Дистанционное обучение 2025-2026 учебный год

Практическое занятие 5-6. Исследование на сходимость рядов с положительными членами. Исследование на сходимость

знакопеременных рядов.

І. Числовые ряды. Исследование на сходимость рядов с положительными членами. Исследование на сходимость знакопеременных рядов.

1. Числовые ряды

Определение 1: Числовым рядом называется сумма вида

= u1 + u2 + u3 + … + un + … ,  (1), где числа u1, u2, u3,  …  un … , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un  называется общим членом ряда.

Определение 2: Суммы

S1 = u1,

S2 = u1 + u2,

S3 = u1 + u2 + u3,

…

Sn = u1 + u2 + u3 + … + un,

составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.

Определение 3: Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм при n  имеет предел, т.е.  Sn = S.Число S называется суммой ряда.

Определение 4: Если  Sn = , то такой ряд называется расходящимся.

Пример 1: Записать ряд по его заданному общему члену un =

Решение:

u1 = ;  u2 =; u3 = ; …

Получим ряд =  +  +  + … +  + …

Пример 2: Найти n-й член ряда по его данным первым членам:

+  +  + …

Решение:

Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечётными числами, значит

un = .

Пример 3: Найти первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

un = .

Решение:

u1 =  = = 2;

u2 =  =;

u3 =  = ;

u4  =  = ;

u5  =  = ;

 = 2 + + + + + … + + …

2. Признаки сходимости рядов

1) Необходимый признак сходимости ряда: 

Ряд  может сходиться только при условии, что его общий член un  при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю :  un = 0.                        Если  un  0, то ряд  расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

2) Признак Даламбера (достаточный признак сходимости ряда с положительными членами):

Если для ряда с положительными членами  = u1 + u2 + u3 + … + un + un+1 + …(un>0) выполняется условие  = l, то ряд сходится при l < 1 и расходится при l > 1.

Пример 4: Исследовать сходимость ряда: .

Решение:

Применяем необходимый признак  сходимости: un =  =0. Значит, ряд может сходиться. Применяем далее признак Даламбера:

=  =  =  =  =  =  =  = < 1

Значит, данный ряд сходится.

Пример 5: Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение:

 =  =  =  = 3 = = 3   = 3   = 3 ∙  = 3> 1, значит, данный ряд расходится.

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Определение 5: Числовой ряд (2): u1 + u2 + u3 + … + un + … называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Определение 6: Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

4. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов (достаточный признак):

Если члены знакочередующегося ряда (2) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un  стремится к нулю при n, то ряд (2) сходится.

Определение7: Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

 +  + + … + + …                (3)

Определение 8: Если знакопеременный ряд (2) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд(3) расходится, то данный ряд (2) называется условно сходящимся.

Пример 6: Исследовать на сходимость (абсолютную и условную) ряд:

   = - -+ + - … + + …

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

++ ++… + + …

Для исследования данного ряда применим признак Даламбера:

un =  ; un+1  =  ;  =  :  =  = ∙(1 + );

  =  ∙(1 + ) =  < 1.

Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, значит, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

5. Зачётная работа

Практическое занятие 7. Вычисление интегралов по формулам       прямоугольников, трапеций, формуле Симпсона

I. Приближённое вычисление определённых интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, формуле Симпсона

1) Формула прямоугольников (с недостатком):

y dx ( y+ y+ y+ … + y)

2) Формула прямоугольников (с избытком):

y dx ( y+ y+ у +… + y)

3) Формула трапеций:

y dx ( + y+ y+ … + y)

4) Формула параболических трапеций (формула Симпсона):

y dx ( y+ y+4( y+ у +… + y) + 2 (y+ y+…+ y).

Пример 1: Вычислить точно (по таблице) и приближённо по формуле трапеций при n=5, а затем сравнить результаты (вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей).

Решение:

a) По таблице:

                        1

= arctg x        = arctg 1 – arctg 0= - 0 =  0,785

                        0

б) По формуле трапеций:

(+ у+ у+ у+ у) =        

ydx (+ у+ у+…+ + y);

        =(+ 0,9615+0,8621+0,7353+0,6098)0,7837

в) а =

а = = 0,0013

= · 100% = · 100%0,17%

Ответ: х 0,785

        а0,7837

        а = 0,013

         0,17%

Пример 2:

Вычислить (3х+2х)dx точно ( по таблице) и приближённо по формуле трапеций при

n = 10, а затем сравнить результаты (вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей).

Ответ: х = 2;

        а2,005

        а = 0,005

         0,25%

ΙΙ. Вычислить определённые интегралы точно (по таблице) и методом трапеций:

1) ( х+ 2) xdx;                         n = 10

2)                                 n = 10

3) (1- ) dx;                        n = 10

4) ;                         n = 10

5) (х- 6) хdx;                n = 10

6) (1 - ) dx;                n = 10

7)  dx;                        n = 10

8)  dx;                        n = 10

9) (3х+1)х dx;                n = 10

10) (1+х) dx;                        n = 10

11) ;                        n = 10

12);                        n = 10