Инновационная деятельность на базе КФУ

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»        

Олимпиадные задания.

Решение уравнений в целых числах

                                                                  Разработала:

                                                                 Аксанова Ильсияр Исмагиловна

                                                                 Учитель математики высшей категории

                                                                 МБОУ ВСОШ № 2

С. Высокая Гора – 2015 г.

Введение

            Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы  обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке.   В работе   представлены  различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры.  Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ   и олимпиадам.

          Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные  наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xn + yn = zn

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:

• способ перебора вариантов;
• применение алгоритма Евклида;
• применение цепных дробей;
• разложения на множители;
• решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
• метод остатков;
• метод бесконечного спуска;
• оценка выражений, входящих в уравнение.

      В работе представлены два приложения: приложение 1. Таблица остатков при делении степеней (an:m); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Способ перебора вариантов.

        Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х =, так как х и у – натуральные числа, то

х =   602 - 51у ≥ 49,  51у≤553,  1≤у≤10.

        Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

2. Применение алгоритма Евклида. Теорема.

      Дано уравнение ax+by=c, где a, b, c-целые числа, a и b не равны 0.

        Теорема: Если c не делится нацело на НОД(a,b), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД(a,b)=1или c делится на НОД(a,b), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x0, y0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами:

x=x0-bt

y=y0+at , где t- принадлежит множеству целых чисел.

        Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5х + 7у = 19

Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x0 = 1, y0 = 2.

Тогда   5x0 + 7y0 = 19, откуда

5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

5(х – x0) = –7(у – y0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

         Пример 2.2.  Решить уравнение 201х – 1999у = 12.

         Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

       Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

       Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Метод остатков. 

        Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления  на некоторое фиксированное натуральное число.

Замечание. Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

        Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x3 + y3 = 3333333;

Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

        Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах  x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).

 Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

        Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение  x2 + 1 = 3y.

Решение.  Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

         Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

        Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Ответ: целочисленных решений нет.

        Пример 3.4. Решить в целых числах  x³ - 3y³ - 9z³ = 0  (1)

Решение.  Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел   (0; 0; 0).

         Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение  (1) к виду                        

x³ = 3y³ + 9z³   (2)

        Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3,  т.е. х = 3k, подставим это выражение в   уравнение (2), получим:

27k3 = 3y³ + 9z³, откуда

                                                     9k3 = y³ + 3z³  (3)

следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда

                                                  3k3 = 9m³ + z³    (4)

         В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (4), получим, что k3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Ответ: (0;0;0).

4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным.

          Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение

х2 – 7х – 144 = у2 – 25у.

Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим: у = х + 9 или у = 16 – х.

        Поскольку при нечётном х  число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые,  то из равенства у = 16 – х,  имеем

2 < х < 16, 2 < у < 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

        Пример 4.2. Решить в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2. 

 Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

       Пример 4.3. Решить уравнение в целых числах: 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0.

Решение:

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х2 + (8у - 2)х + 5у2 + 2у + 2 = 0

D = (8у - 2)2 - 4·5(5у2 + 2у + 2) = 64у2 - 32у + 4 = -100у2 - 40у – 40 =                      = -36(у2 + 2у + 1) = -36(у + 1)2

         Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1)2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

Ответ: (1;-1).

5. Разложение на множители.

        Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

Разложим левую часть на множители  (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

        Пример 5.2. Решить уравнение в целых числах: х2 + 23 = у2

Решение. Перепишем уравнение в виде:

у2 - х2 = 23,  (у - х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12).

        Пример 5.3. Решить уравнение в целых числах   y3 - x3 = 91.

Решение.  Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

                                          (y - x)(y2 + xy + x2) = 91          

       Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

 Проводим исследование. Заметим, что для любых  целых x и y  число  

                          y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение  равносильно совокупности систем уравнений:

             ;   ; ;

         Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья  (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ:  (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

        Пример 5.4. Решить в целых числах уравнение  x + y = xy.

Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1)

x + y – xy – 1 = – 1

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x - 1)(y - 1) = 1

          Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).  Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения.

Ответ:  (0,0) и (2,2).

        Пример 5.5. Доказать, что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

                            (x - y)(y - z)(z - x) = 10      

 Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения  равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

6. Метод бесконечного спуска.

        Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

        Пример 6.1. Решить уравнение в целых числах  5x + 8y = 39.

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: .  Выделим целую часть:       Очевидно, что х будет целым, если выражение   окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5.  

           Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y, рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим:

.

       Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную

 u: 3u = 1 – 2z.

Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z:  = . Требуя, чтобы  было целым, получим: 1 – u = 2v, откуда u =  1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

z = = = 3v – 1;        = 3 – 5v.

 =  = 3+8v.

Формулы x =  3+8v  и y = 3 – 5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Ответ: x =  3+8v  и y = 3 – 5v.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

        Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение   (х2 + 4)(у2 + 1) = 8ху

Решение. Заметим, что если (х;у) – решение уравнения, то (-х;-у) – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

∙ = 8, (х +)(у +) = 8.

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

х +  = 4, у + = 2,

тогда их произведение (х + )(у +) = 4·2 = 8, значит, х +  = 4 и у + = 2.

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Ответ: (2;1); (-2;-1)

        Пример 7.2. Решить уравнение в целых числах

x2 + 13y2 – 6xy = 100

Решение. x2+13y2–6xy=100 ↔ (x-3y)2+4y2=100. Так как (x-3y)2≥0, то 4y2≤100, или │2y│≤10. Аналогично, в силу 4y2≥0 должно выполняться │x-3y│≤10.

Возможны 12 случаев:

Ответ: (±15; ±5); (±10; ±0); (±18; ±4);

(±6; ±4); (±17; ±3); (±1; ±3).

8. Применение цепных дробей.

        Пример 8.1. Решите в целых числах уравнение  25x-18y+1=0.

Найдем наибольший общий делитель пары чисел 25 и 18 с помощью цепных дробей, то есть используем один из вариантов алгоритма Евклида.

Преобразуем неправильную дробь  , последовательно выделяя целые части неправильных дробей:

 = 1 +  = 1 +  = 1 +  = 1  +  = 1 +  = 1 +  = 1 + ,

где выражение 1+ называется целой дробью.

Числа 1, 2, 1, 1,  выделенные в этом выражении, являются последовательными частными алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел 25 и18.

Отбросим дробь  и преобразуем получившуюся цепную дробь в обыкновенную:

1 +  – 1 +  –  .

Вычтем полученную дробь из исходной дроби :

 –  =  = .

Приведем ее к общему знаменателю: 25 ∙ 5 – 18 ∙ 7 + 1 = 0.

Получили частное решение исходного уравнения х = 5, у = 7.

Общее решение исходного уравнения: х = 5 + 18t; y = 7 + 25t, t  Z.

Ответ: х = 5+18t; у = 7+25t.

Приложение 1. Таблица остатков при делении степеней (an:m)

Приложение 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Решить в простых числах уравнение x2 - 2y2 = 1.
2. Доказать, что уравнение x3 + x + 10y = 20004 неразрешимо в целых числах.
3. Доказать, что уравнение x5 + 3x4y - 5x3y2 - 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 = 33 неразрешимо в целых числах.
4. Решить в целых числах уравнение 2x3 + xy - 7 = 0.
5. Доказать, что уравнения не имеют целочисленных решений:  

а) y2 = 5x2 + 6;         б) x3 = 2 + 3y2

6. Решить в целых числах уравнения: а) x2 + x = y4 + y3 + y2 + y;

        б) x² - y² = 91; в)  2ху = х² + 2y; г) 3x2 +4ху – 7y2 =13

7. Решите в натуральных числах уравнения:

          а)  2х² + 5ху – 12у² = 28;      б) х² - 4ху – 5у² = 1996.

8. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах.

9. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению

          а) x2 = y2+ 2y +13; б) xy = 20 – 3x + y; в) xy + 1 = x + y; г) x2– 3xy + 2y2 = 3

10. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

m2 + 1994 = n2

11. Найти все простые числа, которые одновременно являются суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.
12. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.
13. Решите уравнение x2 – 2х + y2 – 4y + 5 = 0.
14. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на n, то полученное число будет в n раз больше исходного. Найдите число n и исходное число.
15. Решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz.
16. Решить в целых числах уравнение x2 - 2y2 + 8z = 3.
17. Решите в натуральных числах систему уравнений:

а)      б)

18. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.
19. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению:

а)  x2 - y2 = 105;      б) 2x2 + 5xy – 12y2 = 28

20. Решите в целых числах уравнение:

а)  xy + 3x – 5y = – 3;     б) x – y =

21. Докажите, что система не имеет целочисленных решений

Литература:

1. Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. – М.: МГИЭТ(ТУ). 2003. – 224 с.

2.  В. Серпинский. О решении уравнений в целых числах. 1961.

3. Карпова И.В. Решение уравнений в целых числах.

4. http://www.fmclass.ru/pic/48503321f105d/uravneniya-v-celyh-chislah.pdf

          Образовательный портал «Физ/Мат класс» www.fmclass.ru. 

5. http://diofant.na.by/

6. www.a-elita.net/userfiles/File/.../Integer%20solutions_2012_10.pdf 

7. http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html

Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2 Высокогорского района РТ

Элективный курс: «Решение уравнений и неравенств с модулем»

      Автор программы: Аксанова И.И.

      учитель математики                                            

                                                                   высшая  квалификационной категории

                                                                Высокогорской средней

                                                                 общеобразовательной школы №2

с.Высокая Гора – 2017

        ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ  ЗАПИСКА

Знание математики необходимо для изучения многих наук. Трудно себе представить изучение таких наук, как физика, химия, информатика, экономика и даже биология, медицина, психология и так далее без математики.  

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля» рассчитан на 14 часов. В последние годы уравнения и неравенства, связанные с понятием модуль стали очень часто встречаться на школьных олимпиадах, на вступительных и выпускных экзаменах и что особенно актуально в материалах единого государственного экзамена. В то время как в учебниках общеобразовательных школ такого рода задания либо имеются в единичных количествах, либо отсутствуют вовсе.

Данный курс содержит методы и приемы решений уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля, а также способы преобразований графиков функций, содержащих в своих формулах выражения под знаком модуля.

Разделение курса на теоретическую и практическую часть позволяет дополнять или изменять практическую часть новыми заданиями в зависимости от уровня подготовленности класса и количества выделенных на данный курс часов и позволяет рассмотреть задания, содержащие и другие функции (степенную, тригонометрическую, показательную, логарифмическую ).

В данном курсе в  практической части  рассмотрены  задания, содержащие линейные и квадратичные функции, то есть может быть проведен на базе 8-ых и 9-ых классов.

ЦЕЛИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

1. Научить учеников «не боятся» модуля
2. Формировать у учащихся первоначальные навыки работы с модулем
3. Познакомить учащихся с методами решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля
4. Обучить учащихся приемам построения графиков функций, содержащих в формулах выражения под знаком модуля
5. Заинтересовать учащихся в дальнейшем изучении тем, сопряженных с понятием модуля
6. Ознакомить учащихся с заданиями малого ЕГЭ, где используются понятия модуля

ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

По окончании данного курса учащиеся должны:

1. решить для себя нужно ли им выбрать в дальнейшем математический профиль обучения;
2. выяснить для себя нужно ли им в дальнейшем выбрать профессию, связанную с математикой или применением математики;
3. овладеть некоторыми методами решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля;
4. уметь строить графики линейных и квадратичных функций, содержащих в формулах выражения под знаком модуля.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

                                               Теоретическая часть.

I .  Модуль

         1)понятие модуля;

    2)раскрытие модуля;

         3)свойства модуля.

    II .  Решение уравнений, содержащих выражения под знаком модуля

                                         a ≥ 0                  

       1)     |f(x)|=a  ⬄         f(x)=a                                                  

                                          f(x)=-a                                                

                                           g(x) ≥ 0    

      2)  |f(x)|=g(x)   ⬄        f(x)=g(x)       , когда функция g(x) проще, чем f(x)

                                           f(x)= -g(x)

                                  f(x) ≥ 0          

                                  f(x)=g(x) , когда функция f(x)  проще, чем g(x)                                                                                                          

      3)  | f(x)|=g(x)   ⬄         f(x)<0

                                  f(x)= -g(x)

     4) |f(x)|=|g(x)|    ⬄       f(x)=g(x)

                                           f(x)= -g(x)

III . Решение неравенств, содержащих выражения под знаком модуля

1)  |f(x)|⬄  -g(x)⬄      f(x)

                                                                   f(x)>-g(x)

2)  |f(x)|>g(x)  ⬄       f(x)>g(x)

                                   f(x)<-g(x)

          3)  |f(x)|<|g(x)|  ⬄  (f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) <0  

   IV .  Построение графиков функций, содержащих в формулах выражения

          под знаком модуля

           1)  y=|f(x)|    график этой функции получается из графика функции                

               y=f(x)      следующим образом :

                     а) часть графика функции y=f(x), расположенная выше оси ОХ остается на месте.

                     б) часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ отображается симметрично относительно оси ОХ  и удаляется.

            2) y=f(|x|) – график этой функции получается из графика функций y=f(x) следующим образом:

                     а) часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси ОУ остается на месте и отображается симметрично относительно оси ОУ

                         б) часть графика функции y=f(x), расположенная левее оси ОУ удаляется.

            3) |y|=f(x) - график этой функции получается из графика функций y=f(x) следующим образом:

                     а)   часть графика функции y=f(x), расположенная выше оси  ОХ отображается симметрично относительно оси ОХ и остается на месте.

                   б) часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ удаляется.

Практическая часть

 I.  Модуль

        Раскрыть следующие модули :

1)  |  π-3 |                5) | х2 |                    

2) | √3 - √2 |                6) | x4 + 1 |

         3) | 1- √2  |             7) | х2 – х + 0,25  |

         4) | √5 -2 |              8) | х2 + 2х + 2   |

 II .  Решить уравнения, содержащие выражения под знаком модуля :

3. Решить неравенства, содержащие выражения под знаком модуля  

 IV.   Построить графики функций, содержащие в формулах выражения

          под знаком модуля        

5. Задания, предлагаемые на «малом» ЕГЭ:

     1)  Решить уравнения:

| х-6 |=7

| 2х+1 |=19+3х

| 3х+8 |=| 2х+2 |

| х-7 |+|9+х |=18

| |х-1|-2|=3

| х2-9 |=8х

     2) Решить неравенства:

          | 3х+7 | ≤ 2

          | х2-2х | < | х+4 |

          | х+1 |+| х+2 |+| х-1 |+| х-2 | < 5х-15

      3) Найдите наибольшие целые решения неравенств:

          | 5х+1 | < 2

          | 1-4х | > 9

          | 2х+1 | ≥ 37

      4) При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 решения,

             не имеет решений:

           | х-1 |+| х-3 |=a

       5) При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня,

          3 корня, 4 корня, не имеет корней:

           | х2-4х-5 |=a

        6) Найдите середину промежутка, являющегося решением

          неравенства:

            | 3х+8 | ≤ 4

            | 5х-1 | < 14

            | 4х+3 | ≤ 15

VI. Примеры решения заданий

       1. Решить уравнение

           | 8- | х+2 | | =4

Раскрывая внешние модули имеем совокупность

     8-| x+2 |=4                    | x+2|=4

        8-| x+2 |=-4   ⬄           | x+2 |=12

          Раскрывая внутренние модули имеем совокупность

                x+2=4                 x=2

           x+2=-4                x=-6

           x+2=12    ⬄       x=10

           x+2=-12              x=-14

      Ответ: х1=2; х2=-6; х3=10; х4=-14.

2. Решить неравенство

    | х2-6х+8 | < 4х-х2

    Неравенство равносильно системе

      х2-6х+8  < 4х-х2                

         х2-6х+8  > - 4х+х2            ⬄

        2х2-10х+8  < 0                              х2-5х+4  < 0               

       -2х+8  > 0                    ⬄                x-4 <0             ⬄

       1 < x < 4

          x < 4

       Ответ: x < 4.

 3.  Решить неравенство

        | х2+3х | ≥ 2-х2

Неравенство равносильно совокупности

       х2+3х  ≥ 2-х2                                                              

       х2+3х   ≤  х2 -2       ⬄

       2х2+3х-2  ≥ 0

          3х   ≤   -2               ⬄

          x ≥ 0,5

          x ≤ -2    

          x ≤ -2/3

 Ответ:  x ≥ 0,5; x ≤ -2/3.

  4. Решить неравенство

        | х2+х-2| > | х+2 | .

Неравенство равносильно неравенству

(( х2+х-2) – (х+2))(( х2+х-2) + (х+2)) > 0    ⬄

( х2-4)( х2+2x) > 0   ⬄   x(x-2)(x+2) 2  > 0

   Ответ: x <-2; -2 < x < 0; x > 2.

5. Решить графически уравнение  

| x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |=12

Построим графики следующих функций

          y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

          y=12

и найдем абсциссы их точек пересечения.

              Для построения графика функции  y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

        Найдем вершины ломанной линии. Сначала найдем нули подмодульных       выражений, затем соответствующие им значения ординат.

      x+4=0        x1=-4       y1=8

      x-3=0         x2=3        y2=8

      x-5=0         x3=5        y3=12

      6-x=0         x4=6        y4=12

      Найдем две точки для х >  6 и для х <  -4.                                          

   x5=7      y5=14

   x6=-6     y6=12

Построим график функции y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

 и у=12. Координаты точек пересечения  при y=12 x=-6 , 5 ≤  x ≤  6

                                                                    __ Y                                                        

                                                                    _14                                                             

                                                                    _13                                                             

                                   y=12                         _12                                                           

                                                                    _ 11                                                             

                                                                    _ 10                                                             

                                                                    _ 9                                                             

                                                                    _ 8                                                             

                                                                    _ 7                                                             

                                                                    _ 6  y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x                                                          

                                                                    _ 5                                                             

                                                                    _ 4                                                           

                                                                    _ 3                                                             

                                                                    _ 2                                                           

                                                                    _ 1                                                             

                                                                    -9 -8 -7 -6 -5 -4--3 -2  -1 0  1   2  3  4  5   6  7  8   9                                                                  

                      |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |                                                                                                                                                                                                                                

                                                                    _                                                       X                                                                                                                                  

                                                                    __                                                            

                                                                    _      

   Ответ:  x=-6 ; 5 ≤  x ≤  6.

VII. Зачетная работа .  

      Вариант 1.

Решить уравнения.

1. | x2 – x – 5 | = 1

2. | x2 + x – 1 | = 2x – 1

3. |x + 5| + | x – 8 | = 13

Решить неравенства.

1. | 4x2 –  1 |   <  x + 2

2. | 3x – 2 |  >  2х + 1

3.  | x + 4 – x2 |   <  | x2 – 5х + 4 |

Построить графики функций

1. у = | x – 3 | + | 2x – 1 |
2. y = | 2x2  + 12x – 19 |
3. y = 12x2 + 12 |x| – 19
4. |y| = 12x2 + 12x – 19

Вариант 2.

Решить уравнения.

1.  | 2x –  3 | = 7

2. | x + 2 | = 2(3 – х)

3. | x | – 2 |х + 1| + 3 | x + 2 | = 0

Решить неравенства.

1. x2 – 5x + 9 › | x – 6|  

2. 12 x2  – 9х + 15 |  ≥  20

3.  | 3x – 2 |   ›  | 2x + 1 |

Построить графики функций

1. у = | x – 1 | + | x + 1 |
2. y = | x2 + 5x +6 |
3. y = х2 + 5 |x| + 6
4. |y| = x2 + 5x + 6

Вариант 3.

Решить уравнения.

1.  | x2 - 4x | = 4

2. | 3 x2 - x | = 8 + x

3. |x| + | 3x + 2 | + | 2x - 1| = 5

Решить неравенства.

1. 3 | x - 1 |   ≤  x + 3

                                    2. | x2 + 3x|  ≥  2 - x2

3.  | 4x – 1 |   ≥  | 2x + 3 |

Построить графики функций

                                    1. у = | x – 2 | + | 2x - 1 |

                                    2. y = | -2x2 - 5x - 2 |

                                    3. y = -2x2 - 5 |x| - 2

                                    4. |y| = -2x2 - 5x – 2

Вариант 4.

Решить уравнения.

1.  | 2x + 3 | = 5

2. | x + 3 | = x2 + x - 6

3. | x + 1 | + | x - 5 | = 20

Решить неравенства.

1. | x2 – 6x + 8 |   ‹  5x - x2

3. 2 | x + 1 |  ≥  x - 1

3.  | x2 + x – 2 |   ›  | x + 2 |

Построить графики функций

                                    1. у = | x – 2 | - | x + 2 |

                                    2. y = | 0,5x2 + 3x +0,5 |

                                    3. y = 0,5x2 + 3 |x| + 0,5

                                    4. |y| = 0,5x2 + 3x + 0,5

Вариант 5.

Решить уравнения.

1. | x2  - x - 1 | = 1.

2. | 5х + 2 | = 3 - 3x.

3. | x | - | x - 2 |  =2

Решить неравенства.

1. |х2 + 3x | ‹ x + 4
2. | 3x – 5 | › 9x + 1
3. | x + 2 |   ‹ | x – 2 |

Построить графики функций.

1. у = | x + 3 | + | 2x + 1 | - x
2. y = | x2  - 4x + 7 |
3. y = x2 - 4 |x| + 7
4. |y| = x2 - 4x + 7

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

           В теоретической части данного курса для решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля представлен метод равносильного перехода от уравнения или неравенства к системам и совокупностям, что позволяет избежать проверки корней, а это –экономия времени, а учитывая объем заданий, предлагаемых на едином государственном экзамене, это важно. Также этот метод позволяет решать уравнения и неравенства, не прибегая к раскрытию модуля и не обращая внимания на знаки выражений, входящих под знак модуля. Поэтому при изучении данного курса ученик должен хорошо владеть методом равносильного перехода.

           Метод построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, представленный в этой работе, позволяет довольно быстро построить достаточно сложные графики, зная только графики основных функций   у=f(x) и способы их преобразования, указанные в теоретической части.

          Для более успешного усвоения материала можно на уроках разобрать ключевые задания по каждому из видов уравнений и неравенств, а часть заданий из практической части предложить ученикам для самостоятельного решения дома или на уроке, консультируя по необходимости.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир  «Алгебраический тренажер»
2. С.И.Колесникова   «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»
3. А.Г.Цыпкин, А.И.Пинский   «Справочник по методам решения задач по математике»
4. С.В.Смирнова, Д.М.Осадчая  «Занятия по математике для абитуриентов(КГТУ)»
5. М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин  «Малое ЕГЭ по математике»