Материалы подготовки к ОГЭ по математике в 2018 г.

Задание на урок № 1а.

Тема: Натуральные числа

1. Запишите число пять миллионов тринадцать тысяч  восемь
2. На сколько сумма чисел 30689 и 2956 больше их разности?
3. Найдите произведение чисел  906  и  302                                                                  
4. Найдите частное 16884 : 28
5. Вычислите:  152 + (532 – 16 ∙ 5) : 4.
6. За 7 часов автомобиль проехал 385 км. Какой путь он проедет за 12 часов, двигаясь с той же скоростью, если при этом на заправке он простоял ровно час?
7. Сер Джон садится пить чай ровно в 17.00 («in five o clock»). Сколько минут ему осталось до чаепития, если сейчас на часах 14 часов и 23 минуты?
8. Сколько миллиметров в 37 метрах?
9. Что больше 3 тонны и 59 килограмм или 900000 грамм?
10. На сколько произведение чисел 203 и 69  больше частного чисел 45034 и 89?
11. В школе три девятых класса. В 9а учатся 26 школьников, что на 5 меньше, чем в 9б и на 7 больше, чем в 9в. Сколько всего девятиклассников учится в школе?
12. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами 48 и 89?
13. Найдите значение выражения 6789 – (а + 3489), если а = 1481.
14. Найдите периметр прямоугольника, если его длина равна 48см, а ширина в 3 раза меньше.

Задание на урок № 1б.

Тема: Натуральные числа.

15. Какое наименьшее число нужно разделить на 19, чтобы при этом остаток от деления был равен 6?
16. Найдите большее из двух чисел, если известно, что одно из них в 13 раз больше другого а их сумма равна 882 ?
17. Площадь прямоугольника – 72см2, а его длина – 18см. Найдите периметр прямоугольника.
18. Разложите на простые множители число 420.
19. Какие из данных утверждений НЕ верны:

1) 3 является делителем 26; 2) 37 является делителем 814; 3) 23 является делителем 946; 4) 67   является делителем 3350; 5) 4 является делителем 4; 6) 0 является делителем 5.

20. Какие из данных сумм кратны 5?

1. 7316 + 97564; 2) 4523 + 7415; 3) 678 + 991 + 31; 4) 230 + 179.

21. Какие из данных чисел кратны 3?

       1) 1706; 2) 12364; 3) 40215; 4) 131421; 5) 18279.

      24. Сколько существует двузначных чисел кратных 11, но не кратных 3?

      25. На прямой отмечены точки А,В,С и Д так, что точка С лежит между точками А и В, а точка Д – между точками С и В. Найдите длину отрезка СД, если АВ = 27см, ВС = 17см, АD = 14см.

      26. Вычислите:   .

      27. Вычислите:   .

Задание на урок № 1в.

Тема: Обыкновенные дроби.

28. Представьте число 107 в виде неправильной дроби
29. Выделите целую часть из неправильной дроби
30. Найдите значение выражения:   (3 - 2 - ) + (4 +  - 4)
31. Вычислите: 1)   ;    2)     3)        4)       5)       

                           6)       7)  

33. Выполните умножение:    .

34. Какую часть суток составляет 1ч 40 мин?

35.  Пройдя   всей дистанции, спортсмен был в 700 м от финиша. Какова длина всей дистанции?
36. В классе – 28 человек. За контрольную работу 8 человек получили «5»,   всего класса получили «4», а остальные – «3». Сколько человек получили оценку «3»?
37. Расположите в порядке возрастания  числа:      ;   ;         ;        ;      
38. Укажите выражение, значение которого является наименьшим. 

39. Расположите в порядке возрастания:     5   - 4 ,    1    ,    
40. Приведите пример дроби, которая больше     но меньше    .
41. Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева.

Задание на урок № 2б.

Тема: Обыкновенные дроби.

      42. Вася пробежал дистанцию 90 м за 14 с,  Коля 100м – за 15с, а Артём 110м – за 16с. У кого из мальчиков средняя скорость больше?

43.  При каком натуральном  а  значение выражения   равно 2 ?
44.  Сколько существует натуральных  b, при которых   ?
45.  В бочкекг меда. Сколько меда в 6 бочках?
46.   Турист проходит в среднем  км в час. Какое расстояние он пройдет за  часа?
47.  Ящик, вмещающий 34 кг яблок заполнен насвоего объема. Сколько ещё кг яблок можно положить в ящик?
48.  Найдите значение выражения: 

1)  .   2)      3)        4)        

5)            6)    7)

49.   Поезд  длинной  1км  двигается со скоростью 3 км/мин. За какое время он проедет подземный тоннель  длинной 6 км.
50.   Какова последняя цифра числа:  172 + 132 + 2∙3∙…∙88 ?

Задание на урок № 2а.  

Тема: Десятичные дроби.

1. Выполните действия : (17,947 – 13,0016 + 1,5094) – (3,816 + 5,14 – 3,99)
2. Вычислите: а) 56,2 0,001;   б) 457,5 : 0,01 ;  в) 17,947  13,0016 ;   г) 16,2972 : 5,4 ;
3. Представьте числа   , а за тем   ; 1 в виде десятичной дроби, и наоборот, число    -  в виде обыкновенной дроби.
4. Найдите скорость течения реки, если за за 5 часов катер прошел по течению 96,5 км, а за 4.8 часов против течения  - 81,6 км?
5. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6,9см, ширина в 2,5 раза меньше длины, а высота на 0,36 см меньше ширины.
6. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 752,76 дм3. Найдите его высоту, если длина параллелепипеда – 16,4 см, а ширина -4,5 см.
7. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если он имеет измерения 5,4 см, 4,8 см и 2,5 см.
8. Найдите среднее арифметическое чисел 5,83; 15,76; 14,931 и 23,519.
9. Площадь первого поля в 3,6 раза больше площади второго. Какова площадь каждого поля, если площадь второго на 292,5 га меньше площади первого?
10. Площадь прямоугольника равна 63,45 дм2, а его длина – 13,5 м. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен периметру прямоугольника.

Задание на урок № 2б.

Тема: Десятичные дроби.

11. Вычислите : а)   б)    в)     г)  3,8 + 1,08 : 0,9.  д)       е)         ж)      з)     и) Ответ запишите в виде десятичной дроби.
12. Найдите величину тупого угла треугольника, если угол А  в 4 раза меньше угла  В и на 18º больше угла С.

13. Известно, что . Выберите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)       2)      3)        4) 

14. Известно, что  и  — положительные числа и  Сравните    и В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4) сравнить невозможно

Задание ан урок №2в.

Тема: Положительные и отрицательные числа.  Числа на координатной прямой.

15.  Костя выше Кирилла на 7см, Кирилл выше Саши на 3см, а Саша ниже Олега на 8см. Кто из ребят самый высокий.

16.    Какие из данных примеров решены верно?

а) – 2,3 + (- 7,4) = - 5,1;                             в)  2,3 + (- 7,4) = 5,1;

б)                         г)

17. Какие из данных примеров решены неверно?

а) – 2,3 – (- 7,4) = 5,1;                             в)  - 2,3 – (- 7,4) = 9,7;

б)                         г)

18.  Найдите значение выражения:  а) 4,3 – (0,43 + с)  при с = -2,3.  б) -1 + 2 – (-3) +(-4) +5; в) Найдите значение выражения:  0,45 – х – 3,8    при   х = -1,38;

19. Олег задумал число, прибавил к нему 67, затем от результата отнял 60. В результате у него получилось число  -98. Какое число задумал Олег?

20. Найдите сумму всех целых чисел  nтаких, что  -17

Задание на урок № 2г.

Тема: Положительные и отрицательные числа.  Числа на координатной прямой.

21.Какие из данных примеров решены верно?

а) -2,7 ∙  = -3,9;                                       в)  3,01 ∙

б) -2,17 ∙ (-1,5) = -3,255;                              г)  .

22. Какие из данных примеров решены неверно?

а)   -7,112 : (-5,6) = -1,27;                          в)  ;

б)    -1,21 : (-1,1) = -1,1;                             г)  

23. Представьте в виде десятичной дроби :  ;

24. Выполните действия:  -2,5 ∙ (-1,6) + 41,6 : (-4) ;

25. Найдите значение выражения:  m2 – 1, 3  ,    при  m = -1,3 ;

26. Выполните действия : ;

27. Выполните действия : ;

28. Вычислите:

а)    б)    в)    г)

д)    е)    ж)    з)    и)

29.  На координатной прямой отмечены числа a и b.

Какое из следующих чисел наибольшее?В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a + b   2) –a    3) 2b    4) a − b

30. На координатной прямой отмечено число 

31. Расположите в порядке возрастания числа В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4) 

32. На координатной прямой отмечено число a.

Из следующих утверждений выберите верное. В ответе укажите номер правильного варианта:

1) (a − 6)2 > 1;    2) (a − 7)2 > 1;     3) a2 > 36;    4) a2 > 49

33. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что x > 0, y < 0?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) xy ;   2) (x − y)y ;   3) (y − x)y ;   4) (y − x)x

_____________________________

Дополнительные задания:

34. Вычислите:   а)    б)  
35. Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана?

Задание на урок № 3а

Тема: Проценты. Решение задач.

Округление чисел.

1. (устно)

а) Округлите до десятых:  70,061903;   479,028;    

б) Округлите до сотых :     0,345 ;  345,0057;   55,(5)

в) Округлите до целых:      9,9999 .

г) Какую цифру можно поставить вместо *, чтобы получить верное неравенство:

27,*376 ≤ 27,2299 ?

д) Расположите на координатной прямой числа в порядке возрастания (убывания):  

                       а) 101,101 ;    б) 101,0101 ;   в) 1011,01;    г) 101,001101,   е) 101, (01).

Отношения и пропорция

2. (устно)

а)  Какое из данных отношений равно  ?   

                      а) 7 : 2;     б) 4 : 12 ;    в) 7 : 24,5 ;     г)  другой ответ.

б)  Найдите отношение 1,2 м    к   0,1 см.

Решение задач на части.

3. Площадь земель фермерского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 49 га и распределена между зерновыми культурами и картофелем в отношении 2:5 соответственно. Сколько гектаров занимают зерновые культуры?

Проценты.

4. (устно)

а) Найдите:    а) 10 от числа  0,3 ;  б)  50 от числа 15 ;

б) Пятая часть всех отдыхающих в пансионате — дети. Какой процент от всех отдыхающих составляют дети?

в) Городской бюджет составляет 27 млн рублей, а расходы на одну из его статей составили 10%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

г) В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

В магазине «Сделай сам» вся мебель продаётся в разобранном виде.

д) Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3300 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Основные задачи на проценты.

1. Найти процент известного числа .

Пример: Найти 30 числа 210.  

Решение: 210 :100 = 2,1 ,   2,1 ∙ 30 = 63.

2. Найти число по известной величине некоторого процента этого числа.

Пример: Найти число, 7 которого составляют 42.

Решение: 42 : 7 = 6 , 6 ∙ 100 = 600.

3. Процентное отношение двух чисел – сколько процентов одного числа составляет от другого числа. Чтобы найти процентное отношение чисел  а  и  b  нужно .

Пример: сколько процентов число 20 составляет от числа 50?

Решение:

5. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

6. Сколько квадратных метров в 49

7. Из молока получается 14  творога. Сколько молока требуется для получения  5,6 кг творога?

8. За  3 часа Вася прополол  60  участка. За какое время он сможет прополоть весь участок, если будет работать с той же производительностью?

9. В городе 180 000 жителей, причем 30% из них ― пенсионеры. Сколько жителей этого города не являются пенсионерами?

10. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250 г воды?

Разные задачи на проценты.

11. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

12. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

13. Товар на распродаже уценили на 30%, при этом он стал стоить 350 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

14. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

15. Только 94% из 27 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

16. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

17. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 17 400 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

18. Призерами городской олимпиады по математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

19. Среди 40 000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

20. Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

21. В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает? 

____________________

Доп.

22. Найдите значение выражения 15m + 6n – m – 2,3n, если число m составляет 40 от числа 935, а 17от числа nравны 8,313.

23. Сумма (разность) двух чисел равна 264. Найдите эти числа, если одно из них на 20 больше (меньше) другого

24. Сумма двух чисел составляет  180  первого слагаемого. На сколько процентов первое слагаемое больше второго?

25. Когда к 46числаа прибавили 16,4, то получили 9  от числа 1230. Найдите число а.

Задание на урок № 3б

Тема: Решение задач

26. Поезд Москва-Оренбург отправляется в 17:25, а прибывает в 19:25 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

27. В доме, в котором живёт Женя, один подъезд. На каждом этаже по восемь квартир. Женя живёт в квартире 87. На каком этаже живёт Женя?

28. Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если в 1 футе 12 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

29. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

30. Длина дороги на местности составляет  3,2 км, а на карте 4 см. Определите масштаб карты.

31. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

32. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

33. Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

34. В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 103 человека. Сколько

35. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

36. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей?

37. На счету Машиного мобильного телефона было 53 рубля, а после разговора с Леной осталось 8 рублей. Сколько минут длился разговор с Леной, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

38. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

39. Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 450 рублей и стоимость одного журнала 24 рубля. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал.

40. Выпускники 11а покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

Степени и корни

Степень с рациональным показателем и её  свойства.

Стандартный вид числа. Каждое число больше 10, можно записать в виде   а·10n, где 10 ≥ а ≥ 1.

Пр. 457 = 4,57·102;   0,0087 = 8,710-3.

Задание

1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения  
3. Найдите значение выражения  
4. Найдите значение выражения (4,9 · 10− 3)(4 · 10− 2).

5. Площадь территории России составляет 1,7 · 107 км2, а Норвегии — 3,2⋅105 км2. Во сколько раз площадьтерритории России больше площади территории Норвегии? В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) примерно в 1,9 раза;   2) примерно в 5,3 раза ;3) примерно в 53 раза ;  4) примерно в 530 раз.

6. В лабораторию купили электронный микроскоп, который даёт возможность различать объекты размером до  Выразите эту величину в миллиметрах. В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) 0,002       2) 0,0002       3) 0,00002        4) 0,000002

7. Найдите значение выражения  при .

8. Найдите значение выражения  при .

9. Представьте выражение      в виде степени с основанием x.

10. Найдите значение выражения      при .

11. Найдите значение выражения  при .

12. Представьте выражение  в виде степени с основанием c.

13. Представьте выражение  в виде степени с основанием 

14. Найдите значение выражения  при .

15. Найдите значение выражения  при .

16. Найдите значение выражения .

17. Найдите значение выражения .

18. Найдите значение выражения .

19. Найдите значение выражения .

20. Найдите значение выражения .

21. Найдите значение выражения  при .

22. Найдите значение выражения .

23. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26. Найдите значение выражения .

27. Найдите значение выражения .

28. Найдите значение выражения .

29. Найдите значение выражения .

30. Какое из следующих выражений равно ?В ответе укажите номер правильного вариаyта.

         1) 2) 3) 4) 

31. Какое из следующих выражений равно ? В ответе укажите номер правильного варианта.

         1) 2) 3) 4) 

____________________________________________

Доп.

А) Найдите значение выражения  при .

Б) Найдите значение выражения  при .

В) Упростите выражение:   .

Г) Упростите выражение:   .

Д) Сократите дробь 

Е) Сократите дробь 

Ж) Сократите дробь   .

З) Найдите значение выражения , если .

Корень n-й степени

Обозначение: 

Корнем n-й степени из числа а называется такое число b, n-я степень которого равна а, то есть  

1)   Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например, 

2)   Если n - четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625 - это числа -5 и 5. Так как 

Корень четной степени из отрицательного числа не существует! Например, ,    

Арифметический корень n-й степени

Это то же самое, что и корень n-й степени, но разница в том, что арифметический корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число!

То есть, если n - четное число, то существует один положительный корень n-й степени из любого положительного числа.

Замечания:  

1) если  a > 0, то  = a и   ;

2) если a  -  любое, и  n- чётное число, то , в частности:

Пример:     а)   = |4|;      б)    .

3) если a- любоеи  n -нечётное число, то  .

Пример:   для любого значения х,  .

Свойства арифметического корня

Задание.

32. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу  Какая это точка? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) точка A      2) точка B         3) точка C        4) точка D.

33. Найдите значение выражения 

34. Чему равно значение выражения 

35. Найдите значение выражения 

36. Найдите значение выражения 

37. Найдите значение выражения 

38. Найдите значение выражения 

39. Найдите значение выражения .

40. Найдите значение выражения  при .

41. Найдите значение выражения  при .

42. Найдите значение выражения  при .

42. Найдите значение выражения  при .

Формулы

43. Найдите значение выражения:  а)   б) (1 –  )( + 1) .

44. Значение какого из выражений является числом иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)     3)     4) 

45. Значение какого из выражений является числом рациональным? В ответе укажите номер правильного варианта. 

1)     2)      3)       4) 

Числа на координатной прямой.

46. Какое из чисел    является иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)    2)   3)   4) ни одно из этих чисел

47. Значение какого выражения является рациональным числом? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4) 

Сравнение.

48. Значение какого из чисел является наибольшим? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)       2)        3)        4) 

49. Расположите в порядке возрастания числа: ; ; 5,5.В ответе укажите номер правильного варианта.

1)    2)     3)       4) 

50. Укажите наибольшее из следующих чисел: В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)      3)      4) 

51. Значение какого из данных выражений является наименьшим? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)       4) 

52. В каком случае числа  и 6 расположены в порядке возрастания. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4) 

53. Сравните числа  и 16. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)     3) 

54. Какое из чисел больше:  или В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)    3) 

55. Между какими числами заключено число В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 8 и 9     2) 72 и 74       3) 24 и 26      4) 4 и 5

56. Какое из следующих чисел заключено между числами    и   В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 0,8    2) 0,9     3) 1     4) 1,1

57. Какое из данных чисел принадлежит промежутку [6; 7]? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)     3)     4) 

58. Расположите в порядке возрастания:   

59. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4) 

60. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) точка A      2) точка B       3) точка C       4) точка D

Доп.

А) Какое из чисел больше:  или  ?

      Б) Упростите выражение   

Треугольник.

Знать:

1. Градусную меру острого, прямого, тупого и развернутого углов.

Понятие и основные свойства смежных углов, вертикальных углов, внешнего угла треугольника, накрест лежащих углов, соответственных углов, односторонних углов, центральных углов, вписанного угла;  чему равна сумма углов треугольника.

2. Понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
3. Признаки равенства и подобия треугольников

- Коэффициент подобия. Формулы;

4)  Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

      - Теорема Пифагора;

- Понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла;

- Основное тригонометрическое тождество.

5)  Определение, свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Уметь:

1. Выражать одни углы через другие и находить их градусные меры.
2. Решать задачи на непосредственное применение теоремы Пифагора.
3. Решать задачи на нахождение элементов треугольников (прямоугольных, равнобедренных) с использованием теоремы Пифагора, синуса, косинуса и тангенса острых углов.
4. Применять подобие при решении треугольников.

Вычисление углов.

Теорема: сумма смежных углов равна 180°.

Теорема: вертикальные углы равны.

Теорема: если прямые параллельны, то

                  а) накрест лежащие углы равны;

                  б) соответственные углы равны;

                  в) сумма односторонних углов образует 180.

1. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5 ч?
2. Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в

16:00 ?

3. На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 7 часов?
4. На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы, если в колесе 45 спиц.
5. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.
6.  Найдите величину угла DOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в градусах.
7.  Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1= 36°, ∠2 = 101°. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов треугольника

Теорема: сумма углов треугольника равна 180°.

8.  Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
9. Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
10. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
11.  На рисунке угол 1 равен , угол 2 равен , угол 3 равен . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.
12. В треугольнике  угол  равен ,  и  – биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
13. В треугольнике  угол  равен ,  – высота, угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника.

Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним.

14.  В треугольнике  угол  равен , внешний угол при вершине  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
15.  Один из внешних углов треугольника равен . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как . Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

      Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы  a2 + b2 = c2.

17. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26. Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.
18. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 30 минут?
19. Глубина крепостного рва равна 8 м, ширина 5 м, а высота крепостной стены от ее основания 20 м. Длина лестницы, по которой можно взобраться на стену, на 2 м больше, чем расстояние от края рва до верхней точки стены (см. рис.). Найдите длину лестницы.
20. Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а её высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.
21. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 16,5 см, а длина — 28 см. Найдите расстояние между точками A и B(в метрах).

Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла.

,       

22. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
23. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .

Тригонометрические углы и теорема Пифагора

24. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
25. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .

______________

Замечание: если в прямоугольном треугольнике АВС (угол   равен 90°)    =  

26. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .                     
27. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .

Основное тригонометрическое тождество

28. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите  .                     
29. В треугольнике  угол  равен 90°, . Найдите .

Нахождение сторон.

30. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите ВС.
31. В треугольнике    угол    равен 90°,  . Найдите  .
32. В треугольнике  угол  равен 90°,   Найдите 

Прямоугольный треугольник с углами 30°и 60°, «Египетский треугольник».

Теорема: в прямоугольном треугольнике против угла 30º лежит катет, равный половине гипотенузы.

Замечание: треугольник с соотношением сторон  кратным 3, 4 и 5 называется «египетским»

33. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 12 см.
34. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите .
35.  В треугольнике  угол  равен  , . Внешний угол при вершине  равен  . Найдите  .

Разные задачи.

36. Катеты прямоугольного треугольника равны  и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
37. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты треугольника.
38. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тангенс прилежащего угла —

0,75. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

39. Используя таблицу, найдите значение выражения:   - .

40. Найдите , , если  = .

41. Найдите синус угла . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

Подобие треугольников.

Три признака подобия треугольников. 

Треугольники подобны:

       а) по двум углам;

       б) по углу и двум пропорциональным сторонам;

       в) по трем пропорциональным сторонам.

Замечание: если треугольники подобны, то их сходственные стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны.

Замечание: 

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

 ;

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия  .

42. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

43. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?

44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Замечание: высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника подобных данномуАВС

45. В треугольнике  угол  равен 90°, угол  равен , . Найдите высоту .

46. В треугольнике  угол  равен 90°,  – высота,, . Найдите .

47. В треугольнике  угол  равен 90°,   — высота, , . Найдите .

48. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

49. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Свойство медианы прямоугольного треугольника:

Теорема. В прямоугольном треугольнике АВС (угол  С равен 90°)  медиана равна половине гипотенузы, т.е. СD = АD = ВD.

50. В треугольнике   – медиана, угол  равен 90°, угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

51.  В треугольнике  , , высота  равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Угол между высотой и медианой

52. Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

53. В треугольнике ABC BM — медиана и BH – высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Угол между высотой и биссектрисой

54. Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Угол между биссектрисой и медианой

55. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Равнобедренные треугольники

Определение: треугольник, у которого боковые стороны равны называется равнобедренным.

Свойства: в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают и разбивают его на два равных прямоугольных треугольника.

56. В треугольнике  угол  равен , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

57. Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

58. В равностороннем треугольнике  высота  равна . Найдите стороны этого треугольника.

59. В треугольнике АВС высота ВМ = 7см. Найдите периметр  если периметры ∆АВМ и  ∆МВС = 19см

60. В треугольнике  ,  – высота, угол   равен  . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

61. На стороне  прямоугольника  у которого  и  отмечена точка  так, что треугольник  равнобедренный. Найдите .

______________________

62. В треугольнике  , угол  равен . Найдите высоту .

63. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

_______________________________

64. В треугольнике  . Внешний угол при вершине  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

_____________________________

65.В треугольнике  угол  равен , угол  равен . На продолжении стороны  отложен отрезок . Найдите угол  треугольника . Ответ дайте в градусах.

66.В треугольнике  угол  равен , угол  равен ,  – биссектриса внешнего угла при вершине , причем точка  лежит на прямой . На продолжении стороны за точку  выбрана такая точка , что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах

Вычисление углов

67.Найдите синус угла . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

__________________________

68. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 5, медиана BM = 4.  Найдите cos∠BAC.

69.В треугольнике  , . Найдите  и .

70. В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cosB.
71. В треугольнике  ,  – высота, . Найдите .

72. В треугольнике  , . Найдите высоту .

____________________________________

73.  У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

74. У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Задание №6.

Тема: Преобразования алгебраических выражений и дробей (В7).

Знать:

1. Переместительный закон действий: а + b = b + a,  a∙b = b∙a;
2. Распределительный закон действий: a∙(b + c) = a∙b + a∙c;
3. Что собой представляют подобные слагаемые и как они приводятся;
4. Понятие одночлена и многочлена;
5. Правило раскрытия скобок;
6. Способы разложения на множители:

             а) вынесение общего множителя за скобки;

             б) группировка;

7. Формулы сокращенного умножения:

             а) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

             б) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2;

             в) a2 – b2  = (a – b)(a + b).

8. Основное свойство дроби:    = ;
9. Правила действий с алгебраическими дробями (аналогичные правилам действий с числовыми дробями).

Уметь:

1. Приводить подобные слагаемые;
2. Раскрывать скобки;
3. Выполнять действия с одночленами и многочленами (в том числе используя формулы сокращенного умножения);
4. Сокращать дроби;
5. Выполнять действия с дробями.

1. Приведите подобные слагаемые:  а) 8х + 3х;    б) –а – 0,8а;   в) -15с – 15а +8а + с; 

                                                          г) 4b2 + ba2 + 6ab – b2 – 6ba

2. Раскройте скобки:      а)  - с + (- а + b);  б) (1 – 9у) – (22у – 4) – 5; в)  -4(3а + 2) + 8;  

                                     г) 15 – 5(1 - - а) – 6а;    д) а – (а – (2а – 4).

3. Расставьте скобки так, чтобы в одних из них содержалось  b, а в других нет:  х + у – bx + b +1

4. Выполните действия: а) 8х∙3х;   б) –а2∙4а3;   в) 0,5х2у∙(-2ху);    г) (- 0,2аb)3;   д) –(-10а3b4)4 ;

                                     е) 0,4х5∙(2х3)4.

5. Выполните действия: a) -4x3(x2 – 3);   б) (х – 3)3х2;   в) 3x(x – 2) – 5x(3 +x);  г) (x – 3)(x +5) –(x2 +x);                         д) (3 +х)( -1 – х); е) 8x – (3x +1)(1 +5x);

6. Вынесите общий множитель за скобки: a) 3xy + 5y; б) 14mn2 – 7n; в) –xy – x;  г) 6c2x3 – 4c3x2 + 2c2x3;  

                                                                  д) 3с(х – у) –x(у – x);  е) 2x(m – n) – n + m;

7. Разложите на множители способом группировки: а) ab – ac – 4b + 4c;  б) 3x3 – 3x +4ax – 6a; 

8. Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

9. Найдите значение выражения  при 

11. Найдите значение выражения  при 

12. Найдите значение выражения .

13. Найдите значение выражения  при 

14. Найдите значение выражения  при .

15. Найдите значение выражения 

16. Найдите значение выражения 

_________________

17. Найдите  если 

_________________

18. Найдите значение выражения .

19. Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

20. Найдите значение выражения .

21. Найдите значение выражения .

22. Упростите выражение  и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

23. Найдите значение выражения .

24. Найдите значение выражения .

25. Найдите значение выражения .

26.Упростите выражение    и найдите его значение при  

27. Сократите дробь 

__________________

28. Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

29. Упростите выражение    и найдите его значение при  . В ответе запишите найденное значение.

30. Упростите выражение  и найдите его значение при   В ответе запишите найденное значение.

31. Упростите выражение  и найдите его значение при  В ответе запишите найденное значение.

32. Найдите значение выражения  при 

__________________

33. Упростите выражение , найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число.

34. Представьте в виде дроби выражение    и найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

35. Найдите значение выражения .

36. Найдите значение выражения  при 

37. Найдите значение выражения  при  

38. Найдите значение выражения  при 

39. Найдите значение выражения  если 

40. Найдите значение выражения  при a = 78,c = 21.

________________

41. Найдите значение выражения  при 

42. Найдите значение выражения  при 

43. Найдите значение выражения  при  

44. Найдите значение выражения  при a = 7,7.

________________

45. Найдите значение выражения  при 

46. Найдите значение выражения  при 

47. Найдите значение выражения  при 

48. Найдите значение выражения  при 

49. Найдите значение выражения  при 

50. Найдите значение выражения .

51. Найдите значение выражения  при .

52. Найдите значение выражения при .

Дополнительные задания*(по желанию) (С1).

53. Сократите дробь 

54. Сократите дробь 

55. Разложите на множители: .

56. Сократите дробь  

57. Сократите дробь 

58. Сократите дробь 

59. Найдите значение выражения  при 

60. Упростите выражение:   

61. Упростите выражение 

62. Найдите значение выражения  при   В ответе запишите найденное значение.

63. Упростите выражение:    .

65. Найдите значение выражения , если , а .

66. Найдите значение выражения  если 

67. Найдите значение выражения , если .

68. Найдите значение выражения , если .

69. Найдите значение выражения , если .

70. Найдите , если .

71. Найдите , если .

72. Сократите дробь , если .

73. Найдите значение выражения  если 

74. Найдите значение выражения  если 

75. Найдите , если  при .

76. Найдите , если  при .

77. Найдите , если .

78. Найдите , если .

79. Найдите , если .

80. Один из корней уравнения    равен 1. Найдите второй корень.

Задание № 7.

Тема: Четырёхугольники

Знать: определения, свойства и признаки четырёхугольников. Понятие и свойства средней линии трапеции.

Уметь: применять определения, свойства и признаки четырёхугольников, понятие и свойства средней линии трапеции, теорему Пифагора, понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, понятие односторонних и др. углов, свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника с углом 30° при решении задач.

Замечание: синим цветом отмечены теория и устные задачи.

Определение: Параллелограммом  называется четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны.

Параллелограмм

1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма

_____________________

2. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60°. Ответ дайте в градусах.

3. Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

________________________

4. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как . Ответ дайте в градусах.

5. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

________________________

6. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

7. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

8. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

9. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

_________________________

10. На продолжении стороны AD параллелограмма ABCD за точкой D отмечена точка E так, что DC = DE. Найдите больший угол параллелограмма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в градусах.

11. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

________________________

12. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 4, . Найдите AD.

____________________________

13. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Прямоугольник

Определение: Прямоугольником  называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Определение: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны; либо квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Замечание: исходя из определения, квадрат имеет все свойства прямоугольника и ромба

14. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

15. Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.

16. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах.

__________________________

17. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

18. Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных клеток равны .

___________________

19. В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 7. Найдите периметр этого квадрата.

20. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

21. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24.

22. Середины сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, последовательно соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.

Ромб

Определение: Ромбом  называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

23.В ромбе ABCD угол ABC равен 122°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

______________________

24. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

25. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

_________________________

26. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

27. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен .

28. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен .

_______________________

29. В ромбе   . Найдите синус угла .

Трапеция                                                                                                                                                                                 

Определение: Трапецией     называется четырёхугольник, у которого две                              b                                                                                                             

стороны  параллельны, а две другие не параллельны.                                                         M                    N  

Виды трапеций: прямоугольная и равнобедренная.                                                               n        m

Свойства равнобедренной трапеции:                                                                                                a

1. углы при каждом основании равны;
2. диагонали равны;
3. n =  , m = .                                                                                                                                                                

Средняя линия трапеции:   линия, соединяющая середины боковых сторон трапеции.

Свойства средней линии трапеции: 1) параллельна основаниям;                                                                                                                                                                                                                                                                        .                                                                2) равна их полу сумме.                  MN =                                                                                                                                                                            

30. В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Равнобедренная трапеция

31. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

32. Найдите больший угол равнобедренной трапецииABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой сторонойAB углы, равные 30° и 45° соответственно.

33. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

34. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен . Найдите ее периметр.

35.  В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

36. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.

________________________

37. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.

38. В трапеции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

____________________________

39. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 32.

40. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

________________________________

41. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен . Найдите боковую сторону.

42. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен . Найдите меньшее основание.

43. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен . Найдите высоту трапеции.

44. Основания равнобедренной трапеции равны 50 и 104, боковая сторона 45. Найдите длину диагонали трапеции.

Средняя линия трапеции

45. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

46. Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных клеток равны 1.

______________________

47. Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных клеток равны .

_______________________

48. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

_____________________________

49. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

50. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

51. Основания трапеции относятся как , а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

52. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

53. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

54. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

55. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

56. В прямоугольной трапеции  с основаниями  и  угол  прямой, , . Найдите среднюю линию трапеции.

57. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

________________________________

58. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 3,1 м, высота большей опоры 3,3 м. Найдите высоту малой опоры.

59. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,5 м, а наибольшая h2 равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.

60. Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,2 м. Ответ дайте в метрах.

Многоугольники

61. Сумма трёх углов выпуклого четырёхугольника равна 322°. Найдите его четвёртый угол. Ответ дайте в градусах.

62.  — правильный девятиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

63. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, ∠B = 32°, ∠D = 94°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Разные задачи

64. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 15 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 8 м (см. рис.). Найдите суммарную длину изгороди в метрах.

65. Садовод решил разбить на своём дачном участке 4 квадратные клумбы и 8 клумб в виде правильных треугольников, огородив каждую из них небольшим заборчиком. Длина каждой стороны у любой клумбы равна одному метру. Найдите общую длину всех заборчиков в метрах.

_________________________________

66. На карте показан путь Лены от дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите длину пути (в м), если масштаб 1 см : 10 000 см.

________________________________

67. Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?

__________________________

68. Определите высоту дома, ширина фасада которого равна 8 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

69. Лестница соединяет точки    и   , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту   (в метрах), на которую поднимается лестница.

70. Склоны горы образуют с горизонтом угол  , косинус которого равен 0,8. Расстояние по карте между точками  A  и  B  равно 10 км. Определите длину пути между этими точками через вершину горы.

Задание № 8.

Решение уравнений.

1. Линейные уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Основные свойства уравнений.

Замечание: при решении уравнений НЕ РАЗРЕШАЕТСЯ умножать или делить обе части на выражение содержащее неизвестное.

Пример неверного решения: 5х2 = 6х, 5х = 6, х =  . Утрачен корень х = 0.

Алгоритм решения уравнения с одним неизвестным.

1. Решите уравнения: а) 6х = 2;  б)  х + 5,2 = 0 ;    в)   

г)     д)    е)   

ж)    з)

2.    Решите уравнения: а)   б)   ;

 в)      г)     ;   д)  ;  

       е)    ж)    з)    и)   

3. Решите уравнения:  а) Если корней несколько, запишите их в ответ в порядке возрастания, через точку с запятой.
4. При каком значении  значения выражений  и  равны?

2. Системы линейных уравнений

Методы решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Метод подстановки:

Пример.

2) Метод сложения:

Пример:

3)Графический метод

                          y

 у = -2х + 3 = 1,5х – 0,5  

          у = 1,5х – 0,5  

                                              1

1 ·

·                          1                                 х                             Ответ: (1;1).

5. Решите системы уравнений: а) б) в)   г)

В ответе запишите суммурешений системы.

6. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C.

3. Квадратные уравнения

Таблица квадратов чисел от 11 до 25.

Уравнение вида    ах2 + bх + с = 0,  где   а (а ≠ 0), b, с  действительные числа, называется квадратным.

7. Решите уравнения:  а) 8x2 − 12x + 4 = 0.   б)  в)– 3х2 + 4х – 7.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

8. Найдите корни уравнений  а)10 – 2х + х2= 0 ; б) в) .

г)д)х(х – 1)=72.е)

ж)

9. Решите уравнения по теореме Виета: а) .  б)    в)  х2 + 4х - 5 = 0

10. Уравнение  имеет корни −6; 4. Найдите 

11.Разложите на множители: а) х2 – 5х  + 6 ; б) 2х2 - х  - 1

12. Найдите корни уравнений:  

а)х2 = 36;  б)  х2 = 13;   в)  х2 = 0;   д) х2 = 1 ;  е) 4х2 = 81

ж) х2 + 121 = 0 ; з)   и)   х2 – 27 = 5 ; к ) 25 – 16х2=0 ;  

л)  5х2 = 125;  м);    н )4 =  .

13. Найдите корни уравнений: а)   ; б) х = – 5х2;   в) г)  
14. Квадратный трёхчлен разложен на множители:  Найдите 

15. На рисунке изображены графики функций  и  Вычислите координаты точки B. Запишите координаты в ответе через точку с запятой.
16. Найдите корни уравнений:    а) .    б) .

IV. Рациональные уравнения

17. Решите уравнения:   а)   .  б)      в)
18. Найдите корень уравнения :
19. Решите уравнения: б)  Если корней несколько, в ответ запишите больший из них.
20. Решите уравнение:   а)      б)  .
21. Периметр прямоугольника равен 1м, а площадь 4дм2. Найти его стороны.
22. Расстояние в 400км скорый поезд прошел на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?
23. Сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найдите эти числа.  

Вероятность.

I. Под вероятностью наступления события  А  будем понимать отношение  n  количества событий, которые устраивают нас по условию задачи  к  N(A) общему количеству событий  (А) =  .     Р(А) ≤ 1.

Задачи о выборе объектов из набора.

1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос. Ответ:0,95

------------------------------------------

2. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка. Ответ: 0,2

------------------------------------------

3. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Ответ: 0,25.

-------------------------------------------

4. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Ответ:0,4

--------------------------------------------

5. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Ответ:0,25

---------------------------

6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36

--------------------------------------

7. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами. Ответ: 0,75

-------------------------------------------

8. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Ответ: 0,2

            _____________________

9. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0,25

----------------------------------

10. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? Ответ: 0,3

------------------------------------------

11.  Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ:0,36

Задачи о подбрасывании кубика.

12. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.Ответ: 0,25

---------------------------

13. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»? Ответ:4

Задачи о подбрасывании монеты.

14. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Ответ: 0,5
15. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки. Ответ: 0,5

II. Вероятность суммы противоположных событий : P(A) + P(= 1

17. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет. (решить задачу двумя способами) Ответ: 0,85

------------------------------------------

18. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Ответ: 0,81

--------------------------------------------

19. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. Ответ: 0,05

----------------

20. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными? Ответ: 0,9604

_______________________________________

21. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A? Ответ: 0,75

22. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ:0,07
23. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ:0,38

III. Если  происходят события  А или В, то их общая вероятность вычисляется, как сумма вероятностей каждого события: Р = Р(А) + Р(В).

24. В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 37 – красные, 8 – зелёные, 17 – фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит красную или чёрную ручку. Ответ: 0,56

______________________

25. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. Ответ: 0,7

26. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ:0,35

IV. Если одновременно происходят события  А и В, то их общая вероятность вычисляется, как произведение вероятностей каждого события:  Р = Р(А) · Р(В).

27. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза. Ответ: 0,156

____________________

28. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Ответ:0,027

29. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу . Ответ: 0,0625

________________

30. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Ответ: 0,0625

31. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ:0,52

_____________________

V. Разные задачи

32. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: 0,02

_____________________

33. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Ответ:0,9975
34. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Ответ:0,91

___________________________

35. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

Ответ: 0,25

-----------------------------

36. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом). Ответ:0,91
37. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ:0,52

Статистика

VI. Среднее арифметическое    и среднее геометрическое   двух величин. Мода и медиана.

Ранжирование ряда чисел – расположение чисел в порядке возрастания (убывания)

Размах ряда чисел – разность между наибольшим и наименьшим значением.

Модой (Мо) – называется число, которое встречается в данном ряду чаще всего. (типичный показатель)

Пр. 1,2,3,4,5,6,7 – моды нет; 112266544321, Мо = 2, Мо = 1 .

Медиана Ме – среднее значение ранжированного ряда. (если нечетное – то точное число, если четное, то среднее арифметическое двух соседних чисел.

38. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

VII. Частота.

Определение: Частота событий есть отношение появления количества нужных нам событий к общему числу событий.

Замечание: Частота численно близка вероятности появления случайного события при длинных сериях испытаний.

38. Средний рост жителя города, в котором живет Даша, равен 170 см. Рост Даши 173 см. Какое из следующих утверждений верно?

1) Даша — самая высокая девушка в городе.

2) Обязательно найдется девушка ниже 170 см.

3) Обязательно найдется человек ростом менее 171 см.

4) Обязательно найдется человек ростом 167 см.  

39. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке. 

40. Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер. Ответ: 4
41. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
42. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события? Ответ: 0,011

Прогрессии.

Числовые последовательности. Рекуррентная формула.

Пример.

Числа Фибоначчи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Формула n-го члена последовательности Фибоначчи:  

______________________

Практические задания:

1. Вычислить первые три члена последовательности, которая задана формулой:

  а)an =  2n + 3;   б) an =  100 – 10n3

2. Задание 6 № 137297. Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 1?

3. Задание 6 № 137294. Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

4. Задание 6 № 137295. Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

_____________________

Рекуррентная формула – формула, связывающая последующий и предыдущий член числовой последовательности.

5. Найти первые четыре члена последовательности, заданной условием a1 = 2и рекуррентной формулой:an+1 =  5 – 2an.

6. Задание 6 № 137307. Последовательность задана условиями ,  . Найдите .

Арифметическая прогрессия

Определение: Последовательность  a1 , a2, a3, … ,anназывается арифметической прогрессией, если ее можно задать рекуррентной формулой: an+1 = an + d, nN, d = an+1– an– разность последовательности.

Формулаn–го члена: an= a1 + (n – 1)d.

Характеристическое свойство: an= (an-1 + an+1):2– среднее арифметическое.

Свойство двух членов: ak+ al = an+ am,  где  k+ l = n + m

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Практические задания

7. Задание 6 № 137298. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

8. Задание 6 № 137300. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

9. Задание 6 № 341703. Дан числовой набор. Его первое число равно 6,2, а каждое следующее число на 0,6 больше предыдущего. Найдите пятое число этого набора.

10. Задание 6 № 321384. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

11. Задание 6 № 311363. В арифметической прогрессии    известно, что  . Найдите четвёртый член этой прогрессии.

12. Задание 6 № 137303. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

13. Задание 6 № 341221. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −2,5, a1 = −9,1. Найдите сумму первых 15 её членов.

Найдите первый член арифметической прогрессии, если d = -3; a11= 20

14. Задание 6 № 113. Дана арифметическая прогрессия   Найдите  .

Задание 6 № 321663. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

15. Задание 6 № 341201. Арифметическая прогрессия  задана условиями:  Найдите  

Рекуррентная формула – формула, связывающая предыдущий и последющий члены последовательности.

16. Задание 6 № 311330. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена   (рекуррентная формула) и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

17. Задание 6 № 137305. Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

18. Задание 6 № 311909. Арифметическая прогрессия задана условиями:  .  Найдите сумму первых 19 её членов.

19. Задание 6 № 35. Дана арифметическая прогрессия:  Найдите сумму первых десяти её членов.

20. Задание 6 № 314408. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …

21. Задание 6 № 314399. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность  a1 , a2, a3, … ,anназывается геометрической прогрессией, если ее можно задать рекуррентной формулой: an+1 = an∙q,nN,q– знаменатель последовательности (a1 0).

Формула n - го члена:bn= b1∙qn-1.

Характеристическое свойство: bn2 = bn+1 ∙ bn-1 .

Свойство двух членов: ak∙ al = an∙ am,  где k∙l = n∙m

Формула суммыnпервых членов геометрической прогрессии:

Практические задания

22. Задание 6 № 311318. В геометрической прогрессии  известно, что . Найти пятый член этой прогрессии.

23. Задание 6 № 341198. Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.

24. Задание 6 № 137299. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

25. Задание 6 № 321553. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите её четвёртый член.

26. Задание 6 № 341191. Геометрическая прогрессия задана условием  Найдите сумму первых её 4 членов.

27. Задание 6 № 311353. Геометрическая прогрессия    задана формулой   - го члена  . Укажите четвертый член этой прогрессии.

28. Задание 6 № 341220. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: − 256; 128; − 64; … Найдите сумму первых семи её членов.

29. Задание 6 № 341217. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 5,

30. Задание 6 № 341206. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn. Найдите сумму первых 5 её членов.

Задание 12.

Площади многоугольников

Задачи на квадратной решетке

1. Задание 3 № 27548. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
2. Задание 3 № 27546. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
3. B 5 № 27552. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

5. Задание 3 № 27551. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

6. B 5 № 27561. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Ответ: 12

7. Задание 3 № 27553. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

8. Задание 8 № 510199. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1м × 1м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

9. Задание 3 № 505375. Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Задание 12 № 314837. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

11. B 5 № 27556. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Ответ: 17,5

12. B 5 № 244985. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 3

13. B 5 № 244986. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14. Задание 12 № 323790. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.

15. Задание 3 № 244993. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

16. Задание 3 № 244994.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

17. Задание 3 № 244999. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

18. Задание 3 № 245001. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Фигуры на координатной плоскости

19. B 5 № 27566. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).

20. B 5 № 27553

21. B 5 № 27580. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

22. B 5 № 27573. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (10;6), (5;6).

23. B 5 № 27705. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (8; 4), (8; 8), (2; 10).

Треугольники 

24. Задание 11 № 169853. В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

25. Задание 11 № 323436. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

26. Задание 11 № 169854. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

27. B 5 № 27622. Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

28. Задание 11 № 341524. В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

29. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 3, а другой катет – 4. Найдите площадь треугольника

30. B 5 № 27588. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из

31. Задание 9 № 341380. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

31. Задание 9 № 323344. Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

32. Задание 11 № 169889. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на .

33. Задание 11 № 323282. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

34. Задание 11 № 323356. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

35. Задание 11 № 323179. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

36. Задание 11 № 169850. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий  против основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на 

37. Задание 11 № 169851. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

38. Задание 11 № 169849. Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на 

Прямоугольник

39. Задание 11 № 169864. В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12. Найдите площадь прямоугольника.

40. Задание 11 № 316321. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58 и одна сторона на 5 больше другой.

41. Задание 11 № 311761. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

42. Задание 11 № 324077. В прямоугольнике одна сторона равна 96, а диагональ равна 100. Найдите площадь прямоугольника.

Квадрат

43. Задание 11 № 169862. Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

44. Задание 11 № 323997. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

45. B 5 № 27583. Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2. 

46. Задание 11 № 169863. Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата.

47. Задание 11 № 323977. Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь квадрата.

48. B 5 № 27608. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

49. B 5 № 27609. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Параллелограмм

50. Задание 11 № 65. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
51. Задание 11 № 339859. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
52. Задание 11 № 169878. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.
53. B 5 № 27585. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30°.
54. Задание 11 № 314870. Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка E — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

Ромб

55. Задание 11 № 323957. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
56. Задание 11 № 324097. Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.

57. Задание 11 № 324017. Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

58. B 5 № 27586. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 150°.

59. Задание 11 № 341523. Площадь ромба равна 54, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.

Трапеции

60. Задание 11 № 39. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

61. B 5 № 27627. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите ее высоту.

62. B 5 № 27594. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

63. Задание 11 № 340197. В трапеции ABCD AD = 5, BC = 2, а её площадь равна 28. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

64. Задание 11 № 323902. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

65. Задание 11 № 314882. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

66. Задание 11 № 169883. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

67. Задание 11 № 340408. В трапеции ABCD AD = 3, BC = 1, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.

Многоугольник

68. B 5 № 27595. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника. 

Площадь круга

                                   S =                         D = 2R

Подобие:       

69. Задание 11 № 169886. Радиус круга равен 1. Найдите его площадь, деленную на π.

70. Задание 3 № 27597. Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

71. Задание 3 № 27646. Найдите площадь  круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

72. Задание 3 № 315133. На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

73. Задание 3 № 27562.

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). В ответе запишите .

74. Задание 3 № 27599. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

75. Задание 3 № 245008. Найдите (в см2) площадь  кольца, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). В ответе запишите .

76. Задание 3 № 315124. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

77. Задание 10 № 341522. Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

Связь площади треугольника с радиусом описанной окружности.

78. Задание 3 № 27896. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

, где  p = , r -  радиус вписанной окружности.

79. B 5 № 27626. Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.

Вычисление площадей

80. Задание 17 № 311323. Определите, сколько необходимо закупить пленки  для гидроизоляции садовой дорожки, изображенной на рисунке, если её ширина везде одинакова.

81. Задание 17 № 311358. Дизайнер Павел получил заказ на декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см2) необходимо закупить Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без загибов).

82. Задание 17 № 311918. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина — 10 метров, а длина — 25 метров. Найдите суммарную площадь боковых стен и дна бассейна (в квадратных метрах).

83. Задание 17 № 325147. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м?

84. Задание 17 № 325157. Две трубы, диаметры которых равны 7 см и 24 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.

85. Задание 17 № 325197. Сколько досок длиной 4 м, шириной 20 см и толщиной 30 мм выйдет из бруса длиной 80 дм, имеющего в сечении прямоугольник размером 30 см × 40 см?

86. Задание 17 № 340269. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 19 см и 32 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1080 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

87. Задание 17 № 340291. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)?

88. Задание 11 № 322861. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

89. Задание 8 № 509773. Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 140 квадратных метров (см. чертёж), причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?

90. Задание 8 № 507006.  Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла. Кухня имеет размеры 3 м на 3,5 м, санузел — 1 на 1,5 м, длина коридора — 5,5 м. Найдите площадь комнаты. Ответ запишите в квадратных метрах.

Задание №14

Линейные неравенства

1. Задание 8 № 338590. Решите неравенство  В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) (− ∞; 8)     2) (− ∞; 1)     3) (8; +∞)     4) (1; +∞)

2. Задание 8 № 338695. Решите неравенство  В ответе укажите номер правильного варианта.

1) [−0,4; +∞)    2) (−∞; −2]     3) [−2; +∞)     4) (−∞; −0,4]

__________________

3. Задание 8 № 314567. Решите неравенство  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

В ответе укажите номер правильного варианта.

4. Задание 8 № 314580. Решите неравенство  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

В ответе укажите номер правильного варианта.

5. Задание 8 № 339292. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

В ответе укажите номер правильного варианта.

_________________________

6. Задание 8 № 319930. При каких значениях a выражение 5a + 9 принимает отрицательные значения?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)       2)       3)       4) 

7. Задание 8 № 338490. При каких значениях x значение выражения 9x + 7 меньше значения выражения 8x − 3? В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) x > 4     2) x < 4     3) x > − 10     4) x < − 10

8. Задание 8 № 338677. При каких значениях x значение выражения 6x − 2 больше значения выражения 7x + 8? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > − 10     2) x < − 10     3) x > − 6      4) x < − 6

_________________________

9. Задание 8 № 338481. Решите неравенство  В ответе укажите номер правильного варианта.

1) (−4; +∞)     2) (−12; +∞)     3) (−∞; −4)      4) (−∞; −12)

10. Задание 8 № 311417. Решите неравенство  .

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)     2)     3)      4) 

________________

11. Задание 8 № 314557. Решите неравенство  

и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.

12. Задание 8 № 314581. Решите неравенство  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений. В ответе укажите номер правильного варианта.

13. Задание 8 № 341213. На каком рисунке изображено множество решений неравенства  В ответе укажите номер правильного варианта.

Системы неравенств

14. Задание 8 № 333109. Решите систему неравенств 

На каком рисунке изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

________________

15. Задание 8 № 341322. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

16. Задание 8 № 311672. Решите систему неравенств

На каком рисунке изображено множество её решений? В ответе укажите номер правильного варианта.________________

17. Задание 8 № 311949. Решите систему неравенств