Системы счисления
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Позиционная и непозиционная системы счисления | 292.5 КБ |
 Числа правят миром | 175.31 КБ |
| Задания для урока "Системы счисления" | 38 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Позиционная нумерация возникла в древнем Вавилоне, от вавилонян она перешла к индусам. У индусов система записи чисел переняли арабы. От арабов заимствовали европейцы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9- арабские цифры Чтобы прочитать число 3604 нужно посмотреть, на каком месте от конца стоит первая цифра, затем по порядку вторая, третья и т. д. 3 тысячи + 6 сотен +4 единицы = три тысячи шестьсот четыре. Разряды: 1- единицы 2 - (10 единиц) десятки 3 - сотни, и т.д.
Архимед В III веке до н.э. на острове Сицилия жил математик исключительной одаренности. Это был Архимед. Замечательный геометр, физик, инженер, он оставил среди своих многочисленных творений удивительное сочинение по арифметики -«Псаммит или исчисление песку в пространстве, равном шару неподвижных звезд.
«Шар неподвижных звезд» В объем макового зерна может вместится мириад песчинок Поперечник макового зерна = ½ (зерно имеет форму кубика) 1мм= 8 маковых зерен = 80 тыс. песчинок 1 м = 80 тыс. *10 песчинок = 8* 10 ^13 песчинок 1км = 80 тыс. * 10 песчинок = 8*10 ^13 *10 ^9 = 8* 10 ^22 песчинок Остается перемножить число кубических км. «шара неподвижных звезд» и число песчинок в 1 км. 135*10 ^38 *8*10 ^22 =10 ^63 песчинок
Система счисления Архимеда Во времена Архимеда не было названий для чисел больших 10000. Он выдумал, как называть большие числа и как производить с ними вычисления. 85643911- «восемь тысяч пятьсот шестьдесят четыре мириады три тысячи девятьсот одиннадцать» От единицы до мириады мириад – «числа первые» Единица – «единица чисел первых» Единица первых чисел n- периода : 10 ^(n-1)8*10^8 Единица m- ых чисел n- ого периода : 10 ^(n-1)*8*10^8+m*8-m
Двоичная система Двоичная система или система при основании 2 1- знак для единицы 0 – позиционная пробка (нуль) Десятичная система Двоичная система 1 2 3 4 8 1 10 11 100 1000
Сложение в двоичной системе 111 10110 + 1101 100011 Если в каком – либо столбике имеется одна единица ( вторая нуль), то пишем ее под чертой. Если имеется две единицы, то их зачеркиваем, внизу ставим нуль и сверху над следующим разрядом приписываем единицу.
Нахождение десятичного дополнения Способы: 1) Нужно все числа данного числа вычесть из девяток, последнее из десяти 2) Прибавить к последнему числу десятичное дополнение вычитаемого и вычесть степень десяти 11021 5833 или 11021 4667 15188 – 10000=5181 + -
Вычитание в двоичной системе Вычитание производится с помощью «правила дополнения» Число 7 89 6385 580 Десятичное дополнение 3 11 3615 420 Десятичным дополнением данного числа называется разность между ближайшей большей степенью десяти и данным числом
Двоичное дополнение Двоичным дополнением данного числа называют разность между ближайшей степенью двух и данным числом Число 11010111000 Двоичное дополнение 00101001000 или 101001000 Умея находить двоичное дополнение можно, автоматически выполнять вычитание
Десятичная система В основе нашей системе счета лежит десяток, поэтому ее называют десятичной или десятеричной. 60 – шесть десятков 600 – шесть сотен При чтении числа нуль не называется, но учитывается. 1000000 = 10 При написании очень больших чисел удобно пользоваться знаком показателя степени.
Умножение и деление Таблица умножения в двоичной системе 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Двоичное умножение и деление выполняются совершенно автоматически: 111001101 1101101 11 11111111 1111111111111 111001101 111001101 111001101 111001101 1100010001001001 * + 11 11 11011101 01001 100100 100000 100101 1001 101110 100000 1110 10111 1001 1 + - + -
Вычитание 111000-11011=? 11011- 101(двоичное дополнение) 1 1110001 101 1110110 -100000=1010110 +
Г.В. Лейбниц (1646-1716) На необычайную простоту и своеобразие двоичной системы счисления первый из европейцев обратил внимание знаменитый философ и математик Г.В.Лейбниц
Системы счисления Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная 2 0, 1 Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
Перевод из 10-ой в 5-ую систему 77 5 27 25 2 / 5 = 15 – единица 3 разряда - число единиц - - 15/5= 3 – единица 4 разряда Пример: число387 - 3022 387 35 37 35 2 77 5 27 25 2 5 5 15 15 0 5 3
Перевод из 5-ой в 10-ую систему Перевод числа 2341 из 5-ой в 10-ую: 1) Нужно найти его десятеричное выражение 2341 единица обозначает просто - 1 четверка обозначает- 4*5 тройка обозначает- 3*5 двойка обозначает- 2*5 откуда: 2341=2*5+3*5+4*5+1= 346
Когда так может быть? 1+1=10 3*3=10 Двоичная Девятеричная
Сколько девочке лет? Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфели по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет не совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. 12 лет, 5 класс
Предварительный просмотр:
Числа правят миром
Пифагор
Потребность в записи чисел
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.
Арабские цифры из Индии
В далекие времена в Египте, опередившем в своем развитии многие страны, числа писались на папирусе. Там задолго до нашего летоисчисления сообразили, что значков станет меньше, если придавать им разную форму. В ней ключевые числа 1, 10,100 и т.д. - изображались специальными значками иероглифами.
Для записи чисел они употребляли следующие иероглифы:
Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения.
В Индии полутора тысяч лет тому назад тоже подумали: «А что, если одному и тому же значку (цифре) придавать различные значения в зависимости от занимаемого ею места в записи?» Так и сделали.
Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик Аль Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А так как труд Аль Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке - арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
Римские цифры
Для записи чисел в римской нумерации используются узловые числа:
I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100,
D - 500, M - 1000.Цифра С - начальная буква латинского слова санти (сто), цифра М - первая буква слова Милли (тысяча). Цифра I, возможно, изображала когда-то палец, а цифра V - раскрытую ладонь
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая - перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Например, VI = 5+1 = 6,IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII). XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII), XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX), XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно.
Примерно тысячу лет назад римляне завоевали многие страны. Жители этих стран должны были платить Риму большие налоги. Сборщики налогов пользовались при этом, конечно, своими римскими цифрами. Пришлось жителям порабощенных стран учить римскую нумерацию, проклиная своих поработителей. Римская империя давным-давно рухнула, а римские цифры используются и поныне, например на циферблатах часов, в нумерации глав книг.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа: а) 5 ; в) 12; д) 32; б)7; г) 25; е) 33 .
Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная 101010 127 269 9В
Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная 0,101 0,6 0,125 0,4
Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная 111101,1 233,5 46,5625 59,В