последовательные производные. 

То есть вторая производная – это производная, которую необходимо найти от функции, которая является первой производной первоначальной функции.

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается:

Например, мы имеем функцию у =

Найдем две последовательных производных данной функции: 

у/ =

Найдя первую производную, мы можем найти вторую производную данной функции:

 у// =

Ещё один пример, найти вторую производную функции:

 S =

S= 8
S= (8 8

А теперь давайте вспомним физический смысл производной:

Производная от перемещения – это скорость. 

Но если же мы найдем вторую производную данной функции, то мы можем получить значение ускорения:

Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно значению второй производной пути по времени

a(t)= S(t) 

Это и есть физический смысл второй производной.

Задача: Точка движется прямолинейно по закону:

 S = . Найти скорость и ускорение точки в момент t0 = 4.

Решение: Для определения скорости нужно найти производную данной функции при t0 = 4.

V(t) = S =  

V(t) = V(4) =

a(t)= 

Ответ: скорость в момент времени t0 = 4 была 21 м/c; величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движения точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением 6 м/c^2.

Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

 S = . В какой момент её скорость составляла 12 м/c?

Решение:

V(t) = S =  

Приравняем полученную скорость к 12 м/c (по условию):

Ответ: в момент времени 1 с.

Задача: Материальная точка движется прямолинейно по закону:

 S =  В какой самый поздний момент времени её скорость составляла 9 м/c? Какое ускорение было в момент t = 5 c?

Решение:

V(t) = S

V(t0) = 9 м/c

Приравняем полученную скорость к 9 м/c (по условию):

t1 = 1  t2 = 6

1 с и 6 с - время

Найдем ускорение в момент t = 5 c:

(6t – 21

 = = 6*5 – 21 = 9 м/с2

Ответ: самый поздний момент времени – 6 с; ускорение в момент времени 5 с было 9 м/с2.

Домашнее задание «Вторая производная»

1. Найти  + 6x – 3
2. Найти  
3. Дифференцируемый путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид: S(t)=+.

Найдите скорость этой точки в момент t = 0.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t)= . Найти её ускорение в момент t = 2 c.