Дистанционное обучение

Задачи на перебор. Вероятность событий

1. Простейшие задачи на перебор возможных вариантов (6 класс):

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.

После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе?  Записать все эти варианты.

Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик.  Рассмотрим тот  вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.

Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких  местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.  

В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.

Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.

Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:

ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.  

Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы

В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и  встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.

2. Задачи на отработку понятий: случайное, достоверное, невозможное событие.

Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете:

А) при бросании кубика вы получите шестерку;

Б) при бросании кубика вы получите число больше 6;

В) при бросании кубика вы получите четное число;

Г) при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7

Д) при бросании кубика вы получите число больше 1;

Е) при бросании кубика вы получите нечетное число;

Ж) кубик, упав, останется на ребре.

В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете:

А) из мешка вынули 4 шара и все они синие;

Б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;

В) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета;

Ученик задумал натуральное число. Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете.

А) Задумано четное число;

Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;

В) Задумано нечетное число;

Г) задумано число, являющееся четным или не четным.

Полезно рассмотреть задачи следующего плана:

1) Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый  стол праздновать день рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Вини и Пятачок будут сидеть рядом» является достоверным, а при каком  случайным?

2) В школе учится N учеников. При каких N событие: «В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?

3. Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.

Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».

Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз,  когда кнопка упала острием вверх.

Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.

Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов).  Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.

Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:

Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».

Решение задач № 144, 146, 147, 151, 158

Домашнее задание №№ 140, 147, 189

6 класс

Тема.  Произведение целых чисел.

Цель.         Продолжить формировать навыки умножения целых чисел; Рассмотреть правило возведения целого числа в степень.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2.  Анализ самостоятельной работы.
3. Актуализация опорных знаний.

1. Как сложить два отрицательных числа?
2. Как сложить два числа с разными знаками?
3. Как вычесть два числа?
4. Как умножить два отрицательных числа?
5. Как умножить два числа с разными знаками?
6. Чему равно произведение любого целого числа и нуля?
7. Чему равно произведение любого целого числа и единицы?
8. Чему равно произведение любого целого числа и минус единицы?

Объяснение нового материала.

4. Решение упражнений.

1. Вычислите наиболее простым способом: 

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

2. Вычислите: 

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

3. Вычислите: 

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

4. Определите знак произведения:        

1)  (т.к. в произведении нечетное количество отрицательных множителей);

2) (т.к. в произведении четное количество отрицательных множителей).

5. Объяснение нового материала.

Степень целого числа a с натуральным показателем n.

Для целых чисел степень числа с натуральным показателем определяется так же как и для натуральных чисел.

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n (n>1) называют произведение n множителей каждый из которых равен а.

.

Пример 1. Вычислите:        

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Определение. Первая степень любого числа равна самому этому числу.    .

Пример 2. Вычислите:        

1) ;

2) .

Проанализируем пример 1. Какой знак у результата при возведении отрицательного числа в четную или нечетную степень.

        Если отрицательное число возводим в нечетную степень, то результат будет отрицательный.

        Если отрицательное число возводим в четную степень, то результат будет положительный.

Пример 3. Определите знак степени:        

1)  (т.к. отрицательное число возводим в нечетную степень);

2)  (т.к. отрицательное число возводим в четную степень).

Пример 4. Вычислите:        

1) ;

2)

6. Решение упражнений.

Рабочая тетрадь стр. 52. Упр. № 1 - 11

7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.

6 класс

Тема.  Частное целых чисел.

Цель.         Проверить знания учащихся по теме «Произведение целых чисел». Ознакомить учащихся с правилами деления целых чисел; формирование навыков деления целых чисел.  

Ход урока.

1. Организационный момент.
2.  Проверка домашнего задания.
3. Актуализация опорных знаний.

1. Как умножить два отрицательных числа?
2. Как умножить два числа с разными знаками?
3. Чему равно произведение любого целого числа и нуля?
4. Чему равно произведение любого целого числа и единицы?
5. Чему равно произведение любого целого числа и минус единицы?

4. Самостоятельная работа по теме «Произведение целых чисел».

Вариант 1.

1. Вычислите:

1) –12 ⋅ 5 = –60;         3) –8 ⋅ (–32) = 256;        5) 35 ⋅ (–16) = –560;

2) –48 ⋅ (–1) = 48;        4) –57 ⋅ 0 = 0;        6) –39 ⋅ 1 = –39.

2. Сравните с нулём произведение:  .

3. Выполните действия: .

Вариант 2.

1. Вычислите:

1) –13 ⋅ 4 = –52;         3) –9 ⋅ (–21) = 189;        5) 29 ⋅ (–17) = –493;

2) –47 ⋅ (–1) = 47;        4) –86 ⋅ 0 = 0;        6) –38 ⋅ 1 = –38.

2. Сравните с нулём произведение:  .

3. Выполните действия: .

5. Объяснение нового материала.

Частное целых чисел.

При делении целых чисел надо руководствоваться следующими правилами.

Определение 1. Чтобы разделить два отрицательных числа, надо поставить знак плюс, а модули разделить.

Пример 1. Вычислите:        

1) ;

2) .

Определение 2.Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо поставить знак минус, а модули разделить.

Пример 2. Вычислите:        

1) ;        

2) .

Особые случаи деления.

Пример 3. Вычислите:        

1) , то ;        

При делении целого числа (отличного от нуля) самого на себя получаем 1.

2) , то ;

При делении целого числа на 1 частное равно делимому.

3) , то ;

При делении целого числа на -1 в частном получаем число, противоположное делимому.

4) , то ;

Частное от деления нуля на любое число, отличное от нуля, равно нулю.

5) .

На нуль делить нельзя.

6. Решение упражнений.

4. Вычислите: 

1. ;        3) ;
2. ;        4) .

5. Вычислите: 

1. ;        3) .
2. ;

6. Определите знак частного.

1. ;        3) ;
2. ;        4) .

7. Определите знак числа х:

1. ,        3) ,

.        .

2. ,        4) ,

.        .

Рабочая тетрадь стр.56 № 1 - 7

7. Подведение итогов урока.

6 класс

Тема.  Распределительный закон.

Цель.         Продолжить формирование навыки применения распределительного закона; научиться применять распределительный закон для вынесения общего множителя за скобки.  

Ход урока.

1. Организационный момент.
2.  Проверка домашнего задания.
3. Анализ самостоятельной работы.
4. Актуализация опорных знаний

1. Как сложить два отрицательных числа? А с разными знаками?
2. Как вычесть два числа?
3. Как умножить два отрицательных числа? А с разными знаками?
4. Как разделить два отрицательных числа? А с разными знаками?
5. Сформулировать распределительный закон умножения.
6. Как называют переход от произведения к сумме?

5. Решение упражнений.

Уч.с.69 № 351(Устно). Верно ли применен распределительный закон:

а)  (верно);

б)  (неверно);

в)  (верно);

г)  (верно).

Уч.с.69 № 354 (2ст.). Упростите числовое выражение:

б) ;

г) .

Уч.с.69 № 355 (2ст.). Упростите числовое выражение:

б) ;

г) .

Уч.с.69 № 353 (б). Упростите числовое выражение:

б) .

6. Объяснение нового материала.

Использование распределительного закона для вынесения общего множителя за скобки.

Вспомним, как использовался распределительный закон для вынесения общего множителя за скобки для положительных чисел.

Распределительный закон. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое  слагаемое и полученные произведения сложить:

а ⋅ b + а ⋅ с = а ⋅ (b + с).        

Как называют переход от суммы к произведению? (Вынесением общего множителя за скобки)

Уч.с.68 № 346(а,в,д,ж). Вычислите удобным способом:

а) ;

в) ;

д) ;

е)

.

Для любых целых чисел а, b и с применяют распределительный закон для вынесения общего множителя за скобки. а ⋅ b + а ⋅ с = а ⋅ (b + с).

Пример 6. Вычислите удобным способом:

1. ;
2. .

7. Решение упражнений.

Уч.с.68 № 356(2ст.). Вынесите общий множитель за скобки по образцу:

в) ;

д) ;

ж) .

Уч.с.68 № 357(г-е.). Вынесите общий множитель за скобки со знаком «+»:

г) ;

д) ;

е) .

Уч.с.68 № 358(г-е.). Вынесите общий множитель за скобки со знаком «–»:

г) ;

д) ;

е) .

Уч.с.68 № 359(2ст.). Вычислите:

б) ;

г) ;

е) .

8. Подведение итогов урока.

Рабочая тетрадь стр.58. упр. № 1 – 5, 9, 10

6 класс

Тема.  Раскрытие скобок и заключение в скобки.

Цель.         Продолжить формирование навыки применения распределительного закона при раскрытии скобок и  для вынесения общего множителя за скобки. Рассмотреть правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Научится его применять при решении упражнений.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2.  Проверка домашнего задания.
3. Актуализация опорных знаний

1. Как использовать распределительный закон для раскрытия скобок?
2. Как использовать распределительный закон для вынесения общего множителя за скобки?
3. Как сложить два отрицательных числа? А с разными знаками?
4. Как вычесть два числа?
5. Как умножить два отрицательных числа? А с разными знаками?
6. Как разделить два отрицательных числа? А с разными знаками?

4. Решение упражнений.

1. Упростите числовое выражение:

1) ;

2) .

2. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

3. Найдите значение выражения:

1) ;

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2) ;

1) ;        

2) ;        

3) ;

4) .

5. Объяснение нового материала.

Раскрытие скобок.

Определение. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо знак плюс и скобки опустить, а знаки в скобках оставить прежними.

+ (а + b) = а + b.        

Пример 1. Раскройте скобки, объясняя свои действия.

1. + (12 + 13) = 12 + 13;
2. + (21 – 15) = 21 – 15;
3. + (– 21 + 15) = –21 + 15;
4. + (– 36 – 13) = –36 – 13.

Определение. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо знак минус и скобки опустить, а знаки в скобках поменять на противоположные.

– (а + b) = –а – b.        

Пример 2. Раскройте скобки, объясняя свои действия.

1. – (14 + 38) = –14 – 38;
2. – (27 – 45) = –27 + 45;
3. – (– 11 + 17) = 11 – 17;
4. – (– 31 – 12) = 31 + 12.

6. Решение упражнений.

Уч.с.71 № 364(в,г). Раскройте скобки, объясняя свои действия:

в) + (– 3 + 8 + 7) = –3 + 8 + 7;

г) + (– 10 – 12 + 1) = –10 – 12 + 1.

Уч.с.71 № 365(в,г). Раскройте скобки, объясняя свои действия:

в) – (– 3 + 8 + 7) = 3 – 8 – 7;

г) – (– 10 – 12 + 1) = 10 + 12 – 1.

Уч.с.72 № 369(в,г). Раскройте скобки:

в) – (7 ∙ 8 – 20) + 7 ∙ 8 = –7 ∙ 8  + 20 + 7 ∙ 8;

г) + (99 – 5 + 8) – 17 = 99 – 5 + 8 – 17.

Уч.с.72 № 371(г,д). Раскройте скобки и вычислите сумму:

г) + (– 32 – 491) + 32 = – 32 – 491 + 32 = – 491;

д) – (– 129 + 59) – 129 = 129 – 59 – 129 = – 59.

Уч.с.72 № 373(в,г). Вычислите:

г) (–48 + 101 – 29) – 101 + 29 = –48 + 101 – 29 – 101 + 29 = – 48;

д) – (– 79 – 39 + 81) + 81 – 39 = 79 + 39 – 81 + 81 – 39 = 79.

Уч.с.72 № 372(в,г). Вычислите:

в) (– 238 + 742) – 42 = – 238 + 742 – 42 = (742 – 42) – 238=700 – 238= 462;

г) – (–356 + 145) – 56 = 356 – 145 – 56 = (356 – 56) – 145 = 300 – 145= 155.

Уч.с.71 № 364(в,г).

Уч.с.71 № 365(в,г).

Уч.с.72 № 369(в,г).

Уч.с.72 № 371(г,д).

Уч.с.72 № 373(в,г).

Уч.с.72 № 372(в,г).

Рабочая тетрадь. стр.62. № 1 – 4

7. Объяснение нового материала.

Заключение в скобки.

Определение. Если знак плюс выносится за скобки, то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, оставляют без изменения.

а + b = + (а + b).        

Пример 1. Заключите слагаемых в скобки, перед ними поставьте знак «+».

5. 16 + 23 = + (16 + 23);
6. 41 – 25 = + (41 – 25);
7. –12 + 45 = + (– 12 + 45);
8. –56 – 23 = + (– 56 – 23).

Определение. Если знак минус выносится за скобки, то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.

а + b = – (–а – b).        

Пример 2. Заключите слагаемых в скобки, перед ними поставьте знак «–».

5. –16 – 58 = – (16 + 58);
6. –17 + 43 = – (17 – 43);
7. 13 – 19 = – (– 13 + 19);
8. 21 + 42 = – (– 21 – 42).
9. Решение упражнений.

Уч.с.72 № 375(2ст.). Заключите первые два слагаемых в скобки, перед скобками поставьте знак «+»:

б) –56 + 38 – 12 + 100 = + (–56 + 38) – 12 + 100;

г) –43 – 59 + 35 + 11 = + (–43 – 59) + 35 + 11;

е) –57 + 48 – 17 + 23 = + (–57 + 48) – 17 + 23.

Уч.с.72 № 376(2ст.). Заключите первые два слагаемых в скобки, перед скобками поставьте знак «–»:

б) –56 + 38 – 12 + 100 = – (56 – 38) – 12 + 100;

г) –43 – 59 + 35 + 11 = – (43 + 59) + 35 + 11;

е) –57 + 48 – 17 + 23 = – (57 – 48) – 17 + 23.

Уч.с.70 № 361(а,б). Вычислите:

а)

;

б)

.

Рабочая тетрадь. стр.62. № 5 – 4

8. Подведение итогов урока.

6 класс

Тема.  Действия с суммами нескольких слагаемых.

Цель.         Продолжить формирование навыки применения распределительного закона при раскрытии скобок и  для вынесения общего множителя за скобки. раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–», заключения слагаемые в скобки, перед которыми поставим знак «+» или «–», действия с суммами нескольких слагаемых.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2.  Проверка домашнего задания.
3. Актуализация опорных знаний.

1. Как использовать распределительный закон для раскрытия скобок?
2. Как использовать распределительный закон для вынесения общего множителя за скобки?
3. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? А вынести «+» за скобки?
4. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–»? А вынести «–» за скобки?
5. Как сложить два отрицательных числа? А с разными знаками?
6. Как вычесть два числа?
7. Как умножить два отрицательных числа? А с разными знаками?
8. Как разделить два отрицательных числа? А с разными знаками?

4. Решение упражнений.

1. Упростите числовое выражение:

1) ;

2) .

2. Вычислите наиболее простым способом:

1) ;

2) .

3. Найдите значение выражения:

.

1) ;        3) ;

2) ;        4) .

4. Вычислите:

1) (–76 + 125 – 37) – 125 + 37 = –76 + 125 – 37 – 125 + 37 = – 76;

2) – (– 79 – 39 + 81) + 81 – 39 = 79 + 39 – 81 + 81 – 39 = 79.

5. Вычислите:

1) (234 – 26) – 74 = 234 – 26 – 74 = 234 – 100 = 134;

2) – (541 – 39) + 61 = –541 + 39 + 61 = –541 + 100 = – 441.

5. Объяснение нового материала.

Действия с суммами нескольких слагаемых.

Мы с вами уже знаем как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+» или «–». Но встречаются суммы, в которых стоящие перед скобками знаки «+» и «–» обозначают действия сложения и вычитания. Как поступить в этом случае?

1) а + (b – с) = ?.        

Наводящие вопросы:

1. Сколько слагаемых в примере?
2. Какой знак стоит перед вторым слагаемым?
3. А как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»?

Т.е в данном примере применимо изученное правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+». Значит:

а + (b – с) = а + b – с.

Пример 1. Раскройте скобки:

1. 7 + (8 – 3) = 7 + 8 – 3;        3) 6 + (– 7 – 10) = 6 – 7 – 10.
2. –9 + (– 4 + 5) = –9 – 4 + 5;

2) а – (b – с) = ?.        

Наводящие вопросы:

1. Сколько слагаемых в примере?
2. Какой знак стоит перед вторым слагаемым?
3. А как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–»?

Т.е в данном примере применимо изученное правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «–». Значит:

а – (b – с) = а – b + с.

Пример 2. Раскройте скобки:

1. –8 – (5 – 9) = –8 – 5 + 9;        3) –7 – (– 8 – 4) = –7 + 8 + 4
2. 3 – (– 7 + 11) = 3 + 7 – 11;

При вычислении суммы нескольких слагаемых используют правила раскрытия скобок, заключения в скобки и законы сложения. Иногда складывают сначала положительные, потом отрицательные слагаемые и находят сумму полученных результатов, применяя правило сложения чисел с разными знаками.

6. Решение упражнений.

Уч.с.73 № 380(2ст.). Раскройте скобки и вычислите:

б) –49 – (–49 + 2) = –49 + 49 – 2 = – 2;

г) 100 – (–5 + 100) = 100 + 5 – 100 = 5;

е) (–78 + 23) + (27 + 78) = –78 + 23 + 27 + 78 = 50;

з) (105 – 48) – (62 + 105) = 105 – 48 – 62 – 105 = – 110.

Уч.с.74 № 381(1ст.). Вычислите, раскрывая скобки только в тех случаях, когда это облегчает вычисления:

а) 79 – (63 + 7) = 79 – 70 = 9;

г) 43 + (77 – 43) = 43 + 77 – 43 = 77;

ж) 93 – (68 + 93) = 93 – 68 – 93 = –68;

к) 48 – (18 + 19) = 48 – 18 – 19 = 30 – 19 = 11;

н) 52 – (32 – 41) = 52 – 32 + 41 = 20 + 41 = 61.

Уч.с.70 № 361(в). Вычислите:

в)

.

7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание. § 2.11 (выучить теорию). № 379(1ст.), 380(1ст.), 381(3ст.).

6 класс

УРОК № 56. Глава 2.  Целые числа (36 часов)

Тема.  Действия с суммами нескольких слагаемых.

1. Упростите числовое выражение:

1) ;        2) .

2. Вычислите наиболее простым способом:

1) ;        2) .

3. Найдите значение выражения:        .

4. Вычислите:

1) (–76 + 125 – 37) – 125 + 37;        2) – (– 79 – 39 + 81) + 81 – 39.

5. Вычислите:

1) (234 – 26) – 74;        2) – (541 – 39) + 61.

Решение упражнений после объяснения нового материала.

Уч.с.73 № 380(2ст.), 381, 361(в).

Рабочая тетрадь. Стр. 64. № 2 – 6.

Математика 6

Тема.  Сравнение положительных десятичных дробей.

Цель.         Продолжить формировать у учащихся умения записывать и читать десятичные дроби. Ознакомить учащихся с правилом сравнения десятичных дробей; формирование умения сравнивать десятичные дроби.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация опорных знаний.

1. Какая дробь называется десятичной?

2. Как называются разряды десятичной дроби, стоящие от запятой слева? А справа?

3. Какова зависимость между количеством цифр после запятой в десятичной дроби и количеством нулей в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби?

4. Решение упражнений.

1.(Устно). Прочитайте дроби:

1) 12,5;        3) 3,54;        5) 19,345;        7) 1,1254.

Назовите: а)целую часть дроби; б) дробную часть дроби; в) разряды дроби.

2. Прочитайте дроби и запишите их в виде десятичной дроби:

1) ;        5) ;        

2) ;        6) ;        

3) ;        7) ;

4) ;        8) .

3. Запишите десятичной дробью:

1) 8 целых 3 десятых;  (8,3)        5) 145 целых 14 сотых;  (145,14)

3) 0 целых 5 десятых;  (0,5)        8) 0 целых 3 сотых.        (0,03)

4. Выразите в рублях:

1) 35 к. =  р. = 0,35 р.;

2) 6 к. =  р. =  р. = 0,06 р.;

3) 12 р. 35 к. =  р. = 12,35 р.;

4) 123 к. = 1 р. 23 к. =  р. = 1,23 р.

5. Выразите в рублях и копейках:

1) 10,34 р. = 10 р. 34 к;

2) 0,52 р. = 0 р. 52 к.

5. Объяснение нового материала.

Сравнение положительных десятичных дробей.

Десятичные дроби можно сравнивать так же, как и натуральные числа. Если в записи десятичных дробей много цифр, то пользуются специальными правилами. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Сравните десятичные дроби:

1) Сравнение десятичных дробей начинается со сравнения целых частей:

15,2 • 4,89, (т.к. 15 • 4);

2) Если десятичные дроби имеют одинаковое число целых, то та из двух дробей больше, у которой разряд десятых больше:

3,47 • 3,29, (т.к. 4 • 2);

3) Если у десятичных дробей число целых и число десятых одинаково, то та из двух дробей больше, у которой разряд сотых больше:

0,69 • 0,679, (т.к. 9 • 7), и т.д.

4) Если у десятичных дробей не одинаковое количество десятичных разрядов и их количества не хватает для сравнения, то можно при-писать справа нуль, числу, у которого десятичных знаков меньше :

3,28 • 3,281,

3,280 • 3,281.

Запомните: Правила сравнения десятичных дробей.

1. Из двух десятичных дробей больше та, у целая часть больше.

2. Если целые части десятичных дробей равны, то сравнивают их дробные части поразрядно, начиная со старшего разряда.

6. Решение упражнений.

1. Сравните числа:

1) 6,7 • 6,8;        4) 26,39 • 26,279;

2) 5,4 • 4,9;        5) 0,4 • 0,09;

3) 12,4 • 12,42,        6) 5,1 • 5,098.

12,40 • 12,42;

2. Расположите в порядке возрастания числа: 7,4; 3,15; 3,6; 5,066; 5,2; 7,28:

3,15; 3,6; 5,066; 5,2; 7,28; 7,4.

3. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

1) 3,54 • х • 6,001,

х = 4; 5.                    Ответ: 4;5.

4. Выделите целую и дробную части числа и запишите данное число в виде десятичной дроби:

1) ;

2) ;

3) .

7. Подведение итогов урока.

1. Какая дробь называется десятичной?

2. Как называются разряды десятичной дроби, стоящие от запятой слева? А справа?

3. Как сравнить десятичные дроби с разными целыми частями?

4. Как сравнить десятичные дроби с одинаковыми целыми частями?

Математика 6

Тема.  Сравнение положительных десятичных дробей.

1.(Устно). Прочитайте дроби: 1) 12,5;        3) 3,54;        5) 19,345;        7) 1,1254.

Назовите: а)целую часть дроби; б) дробную часть дроби; в) разряды дроби.

2. Прочитайте дроби и запишите их в виде десятичной дроби:

1) ;        2) ;         3) ;        4) ;        

5) ;      6) ;    7) ;        8) .

3. Запишите десятичной дробью:

1) 8 целых 3 десятых;          5) 145 целых 14 сотых;  

3) 0 целых 5 десятых;          8) 0 целых 3 сотых.      

4. Выразите в рублях:  1) 35 к.;    2) 6 к.;    3) 12 р. 35 к.;    4) 123 к.

5. Выразите в рублях и копейках:  1) 10,34 р.;   2) 0,52 р.

Решение упражнений после объяснения нового материала.

1. Сравните числа:

1) 6,7 и 6,8;                 2) 5,4 и 4,9;             3) 12,4 и 12,42;        

4) 26,39 и 26,279;       5) 0,4 и 0,09;            6) 5,1 и 5,098.

2. Расположите в порядке возрастания числа: 7,4; 3,15; 3,6; 5,066; 5,2; 7,28:

3. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

3,54 • х • 6,001,

4. Выделите целую и дробную части числа и запишите данное число в виде десятичной дроби:

1) ;          2) ;           3) .

Математика 6

Тема.  Сложение и вычитание положительных десятичных дробей.

Цель.         Закрепить навыки сложении положительных десятичных дробей; Объяснить правила вычитания положительных десятичных дробей; формирование навыков вычитании положительных десятичных дробей.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Актуализация опорных знаний.

1. Какая дробь называется десятичной?

2. Как называются разряды десятичной дроби, стоящие от запятой слева? А справа?

3. Как сложить десятичные дроби?

4. Решение упражнений.

1. Выполните сложение:

1) 9,6 + 4,25 = 13,85;        3) 12,61 + 26,137 = 38,747;

2) 14 + 2,8 = 16,8;         4) 0,326 + 0,7 = 1,026.

2. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

8,9 • х • 12,

х = 9; 10; 11.                    Ответ: 9; 10; 11.

3. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство:

1) 5,28 • 5,2*, то вместо * можно подставить 9:

5,28 • 5,29;

2) 9,43 • 9,*6, то вместо * можно подставить 0; 1; 2; 3:

9,43 • 9,06;         9,43 • 9,16;        9,43 • 9,26;        9,43 • 9,36.

4. Решите уравнение:

    х – 12,956 = 11,034,

х = 12,956 + 11,034,

х = 23,99.                      Ответ: 23,99.

5. Объяснение нового материала.

Вычитание положительных десятичных дробей.

Вы уже знаете, как складывать десятичные дроби. Попробуем вычесть десятичные дроби.

Пример 1. Найдите разность 17,89 и 4,26.

Запишем десятичные дроби в виде смешанных чисел и найдём их разность: .

Вычитание десятичных дроби выполняют аналогично сложению. Если числа многозначные, то эти действия удобнее выполнять «столбиком». При этом десятичные дроби записывают так, чтобы запятые в уменьшаемом и вычитаемом были одна под другой. Тогда одноимённые разряды будут стоять друг под другом — сотые под сотыми, десятые под десятыми, единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. Складывают десятичные дроби, не обращая внимания на запятые, т.е. как натуральные числа. В сумме запятую ставят под запятыми в слагаемых.

Запомни. Правило вычитания десятичных дробей. 

Чтобы вычесть две десятичных дробей, нужно:

1. записать дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой;
2.  выполнить вычитание, не обращая внимания на запятые;
3. в полученной разности поставить запятую под запятыми, стоящими в уменьшаемом и вычитаемом.

Пример 2. Найдите разность:

1) 7,86 – 3,51 = 4,35;              2) 2,9 – 1,826 = 1,074.

6. Решение упражнений.

3. Выполните вычитание:

1) 7,3 – 5,8 = 1,5;        3) 6,2 – 3,567 = 2,633.

2) 14 – 3,57 = 10,43;         

4. Найдите значение выражения:

19,25 + 1,7 – 20,012 = 0,938.

1) 19,25 + 1,7 = 20,95;           2) 20,95 – 20,012 = 0,938.

5. Решите уравнение:

1) х + 3,72 = 8,        2) 28 – х = 7,614,

х = 8 – 3,72,        х = 28 – 7,614,

х = 4,28.                              х = 20,386.          Ответ: 20,386.

Ответ: 4,28.        

7. Подведение итогов урока.

1. Какая дробь называется десятичной?

2. Как сложить десятичные дроби? А вычесть?

Тема.  Сложение и вычитание положительных десятичных дробей.

1. Решение упражнений.

1. Выполните сложение:

1) 9,6 + 4,25;         2) 14 + 2,8;        3) 12,61 + 26,137;         4) 0,326 + 0,7.

2. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

8,9 • х • 12.

3. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство:  1) 5,28 • 5,2*;        2) 9,43 • 9,*6.

4. Решите уравнение:     х – 12,956 = 11,034.

2. Решение упражнений после объяснения нового материала.

3. Выполните вычитание:

1) 7,3 – 5,8;         2) 14 – 3,57;        3) 6,2 – 3,567.

4. Найдите значение выражения:   19,25 + 1,7 – 20,012.

5. Решите уравнение:    1) х + 3,72 = 8;             2) 28 – х = 7,614.

. Выполните вычитание:

1) 12,4 – 9,36;           2) 9 – 0,562;        3) 28,05 – 9,4.

2. Найдите значение выражения:   832,8 – (354,1 – 30,49 + 15,098).

3. Решите уравнение:    14,6 – х = 5,293.                

4. С одного поля собрали 28,96 т картофеля, а со второго — на 12,8 т больше. Сколько тонн картофеля собрали с двух полей вместе?

5. Скорость катера равна 12,7 км/ч, скорость течения — 1,9 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения.

Решение уравнений

Задание 1

Вопрос:

Решите уравнение

Корень уравнения запишите десятичной дробью.

Запишите число:

 ___________________________

Задание 2

Вопрос:

Решите уравнение: 7х = 2х + 10. Какое число является корнем данного уравнения.

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) это уравнение не имеет корней.

2) 2

3) 10

4) 7

5) 19

Задание 3

Вопрос:

Какие из следующих записей являются уравнениями:

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

1) х - 10 = 15

2) у < 4

3) 2а - 3 = 5а + 10

4) 9а - 7

5) 52 = 25

Задание 4

Вопрос:

Решите уравнение:

В ответе введите корень уравнения.

Запишите число:

 ___________________________

Задание 5

Вопрос:

Выберите верные утверждения:

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

1) Корни уравнения изменятся, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.

2) Корни уравнения изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

3) Чтобы решить уравнение, содержащее подобные слагаемые нужно:

    1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа - в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные;

    2) привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения;

    3) разделить число в правой части на коэффициент при переменной.

4) Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

5) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.

Задание 6

Вопрос:

Решите уравнение: 5х - 3 = 3х + 5. В ответе укажите корень данного уравнения.

Запишите число:

 ___________________________

Задание 7

Вопрос:

Решите уравнение:

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1)

2)

3) у = 1

4) у = 0

5)

Задание 8

Вопрос:

Решите уравнение: 3х + 4 = 19. В ответе запишите корень уравнения.

Запишите число:

 ___________________________

Задание 9

Вопрос:

Решите уравнение:     В ответе укажите корень уравнения.

Запишите число:

 ___________________________

Задание 10

Вопрос:

У Насти и Оли одинаковая сумма денег. Настя купила на все деньги 3 тетради и блокнот за 26 рублей, а Оля - 1 тетрадь и ручку за 30 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? В ответе укажите только число.

Запишите число:

 ___________________________

Ответы:

1) (1 б.): Верный ответ: 0,2.;

2) (1 б.) Верные ответы: 2;

3) (1 б.) Верные ответы: 1; 3;

4) (1 б.): Верный ответ: 18.;

5) (1 б.) Верные ответы: 3; 4; 5;

6) (1 б.): Верный ответ: 4.;

7) (1 б.) Верные ответы: 2;

8) (1 б.): Верный ответ: 5.;

9) (1 б.): Верный ответ: 6.;

10) (1 б.): Верный ответ: 2.;

Конец

Решение задач составлением уравнения

Умение решать уравнения необходимо для того, чтобы решать какие-то практические задачи по математике, физике, механике, экономике и другим областям.

Решим такую задачу.

В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

Решение:

Сначала введём переменную, с помощью которой обозначим неизвестную нам величину, которую необходимо найти по условию задачи. 

Пусть x л — количество молока, которое было до переливания во втором бидоне.

Тогда в первом бидоне его было 3x л.

После переливания в первом бидоне осталось (3x–5) л молока, а во втором стало (x+5) л.

По условию задачи известно, что после переливания в обоих бидонах молока стало поровну. Составим уравнение:

3x–5=x+5

Эту часть рассуждений при решении задач называют составлением математической модели.

На этом этапе текст задачи переводится с обычного языка на математический язык.

Математической моделью является составленное уравнение.

Затем начинается второй этап, называемый работой с математической моделью.

Здесь решается составленное уравнение:

3x−5=x+53x−x=5+52x=10x=5

Решив уравнение, переходим к третьему этапу — ответу на вопрос задачи.

Решив уравнение, получили x=5, а за x принято количество молока в литрах, которое было до переливания во втором бидоне.

Значит, во втором бидоне было 5 л молока. По условию задачи в первом бидоне было в 3 раза больше молока, чем во втором. Значит, в первом бидоне было 15 л молока.

Ответ: в одном бидоне было 5 л молока, а в другом бидоне было 15 л молока.

Таким образом, в ходе решения было выделено три этапа математического моделирования:

1) составление математической модели (составление уравнения по условию задачи);

2) работа с математической моделью (решение уравнения);

3) ответ на вопрос задачи.

Для составления математической модели нужно провести анализ задачи, результаты которого можно оформить в виде таблицы, схемы, рисунка, краткой записи. 

№1. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел  всего пути, во второй день – 0,6 оставшегося пути, а в третий день – остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

Решение:

Составим и решим уравнение:

Ответ: длина всего пути равна 120 километров.

. Разность двух чисел равна 15. Две трети большего из этих чисел и пять шестых меньшего равны 1. Найти эти числа.

Решение:

Пусть первое число х, тогда второе число (х-15). Две трети большего числа будет ·х, а пять шестых второго числа будет (х-15). Сумма получившихся чисел равна 1. Составим и решим уравнение.

Первое число равно 9, тогда второе число 9-15=-6.

Ответ: 1 число 9, 2-ое число -6.

4. Самостоятельная работа (10 мин)

5. Подведение итогов урока.