Готовимся к экзамену по математике 10 класс
На этой странице будут размещаться материалы по подготовке к экзамену по математике в 10 классе.
1.Тренинг по теме "Исследование степенных и иррациональных функций". Задание № 12.
2. Тренинг по теме "Использование свойств производной" Задание № 7.
3. Пособие для учащихся "Исследование степенных и иррациональных функций".
4.Пособие для учащихся "Исследование функции по графику производной функции. Задачи".
5. Пособие для учащихся "Применение производной функции к исследованию функций".
6. Тест по алгебре и началам анализа для 10-11 класса.
7. Тренинг по теме "Уравнение касательной в точке".
8. Теоретический материал по планиметрии 7-9 класс.
9. Повторение. Задачи по планиметрии. Практическое сопровождение.
10.Пособие для учащихся "Планиметрия. Задачи на подобие треугольников"
Скачать:
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
«Исследование степенных и иррациональных функций»
Предлагаем вам решить тренировочные варианты на нахождение точек максимума и точек минимума, наибольшего и наименьшего значения степенных и иррациональных функций. Задачи соответствуют заданию № 12 и взяты из открытого банка ФИПИ.
Тренинг по теме
«Исследование степенных и иррациональных функций»
Задание № 12
Образцы решения задач.
Пример 1.
Найдите точки максимума и минимума функции .
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке
поведение функции:
+ _ +
y -4 4
max min
Искомая точка максимума x= -4, искомая точка минимума x=4.
Ответ: −4; 4.
Пример 2.
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
_ +
y 0 3 4
min
В точке x=3 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
Ответ: −54.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
_ +
y -2 -1 0
max
В точке x= -1 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 6.
Тренировочные варианты
Вариант 1.
- Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 2.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Вариант 3.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке .
4,. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
Вариант 4.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 5.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 6.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Вариант 7.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 8.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 9.
- Найдите точку минимума функции
- Найдите точку максимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Вариант 10.
- Найдите точку минимума функции
- Найдите точку максимума функции
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 11.
1. Найдите точку минимума функции
2. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
3. Найдите точку минимума функции
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 12.
- Найдите точку максимума функции
- Найдите точку максимума функции .
- Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
Вариант 13.
1. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
2. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Предварительный просмотр:
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Тренинг
«Исследование функции по графику производной»
Задание № 7. Задачи на использование свойств производной.
!!! Обратите внимание, что в условии дан график производной функции. Это важно! Часто именно из-за такой невнимательности выпускники допускают ошибки. Например, график производной принимают за график самой функции (или наоборот) и соответственно получают неверный ответ.
1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
2.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
12. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале
(−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x)
равна 0.
13. На рисунке изображён график (x) производной функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, ..., x8. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?
14. На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: ,. В скольких из этих точек функция убывает?
15. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
16. На рисунке изображён график производной функции определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−4; 8].
17. На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума
функции f(x).
18. На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?
19. Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
20. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции f(x) в точке
21. На рисунке изображен график функции — производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
22. Функция определена на промежутке. На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
23. На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?
24. На рисунке изображён график функции и шесть точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
25.. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.
26. Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
27. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 18.
28. Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
Ответы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
-3 | 1 | 1 | 5 | -3 | 18 | 6 | 6 | 5 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
2 | 9 | 1 | 3 | -1,5 | 3 | -2 | -4 |
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
«Исследование степенных и иррациональных функций»
В этой статье мы поговорим о задачах, в которых рассматриваются функции и в условии стоят вопросы, связанные с их исследованием.
Это целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном интервале.
Рассматриваются:
— Степенные и иррациональные функции.
— Рациональные функции.
— Исследование произведений и частных.
— Логарифмические функции.
— Тригонометрические функции.
Для успешного решения данных задач необходимо знать теорию пределов, понятие производной, свойства производной для исследования графиков функций и её геометрический смысл. Свойства производной необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.
Что ещё необходимо знать для решения задач на исследование функций: таблицу производных и правила дифференцирования. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций нужно знать на отлично.
Свойства производной
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (при подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).
Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное число).
Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
Задачи на нахождение точек максимума и минимума
Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Находим производную функции f’(x).
2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0 и решаем полученное уравнение). Также находим точки, в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).
3. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.
4. Далее делаем вывод.
Вывод будет один из двух:
1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.
2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.
Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения
функции на интервале.
В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.
Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:
1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x), затем решаем f’(x)=0 .
2. Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем лежащие в его пределах.
3. Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала.
4. Вычисляем значения функции.
5. Выбираем из полученных значений наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой вопрос был поставлен в задаче и далее записываем ответ.
Рассмотрим примеры решения задач на исследование функций.
Пример 1.
Найдите точки максимума и минимума функции .
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке
поведение функции:
+ _ +
y -4 4
max min
Искомая точка максимума x= -4, искомая точка минимума x=4.
Ответ: −4; 4.
Пример 2.
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
_ +
y 0 3 4
min
В точке x=3 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
Ответ: −54.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
_ +
y -2 -1 0
max
В точке x= -1 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 6.
Предлагаем вам решить тренировочные варианты на нахождение точек максимума и точек минимума, наибольшего и наименьшего значения степенных и иррациональных функций. Задачи соответствуют заданию № 12 и взяты из открытого банка ФИПИ.
Тренинг по теме
«Исследование степенных и иррациональных функций»
Задание № 12
Вариант 1.
- Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 2.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Вариант 3.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке .
4,. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
Вариант 4.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 5.
1. Найдите точку максимума функции .
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 6.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Вариант 7.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 8.
1. Найдите точку максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 9.
- Найдите точку минимума функции
- Найдите точку максимума функции .
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Вариант 10.
- Найдите точку минимума функции
- Найдите точку максимума функции
- Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 11.
1. Найдите точку минимума функции
2. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
3. Найдите точку минимума функции
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Вариант 12.
- Найдите точку максимума функции
- Найдите точку максимума функции .
- Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
Вариант 13.
1. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
2. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Пособие для учащихся
Исследование функций по графику производной
В данной статье рассматриваются задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции (задание 7). В этих задачах ставятся следующие вопросы:
1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.
2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.
3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.
4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.
5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.
7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.
8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Краткая теория
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.
Многие путают график производной и график функции. Поэтому в таких зданиях, где дан график, сразу же нужно обратить своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?
Если это график производной функции, то рассматривать его нужно как бы «отражение» самой функции, которое просто даёт нам информацию об этой функции.
Рассмотрим алгоритм решения задания.
Задача
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;21).
Ответим на следующие вопросы:
1. В какой точке отрезка [7;15] функция f(х) принимает наибольшее значение.
На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит, функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.
Ответ: 7.
2. В какой точке отрезка [3;6] функция f(х) принимает наименьшее значение.
По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит, функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.
Ответ: 3.
3. Найдите количество точек максимума функции f(х), принадлежащих отрезку [0;20].
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.
На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.
На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.
Таким образом, на заданном отрезке [0;20] функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.
Ответ: 2.
4. Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [0;4].
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.
Таким образом, на отрезке [0;4] функция имеет только одну точку минимума х = 3.
!!! Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустить из-за невнимательности.
Ответ: 1.
5. Найдите количество точек экстремума функции f(х), принадлежащих отрезку [0;20].
Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль
в точках 3, 6, 16, 18.
Таким образом, на отрезке [0;20] функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4.
6. Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки возрастания данной функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26
Ответ: 26.
7. Найдите промежутки убывания функции f(х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).
Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:
( –1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Ответ: 140.
!!! Необходимо обратить внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.
8. Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки возрастания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.
Ответ: 3
9. Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы
(–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.
Длина наибольшего интервала равна 10.
Ответ: 10
10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.
Ответ: 4
11. Найдите точку экстремума функции f(х), принадлежащую отрезку [0;5].
Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке [0;5] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.
Ответ: 3
12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.
Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.
Можно построить рассуждение таким образом:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.
Ответ: 18
Решите самостоятельно
Задача № 1.
На рисунке изображен график у= f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f(х) принимает наименьшее значение.
Задача № 2.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f(х), принадлежащих отрезку [–6;9].
Задача № 3.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих отрезку [–13;1].
Задача № 4.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f(х), принадлежащих отрезку [–10; –10].
Задача № 5.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Задача № 6.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Задача № 7.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функцииf(х), определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задача № 8.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задача № 9.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(х) параллельна прямой у = –2х – 11 или совпадает с ней.
Задача № 10.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–4;8). Найдите точку экстремума функции f(х), принадлежащую отрезку [–2;6].
Задача № 11.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у=f(х) параллельна прямой
у = 2х – 2 или совпадает с ней.
Задача № 12.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику
у = f(х) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
-7 | 1 | 1 | 5 | -3 | 18 | 6 | 6 | 5 | 4 | 5 | -3 |
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Пособие для учащихся
«Применение производной к исследованию графиков функций»
В данной статье рассмотрены некоторые задачи, связанные с исследованием графика функции. На экзамене – это задание № 7 – задания на применение производной к исследованию функций. Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной.. Поэтому необходимо изучить соответствующую теорию. Чтобы успешно решить данное задание, нужно различать задания, в которых дается график функции и задачи, в которых дается график производной. Рассмотрим задачи, в которых даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также другие.
Задачи
Задача 1.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = - 1;
3. Количество точек, в которых производная равна нулю;
Решение:
- Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−0; –1), (2; 6,5), (10; 13). В них содержатся целые точки 3, 5, 6, 11 и 12. Получили 5 точек.
Ответ: 5.
- Прямая y = - 1 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = -1 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек пять: 0; 1; 2; 6,5;10.
Ответ: 5.
- Производная равна нулю в пяти точках - в точках экстремума. Это точки - 0; 1; 2; 6,5;10.
Ответ: 5.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
(Ответ:4)
Задача 2.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 1;
3. Количество точек, в которых производная равна нулю;
Решение:
- Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только одна целая точка х = 2.
Ответ: 1.
- Прямая y = 1 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 1 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре: –4,3; 1,4; 2,5; 4,4.
Ответ: 4.
- Производная равна нулю в четырёх точках - в точках экстремума.
Ответ: 4.
Решите самостоятельно:
Определите количество целых точек, в которых производная функции f (x) отрицательна.
(Ответ: 8)
Задача 3.
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−2; 12). Найдите:
1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;
2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;
3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;
4. Количество точек, в которых производная равна нулю.
Решение:
1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки: –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.
Ответ: 4.
2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки 5 и 6. Получили 2 точки.
Ответ: 2.
3.Прямая y = 2 параллельная оси ох. Касательная будет параллельна прямой y = 2 только в точках экстремума (в точках, где график меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
Ответ: 7.
Производная равна нулю в семи точках - в точках экстремума.
Ответ: 7.
Решите самостоятельно:
Найдите сумму точек экстремумов функции f (x).
(Ответ: 44)
Предварительный просмотр:
Тесты по алгебре и началам анализа для 11 класса
Вариант 1.
1.Вычислите
1) 1 2) -1 2) 9,4 3) – 9,4
2.Расположите числа в порядке возрастания.
1) 3; 2; . 2) 3; ; 2. 3) ; 3; 2. 4) 2; 3;
3. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счёт 800 рублей. Сколько денег будет на счету через год?
1) 960р. 2) 820р. 3) 160р. 4) 1600р.
4.Упростите выражение
1) 2) 3) 4)
5. Найдите sin х, если cosх = - 0,8 и 180°
1) -0,6 2) 0,6 3)3,75 4) -3,75
6. Упростите выражение 1 – (sinx - cosx)².
1) tg2х 2) -cos2х 3) sin2х 4) -sin2х
7. Из формулы равноускоренного движения Ѕ═ выразите время t.
1) t = 2) t = 3) t = 2S: 4) t =
8. Решите уравнение cosx = 1.
1) π + 2πn,¸ где n €Z 2) 0,5π + 2πn,¸где n€Z
3) 2πn,¸ где n€Z 4) πn,¸ где n€Z.
9. Решите неравенство > 0 .
1) (-10;0)U(3;+∞) 2) (-10;3) 3) (0;3)
10. Найдите область определения функции у = .
1) (-3;3) 2) [-3;3] 3) (-∞; 3)U(3;+∞) 4) (3;+∞).
11. Что можно сказать о функции f(х) = 3cosx?
1) чётная 2) нечётная 3) ни чётная, ни нечётная
12. В какой точке производная функции у = х² - 6х равна 9?
1) (0;0) 2) (7,5;11,25) 3) (- 7,5;6).
13. Найдите значение выражения 27- .
1) 1 2) -13 3) -5
14. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
1) (-7;-5;5)U(-2,5;4) 2) (-5,5; -1)U(1,5; 4) 3) (-2,5;4)
15). На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f(х).
1) (-5; -1,5) (0;-15) (3.5; 5) 2) (-2,5; 6,5) 3) (4; -4).
Вариант 2
1. Упростите sin (180°+x) cos (270°-x) +cos (360°+x) sin (90°-x).
1) -sin²x+cos²x 2) sin²x-cos²x 3) 1
2. Решите уравнение sin3x - 1=0.
1) +, 2) 3)
3. Что можно сказать о функции у = sinx .
1) чётная 2) нечётная 1) ни чётная, ни нечётная
4. Найдите значения выражения
1) 8 2) 3 3)
5. Найдите значение выражения log48+log.
1) -5,5 2) 4,5 3) 3
6. Найдите область определения функции у = .
1) [-; +∞) 2) (-∞;-) 3) [; +∞)
7. Найдите область значений функции у = 3+cosx.
1) [0;3] 2) [2;4] 3) [-1;1]
8. Найдите сумму корней уравнения 2logx logx 1 = 0.
1) 4 2) 8 3 ) 16
9. Сравните числа и .
1) 2) 3)
10. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 4= .
1) [1;2] 2) [2;5) 3) [-2;-1]
11. Найдите значение выражения ,
если х = 16, у = 25.
1) -7 2) -16 3) 3
12. Найдите значение производной функции у = х sinx
в точке х = π.
1) –π 2) π1 3) 0
13.Упростите выражение cos2cos - sin2sin + sin(6π ).
1) cos3+sin 2) 0 3) cos3-sin
14. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(х) = 2+ х - 2х, проведенной через точку с абсциссой х = 1. 1) -1 2) -7 3) 3.
15. Найдите производную функции у = -3х - 11 – cosx.
1) sinx 9x² 2) 9х²sinx 3) -9х² - 11x + sinx
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Тематический тренажер
Тема 1 «Уравнение касательной»
Написать уравнение касательной к графику функции в точке x0 | |
Вариант 1 1. f(x) = 5x3 - 2x2 x0 = 2
2. f(x) = - 3x3 + 3 x0 = - 1
3. f(x) = 4x3 - 2 x2 - 3x + 7 x0 = 0
4. f(x) = x3 - 3 x2 +1 x0 = 2 | Вариант 4 13. f(x) = - 3x4 +5 x3 - 2 x x0 = 2 14. f(x) = 5x6 - 3 x2 + 4 x0 = 1 15. f(x) = 2 x4 - 3 x2 + 2 x x0 = 1 16. f(x) = - 4 x3 +7 x x0 = 2 |
Вариант 2 5. f(x) = 5x2 - 4 x x0 = 3
6. f(x) = - 3 x3 - 2 x2 + 1 x0 = 1
7. f(x) = x3 - 2 x + 1 x0 = 1
8. f(x) = 2 x2 - 4 x x0 = 2
| Вариант 5 17. f(x) = 3 x 3 - 7x2 + 5 x x0 = 1 18. f(x) = 4 x3 - 2 x2 +7 x x0 = 2 19. f(x) = 7x4 - 2 x3 + 5 x - 1 x0 = 1 20. f(x) = -5x 4 + 6x 2 - 7 x0 = -1 |
Вариант 3 9. f(x) = 3 x3 - 5 x0 = 0
10. f(x) = x3 - 2 x2 + 4 x0 = 1 11. f(x) = 2x4 - 3 x3 + 2 x x0 = -1
12. f(x) = -3 x5 + x4 x0 = 0 | Вариант 6 21. f(x) = x 4 - 2x 3 + 5x + 2 x0 = 2 22. f(x) = 2x5 - 3x 4 – 8 x0 = 1 23. f(x) = -4x3 + 2x – 2 x0 = 2 24. f(x) = 3x3 - 4x 2 +5 x0 = 2 |
Вариант 7 25. f(x) = 3x4 - 2x 3 + 6 x0 = 1
26. f(x) = 4x3- 2x 2 - 5x x0 =1 27. f(x) = 4x5 - 3x 2 - 6x x0 = - 1 28. f(x) = 7x4 - 2x 2 - x x0 = 1 | Вариант 9 33. f(x) =-2x5+3x4-8x x0= - 1 34. f(x) = 2x4-5x3-3x x0=1
35. f(x) =3x4-2x5+7 x0=1 36. f(x) =2x3-5x2+3 x0= - 1 |
Вариант 8 29. f(x) = 3x3 - 4x + 7 x0 = - 1 30. f(x) = 5x 5 - 3x 3 + x2 x0 =1 31. f(x) = 2x4 - 8x2 - 4x x0 =-1 32. f(x) =3x4-5x2-7x x0=1 | Вариант 10 37. f(x) =-0,2x5+2x4-x x0= - 1 38. f(x) = 3x4-2x3-4x x0=1
39. f(x) =2x4-x5+10 x0=1 40. f(x) =-3x3-5x2+8 x0= - 1 |
Ответы
Вариант 1 1. y = 52x – 72 2. y = - 9х – 3 3. y = - 3x + 7 4. y = - 3 | Вариант 2 5. y = 26 x – 45 6. y = - 13 x + 9 7. y = x - 1 8. y = 4 x - 8 | Вариант 3 9. y = - 5 10. y = - x + 4 11. y = -15 x - 12 12. y = 0 |
Вариант 4 13. y = - 38 x + 64 14. y = 24x - 18 15. y = 4x - 3 16. y = - 41 x + 64 | Вариант 5 17. y = 1 18. y = 39x - 40 19. y = 27x - 18 20. y = 2 | Вариант 6 21. y = 13х – 14 22. y = - 2x - 7 23. y = - 46 x + 62 24. y = 20x - 27 |
Вариант 7 25. y = 6х + 1 26. y = 3x - 6 27. y = 20x + 19 28. y = 23x - 19 | Вариант 8 29. y = 5x +13 30. y = 18x - 15 31. y = 4x + 2 32. y = - 5x - 4 | Вариант 9 33. y = - 30x - 17 34. y = -10x + 4 35. y =2x + 6 36. y =16x +12 |
Вариант 10 37. y = -10х - 8,2 38. y = 2х - 5 39. y = 3х + 8 40. y = х + 7 |
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Теоретический материал по планиметрии в таблицах
Тема «Углы. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые»
Таблица 1
Углы
Определение Свойство вертикальных углов | |
Свойство смежных углов | |
Внутренние накрест лежащие углы – 3 и 5, 4 и 6, односторонние углы – 4 и 5, 3 и 6, соответственные углы – 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 2. |
Таблица 2
Параллельные прямые
.
Таблица 3
Перпендикулярные прямые
Определение перпендикулярных прямых | АВ ⊥ СD: ∠АОD = ∠СОВ = ∠АОС = ∠DОВ = 90°. | ||
Теорема о существовании прямой, перпендикулярной данной Расстояние между точками Расстояние между параллельными прямыми | |||
Расстояние от точки до прямой | |||
Определение АB – расстояние от точки A до прямой а. | АC - наклонная, АB – перпендикуляр; ВC – проекция; B – основание перпендикуляра; C – основание наклонной. | ||
Свойства наклонной и ее проекции | AC > AB AC > CB | Наклонная больше перпендикуляра Наклонная больше ее проекции. Равные наклонные имеют равные проекции. Большей наклонной соответствует большая проекция. И, обратно. | |
Треугольники
Таблица 1
Соотношения между сторонами и углами треугольника | с < a < b, ∠C < ∠A < ∠B | |
Неравенство треугольника: | b < a + c | |
Сумма углов треугольника | ∠C +∠A + ∠B=180 | |
Свойства внешнего угла треугольника. | ∠ВСD = ∠А + ∠В; ∠ВСD > ∠А; ∠ВСD > ∠В. | |
Свойство биссектрисы угла треугольника: l – биссектриса | ||
Средняя линия треугольника: | DЕ || АС |
Таблица 2
Равные треугольники: | ΔАВС = ΔА´В´С´ | |
Равнобедренный треугольник: | AC=BC | |
Признаки равенства треугольников: | I. II. III. | |
Подобные треугольники: ΔАВС ~ ΔА´В´С´ | I. II. III. | |
Таблица 3
Решение треугольников | |||
Дано | Найти | Решение | |
1. а, ∠В, | ∠А, b, с | ∠А = 180° – (∠В + ∠С) | |
2. b, с, ∠А | а, ∠В, ∠С | ∠В и ∠С – по таблицам | |
| 3. а, b, с | ∠А, ∠В, ∠С | а2 = b2+ с2– 2bс cos A ∠A – по таблицам ∠В – по таблицам ∠С = 180° – (∠А + ∠В) |
| 4. а, с, ∠А | b, ∠В, ∠С | ∠В = 180° – (∠А + ∠С) |
Таблица 4
Прямоугольный треугольник | ||
Теорема Пифагора | с2 = а2 + b2 | |
Свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла |
| |
Свойства катетов |
| |
Свойство катета, лежащего против угла в 30° | Если α = 30°, то | |
Площадь прямоугольного треугольника | ||
Радиус описанной окружности R около прямоугольного треугольника | ||
Радиус вписанной окружности r | ||
Тригонометрические функции | sinɑ= | |
cosɑ= | ||
tgɑ= | ||
Длина медианы прямоугольного треугольника R - радиус описанной окружности O - центр описанной окружности с – гипотенуза M - медиана | M=R= | |
Таблица 5
Произвольный треугольник | ||
Теорема косинусов | с2 = а2 + b2 – 2аb cos C с2 = а2 + b2 – 2bbа | |
Теорема косинусов | ||
Площадь треугольника. | ||
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Задачи по повторению курса геометрии 7-9 классов
Тема «Углы. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые»
Задачи для устного решения
1. Верно ли,
– что угол, смежный с тупым углом, – тупой;
– угол, смежный с прямым углом, прямой;
– если два угла сложные, то они прямые;
– если два угла смежные с одним тем же углом, то они равны?
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей,
– то сумма односторонних углов равна 180°;
– сумма накрест лежащих углов равна 180°;
– соответственные углы могут быть тупыми;
– односторонние углы могут быть острыми;
– среди образовавшихся углов есть не менее четырех равных;
– среди образовавшихся углов есть ровно четыре равных угла.
3. Может ли при пересечении двух прямых образоваться:
– четыре прямых угла;
– четыре острых угла;
– три тупых и один острый угол;
– два прямых и два тупых угла?
4. Могут ли:
– две прямые, имеющие общую точку, быть параллельными третьей прямой;
– две прямые, параллельные третьей, иметь общую точку;
– две прямые, перпендикулярные третьей, быть перпендикулярными;
– две прямые, перпендикулярные третьей, быть параллельными?
Задачи на готовых чертежах
1.
Дано: ∠1 = ∠4. Дано: ∠1 + ∠2 = 180°.
Доказать: ∠2 = ∠3. Доказать: 1) ∠АВС = ∠АСЕ;
2) ∠DВС = ∠ВСЕ.
2.
Дано: ∠1 = ∠2. Дано: ∠2 = ∠3.
Доказать:
∠ВАС + ∠АСD = 180° Доказать: 1) ∠1 = ∠3;
2) ∠3 + ∠4 = 180°.
3.
Найти: ∠ВОС Дано: ∠АОВ = (∠ВОС + ∠СОD + ∠DОА).
Найти: 1) ∠АОВ, ∠ВОС, ∠СОD, ∠DОА
4.
5.
Дано: АВ || DЕ. Дано: а || в. Дано: ∠АВЕ = ∠СВЕ.
Доказать: Доказать: Доказать:
∠1 + ∠2 = ∠3. ∠МОЕ = 90°. АВ || СD.
Тест по теме «Углы. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые».
1. Величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7. Найдите разность между этими углами.
а) 24°; б) 30°; в) 36°; г) 40°.
2. Разность между двумя односторонними углами при параллельных а и в и секущей с равна 24°. Найдите больший из этих углов.
3. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е, причем сумма углов ВЕС и АЕD равна 194°. Найдите угол АЕС.
а) 97°; б) 83°; в) 117°; г) 73°.
4. Углы ВОD и СОD – смежные. ОЕ – биссектриса угла ВОD, причем угол СОD на 21° больше угла DОЕ. Найти угол ВОЕ.
а) 67°; б) 74°; в) 46°; г) 56°.
5. Прямые MN и РК пересекаются в точке Е, ЕС – биссектриса угла МЕР, ∠СЕК = 137°. Найдите угол КЕМ.
а) 108°; б) 84°; в) 94°; г) 82°.
а) 114°; б) 112°; в) 102°; г) 124°.
6. Дано: СD ⊥ АК, MN ⊥ АК, ∠AMN = 28°, CЕ – биссектриса ∠ВСD.
Найти: ∠AСЕ.
а) 92°; б) 104°; в) 114°; г) 98°.
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Теория: Подобие треугольников
Для доказательства подобия произвольных треугольников в школьном курсе используют три признака.
I. Признак подобия треугольников по двум углам.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
III. Признак подобия треугольников по трем сторонам.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников.
Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу.
Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон:
Периметры подобных треугольников пропорциональны:
![\[\frac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k,\]](https://lh3.googleusercontent.com/GWka_85key1Eyvlsue5LOs4vqOOvMxhG7WRyMb0QbHr0KFlYBsfgUp2My1gG5CrY0ZtTZJ7l5ItGsODUCJBwYOmm3qLP6R-kwrbQy0VSpvRJp4Y1BRKrlJ82a_941vaxGBkZoUO6eC0dXzx7Cw)
k — коэффициент подобия.
Свойства подобных треугольников.
Все линейные размеры подобных треугольников также пропорциональны,
то есть отношение соответствующих биссектрис, высот, медиан также
равно k.
Углы между соответствующими линиями подобных треугольников равны.
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:
![\[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{{\Delta _1}A{B_1}{C_1}}}}} = \frac{{{P^2}_{\Delta ABC}}}{{{P^2}_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{{A_1}{B_1}^2}} = \frac{{A{C^2}}}{{{A_1}{C_1}^2}} = \frac{{B{C^2}}}{{{B_1}{C_1}^2}} = {k^2}\]](https://lh3.googleusercontent.com/FZ-NRtAZinuSm7OL7qXXIp_Lki2qFpX3P51GT9m2-RQrdUKl4Cg1bWaXKTlYtkLIr-dLxol_Vjws0pD_-b_y7_C1uMXon_RsSOHduOk9531XX7OZmhMAG8S4iJ2-Nj_o9HiKF_2HL9n8qFmdGg)
1.Задачи на подобие треугольников
I. В треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне. Концы отрезка лежат на других сторонах треугольника.
Рассмотрим треугольники ABC и.B
Решать задачи на подобие треугольников удобнее, используя цветовую визуализацию, поэтому выделим данные треугольники разными цветами:
1) ∠B — общий;
2)∠ BAC=∠B (как соответственные углы при AC∥
и секущей AB).
Следовательно, треугольники ABC и B
подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
![\[\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{{BC}}{{B{C_1}}}.\]](https://lh4.googleusercontent.com/-YFiClf1srUoWrZvZlq6tlab-_zt9fdb5OgqyKyI60t3VHZUeVW3gYnYb7mfo-VErKTDKKvVljfhD6bacjtXDLYPW2zCIwr5HtoiMTf-89gGZ5RhsqRrwXc_F3DK4MgxU2vuCzXNVKfezmgTeg)
Задача 1.1
Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке , а сторону ВС — в точке
. Найти длину отрезка
, если АС=35,
:
В=2:5.
Решение:
Доказываем подобие треугольников ABC и B
.
![\[AB = A{A_1} + {A_1}B,\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}B}} = \frac{2}{5}, \Rightarrow \frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{7}{5}\]](https://lh5.googleusercontent.com/h4Tar-ych3w6xzoGckOv6ld5nEFRZ1EyzTECpvqqKPIlIR4yrzKLKmXSlcfuvG6sVtcI9JKr45wMY8NrzszX9M8rCTaCmwP7e8b4XmtDAy9KMRVFslpb_cA3-SC48Bz73xbfhs-G_l_TGmWW_g)
![\[\frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}},\frac{7}{5} = \frac{{35}}{{{A_1}{C_1}}}, \Rightarrow {A_1}{C_1} = \frac{{35 \cdot 5}}{7} = 25\]](https://lh5.googleusercontent.com/sRTfQw83jObsnUoN1JsKH3SokBkJuxpTv2OQtkDpv112IbbvI1fstUmNxUbwgRa0J9rcxJwHMlQfIzAvBd2F2aynYdid4pEwvIkbFTbTRdIg6ffCNJ5Apg2PlX0EGWRrBZSiJjzxtWYFj4xN2A)
Ответ: 25.
II. В треугольник вписан ромб.
Рассмотрим треугольники AFK и BFC.
Выделим данные треугольники в цвете.
1) ∠F — общий;
2)∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB).
Следовательно, треугольники AFK и BFC подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
![\[\frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{FK}}{{FC}}.\]](https://lh6.googleusercontent.com/5h9yMRJExlU-Xitu0wb2De7VSEvTWawvwDYWF7tse4id-YnIl1-5MWCWW-Tm6WgsdLw8oF9rV1qfV2KH2_QVZJxzzGEcMX9pEjxDDLNuTOTNsDA3yAsssMwIH6ZZZkRjVJ9I8vY6dMXUDSSZyQ)
Задача 1.2
В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если
AF=21 см, AK=24 см.
Решение.
Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений выбираем те, в которых нам что-либо известно:
![\[\frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}}, \Rightarrow \frac{{24}}{{BC}} = \frac{{21}}{{BF}}.\]](https://lh6.googleusercontent.com/8FdFuEDrb3QbAGPHVsIN9bhmey8Mbr2v5DaEFuy5Ya3_Ep4L8kh8KFVIXSHhi-FXYx3z_ZNmHmW3y3EBLsQ2jlYH7Em2c_3Ah2Fs5FcVrd5HEQdxs0tegzV7jXufKIiFx6U8fSHp7ZpUqr0egg)
Примем сторону ромба за x: AB=AD=BC=x. Тогда BF=AF-AB=(21-x) см.
Отсюда:
![\[\frac{{24}}{x} = \frac{{21}}{{21 - x}}, \Rightarrow 21x = 24(21 - x)\]](https://lh5.googleusercontent.com/ajAQxCwmv0_CKqRS8MvM1IdEnffl3SDs_6UzlCo-XxLqB5k7pZ1cAPDK7tz0cM_FaPBRj1UKGdKdWJbVCNhWhXR3Y4bPYtUpXWH3E0WIOhjtcpo5JhqM1sxaTo4pr1SADbZvcWFy3_6Kg2qvYQ)
Разделив обе части уравнения на 3, получаем:
![\[7x = 8(21 - x)\]](https://lh4.googleusercontent.com/WpU-UMHqJr5AIXVpHCM6fxowDWjrdN1NPJ7OteDCp2rYYkD97qQPyvz3v6mh0s8LpGXicE9EWagbJ8yix4oEKPASBtX2ZTo7zCYM6ClWhuxsn6Scg_fYd4jLB7UaS4t84Xof-Iljsi9zBePzmQ)
; ;
![\[7x + 8x = 168\]](https://lh4.googleusercontent.com/4Lb_5oHS_Vcrz6BkMjw-TXocfQMBacgmkA4eKj_UXWnmY4OQmswY8_FQBrS-UnGN9aZWaENpVCHs9IZ1F6KKATnpjcNbPQ0zCXTX2H4vA5FS2bT9EeDNFtf1qGZaLhTCP_74TChl_-dhontlQQ)
![\[15x = 168\]](https://lh3.googleusercontent.com/PgRRp6oGFgYCSjLt7dCgGtaAvJFRjVfr1Do91AMEBrtEzUyKIW8j-utPtIEQD1E6dlRncMj8nsH0Y4intFeck1j5RISII8Bqh_BK5u5wfwMaZUX4jFAUFsjd6UH5mKjFbEIKWVXWkWhW1Q9rmw)
![\[x = 11,2\]](https://lh4.googleusercontent.com/2gRrsXjSSV9zq7UvRLNwR-Q-l_LTR3UcVxnBJrXw1Spcojt8oiCDYnvHkQzDXidJQKLTB5-q7SOyE9nz-G6xyV3jl4CcRs55gREbRCSesBasRKvbDvDXdIc4MBd-ya9NCV3Z9-XWToFDPOyi_Q)
Ответ: 11,2 см.
2.Подобные треугольники в трапеции
I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.
Рассмотрим треугольники AOD и COB.
Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.
1) ∠AOD=∠COB (как вертикальные);
2)∠DAO=∠BCO (как внутренние накрест лежащие при AD∥ BC и секущей AC).
Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
![\[\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]](https://lh4.googleusercontent.com/6E5g9cF38-23pvVG3H_xtTBEQdhmD5A3820Zuwwl3y3KjEWNw7rwbH7g4wdk4GlfjdVLIJzgXXt7Sz7d3qBuIYHx2AE0992Ng3GwD7imgO5PAT_H_cJhlZgnLgSlRPyS9RnLUqIWD8h7kNLVWQ)
Задача 2.1
Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.
Решение:
AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =? DO -?
Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда
Выбираем нужные отношения:
![\[\frac{{DO}}{{BO}} = \frac{{AO}}{{CO}}.\]](https://lh5.googleusercontent.com/Z1kFOwSv1CBQnez0BpmaI0P0nTBZFsNl-A_02zMuc1ruFYVc4Wqm1fWmeW0yz9KTumGfF6fFEDtXf03iJ2THuQi5f6pk9_7x0xQTG8CD0qrWWK3zDBlbluVmkaGowLUV8T8FRC2ys0QAlp6dGg)
Пусть BO=x см, тогда DO=(28-x) см.
Следовательно,
![\[\frac{{28 - x}}{x} = \frac{9}{5}\]](https://lh5.googleusercontent.com/vmLgs3ySdC_wdm14brm-hmoYbEyvo-d4B87F9gIOce7ZoM23I4NkXEGKO-Xg3pjfSF6LwAMZabYUCV6MtftvWXYRLuwKhOSziXNCvRFXfnaPt0v-bJNHQXkehzF-GaaP6NoNWm42BY7nqNiMAQ)
;
![\[9x = 5(28 - x)\]](https://lh5.googleusercontent.com/I60uofBobMsc8NPrn4lB0RZ2lt-2_Lgv3itFRqQk5KzkqxgxeQLAYYO4qxOKcJfWCrFbxs7QYPNH2wL8BrGrNmHFMkz6ffakVawzTWrXdF7NBEdSNKoiVlrfwLbgKhotI-kuMBMyYIy5hebFeA)
;
![\[9x + 5x = 140\]](https://lh5.googleusercontent.com/3sCHhqIFtTEKWSW1U6cs2k0SfQiYqtHVHjid-RPqz1QS5YRS5FuRt3zM1767Oq29p5BKAvmPVdaCw97BVvto56nmoGKXZYZAzaQIxg8X-0WZ9CkQZAUkgXnW2RZ-AqjFiENaeZjTUkN4Rz4LxQ)
![\[x = 10\]](https://lh4.googleusercontent.com/05-fw-BOX3HHwJDp__wjNtWqgPPV8pgiaNMixWEGlck68dcww4A19BC6NLvLbS17x0I2k66eDuib5OixlcDUdvWTesvJqvzuzgbRo8npraOsqnByJmGDNhYzYm-67mJ2U7fDM8AWura85zO7nQ)
BO=10 см, DO=28-10=18 см.
Ответ: 10 см, 18 см.
Задача 2.2
Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO: OC=7:6 и BD=39 см.
Решение:
Аналогично, доказываем подобие треугольников AOD и COB. Значит,
Пусть BO=x см, тогда DO=(39-x) см. Таким образом,
![\[\frac{{39 - x}}{x} = \frac{7}{6}\]](https://lh5.googleusercontent.com/Iu0oDbaJ0Y4v7FYXNkqd13HiEKGpaR4dGTcbuE5h2ObxTv5o8Pve6bjTiRsPEKtr_xD3SjjCry2PdtK-oA5jqcfpsBF6pXiokv2yhODZS77Pl6hdE1tIenqJ2C9aFwtFzC41lCprwsCgAidxYw)
![\[7x = 6(39 - x)\]](https://lh5.googleusercontent.com/93iKjSwS3A5RsGKjfiKM77nCLw0f_f8wwUS5vdrJX--4kIG6LeRRFU2egIHU1fxRFEuvCJUhctBbv04i0WOul4B0oUpW5Sm4m-Fpmd8KfCZM_Cyaw8ZWgkXkmgJdgiN7afyQa7xyfghOS3fSjg)
; BO=18 см
![\[x = 18\]](https://lh6.googleusercontent.com/scMbfWTE-_vEEqZfYnXLnnpN_fvOK11N82oC3bmKU2xWKYZVKSkZjei_XFJ17UQ_okl9bAzSr5lTHiteacEA-74im__uwt-1tRa8HbL529WTO6CvCJXiZ9Rkh8El8e5dP2cl9Uqtl7RyrNvZyw)
Ответ: 18 см.
Предварительный просмотр:
В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Пособие для учащихся
«Решение неравенств обобщенным методом интервалов»
Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. С его помощью можно решить неравенства самого разного вида. Рассмотрим алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Для начала рассмотрим алгоритм решения неравенств вида:
(*)
![\[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} \ge 0\]](https://lh5.googleusercontent.com/OejmQI2-nVwy0jiosJhjczvFphTOBNkHiBG9cu1NaswEAj6S_0iDYysfLoeHgrRHH0oyYpjXkgYmjw_yFMQRAdyKsF-RFRzIjF6Po5qAZWBdlT7qemlYQq9Id_jhCYD4aK8Pt3bxtX5giripQQ)
1. Приравниваем к нулю левую часть:
![\[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0\]](https://lh6.googleusercontent.com/dfpxqatdrDH8FZQL29SuTxs-qn53Pk05SyEhyi3rCvkL9la01NT0MitIQxRHe5gL5k0bLQHileOdfQgQnViKIMquQcoTwJNtR9cJZpakaVH0xgt0mzX6Re3s-elQywtKrng2ditkdmYugQLZQA)
(Т.е. находим нули функции
![\[y = \frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}}\]](https://lh5.googleusercontent.com/6u8_Rkwl2mRS79MMj7vuYYTm8bhiDc9K7M4vY1ZIW44vBj7EIYfOWh0Wijf8nYKsEO7NPrIepeDtrkEclobBHuNJUNU0gyT2cPtsNQoUuZMaSucztn1-EfXpwa_6QMIxU2lCyvKJ9-xzrRAhMg)
а также ее область определения).
2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:
![\[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k})}}{{(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s})}} = 0 \Leftrightarrow \]](https://lh6.googleusercontent.com/ywo_qSqEaoB0mDPGkRU6dWgUyO2Dmie4uuqRKP-tS43WuHZmpideH3etINfQUOv6qmPtN5faKuNkxGV5zrpwOGmRCPCgOyJXK2G0cr6q4fNs2OXoi1vueyb7qw3TKrt0uAM6KDoi3QrUoXggrg)
![\[\left\{ \begin{array}{l}(x - {x_1})(x - {x_2})...(x - {x_k}) = 0;\\(x - {x_l})(x - {x_n})...(x - {x_s}) \ne 0.\end{array} \right.\]](https://lh6.googleusercontent.com/kke841fp9RFmbtip0RxRX1XVlNc0ZVkjF-DmIR12orYN3cnbgaWIcOVesUjQTOO0vYNNHVdE16VwHxaMkqYdo4HPIyOYnICW-mtdgbSWLWyIDbdq0ezn3Yt_F1829raImTOAnVv1Fuf-FrH_hA)
3. Полученные точки отмечаем на числовой прямой с учетом области определения функции. Точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых рассматриваемая функция имеет определенный знак. Выбираем любое число из любого промежутка (удобнее всего брать нуль, если он не входит в отмеченные точки), и подставляем это число в последнее неравенство (*).
В результате определяем знак на выбранном промежутке. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.
4. «Петля»
1) Если есть кратный корень четной степени, то в нем — «петля»:
![\[{(x - {x_h})^{2n}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_h} - \cap \]](https://lh4.googleusercontent.com/gtGHCgiwPuHijbM79LnM_Qz98bVBZ0TIN20md__RgWQPI14qHJYUpOV1pwxQp0Ffm0-iBndLFxyZsMC9gAFxCk6w1ugpUpHBfheanml1dSmutLGh9EjI4r2SzVYTnMEPxKCysG4Xl2QTll-wbQ)
2) Если дискриминант равен нулю, то в соответствующем корне
x= — «петля».
3) Если один и тот же корень встречается четное число раз, то в нем — «петля»:
![\[\frac{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}{{(x - {x_2})(x - {x_3})}} \ge 0, \Rightarrow x = {x_2} - \cap \]](https://lh5.googleusercontent.com/pa9pom9AoeRNIIolGrg0WJAnjFnbdUPgHcGZen801BJvgBb5v0574vwy9V1ijbwH5YCrLZmG0_W9iadUnZrRrjduQW_k0ZFBJad226Z9xE2_1F-oIoViOjyHBDpuEKpWkfut9QDfcOxrXNaatQ)
так как корень встречается четное количество раз (два раза).
5. Выбираем промежутки с нужным знаком:
если в неравенстве знак > или ≥ , берем промежутки с «+»;
если < или ≤ , то берем промежутки с «-».
Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, всегда выколотые.
В остальных случаях: если неравенство нестрогое, то точка закрашенная. Если неравенство строгое, то точка не закрашенная.
.
Замечание
Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение:
![\[x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right] \cup \left\{ {{x_2};{x_5}} \right\} \cup ({x_3};{x_4}) \cup ({x_6};\infty ).\]](https://lh5.googleusercontent.com/aLeVWTrTc4QI7CdGPLicDXwzcR8nP_8l7kuboTbyPp_Au0hnou5Sgw_iYCHkXPZZ0X6a2PWDXex9z6vnoR3q50NcRyKajaAJ-HJgJ6Bk69U4n6Axf-Xs9GfXGTSU3sRa558yLLQkpqGUWzqPQQ)
Знаки в «петлях» — «виртуальные». В этих точках функция обращается нуль либо не определена. «Петля» служит только для сохранения порядка чередования знаков.
Рассмотрим различные примеры решения неравенств с помощью этого метода.
Рассмотрим решение неравенств методов интервалов для случаев, когда один и тот же корень в примере встречается несколько раз.
![\[1)\frac{{{x^2} - 8x + 12}}{{2x - {x^2}}} \le 0.\]](https://lh4.googleusercontent.com/lQxAkMypMLkjQfEFlSHzgNDrnTH67PQ8HbpPM4PjEuW29QmYi1RuTCihl8JFMIbQ6nxNMI7r3f-T1AqhhsKwgXOu0vFghlOY5mxfTbNeRelBhzyXEjbhfyqdbGSyR6GNv-IDct_VZOBJehO_Lg)
Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:
![\[\frac{{{x^2} - 8x + 12}}{{2x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 8x + 12 = 0,}\\ {2x - {x^2} \ne 0.} \end{array}} \right.\]](https://lh6.googleusercontent.com/-zkb2Hclh1haL7xxh_t5ajL1g8RJIfv4OMUIAoLfK5iX5VFxf25BMq0J1q2nmnt0-TJgTmVKyFg7-l-CRFvVPlngcBPDAMVjPY7dPIzkOvvooeE90PuLRAo8PqlLBh56VHQFzaBHEvhy-_BnNw)
Отсюда
![\[\left\{ \begin{array}{l} x = 6,x = 2,\\ x \ne 0,x \ne 2. \end{array} \right.\]](https://lh4.googleusercontent.com/zld8aYUmCxmTJuIVpP3S37yMdzO8Ge59upf0T59TwELHCMmp72i3tyWzjviL-GY3FxN8IpM7uzVEbKpY0m-FDNksTaihvj0FRZsQZKoRTXjmG1-lu5VD_5DNnpPdH5Mt2K6GClkh70Mi3-EzWQ)
Корень х=2 встречается 2 раза, то есть четное число раз.
Значит, в точке х=2 — «петля».
Точки х=2 и х=0 — выколотые, поскольку в них знаменатель обращается в нуль.
Так как неравенство нестрогое, точка х= 6 — закрашенная.
Для проверки знака берем число из крайнего левого интервала.
Например, -1.
Подставляя его в неравенство (*), получаем положительное число.
Значит, на интервале (- ∞;0), которому принадлежит -1, ставим «+» .
Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.
Поскольку левая часть меньше либо равна нулю, в ответ записываем промежутки с «-».
Ответ: х∈(0;2)U(2;6].
![\[2)\frac{{({x^2} - 6x - 27)({x^2} - 9x)}}{{25 - {x^2}}} \ge 0.\]](https://lh3.googleusercontent.com/TqfE-h0u7MO3gSHm6du2WQr9X5Mvg3VG68PGlW9IlhA5061cRJiBQNfwUbco4Cl63DzbMUnhNqJkKmaXVpTjs_SteTnvlB4G7ue6xmjWwBOp7z-S_jxDPL-q4pWDFqj_A7VyUSLxATRvyvq9rA)
Приравниваем к нулю левую часть:
![\[\frac{{({x^2} - 6x - 27)({x^2} - 9x)}}{{25 - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \]](https://lh3.googleusercontent.com/FoIQyrJDwAcn1KBAbPjwaL-DPgVamdpC7UMK2ZBz_0-EyhW_KkWhAkWCdT6L6-0lUOkT5fvfhJL8gHs_8oMpZ5gh9rJPkjSOi5akHWyDKuG2uwSmKa8ErIiWFll1Bc60q9W7j0yQOBVUrIdgdQ)
![\[\left\{ \begin{array}{l} ({x^2} - 6x - 27)({x^2} - 9x) = 0;\\ 25 - {x^2} \ne 0; \end{array} \right.\]](https://lh5.googleusercontent.com/46JpgkzJMTH6_S7DDw-BdRxKmghigLBuJhfaxFXcg-QgOcT-lVwCwbKjJd6hhDsoTlXtXqwXLTrNc36Cd31897KDDiBFSywbf_yhrXD3nxfIqnm1bf1H32Z4-nv7B4ksWnGk4plyyxWo0eP1og)
![\[\left\{ \begin{array}{l} x = 9,x = - 3,x = 0,x = 9;\\ x \ne - 5,x \ne 5 \end{array} \right.\]](https://lh3.googleusercontent.com/7PTSWWLrS6RpPrhO9jO04y_QyWQ0W-pDEHGP9a5MPZuM8YO-j845IUlNu_XxwHrGvChAxGh2FcpN3porbM2RQ6sN4Z1bwjI_xzVXe39SEnX_XvWr8UVsbXo7gZF4Q44Pz-XekEahR8o4JKp27g)
Полученные точки отмечаем на числовой прямой.
Поскольку неравенство нестрогое, точки закрашенные (кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль).
Так как корень х=9 встречается четное число раз (2 раза), в нем — «петля».
Для проверки знака берем число 1.
Подставив его в неравенство (*) , получаем положительное число.
Значит, на интервале (0; 5), которому принадлежит 1, ставим «+» .
Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.
Нам нужны промежутки с «+».
Не забываем включить в ответ отдельно стоящую закрашенную точку.
Ответ:
![\[x \in \left( { - 5; - 3} \right] \cup \left[ {0;5} \right) \cup \left\{ 9 \right\}.\]](https://lh3.googleusercontent.com/sXg2O6bJwGVVK-_cz3vZSCv_pSQxTABCuz3kAJlQMlMkV-wxewl6epGn7GDsGTtettE-acAut7sPa24hCzwCYEJdi2OF2MqtM746EZgMBHfEv9XEipavEJnb33rlSSNU8ZGIhw5T7QbgC_qDig)
![\[3)\frac{{({x^2} - 8x + 16)(x + 10)}}{{{x^2} - 16}} \le 0.\]](https://lh5.googleusercontent.com/mBbnR5V3nqAtLP11JTW_1tZc0z5a_FfFXIueIzWKK7vf_wfDUFmzKzk49ctIHPXW48wuWa2ggY_Foqx0smAGchcCWnDOXrVSWBB3laoA83KFDIlGPypaPXACobZP_MPfrIscBCam0GeHfTbNVg)
Приравниваем к нулю левую часть:
![\[\frac{{({x^2} - 8x + 16)(x + 10)}}{{{x^2} - 16}} = 0 \Leftrightarrow \]](https://lh3.googleusercontent.com/WPjW-P-WrL_Lhpv30jhQuczD4wcEoWOsGdBPiFwXTx_qt9HiCL1DUfRzgbAenKZl9hnJkkgcq6o3R6eNqRoLlAhFMuj4MlhivfxU623MXOCI9OdFV4hbmQ5LbrE_z8f31fULjvUdyXjJrSVVCQ)
![\[\left\{ \begin{array}{l} ({x^2} - 8x + 16)(x + 10) = 0;\\ {x^2} - 16 \ne 0; \end{array} \right.\]](https://lh6.googleusercontent.com/yatyxVvTGcNJD9_hqfGjujZ4A1vblN0x7O_h5xp5Ht6kfKFQziVPRzKYgKDpDZ3eaT8aWdJ9DGmnoQaUeLhzwa_ft8-Eti_FRrcFO0e3lz66xfl9w00gEoTm53Gd7C6Dahy1a6h334d9PGPgSQ)
![\[\left\{ \begin{array}{l} x = 4,x = - 10;\\ x \ne - 4,x \ne 4. \end{array} \right.\]](https://lh3.googleusercontent.com/FRxiy-ZEjLgRgS09s4f9ZclDLST32ubG99hGf7NZKg7dqkHb_siXAarnjw9_QUjJWkqKt0eB4U74MRz5jPLVpx1cB4QNOn9naqmwaKgUK0KhqgpkRDSVZx3zxYptOd8zLttbI7bRftkr2oa7og)
Если квадратное уравнение х²-8х+16=0 решать через дискриминант, получаем D=0, а значит, корень х=4 — кратный корень второй степени.
Но есть еще одно уравнение с корнем х=4.
Таким образом, корень х=4 встречается три раза, то есть нечетное количество.
Значит, «петли» в нем нет.
(Если решать уравнение по теореме Виета, получаем =
=4 и еще один корень х=4. Итого, 3 раза).
Ответ:
![\[x \in \left( { - \infty ; - 10} \right] \cup \left( { - 4;4} \right).\]](https://lh5.googleusercontent.com/QfYsLRfoL1IyqJy2-ZOtJHN0GuMehXjhf42ntFoRZj85mTDw1AwAuMXjFCFa9lqNDCMy0NWU3vZihBpqBqiI2jFFSBSlEgRugtFEd4n1sKC9OqIWQnX3C8nLrR24ebaxgJ3Vb1b1b43qrx5VxA)
Примеры для самостоятельного решения
1 пример
2 пример
3 пример
4 пример
5 пример
Ответы:
1).
2).
3). (-6;1) ∪ (2; 9) ∪ (9; +∞).
4). (-2;3) ∪ (3; 7) ∪ (7; 10).
5).
