дистанционное обучение

Тема. Рациональные неравенства

Цель: формирование навыков и умений решать неравенства методом интервалов

     Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого занятия неопределенности в мире математики у нас становится меньше, а овладевать новыми знаниями просто прекрасно. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.

Для начала я предлагаю решить неравенство:

x2-2x-8≤ 0

Цель задания: вспомнить алгоритм решения квадратичного неравенства

Рассматриваем квадратичную функцию

1. y= x2-2х -8

её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх

Решаем квадратное уравнение (решение самостоятельно через дискриминант)

 x2-2x-8=0

Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы

-выколотые, потому что знак неравенства строгий

+ - +

-4 2 Х

- Расставляем знаки на промежутках

- Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак неравенства строгий

Ответ:

Следующее неравенство

(x-2)(x+3)≤ 0

Записываем квадратное уравнение и его корни

x2+x-6=0

x1=2, x2=-3

Дорешайте самостоятельно это неравенство

Новое неравенство

(x-2)(x-3)(х-4) ˃0

Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки, назовите их

3

С помощью данного метода можно решить неравенство любой степени, в том числе и второй, которые мы с вами решали с помощью схематического построения параболы.

(-∞;2) (2;3) (3;4) (4;+∞)

Ответ: (2;3)∪(4;+∞)

Решите неравенство самостоятельно (х2-9)(х+5) ≤ 0.

Алгоритм решения неравенств
методом интервалов

Пусть требуется решить неравенство

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) , где х1 2 3 xn

1. Найти корни уравнения

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) = 0

1. Отметить на числовой прямой корни х1, х2, х3 ,… , xn
2. Определить знак выражения

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn)

на каждом из получившихся промежутков.

4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим

знаку неравенства знаком.

Решить неравенства методом интервалов

Средний уровень

1) х2 – 7х + 12 ≤ 0

2) (х + 10)(х – 4)

3) 2х (8 + х)(х – 12) 0

4) (х + 2)(7 – х)(х – 13) 0

5) (х + 5)/(х - 6) 0

Достаточный уровень

1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0

2) (х + 3)2(х + 1)(х – 2) ≤ 0

3) (16 – х2)(3х2 + 1) 0

4) (6 – 3х)/(х + 4) ≥ 0

Высокий уровень

1) (х4 – 16х2)( - х2 – 5) ≤ 0

2) (– х2 + 8х – 7)/(х2 + х – 2) 0

3) х3 – 5х2 + 6х ≥ 0

4) (х – 2)(х + 2)2(х + 3)/(х - 1) ≤ 0

Тема. Звуки к, кь и буква К.

Цель: выделение заданного согласного звука

в конце и в начале слов, из потока слов, из текста;

воспроизведение и чтение звуковых рядов из двух звуков;

анализ звукового ряда из двух звуков.

Ход занятия.

        Добрый день дорогие ребята, уважаемые родители. Сегодня мы узнаем какие звуки обозначает буква «К». Для этого вы внимательно читайте мое объяснение и вместе с детьми выполняете задания.

Повторите алфавит

        Среди изученных букв назовите гласные, согласные. Посмотрите на букву К. на что похожа эта буква?

Предлагаю произнести слова и услышать месторасположения нового звука /к/: в начале, середине или в конце слова: мак, рак, сук, сундук, домик, садик, икра, укроп, комар, ком, куст, кофта, гамак, садик, камень, клоун, носок.

Ребята должны дать характеристику этому звуку: какой звук к был в этих словах – мягкий или твердый? (твердый).

Новые слова: кит, киса – какой вы слышите звук в начале этих слов? (Звук кь). Какой он – твердый или мягкий? (Мягкий).

Игра «Измени слово».

Предложите детям изменить слово и произнести его так, чтобы в нем появился звук к. Например: лапа – лапка, липа - …, лопата, нота, монета, солома, пена и т.п.

А потом изменить слово так, чтобы звук к стал мягким (кь). Слова, называющие один предмет, а вы – когда их много: лапка – лапки, липка – липки и т.д. Обратить внимание на то, что в словах появился мягкий звук кь.

Выбор слов со звуком К из стихотворения:

Кот копеек накопил,

Кошке козочку купил,

А козе капустки –

Кочанчики хрустки.

Будет козочка крепка,

Кошке даст молока.

Чтение слогов: КА, КУ, КО, КИ.

КА

КУ

КО

КИ

АК

УК

ИК

ОК

Распечатайте, по возможности, страницу; дети выполняют задание самостоятельно

Спасибо за выполнение заданий, до новых встреч!

Тема. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции в экономике

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.)   существуют не изолированно друг от друга, а напротив, они связаны между собой определенным образом. Понятие функции или функциональной зависимости - одно из основных математических понятий  при помощи которых моделируются взаимосвязи между различными величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями.  Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных понятий, поэтому оно не определяется, а поясняется.

 Говорят, что задана числовая функция f: A→B, если дан закон, согласно которому каждому значению х из некоторого числового множества А ставится  в соответствие одно вполне определённое значение у из некоторого числового множества В.

Функциональная зависимость между величинами х и у  символически обозначается так: y=f(x),  говорят, что х - аргумент  (независимая переменная), а у- функция (зависимая переменная). Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых соответствует    вполне определенное значение функции, называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых у, называется областью значений функции.

ПРИМЕР

 В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между ценой  продукта, которую мы обозначим через р и величиной спроса на этот  продукт, которую мы обозначим через q. Эта связь может быть, к  примеру, представлена следующей таблицы, отражающей отрицательную взаимосвязь величин (убывание величины спроса с возрастанием цены).

Эта же взаимосвязь величин может быть представлена в виде  графика

ЧТО ТАКОЕ ГРАФИК ФУНКЦИИ?

Графиком функции y=f(x) называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости XOY, имеющих  координаты (х; f(x)), у которых абсциссами служат рассматриваемые  значения независимой переменной х, а ординатами -  соответствующие значения функции y=f (x).

Для того, чтобы построить график функции, имея ее табличное представление, например график функции спроса, достаточно  отложить значения величин, приведенных в таблице на

соответствующих координатных осях, восстановить перпендикуляры к осям из точек, соответствующих определенному значению цены или спроса, и нанести точки пересечения перпендикуляров на координатную плоскость.

Функциональная зависимость между величинами x и  у может быть задана также в виде формулы у = f(x) , в которой в качестве  f(x) фигурирует конкретная функция. В данном случае зависимость между ценой и величиной спроса выражается формулой:

р = 400 - 50q/3 (или q = 24  - 0,06∙p).

Подставляя в последнюю формулу значения цены, представленные в верхней строке таблицы, мы легко  убедимся в том, что в результате получаются соответствующие  ценам величины спроса, представленные в нижней строке таблицы. Таким образом, зная формулу функции, несложно получить  табличное и графическое представление этой функции.

АСИМПТОТЫ

Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности или к некоторому числу а (в случае вертикальной асимптоты). Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Вертикальная асимптота - это прямая х= а, если lim{x→a} f(x) = ∞.

Горизонтальная асимптота - это прямая у = b, если lim{x→∞} f(x) = b.

Наклонная асимптота - это прямая у = kх + b, если  lim{x→∞}(f(x) — kx) = b.

Угловой коэффициент k находится путем вычисления предела lim{x→∞}(f(x)/x)

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М, что для всех значений аргумента х  из области определения A функции выполняется неравенство: f(x) < M, ∀x∈A (f(x)  > М, ∀x∈A) 

Введем обозначения: y0=a/c, x0= –d/c, k=(bc-ad)/c∙c.

В этих обозначениях можно записать дробно-линейную функцию в следующем виде:

y = y0 + k/(x – x0).

В качестве примера построим график функции у = (2x+4)/(x+3).

 Выделим целую часть. Мы получим:   у = 2 – 2/(x+3).

На координатной плоскости во вспомогательной системе координат x’O’y’строим график функции y’ = 2/x’. Он расположен во второй и четвертой четвертях (рисунок 11).

Построим исходную систему координат хОу с помощью вспомогательной системы координат х’O’y’, осуществив параллельный перенос осей координат O’X’ и O’Y’ (на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз). В системе хОу  построенный ранее график будет  графиком заданной функции у = (2x+4)/(x+3).

Причем, действительно,  прямые:  x= –3 и у= 2 являются асимптотами.

График дробно-линейной функции y = (2x+4)/(x+3).

Линия бюджетного ограничения.

Кривые спроса и предложения

 Другим примером функций в экономике служат функции спроса и предложения p(q), выражающие связь цены блага и величины  спроса или предложения блага при постоянных вкусах   потребителей, ценах на другие блага и других параметрах. Пример графика  линейной функции спроса приводился в первом разделе этой  лекции

Аналогично строится и график функции предложения, но в отличие от  функции спроса он отражает положительную связь переменных p и  q

Кривые спроса и предложения.

ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ ИЗДЕРЖЕК И ДОХОДА

 ОТ ОБЪЕМА  ПРОИЗВОДСТВА

 Рассмотрим функции издержек C(q) и дохода фирмы R(q) =qp(q) в зависимости от объема   производства q. Поведение функции дохода определяется функцией спроса  p(q), рассмотренной выше. Поэтому рассмотрим более подробно   поведение функции издержек. В типичном случае издержки фирмы  велики при небольшом объеме производства q и вначале растут  быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается и в какой-то момент они сравниваются с доходом и фирма начинает получать прибыль. При увеличении объема производства прибыль увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении q. При дальнейшем увеличении объема  производства издержки снова начинают расти быстрее дохода (исчерпаны эффективные ресурсы, нужны дополнительные  помещения, сырье,  квалифицированная рабочая сила) и прибыль фирмы

 уменьшается, достигая  отрицательных значений при  достаточно больших объемах  производства. Типичные  графики функций дохода,  издержек  и прибыли приведены на  рисунке 14.  Им, например, могут соответствовать  функции:

 R(q) = q(a — bq), C(q) = cq – q(d–eq)q.

Тема. Геометрические доказательства.

Цель. Знакомство учащихся старшего звена с основными составляющими геометрического доказательства.

        Добрый день, дорогие ребята. Наше сегодняшнее занятие несет в себе лекционный материал. Вам необходимо познакомиться с материалом, привести свои примеры доказательства, подчеркнув все аспекты доказательства.

Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.

Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.

Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.

Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного.

Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.

Состав теоремы. Всякая теорема состоит из двух частей, a) условия и b) заключения или следствия.

Условие иногда называют предположением. Оно дано и поэтому иногда получает название данного.

Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.

В таком случае данная теорема называется прямой.

Две теоремы в совокупности, прямая и обратная, называются взаимно-обратными теоремами.

Они находятся в таком взаимном отношении, что, выбрав любую из них за прямую, можно другую принять за обратную.

В двух взаимно-обратных предложениях одно из них вытекает как необходимое следствие другого.

Если в теореме мы обозначим условие буквой, стоящей на первом месте, а заключение буквой, стоящей на втором месте, то прямую теорему можно схематически представить выражением (Aa), а обратную выражением (aA).

Выражение (Aa) схематически представляет предложение: если имеет место A, то имеет место a.

Если для данного предложения (Aa) имеет место и теорема (aA), то обе теоремы (Aa) и (aA) называются взаимно-обратными теоремами.

Примером двух таких взаимно-обратных теорем могут послужить теоремы:

Первая теорема. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Вторая теорема. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данным условием будет равенство сторон треугольника, а заключением равенство противолежащих углов, а во второй наоборот.

Не всякая теорема имеет свою обратную.

Примером арифметического предложения, не имеющего своего обратного, может послужить следующая теорема. Если в двух произведениях множители равны, то и произведения равны.

Обратное предположение несправедливо. Действительно, из того, что произведения равны, не следует, что множители равны.

Примером геометрического предложения, для которого обратное предложение не имеет места, может послужить теорема: во всяком квадрате диагонали равны.

Предложение обратное этому будет: если диагонали четырехугольника равны, то он будет квадратом.

Это предположение неверно, ибо диагонали бывают равными не в одном квадрате.

Так как обратное предположение не всегда справедливо, то каждый раз обратное предложение требует особого доказательства.

В теории геометрических доказательств весьма важно иногда знать, когда данное предложение допускает свое обратное.

Для этой цели может послужить следующее правило обратимости. Когда в предположении всем возможным и различным условиям соответствуют все возможные и различные заключения, обратное предложение имеет место.

Рассмотрим для примера.

Прямое предложение. Если два треугольника имеют по две равные стороны, то третья сторона будет больше, равна или меньше третьей стороны другого треугольника, смотря по тому, будет ли угол между равными сторонами больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника.

В этом предложении трем различным и возможным предположениям об угле соответствуют три различных и возможных заключения о противолежащей стороне, поэтому, согласно с правилом обратимости, данная теорема допускает обратное предположение:

Когда два треугольника имеют по две равных стороны, угол между ними будет больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника, смотря по тому, будет ли третья сторона больше, равна или меньше третьей стороны данного треугольника.

Кроме обратной прямая теорема может иметь свою противоположную.

Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Противоположная теорема может иметь свою обратную.

Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:

1. Прямая или основная теорема. Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.
2. Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.
3. Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.
4. Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.

Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:

1. Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
2. Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.
3. Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
4. Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства.

На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.

Способы геометрических доказательств.

Для доказательства геометрических теорем существует два основных способа: синтетический и аналитический.

Эти методы называют иногда сокращенно синтезом и анализом.

Синтез есть такой метод доказательства, в котором данное предложение является необходимым следствием другого, уже доказанного.

В синтезе цепь доказательств начинается с какого-нибудь известного предложения и оканчивается данным предложением. При доказательстве исходное предложение сопоставляется с аксиомой или с другим уже известным предложением. Синтетический способ удобен для вывода таких новых предложений, которые заранее не обозначены. Для доказательства же данного предложения он представляет много неудобств. В нем не видно: a) какую из известных теорем нужно выбрать для того, чтобы доказываемое предложение вытекало как ее необходимое следствие, и b) какое из следствий выбранного предложения приводит к доказываемому предложению.

Синтез называют поэтому не методом открытия новых истин, а методом их изложения.

Впрочем и при самом изложении теорем методом синтетическим является неудобство в том отношении, что не видно, почему за исходную истину в цепи доказательств выбрано то, а не другое предложение, то, а не другое его следствие.

Примером синтетического способа доказательства может послужить следующая теорема.

Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник ABC (черт. 224).

Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство. Проведем прямую DE параллельную AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно,

α + B + γ = 2d

Так как

α = A, γ = C

то, заменяя в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами, имеем:

A + B + C = 2d (ЧТД).

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, лежащих по одну сторону прямой.

Она поставлена в связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною.

Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Анализ есть способ обратный синтезу. В анализе цепь рассуждений начинается доказываемой теоремой и оканчивается какой-нибудь другой уже известной истиной.

Анализ является в двух видах. От доказываемого предложения мы можем перейти к предложению, служащему его ближайшим основанием или его ближайшим следствием.

Переходя от данного предложения к предложению, служащему его ближайшим основанием, мы смотрим на данное предложение как на необходимое следствие.

Переходя от данного предложения к его ближайшему следствию, мы смотрим на данное предложение как на основание для цепи умозаключений.

Первый способ анализа. Совершая анализ переходом к основанию, отыскивают то первое ближайшее предложение, из которого данное вытекает как необходимое следствие. Если это предложение было прежде доказано, то доказано и данное предложение, если же нет, то отыскивают второе предложение, служащее основанием для первого.

Такой переход к основанию следует продолжать до тех пор, пока не дойдем до предложения вполне доказанного. Данное предложение явится как необходимое следствие последнего доказанного предложения.

Обозначая каждое предложение буквой и ставя ее впереди или позади другой, смотря по тому, будет ли оно служить основанием или следствием другого предложения, мы схематически можем этот прием анализа выразить в виде

H — K — L — M

где M есть данное предложение, L его ближайшее основание, а H предложение, вполне доказанное. Если верно предложение H, то верно предложение K; если верно K, то верно L; если верно L, то верно и M.

Второй способ анализа состоит в переходе от данного предложения к его следствию. Этот прием применяют чаще, потому что легче находить необходимое следствие, нежели отыскивать основание какой-нибудь истины. По этому способу выводят из данного предложения ту теорему, которая служит его ближайшим следствием. Если это следствие есть предложение прежде доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к следующему ближайшему следствию и вообще продолжают такой последовательный вывод следствий до тех пор, пока не дойдут до предложения, вполне доказанного.

Если последнее предложение не верно, то и данное не верно, ибо неверное следствие нельзя получить из верного предложения.

Если же последнее предложение верно, то для убеждения в верности данного предложения требуется, чтобы были соблюдены некоторые условия.

Схематически этот прием анализа можно представить в виде

M — N — O — P — Q — R — S

где M данное предложение, N предложение, служащее его ближайшим следствием, а S то последнее предложение, в справедливости которого мы вполне убеждены.

Из двух предложений R и S, стоящих в такой связи, что если справедливо R, то справедливо и предложение S, мы, как известно, не всегда можем обратно заключать, что если справедливо S, то справедливо и предложение R.

Чтобы последнее заключение имело место, требуется, чтобы теоремы R и S были взаимно-обратными предложениями.

Итак, для того, чтобы убедиться, что теоремы R и S стоят в такой связи, что она удовлетворяет схеме R — S и схеме S — R, требуется доказать, что предложения R и S взаимно-обратны.

Таким образом, чтобы можно было по верности последнего предложения S заключить о верности данного предложения M, требуется доказать, что каждые два рядом стоящие предложения R и S, P и R, O и P, N и O, M и N удовлетворяют закону обратимости.

Если это доказано, то цепь предложений можно обратить, и рядом со схемой M — N — O — P — Q — R — S справедлива и схема

S — R — Q — P — O — N — M

по которой мы имеем право заключить, что если справедливо предложение S, то справедливо и предложение M.

Так как затруднительно всякий раз доказывать обратимость двух предложений, то этого избегают, соединяя способ аналитический с синтетическим. После того, как из предложения M выведено предложение S как его следствие, смотрят, нельзя ли обратно вывести предложение M как необходимое следствие предложения S.

Если синтез есть способ, называемый дедукцией или выводом, то анализ можно назвать редукцией (приведение, наводка).

Примером аналитического способа доказательства может послужить следующая теорема.

Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Доказательство. Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны (черт. 225). Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до предложения уже доказанного.

Сравнение синтеза с анализом. Способ аналитический вернее ведет к доказательству данной теоремы, ибо от данной теоремы легче переходить к его ближайшему основанию или следствию.

Хотя анализ лучше синтеза объясняет, почему выбран тот или другой путь для доказательства теоремы, однако неопределенность при доказательствах не устраняется вполне в том смысле, что при последовательных заменах одного предложения другим, мы не всегда можем дойти до предложения нам известного, ибо иногда не видно, какое из следствий или какое из оснований данного предложения нужно выбрать для того, чтобы его доказать. Затруднения увеличиваются еще больше, когда приходится для доказательства проводить новые вспомогательные прямые. Иногда трудно дать верные указания, какие из них облегчают доказательство данной теоремы.

Анализ, как и все логические приемы, только облегчает и помогает находить доказательство данного предложения, но не всегда необходимо ведет к самому доказательству.

Кроме этих прямых существует непрямой способ доказательства, известный под именем доказательства от противного или способа приведения к нелепости.

Способ доказательства от противного состоит в том, что для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

На этом основании это доказательство называется доказательством от противного. Оно достигает своей цели всякий раз, когда из двух предложений, данного и противоположного, одно непременно имеет место.

В этом случае для доказательства данного, допустив противоположное предложение, выводят из него такие следствия, которые противоречат аксиомам или теоремам, уже доказанным. Если одно из следствий этого предложения ложно, то и противоположное предложение ложно, а следовательно данное предложение справедливо.

Этот прием часто применяют для доказательства теорем обратных или противоположных данным.

Не трудно заметить, что этот способ есть второй способ анализа, в котором от данного предложения последовательно переходят к его следствиям.

Примером применения такого способа может послужить приведенное выше доказательство теоремы: против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (теорема 26).

В геометрии также применяют способы, зависящие от самого содержания геометрических истин. Геометрические истины относятся к геометрическим протяжениям. Эти протяжения обладают определенными свойствами, подлежащим внешним чувствам. Геометрическое протяжение может рассматриваться как целое, доступное наблюдению внешними чувствами. Убедительности доказательства содействует и самое чувственное созерцание. Обойтись без него в геометрии невозможно.

К числу приемов, имеющих место в геометрии, принадлежат: способ наложения, способ пропорциональности и способ пределов.

Способ наложения состоит в том, что одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений, смотря по тому, совмещаются или не совмещаются ни при наложении.

Способ пропорциональности состоит в применении к геометрическим протяжениям свойств пропорций. Этот способ применяется при доказательстве теорем, относящихся к подобным фигурам и к пропорциональным отрезкам.

Способ пределов состоит в том, что вместо данных протяжений рассматривают свойства протяжений близких по своим свойствам к данному, и выводы, получаемые из рассмотрения одних, применяют к другим сходным протяжениям.

Способы решения геометрических задач

При решении геометрических задач синтез и анализ применяют точно так же как и при доказательстве теорем.

Решая задачу синтетически, берут такую другую задачу, которую умеют решить, потом из ее решения выводят решение следующей задачи, как ее необходимое следствие, и поступают так до тех пор, пока не доходят до решения данной задачи.

Синтетический метод решения задачи обладает всеми теми же недостатками, какими обладает и синтетический метод доказательства.

Поэтому чаще и успешнее для решения задач применяют анализ.

При решении задачи анализом заменяют данную задачу новой. Эту новую задачу будем называть заменяющей.

Если две задачи находятся в таком отношении, что условия второй есть необходимые следствия условий первой, то первую задачу будем называть начальной, а вторую — производной.

При анализе существуют два способа.

Первый способ. Заменяющую задачу выбирают так, чтобы условия данной задачи вытекали как необходимое следствие условий новой заменяющей задачи, т. е. по нашей терминологии от данной задачи переходят к первой начальной задаче. Если решение этой задачи известно, то решение данной является как необходимое следствие решения начальной задачи. Если же ее решение неизвестно, то от нее переходят ко второй, третьей начальной задаче и продолжают так поступать до тех пор, пока не получат задачу, решение которой известно.

Решив эту последнюю задачу, вместе с этим последовательно доходят и до решения данной задачи.

Второй способ. Можно переходить от данной задачи к такой другой, условия которой являются следствием условий данной, т. е. от данной задачи переходят к ее производной.

Заменяя таким образом последовательно одну задачу другой ее производной, мы можем дойти до задачи, решение которой уже известно. Решение этой задачи дает иногда возможность решить и данную задачу.

Такой переход от данной задачи к ее производной применяют чаще, ибо переходить к следствию легче, нежели подыскивать основание для какой-нибудь истины.

В этом частном случае анализа обыкновенно полагают, что задача решена, и из этого предположения выводят соотношения, дающие возможность решить данную задачу.

При переходе от данной задачи к ее заменяющей весьма важно обращать внимание на то, будут ли две задачи обладать свойством взаимной обратимости. Эта взаимность в условиях двух задач является тогда, когда одна задача, будучи начальной для другой, может быть в то же время и ее производной; иначе когда две задачи находятся в таком отношении, что условия одной могут быть и необходимыми следствиями другой и наоборот.

Если две задачи, данная и новая, обладают такими свойствами, то новая задача вполне заменяет данную. В этом случае все решения одной будут и решениями другой.

Если же условия двух задач не обладают свойствами взаимной обратимости, то, заменяя данную задачу новой, мы можем найти или лишние решения или иметь некоторые из решений потерянными.

Если заменяющая задача будет производной для данной, то мы можем найти некоторые лишние решения; если же она будет начальной для данной, то мы можем найти некоторые решения потерянными.

Так как чаще от данной задачи переходят к задаче производной, то чаще приходится получать решения лишние.

Чтобы отделить лишние решения и отыскать потерянные, поверяют все найденные решения.

Поверка есть способ отделения посторонних (лишних) решений. Она дополняет анализ.

Аналитическое решение задачи указывает на то построение, которое нужно сделать для решения задачи. Совершая это построение, поступают при решении задачи способом обратным анализу, т. е. прибегают к синтетическому способу. Этот синтетический способ часто может заменить и самую поверку найденных решений.

Совместное применение синтеза и анализа дает средство избегнуть тех ошибок, которые могут получиться при применении только одного из этих методов решения.

Решим одну и ту же задачу синтетически и аналитически. Для примера может послужить следующая задача.

Задача. Разделить данный отрезок AB в крайнем и среднем отношении.

Решение. Восставим из конца отрезка AB перпендикуляр BO равный половине AB (черт. 226). Из центра O опишем окружность радиусом BO, соединим центр O с точкой A и отложим на отрезке AB отрезок AC равный AD, тогда отрезок AC или AD будет искомый.

Доказательство. Прямая AB — касательная к окружности, следовательно

AE/AB = AB/AD

откуда имеем:

(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD

Так как DE = AB и AD = AC, то в предыдущей пропорции имеем:

AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC

откуда имеем пропорцию

AC/AB = BC/AC

Это решение синтетическое. В нем мы отправляемся от известной теоремы о свойствах касательной и решение данной задачи вытекало как необходимое следствие этой теоремы.

Решение аналитическое. Допустим, что задача решена, а следовательно и отрезок AC найден, тогда

AB/AC = AC/CB (1)

откуда

(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC

или

(AB + AC)/AB = AB/AC (2).

Из последней пропорции видно, что AB есть касательная, AB + AC пересекающаяся, AC ее внешний и AB внутренний отрезок.

Отсюда вытекает и само построение. Нужно из конца B восставить перпендикуляр равный ½AB, провести окружность, соединить O с A и отложить на отрезке AB часть AC = AD.

В этом аналитическом решении мы данную задачу, удовлетворяющую условию (1), заменяем задачей, удовлетворяющей условию (2).

Условие (2) указывает и путь для решения самой задачи построением.

Обыкновенно, найдя решение задачи способом аналитическим, совершают построение, в котором, применяя способ рассуждений синтетический, доказывают, что это построение действительно разрешает задачу и этим доказательством заменяют поверку, имеющую в виду устранить посторонние решения.

В данном примере между задачами, удовлетворяющим условиям (1) и (2), существует полная обратимость, ибо из условий (1) вытекают условия (2) как необходимое следствие и наоборот, поэтому здесь нет ни потерянных, ни посторонних решений.

Исследование второстепенных и вспомогательных приемов решения задач еще не достигло в своей обработке полной и совершенной законченности. Мы пока устраняемся от их подробного рассмотрения.

Тема. Задачи на составление систем неравенств
Цель. Использование систем уравнений как математической модели реальной ситуации

Задачи:

• анализировать условия задачи и составления системы уравнений;
•  продолжать учить составлять план и последовательность действий;
• вырабатывать навыки решения систем уравнений
  

Добрый день, ребята. Мы продолжаем заниматься дистанционно,

сегодня вспомним решение неравенств, и научимся составлять системы неравенств для решения текстовых задач.

1. Решите задачу, составив числовое выражение:

-Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько денег заплатили?

-Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он преодолел?

Решите задачу, составив выражение с переменной:

-Купили 10 тетрадей по Х р. и 3 ручки по У р. Сколько заплатили за всю покупку?

-Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и 2ч шел пешком со скоростью 4км/ч

2. Математический диктант.

-Числа В и С равны

-Число А на 18 больше числа В

-Число Х в 6 раз меньше числа У

-Разность Р и Н на 17 больше их частного.

3. Составьте записи к каждому из математических выражений

a=2b

a+7=b

a-b=3

3a=b

Объяснение нового материала.

Задача. На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике размещается по 4 человека, в каждой палатке - по 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков на турбазе, если на ней отдыхает всего 70 человек?

Решим задачу арифметически

25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2

70-50=20(чел) не расселили

20:2=10(домиков), т.к. подселяют еще по 2

25-10=15(палаток)

Ответ: 10 домиков, 15 палаток.

Решим эту задачу с помощью уравнения 

Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т. к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то 4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на турбазе 70 чел, составим уравнение:

2Х+4(25-Х)=70

2Х+100-4Х=70

-2Х= - 30

Х=15

Ответ : 15 палаток и 10 домиков.

- Сколько неизвестных в этой задаче?

-Попробуем ввести две переменных.

Пусть Х - палаток, а У - домиков. Т. к их всего 25, то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел - в домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с двумя неизвестными.

-Как же их решить?  

-Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить ее. Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного, и они связаны друг с другом условием.

Х+У=25

2Х+4У=70

Вспоминаем способы решения систем линейных уравнений.

Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков, 15 палаток

Закрепление изученного материала:  

Задача:

1. В зоопарке, живет много разных животных. Среди них есть медведи – бурые и белые. Известно, что всего в зоопарке живет 9 медведей, а бурых на 5 медведей больше, чем белых. Сколько белых и бурых медведей живет в зоопарке?

По данной теме предлагаю презентацию, в которой даны рекомендации при решении составных задач на составление систем неравенств

Тема. Судоку

Цель. Знакомство с настольной игрой «Судоку»: правилами, разновидностями и историей происхождения.  

Добрый день, дорогие ребята. Рада вас приветствовать на нашем занятии в дистанционном режиме. Сегодня мы узнаем о новой игре под названием «Судоку», откуда пришла она к нам, какие разновидности «судоку» существуют и как играть в эту настольную математическую игру.

        Судо́ку (яп. 数独 су:доку, произношение (инф.) ) — головоломка с числами. Иногда судоку называют магическим квадратом, что в общем-то неверно, так как судоку является латинским квадратом 9-го порядка. Судоку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира, сборники судоку издаются большими тиражами. Решение судоку — популярный вид досуга.

В XVIII веке Леонард Эйлер изобрёл игру «Carré latin» («Латинский квадрат»). На основе этой игры в 1970-х годах в Северной Америке были придуманы специальные числовые головоломки. Так, в США судоку появилась впервые в 1979 году в журнале «Dell Puzzle Magazine». Тогда она называлась «Number Place». Настоящую популярность судоку завоевала в 1980—1990-х годах, когда японский журнал «Nikoli» начал регулярно публиковать на своих страницах эту головоломку (с 1986 года). Сегодня судоку — обязательный компонент многих газет.

Существует множество вариаций судоку:

• Нерегулярное судоку (их ещё называют Судоку-пазл, Судоку-фигуры, Области). В этой головоломке вместо стандартных областей 3x3 используются области произвольной формы. Цифры не должны повторяться в каждой такой области.
• Судоку с дополнительными областями. В этих задачах помимо стандартных областей (вертикалей, горизонталей и блоков) задаются дополнительные области, в которых цифры не могут повторяться. Наиболее распространены диагональные судоку.
• Судоку «Чёт-нечёт». В них некоторые клетки изначально выделены цветом, в этих клетках находятся или только чётные, или только нечётные цифры.
• Судоку «Больше-меньше». Для некоторых соседних клеток указан знак, показывающий в какой из клеток цифра больше.
• Судоку «Точки», где между соседними клетками выводится точка белого или чёрного цвета, когда соседние цифры отличаются на 1 или в два раза.
• Судоку «Перегородки» («Судоку-Соседи»), где отмечены все места с цифрами в соседних клетках отличающихся на 1.
• «Шахматные» судоку, где две или более клеток, которые связаны между собой ходом определённой шахматной фигуры (чаще всего коня), не могут содержать одинаковые цифры. Данное ограничение может налагаться на все возможные цифры или на некоторые из них.
• Судоку другой формы. В головоломке используется не квадратная сетка, а треугольная, шестиугольная или более хитроумной формы.

Метод решения судоку

Лучший метод решения — записывать числа-кандидаты в вершине левого угла ячейки, а затем вычёркивать невозможные по правилам игры числа из данной ячейки. После этого можно увидеть именно те числа, которые могут занимать данную ячейку. Играть в судоку рекомендуется медленно, так как это расслабляющая игра.

Сначала смотрят на ряды, столбцы и блоки 3×3 с наиболее заполненными квадратами: легче решить там, где вариантов меньше. При заполнении ячейки нужно проверить столбец, ряд и блок 3×3. Нужно проверить, что все другие 8 чисел не дублируются.

Когда в судоку осталось несколько открытых ячеек в блоке 3×3 и только одна ячейка подходит для данного числа, то именно это число нужно записать в данную ячейку. Перед заполнением следует удостовериться, что вписываемое в ячейку число не будет встречаться в другой ячейке в том же столбце, строке или в блоке 3×3.

Когда в одном столбце, строке, или блоке 3×3 три любых ячейки имеют числа-кандидаты {1,2; 1,2; 1,3}, то число для третьей ячейки должно быть 3. Потому что, если бы это было число 1, то в одной из первых двух ячеек было бы число 2, а в другой не было бы ничего, но такого быть не может, поскольку все клетки должны быть заполнены.

Имеются две стратегии, используемые для увеличения скорости решения головоломки.

Выбрать число, которое было найдено для большинства строк, столбцов или блоков 3×3 в судоку. Для каждого блока 3×3, который не содержит это число, ищутся другие блоки 3×3 в том же самом ряду и столбце блоков 3×3, которые содержат это «наиболее решённое число» и в решаемом блоке, исключаются места, где это число, не может быть вписано в ячейку. Таким образом найдётся единственная ячейка для этого числа.

Пример:

Число 9 встречается 6 раз в шести блоках 3×3. Таким образом, число 9 можно смело ставить в центральном нижнем блоке 3×3 в верхнем левом углу, а также в центральном правом блоке 3×3 в первой ячейке первого ряда. В центральном блоке 3×3 число 9 может стоять только в третьей ячейке второго ряда.

Пример:

Середина верхнего ряда блоков 3×3 и середина нижнего ряда блоков 3×3 почти полностью заполнены. В середине верхнего блока три нерешённых числа — 1, 4, и 9. Анализируя такую ситуацию, можно вписать число 4 в центр блока, число 1 в правый верхний угол, а число 9 — в левый верхний угол. Аналогично можно поступить с нижним центральным блоком 3×3: в нём отсутствуют числа 6, 8 и 9. Ячейки заполняются последовательно: число 6 ставим в центр, число 9 в нижний правый угол, а число 8 в нижний левый угол.

Наиболее сложные судоку можно решать методом исключения («нить Ариадны»), для этого на отдельном листе в клеточку записывается текущее положение дел, выбирается поле, в котором могут стоять только два числа, при подстановке которых определяется как можно большее число пар в других клетках. Выбирается одно из чисел пары и подставляется в черновик. С вероятностью 50 % решение заведёт в тупик — что означает, что выбранное число было неправильным. В таком случае нужно «смотать нить» — вернуться к «развилке» и выбрать и подставить другое число. Если не было допущено ошибок в решении, подставленное число будет единственным верным.

        Я предлагаю две судоку: первая простая, в каждом секторе поставьте числа от 1 до 4 так, чтобы в строке и столбце они не повторялись.

Во второй судоку придется подумать, может, воспользоваться «нитью Ариадны», здесь в каждом секторе необходимо написать числа от 1 до 9.

Желаю удачи, жду от вас решений.

тема. Задачи на составление систем неравенств

цель. Закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по теме; развитие интереса к предмету через нестандартное решение задач.

Добрый день, ребята. Продолжаем наши занятия дистанционно. Тема нашего занятия «Задачи на составление систем неравенств». Я предлагаю вам задачи с готовым решением. Вспомним решение задач уравнением. Попробуйте самостоятельно составить уравнение к задачам, затем, проверив его  с моим, можете приступать к самостоятельному решению. Пусть данные готовые решения вам послужат в качестве самопроверки.

Решим задачу.

Задача 1. От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?

Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 – х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 – х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 – х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 – х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 – х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 – х) > 20 имеет вид х < 7.

Задача 2. В одном бассейне налито 100 литров воды, а во втором – 150 литров воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 литров воды, а во второй – 5 литров. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение: За х часов в первый бассейн вольётся 15х л. воды и в нём станет (100 + 15х) л. воды. Так же находим, что через х ч. во втором бассейне будет (150 + 5х)л. воды. Надо найти такие значения х, для которого выполняется неравенство (100 + 15х) > (150 + 5х), т.е. решить неравенство с переменной х.
Это неравенство решается так (15х – 5х) > (150 – 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50, то х > 5. Итак в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е. после 5 ч. с начала вливания воды.

Системы неравенств с одной переменной

Решим следующую задачу.

Задача 3. Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В – 480 км?

Решение. Т.к. в город С автомобилист должен приехать не ранее 10 часов (до этого времени пакет ещё не привезён в С), а 10 – 6 = 4, то скорость х км/ч должна быть такой,
что 4х < 400. С другой стороны, за 17 – 6 = 11 ч, он должен приехать в В, т.е. покрыть путь в 400 + 480 = 880 (км). Поэтому должно выполняться неравенство 11х > 880. Итак надо найти значение х, для которого выполняются оба неравенства 4х < 400 и 11х > 880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств:

Из первого неравенства находим, что х < 100, а из второго, что х > 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 < х < 100.

Ответ: 80 < х < 100, т.е. х принадлежит отрезку [80;100].

Задача 4. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.

Решение: обозначим через х количество машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда второй завод до реконструкции производил в сутки  машин, а после ввода дополнительной линии стал выпускать машин. Из условия задачи следует система неравенств:

Множество решений этой системы есть промежуток , т. к. числа и должны быть целыми, то х должно делиться на 100 и быть из указанного промежутка, поэтому х = 900. Следовательно I завод выпускает в сутки 900 автомобилей, а II завод до реконструкции выпускал автомобилей.

Ответ: 900 и 885.

Задача 5. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам, сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей.
Решение. Пусть n – число ящиков, в каждый из которых первоначально положили по 12 деталей. Тогда общее число деталей равно (12n + 1). Так как из одного ящика все детали изъяли, а затем поровну разложили их в оставшиеся (n – 1) ящики, то в каждый ящик было положено (12n + 1) / (n – 1) деталей. Отношение (12n + 1) / (n – 1) должно удовлетворять двум условиям:

1) оно должно быть целым положительным числом,
2) оно не должно превосходить 20.
Поскольку , последнее выражение может быть натуральным при n  = 2 и n = 14.Но при , и это значение не является подходящим. При n = 14 условия 1) и 2) выполняются. Таким образом, в партии было 12•14 + 1 = 169 деталей.

Ответ: 169.

Задачи на составление систем неравенств с двумя неизвестными

Решим следующую задачу.

Задача 6. Цена 1 м сатина 2000р., а цена 1 м капрона 4000 р. Сколько метров сатина и сколько метров капрона можно купить, чтобы общая цена покупки была не более 20000 рублей?

Решение. Обозначим число метров сатина через х, а число метров капрона через у, тогда общая стоимость покупки равна (2000х + 4000у) рублей. По условию задачи должно выполняться неравенство  2000х + 4000у = 20000.  При этом числа х и у должны быть неотрицательными. Обе части данного неравенства можно разделить на 2000. Таким образом, чтобы решить задачу, нужно сначала решить неравенство х + 2у < 10, а потом отобрать из этих решений неотрицательное. Неравенство х + 2у < 10 имеет бесконечно много решение. Например, можно взять х = 0, у = 0, или х = 1, у = 2, или х = 5, у = 2 и, конечно,   х = 6, у = –9. При всех этих значениях х и у выполняется неравенство х + 2у < 10.
Итак, из неравенства двумя неизвестными (как и из одного уравнения с двумя неизвестными) нельзя найти значения этих неизвестных. Можно только дать наглядное представление о совокупности всех решений этого неравенства. С этой целью заметим, что неравенства х + 2у < 10 имеет те же решения, что и неравенство у < 5 – 0,5х (перенесли х в правую часть с переменной знака и разделили обе части неравенства на 2). Уравнение у = 5 – 0,5х задаёт прямую АВ (рис. 1). Выше этой прямой выполняется неравенство у < 5 – 0,5х, поэтому нестрогое неравенство у < 5 – 0,5х изображается множеством, состоящим из всех точек прямой АВ и всех точек, лежащих ниже этой прямой. Это множество на рисунке 1 заштриховано.
Мы отмечали, что числа х и у должны быть неотрицательными. Но неотрицательные координаты имеют точки первой четверти, поэтому решение задач изображается найденного множества и первой четверти, т.е. треугольником АОВ (рис. 2). Вообще, чтобы изобразить наглядно решение какого-нибудь неравенства знаком равенства и начертить линию, имеющую полученное уравнение. Эта линия делит плоскость. С каждой части следует выбрать пробную точку и подставить её координаты в неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то вся часть, содержащая данную точку, принадлежит решению (граница части – лишь в случае, когда неравенство нестрогое!). Объединяя все такие части, получаем наглядное изображение решения неравенства.

 Задача 7.  Найдите все двузначные числа, удовлетворяющие следующим условиям: сумма цифр числа не менее 7; сумма квадратов цифр не более 30; число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, по крайней мере, вдвое меньше данного.
Решение. Запишем искомое число в виде 10х + у, где х – цифра в разряде десятков, у – цифра в разряде единиц. По условию задачи

х + y > 7,                                                  (1)
х2 + у2 < 30,                                             (2)
10х + y > 2(10у + х). или 8х > 19у.        (3)

Из (3) следует, что у может принимать значения 0, 1, 2, 3 (так как х < 9).Если у = 0, то из (1) следует, что х > 7. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = l, то из (1) следует, что х> 6. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = 2, то х > 5. Числа х = 5, у = 2 удовлетворяют всем неравенствам. При у = 2, х > 5 неравенство (2) не выполняется. Пусть у = 3. Из (3) следует х > 8, такие числа не удовлетворяют неравенству (2). Таким образом, больше решений нет.

Ответ: 52.

Задача 8. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

Решение: обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда, согласно условию, имеет место система неравенств:

Перепишем эту систему в виде 

Отсюда следуют, справедливые неравенства:

Неравенство (2) можно переписать в виде , а неравенство (3) в виде 

Т. к.  и у – натуральное число, то у может быть равен либо 6, либо 7.

Если у равен 6, то система неравенств (1) перепишется в виде

Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7, тогда система (1) примет вид:

Откуда следует, что существует единственное натуральное число х = 24, удовлетворяющее ей. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.
Ответ: в I ящике 24 детали, а во II – 7 деталей.

Задача 9. Пункты А и В расположены на одному реке так, что плот плывущий от А до В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (скорость в стоячей воде) катера увеличилась на 40 %, то тот же путь (от А до В и обратно) занял у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь из В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение. Пусть s – расстояние между пунктами А и В, u – собственная скорость катера, v – скорость течения. Имеем следующую систему уравнений и неравенств:

Надо определить  и полагая (по смыслу задачи, х > 1), преобразуем неравенства:

Так как и х > 1, то после преобразования получим систему неравенств, эквивалентную исходной: 5х2 – 24х – 5 < 0, 1,96х2 – 9,6х – 1 > 0. Эта система совместна при х = 5. Далее, получаем: 

Ответ: 6.

Задачи для самостоятельного решения

Следующие задачи вам даются для самостоятельного решения. Подобные задачи были объяснены и решены выше. Желаю удачи, жду решения.

Задача 1. Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Задача 2. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость во II полугодии, заключён в пределах от 2.9% до 3.1%. Определить минимальное число учеников в таком классе.

Задача 3. Все коробки какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер. Если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см < h < 32 см?

Тема. Загадки о математике и ее символах
Цель. Знакомство учащихся с математическими загадками, ее символами, с решением математических фокусов

О, математика земная,

Гордись, прекрасная, собой,

Ты всем наукам мать родная,

И дорожат они тобой.

Я славлю разум человека,

Дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук!

Здравствуйте, дорогие ребята. Мы продолжаем раскрывать неразгаданные секреты одной из великих наук – математики. И я вам предлагаю провести это занятие в форме устного журнала «Загадки математики».

А для начала прочитайте высказывание Михаила Васильевича Ломоносова о математике: 

«Математику уже затем изучать надо, что она ум в порядок приводит». Согласны ли вы с таким утверждением?

Математика – очень важная наука. Ни один человек, ни одна другая наука не обходятся без знания математики.

Листая страницы журнала, мы попадем в мир занимательной математики. Вам будут предложены различные интересные вопросы и задания. Чтобы их победить, вы должны быть активными, стремиться быстрее других ответить на вопрос или выполнить задание. Но, помните, что настоящий математик, прежде чем ответить на вопрос, хорошенько подумает.

Вам, конечно, хочется узнать, чем будете заниматься? Тогда сумейте открыть вот эти таинственные двери: прочитайте зашифрованные слова.

ЛИ 100 К                                                                          ДУМАТЬ

 Р 1 НА                                                                         СМЕКАТЬ

ПО 2 Л                                                                         ОТГАДЫВАТЬ

Отгадывать вы уже начали.

Первая страница нашего журнала – Магия чисел

Во главе математики стоит число. В древние времена существовала отдельная наука – нумерология. Она изучала магию чисел, приписывая им влияние на судьбу человека. В каждом числе нумерология видит скрытый смысл. У каждого из нас, оказывается, есть свое число, которое соответствует дате нашего рождения. Хотите узнать его? Это просто: надо сложить число рождения и месяц.

Итак, запишите число своего рождения, рядом запишите месяц (цифрой). Сложите эти числа. Если у вас получилось однозначное число, то это оно и есть. Если получилось двузначное, то сложите его цифры. Так продолжайте до тех пор, пока не получится однозначное число. Посчитали? А теперь прочитайте краткие сообщения о каждом магическом числе.

Примеры нумерологического описания чисел

1 — единица — основа счета

2 — билатеральная симметрия организмов, дихотомия многих номенклатур

3 — трёхмерность материального мира, 3 точки опоры для устойчивого равновесия, трехкомпонентная теория цветового зрения

4 — 4 стихии Древнего мира (Средиземноморье, Греция), 4 темперамента, 4 вкуса

5 — тесно связано с 5 пальцами на руке — восточная пентатоника, а также у цивилизаций Древнего Востока — 5 вкусов, 5 цветов, 5 стихий; пентаграмма

6 — шесть граней пчелиных сот шестилепестковые цветки, гексаграмма из двух треугольников

7 — 7 металлов древности, 7 «планет» древности (наблюдаемых невооружённым глазом, в том числе Солнце и Луна), 7 нот, 7 цветов радуги Ньютона

8 — знак бесконечности (∞), повёрнутый на 90°

9 — в нумерологии - симметричная и обладающая индивидуальностью

Надеюсь, что предсказания древних магов сбудутся. Настала пора перевернуть страницу нашего журнала.

Вторая страница – Заморочки из бочки

Вам предлагаются вопросы. Они будут своего рода разминкой. Заметьте, что все задания на смекалку.

ПЕРВЫЕ ВОПРОСЫ

1. Тройка лошадей проскакала 30 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?
2. Шесть штук картофелин сварились в кастрюле за 30 мин. За сколько минут сварилась одна картофелина?
3. Два мальчика играли в шашки 2 часа. Сколько часов играл каждый?

ВТОРЫЕ ВОПРОСЫ

1. Масса петуха, стоящего на двух ногах 4 кг. Какова будет его масса, если он встанет на одну ногу?
2. Что легче: 1 кг ваты или 1 кг кирпича?
3. На складе было 5 цистерн с горючим по 6 т в каждой. Из двух цистерн горючее выдали колхозам. Сколько цистерн осталось?

ТРЕТЬИ ВОПРОСЫ

1. Используя цифры 0,2,4,8, составьте наибольшее и наименьшее четырехзначные числа.
2. Используя цифры 0,1,3,5, составьте наибольшее и наименьшее четырехзначные числа.
3. Используя цифры 0,4,7,9, составьте наибольшее и наименьшее четырехзначные числа.

Третья страница – Задачи

Нам предстоит решать задачи, но не совсем обычные. Вспомним, как решать логические задачи. Внимательно послушайте условие: В соревнованиях по бегу Ваня, Гриша и Дима заняли первые три места – 1,2,3. Какое место занял каждый из ребят, если Гриша занял и не 2-ое и не 3-е место, а Дима – не 3-е?

Заполним таблицу:

О ком из ребят известно больше всего?

Что сказано о Грише?

Вывод: Гриша занял 1-ое место.

Может ли кто-то еще занять 1-ое место?

О ком еще известно?

Вывод: Дима занял 2-ое место.

Значит, Ваня – … 3-е место.

Так на примере данной задачи, решаете остальные

ЗАДАЧИ

1. В квартирах №1, №2, №3 жили три котенка: белый, черный и рыжий. В квартирах №1 и №2 жил не черный котенок, белый жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый котенок?
2. Играя, каждая из трех девочек, – Катя, Галя и Оля – спрятала одну из игрушек – медвежонка, зайчика, слоненка. Оля не прятала зайчика, Катя не прятала ни зайчика, ни медвежонка. Кто какую игрушку спрятал?
3. Три друга – Витя, Сережа и Дима – раскрашивали рисунки карандашами трех цветов: красным, желтым и зеленым. Витя раскрашивал не красным и не желтым карандашом, Дима – не желтым. Каким карандашом пользовался каждый?

Четвертая страница – Геометрия в лицах

Постройте квадрат любого размера и разделите его на 9 равных квадратов. Сложите перед собой такой же квадрат из спичек или палочек. Сколько палочек вам потребуется?

Теперь подумайте, как убрать

4 палочки так, чтобы осталось 5 равных квадратов;

5 палочек так, чтобы осталось 6 равных квадратов;

3 палочки так, чтобы осталось 7 равных квадратов.

А сейчас сложите:

 из 7 палочек 3 равных треугольника;

из 7 палочек 2 равных квадрата;

из 9 палочек 4 равных треугольника.

Пятая страница – Аукцион загадок

Домашнее задание: подобрать загадки, в которых упоминалось бы какое-либо число. Желаю удачи, жду ваши ответы

Тема. Логическая викторина

Цель: привлечение внимания детей к изучению математики, формирование математических способностей, математической логики, творческих способностей учащихся.

        Добрый день, ребята. Сегодняшнее занятие мы посвящаем интересным вопросам математической викторины. Как всегда, начнем с разминки:

1. Разминка

1Сколько дней в одной неделе?

2.Бабушка вязала внукам шарфы и варежки. Всего она связала 3 шарфа и 6 варежек. Сколько внуков у бабушки?

3Сколько букв в русском алфавите?

4Сколько десятков в числе «18»?

5.Сколько пальцев на двух руках?

6.Сколько орехов в пустом стакане?

7. Сколько пальчиков у четырёх мальчиков?

8. Сколько ушей у пяти малышей?

9. Около столовой, где обедали лыжники, пришедшие из похода, стояли 20 лыж, а в снег было воткнуто 20 палок. Сколько лыжников ходило в поход?

10. На дубе выросли 8 яблок и 6 груш. Сколько всего фруктов выросло на дубе?

2. Конкурс «Составь самое дорогое слово»

А -2р.

Б-9р.

В-3р.

Г-4р.

Д-4р.

Е-2р.

Ё-3р.

Ж-3р.

З-5р.

И-2р.

Й-3р.

К-4р.

Л-1р.

М-4р.

Н-5р.

О-2р.

П-1р.

Р-2р.

С-3р.

Т-4р.

У-6р.

Ф-7р.

Х-10р.

Ц-8р.

Ч-12р.

Ш-18р.

Щ-4р.

Ъ-1р.

Ы-9р.

Ь-10р.

Э-20р.

Ю-18р.

Я-20р.

Задача - составить ОДНО слово и подсчитать его стоимость. Побеждает тот, чьё слово окажется дороже.

3.Конкурс «Стихотворная разминка»

Написать на листке количество веток, посчитать и дать мне готовый ответ

Прошу подумать в тишине;
Учтите, случай редкий.
Сидела белка на сосне
На самой нижней ветке.
Потом вскочила вверх на 5,
Потом спустилась на 3
(Вы всё должны запоминать
Как на уроке в классе)
Затем проворно белка вновь
Вскочила на 4,
Потом ещё на 9 ввысь
И уселась на вершине.
Сидит и смотрит с высоты
На пни, берёзки и кусты.
А сколько веток у сосны,
Мы с вами вычислить должны.

4.Конкурс «Математические бусы» (поставь знаки действий так, чтобы ответ был верный)

Из разных чисел я сделала бусы,

А в тех кружках, где чисел нет,

Расставьте минусы и плюсы,

Чтоб данный получить ответ.

2 3 1 4 2 =4

12 10 8 20 30 =40

44 15 13 7=23

86 45 34 3=78

5. Задание: «Магические числа».

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали – число. Они поняли, что числа сопровождают человека от самого рождения и до его смерти. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную, удивительную и полную тайны жизнь; такие числа они назвали – магическими.

С такими числами сталкивались вы все. Это числа; 3, 7, 12. Эти числа очень часто встречаются в сказках, легендах, пословицах и поговорках, в календарях и на циферблатах: Святая Троица, три желания, семь дней недели. Вспомните и запишите названия сказок, в которых есть числа

6. Задание: «Число 3».

Тройка - первое в магическом ряду число. Время и пространство принято делить на три: на прошлое, настоящие и будущее, пространство - на длину, ширину и высоту. Тройку любят многие народы, а русские особенно, именно поэтому так часто это число встречается в русских народных сказках.  

Посчитайте, сколько раз число «3» встречается в  русской народной сказке «Сивка- Бурка

7 .Отгадай ребус

В этих ребусах зашифрованы слова, содержащие в себе названия чисел

8. Конкурс: «Что означают эти выражения?»

Одна нога тут, другая там.        

От горшка два вершка.        

На все четыре стороны.        

Как свои пять пальцев.        

На этом наше занятие заканчивается, я желаю вам успехов в решении и разгадывании заданий. Жду ваши ответы

тема. Многогранники

цель. Определение многогранника и его элементов; его виды, многогранник как модель реального объекта;

Глоссарий по теме

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.

Ребра многогранника – стороны граней многогранника.

Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).

Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие многогранника

К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

А)

Б)

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

По аналогии с первым толкованием понятия многоугольника рассматривается следующее толкование понятия многогранника. Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. В данной трактовке многогранник можно называть еще многогранной поверхностью.

Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.

Примеры многогранников

Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)

Рисунок 2 – изображение октаэдра

Элементы многогранника

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Виды многогранников

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Рисунок 3 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.

Пояснить данное утверждение поможет рисунок 4. “Разрежем” многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских углов действительно меньше 3600.

Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

1) отрезок

2) плоскость

3) точка

4) луч

5) многоугольник

6) многогранник

7) прямая

8) трапеция

Решение

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

Ответ: 2467

Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид

А) плоская фигура

Б) пространственная фигура

В) Многогранник

Решение

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Тема. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений

Цель.  Систематизация знания, выработка умения выбирать рациональный способ решения рациональных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Добрый день дорогие друзья! Я рада приветствовать вас на нашем занятии, и прошу всех вас улыбнуться, мысленно пожелать успехов и себе и товарищам.  

Повторение

Даны уравнения:

                     1.   х2 – 12х + 27 = 0                          2.  3х2 + 4х – 1 = 0

               3.  4х2 – 8 = 0                             4.  х2 – 10х + 100 = 0

              5.  5х2 + 6х = 0                           6.  х2 – 8х + 12 = 0

             7.  3х2 = 0                                   8.  14 – 2х2 + х = 0

•  а) Выпишите номера полных квадратных уравнений;
•   б) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8;
•   в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один    корень;

•   г) Найдите дискриминант в уравнении 2;
•   д) Решите уравнение 1;
•   е) Решите уравнение 6.

Актуализация опорных знаний

Что нужно знать и уметь делать, чтобы решить квадратное уравнение? (формулы корней кв. уравнений, дискриминанта)
Вот давайте и проверим, насколько хорошо вы усвоили определения и понятия, которые мы с вами применяем при решении квадратных уравнений.
*Какое уравнение называется квадратным? / Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0./
*Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? / Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов, b или c равен нулю, или оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. /
*Какое квадратное уравнение называется приведенным? квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 1?  

От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Как вычислить дискриминант

Постановка цели урока.

 тема нашего урока: «Потерянные и посторонние корни при решении уравнений»

дано уравнение:  23х2+12х+2013=0

- Назовите вид данного  уравнения. Назовите его коэффициенты.

   (2m-5)x2+(4m+8)x+36=0

При каких значениях параметра m данное уравнение:

А)  является приведенным квадратным уравнением     / m=3

   В)  является неполным квадратным уравнением          /m=-2

   С)  не является квадратным уравнением                        /m=2,5

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

- Посмотрите на уравнения и их корни, записанные в таблице.

- Что вы заметили?

- Как вы думаете, это случайно?

- Какую проблему нам предстоит сейчас решить? (выяснить, какие уравнения  имеют корень, равный 1 и как быстро найти второй корень)     

- От чего зависят корни квадратного уравнения? (от коэффициентов  ур-я)

- Значит, мы предполагаем (выдвигаем гипотезу), что существует особая

   связь, зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами

- Наблюдательный Франсуа Виет уже установил одну из таких  зависимостей и этой теоремой мы познакомимся на следующих уроках а сегодня , и мы тоже попытаемся внести свою лепту в этот  вопрос.

 Сейчас мы будем работать в группах. Каждой группе дается задание, и вам нужно провести  небольшое  исследование и поделится полученным результатом, ответив на вопросы:  

    1) при каком условии один из корней квадратного уравнения равен 1?

    2) как найти второй корень?

          (ВЫПОЛНЯЮТ ИССЛЕДОВАНИЕ)

Вывод:

Т 1. Если в квадратном уравнении аx2 + вx + с = 0 сумма коэффициентов  

а + в +с = 0,   то  х1 = 1,  х2  = с/а

Т.2 Если в квадратном уравнении  ах2 + вх + с = 0  сумма  коэффициентов

  а – в + с = 0,  то  х1 =  -1,  х2 =  - с/а.

Решение уравнений

Из данных уравнений выберите те, которые решаются облегченным способом, т.е применяя эти теоремы:  

а5х2 – 7х + 2 = 0

а + в + с =5 – 7 + 2 = 0,  значит  х1 =  1, х2 = .

б)  3х2 + 2х – 1 = 0

 а – в + с = 3 – 2 – 1 = 0, значит х1 = -1, х2 =.

в) 3р 2 -10р+3=0

Домашнее задание

         1)    Решить три  уравнения (любым способом) и заполнить таблицу.

Решения уравнений записать в тетрадь.

1 уровень – № 1, 2, 3

2 уровень – № 2, 3, 4

3 уровень – № 3, 4, 5

2)  Составить два уравнения, которые решались бы облегченным способом

 (a + b + c = 0 или a – b + c = 0) и заполнить таблицу (по желанию).

 Тест

1.Дискриминант уравнения 7х²+6х+1 равен

          1) −1             2)8              3) 0                4) 1

2. Какие из чисел являются корнем уравнения   2х² − 5х + 3 =  0?

      1) −1          2) 1,5            3) 0                4) 1

3. Один из корней уравнения   ах² − 4х +12 = 0 равен   1.  Чему равно значение  а?

        1) −1                2) −5                3) 3                4) 1

4. Найти разность, между  большим и меньшим   корнями уравнения  

     х² − 6х + 8 =  0

1. Решите уравнение          

Определите вид уравнения x+ 4x – 5 = 0

Найдите корни данного уравнения

Найдите a + b + c  и  

Сделайте вывод

Определите вид уравнения  3 x+ 5x + 2 = 0

Найдите корни данного уравнения

Найдите a – b + c  и  – 

Сделайте вывод

Тема. Системы уравнений и рыночные отношения.

Цель. Формирование экономического сознания и экономического мышления на основе осмысления рыночных отношений в математике.

  Здравствуйте,  ребята! Тема нашего урока «Системы уравнений и рыночные отношения.».

Давайте вспомним, что такое экономика? Какие три главных вопроса решает экономика?  Рынок – благо или зло? Российская экономика уже рыночная или еще нет?

Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.

Развитие общества показало возможность существования различных вариантов организации экономической жизни.

В зависимости от того как общество решало главные вопросы экономики, выделят следующие типы экономических систем.

1. Традиционная экономическая система. Главные вопросы экономики, что производить, как производить  и каким образом распределять она решает в соответствии с традициями, передающимися из поколения в поколение. Малоэффективна.

2.Командная экономика. Все решения по вопросам производства и распределения   принимаются центральными органами управления. Командную систему нередко называют централизованной, директивной

или плановой. Такая экономическая система привела экономику СССР к развалу, вводу талонов и карточек на самые необходимые товары, тотальный дефицит, многокилометровые очереди, низкое качество продукции, спекуляции на так называемом черном рынке.

3.Рыночная экономика решает главные вопросы экономики, ориентируясь на соотношение спроса и предложения. Производитель принимает решение самостоятельно, действуя на свой страх и риск.

Характерные черты – частная собственность, высокий уровень предприимчивости, изобилие товаров и услуг, конкуренция.

Давайте определим, что же такое рынок и как он действует?

 Учащиеся в словаре находят понятие рынок и записывают в тетрадь.

Рынок – совокупность всех отношений, а также форм и организаций сотрудничества людей друг с другом, касающихся купли-продажи товаров и услуг.

Спрос – это желание и возможность купить конкретный товар или услугу по конкретной цене в определенный период времени.

Зависит от: 1) доходов,2) численности населения, 3) цены на заменяющие или дополняющие товары, 4) моды, вкуса, сезона.

Закон спроса: чем выше цена, тем ниже величина спроса.

Предложение – это желание производителя произвести и предложить к продаже свои товары по конкретным ценам в течение определенного периода времени.

 Зависит от: затрат на ресурсы, технологии производства, ожидания динамики цен в будущем.

Закон предложения: чем выше цена, тем выше величина предложения.

Пересечение кривых спроса и предложения отражает ситуацию рыночного равновесия, то есть весь предложенный товар продан. Пересечение кривых спроса и предложения даёт значение равновесной цены.

Равновесная цена - это цена, при которой весь поставляемый на рынок товар покупается.

Если цена товара на рынке выше равновесной, то это побуждает продавца к увеличению предложения. В то же время эта завышенная цена снижает спрос на данный товар. В результате на рынке возникает избыточное предложение (избыток) товара, что в свою очередь приводит к снижению цены до уровня равновесия.

Если цена ниже равновесной, то предложение падает, а спрос растет. Такая ситуация на рынке приводит к дефициту товара. 

Вывод: таким образом, рынок сам регулирует производство, «сигнализирует» через цены что, как и для кого производить.

Достоинства рынка.

Рынок побуждает:

1)снизить издержки – экономия ресурсов,

2) совершенствовать технику и технологию

3) повысить производительность труда

4) производить товары, пользующиеся спросом.

Вывод: рыночная система более эффективна чем командная, поэтому российская экономика и ориентируется на рыночные отношения.

Но и рыночная экономика не лишена недостатков, например экономические кризисы, которые сопровождаются инфляцией (ростом цен, безработицей, резкие различия между уровнями доходов, поэтому в развитых странах формируется смешанный тип экономической системы, в которой объединились рыночные механизмы с государственным регулированием.

Учащиеся выполняют тестовое задание

А-1 .Экономическая система, в которой механизм рынка дополняется активной ролью государства в

хозяйственной жизни общества называется:

1) рыночной                     3) командной

2) смешанной                  4) традиционной

А-2. С наступлением лета и школьных каникул в 2 раза возросли доходы фирм-туроператоров. Это результат

1) государственного регулирования

2) повышенного спроса на туристические услуги

3) технический прогресс

4) конкурентной борьбы

А-3. На рисунке отражена ситуация на рынке цветных металлов. Изменение спроса может быть вызвано, прежде всего

1. ростом числа производителей цветных металлов
2. введением нового налог на производителей
3. совершенствованием технологии производства
4. ожиданием повышения цен на цветные металлы

А-4. Сущность стимулирующей функции рынка в экономике заключается в том, что он

1) выявляет платежеспособный спрос

2) развивает стремление к снижению затрат

3) придает частному труду предпринимателя общественное значение.

А-5 Количество проданного товара возрастет, если спрос

1) останется неизменным

2) уменьшится, а предложение останется прежним

3) сократится и предложение сократится

4) повысится, а предложение останется прежним

А-6. Какую функцию в рыночной экономике выполняет рынок?

1) ориентирован на производство общественных благ

2) обеспечивает согласование производителей и потребителей

3) гарантирует высокие прибыли производителю

4) нацелен на преодоление внешних факторов.

А – 7. Желание и возможность потребителя купить товар в определенном месте и по конкретной цене называется

1) спросом                         3) потребностью

2) предложением              4) стоимостью

В-1. Установите соответствия между факторами влияния (на спрос и предложение) и элементами рыночного механизма.

А) количество товаропроизводителей                    1) спрос

Б) уровень доходов                                                    2) предложение

В) количество покупателей

Г) уровень технологий

В-2.  

Ниже приведен ряд понятий, все они за исключением двух относятся

к рыночной экономике, найдите два термина, выпадающих из общего ряда.

Инфляция, твердые цены, дифференциация доходов, частная собственность, конкуренция, натуральное хозяйство.

В-3.

Найдите в приведенном списке признаки традиционной системы и укажите их.

1. низкий уровень эффективности
2. традиционные технологии
3. инфляция
4. дефицит
5. частная собственность
6. товарное хозяйство

ключ к тесту

тема. Выпуклые многогранники

цель. Определение многогранника и его элементов; его виды, многогранник как модель реального объекта; выпуклого многогранника

Глоссарий по теме

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Грани многогранника – многоугольники, ограничивающие многогранники.

Ребра многогранника – стороны граней многогранника.

Вершины многогранника – концы ребер многогранника (вершины граней многогранника).

Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник – многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости его любой грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, у которого найдется по крайней мере одна грань такая, что плоскость, проведенная через эту грань, делит данный многогранник на две или более частей.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие многогранника

К определению понятия многогранника существует два подхода. Проведем аналогию с понятием многоугольника. Напомним, что в планиметрии под многоугольником мы понимали замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 1а). Также многоугольник можно рассматривать как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 1б). При изучении тел в пространстве мы будем пользоваться вторым толкованием понятия многоугольник. Так, любой многоугольник в пространстве есть плоская поверхность.

А)

Б)

Рисунок 1 – разные подходы к определению многоугольника

По аналогии с первым толкованием понятия многоугольника рассматривается следующее толкование понятия многогранника. Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. В данной трактовке многогранник можно называть еще многогранной поверхностью.

Вторая трактовка понятия определяет многогранник как геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

В дальнейшем, мы будем использовать вторую трактовку понятия многогранника.

Примеры многогранников

Уже известные вам тетраэдр и параллелепипед являются многогранниками. Потому что они являются геометрическими телами, ограниченные конечным числом плоских многоугольников. Еще один пример многогранника — октаэдр (рис. 2)

Рисунок 2 – изображение октаэдра

Элементы многогранника

Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Так, у тетраэдра и октаэдра гранями являются треугольники. У тетраэдра 4 грани, отсюда и его название от греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник. У октаэдра 8 граней, а от греческого οκτάεδρον от οκτώ «восемь» + έδρα «основание».

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Виды многогранников

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.3).

Рисунок 3 – Виды многогранников

Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника

Утверждение. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.

Пояснить данное утверждение поможет рисунок 4. “Разрежем” многогранник вдоль его ребер и все его грани с общей вершиной расположим так, чтобы они оказались в одной плоскости. Видим, что сумма всех плоских углов действительно меньше 3600.

Рисунок 4 – сумма плоских углов пи вершине многогранника

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, а Г — число его граней. Тогда верно равенство В – Р+Г= 2.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. Какие из перечисленных объектов НЕ могут быть элементами многогранника? Укажите номера в порядке возрастания.

1) отрезок

2) плоскость

3) точка

4) луч

5) многоугольник

6) многогранник

7) прямая

8) трапеция

Решение

Элементы многогранника, которые мы выделили: ребра, грани, вершины и диагонали. Ребро и диагональ многогранника – это отрезок. Грань многогранника – многоугольник, или иначе ограниченная часть плоскости. Вершины представляют собой точки. Таким образом, элементами многогранника не могут быть плоскость, луч, многогранник, прямая.

Ответ: 2467

Задание 2. Сопоставьте геометрическим фигурам их вид

А) плоская фигура

Б) пространственная фигура

В) Многогранник

Решение

Вспомним, что изобразить пространственную фигуру можно разными способами. Например, с помощью теней или изображением невидимых линий пунктиром. Так, среди всех изображений плоской фигурой является фигура под номером 1.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Только на изображении 2 фигура ограничена многоугольниками. Таким образом, получаем следующий ответ: 1-А, 2-В, 3-Б

Тема. Веселый счет

 Добрый день, ребята1 Сегодня я вам предлагаю работу контрольного характера, где вы сможете проявить свои математические знания, смекалку и творчество.

В работе по математике 11 заданий. Выполнять их можно в любом порядке, главное – сделать правильно как можно больше заданий. Выполни задания и выдели  верный ответ на листе с заданиями.

При выполнении работы нельзя пользоваться учебником, рабочими тетрадями, калькулятором. 

Выполнив каждое задание, укажи ответ в листе с заданиями.    

К заданиям части 1 (А1-А4) даны четыре варианта ответа, только один из которых верный. Выдели номер правильного ответа.

Примеры:

                                                                     .

В заданиях части 2 (В1-В7) ответом является число. Запиши его рядом со словом «Ответ», над чертой.

Желаю успеха!  

  Часть 1

Сумму чисел 430 и 390 умножить на их разность. Укажите получившееся число.

1. 3280;              
2. 4280;              3) 32800;              4) 32080.

Найти значение выражения   18  35 + 280 : 4

1. 700;              
2. 70;                   3) 1330;                 4) 133.

Миша лёг спать в 21 ч 30 мин, а проснулся в 7 ч 45 мин. Сколько времени спал Миша?

1. 10 ч 45 мин;          
2. 10 ч 15 мин;       3) 10 ч 25 мин;            4) 9 ч 15 мин.

При покупке 4 шоколадок ещё одну дают бесплатно. Сколько шоколадок можно купить на  300 руб., если одна шоколадка стоит 50 рублей?

1. 5;                  
2. 6;                    
3. 7;                  
4. 8    

Часть 2

При выполнении заданий В1-В7 запишите ваш ответ в бланк ответов рядом с номером задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными образцами.

К новому учебному году были куплены карандаши, тетради и альбомы. Заполните таблицу.

 В ответ запишите, сколько всего рублей было потрачено на всю покупку. Писать наименование в ответе не надо.

Ответ____________

Во сколько раз произведение 50  25 меньше произведения  50  125?

Ответ ________________.

Решите уравнение   50 – 48 : х = 34.

Ответ ________________.

На схеме изображён двор размером 35 м шириной и 75 м длиной. Внутри расположена  детская площадка прямоугольной формы размером 30 м длиной и 10 м шириной. Найти площадь, которую не занимает детская площадка в этом дворе.  

                                            75 м

        35 м

Ответ ________________.

Масса слона равна 2 т 300 кг, а бегемота на 14 ц меньше. Сколько кг весит бегемот?  

Ответ ________________.

Жираф пробежал 100 м за 5 с. Сколько метров он пробежит за 1 минуту?

Ответ ________________.

Дан ряд чисел:    22, 45, 91,  …    Какое число будет следующим?

Ответ ________________.

Тема. Сечения многогранников

Цель урока: обобщение и систематизация полученных знаний.

Добрый день, ребята. Мы с вами уже знакомы с многогранниками, их видами. Сегодня я предлагаю вам для самостоятельного ознакомления узнать о сечении многогранников. Ответьте на следующие вопросы:

- Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
- Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?
- Как задается плоскость?
- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

3.Изучение нового материала.

А) итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости. Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3, которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM (они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L (они лежат в одной плоскости).

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже

На следующих занятиях мы будем не только строить сечения многогранников, но и вычислять их площади.

Тема. Числовые крестики – нолики.

Цель игры: активизация познавательной деятельности учащихся; развитие интереса к предмету.

Добрый день, дорогие ребята. Сегодня мы узнаем, или может повторим правила игры «Крестики – нолики».

 В клетках поля записаны названия 9 конкурсов.

В игре побеждает тот, кому удалось поставить три своих знака в один ряд или, если никому это не удалось, поставить на поле 5 своих знаков.

ИГРОВОЕ ПОЛЕ.

Великая

мудрость

Секретное

послание

Угадай!

Конкурс

переводчиков

Кто быстрее

Четырёхугольник с секретом

Конкурс

капитанов

Подумай!

Сообрази!

Найди

ошибку.

ВЕЛИКАЯ МУДРОСТЬ

Предлагается зашифрованное высказывание М.В. Ломоносова. Необходимо быстро и правильно расшифровать.

3.4

2.1

2.4

2.1

3.5

2.5

2.6

1.1

1.2

1.1

3.5

2.6

3.2

2.2

1.1

3.3

2.1

1.5

2.1

2.2

2.1.

2.4

1.1

3.1

1.4

2.4

1.1

3.1

2.1

2.2

1.1

1.4

1.6

1.3

2.3

1.1

1.5

КЛЮЧ:

А

В

Г

Е

З

Ё

И

К

Л

М

П

Р

Т

У

Ф

Х

Я

1

2

3
1 2 3 4 5 6

Ответ: Химия правая рука физики. Математика её глаз.

СЕКРЕТНОЕ ПОСЛАНИЕ

Необходимо решить каждый пример, выписать ответы в строчку и с помощью ключа получить зашифрованную фразу.

1 – е послание.

1) (530 + 74) : 2 – 15

2) 12 ∙ 5 + 15 ∙ 4 + 225

3) (370 + 122) : (317 – 313) – 25

4) 320 : 20 + 200

КЛЮЧ: 1 – ь; 2 – т; 3 – д; 4 – е; 5 – р; 6 - !; 7 – к; 8 – а; 9 – ж.

Ответ: Так держать!

2 – е послание.

1) (458 + 22) : (230 – 218) + 3

2) (35 : 7 + 100) ∙ (38 : 19) ∙ 3

3) (307 – 65) : 11 + 78 : 6 – 10

4) (75 + 15) : (103 – 73) – 2

КЛЮЧ: 1 - !; 2 – ц; 3 – о; 4 – м; 5 – ы; 6 – л; 0 – д.

Ответ: Молодцы!

УГАДАЙ, ЧТО ЭТО?

(Вариант игры «устами младенца)

Если угадываете ответ с первой фразы – зарабатывает 5 очков, со второй – 4 очка и т.д.

1.

• Бывают в счёте футбольного матча; 5б.
• никогда не стоит первым; 4б.
• особое правило при делении; 3б.
• меньше единицы; 2б.
• не относится к натуральным числам. 1б. Ответ: цифра 0.

2.

• Встречается везде в жизни; 5б.
• имеет три измерения; 4б.
• имеет объём; 3б.
• имеет восемь вершин; 2б.
• есть грани, рёбра. 1б. Ответ: параллелепипед или куб.

КОНКУРС ПЕРЕВОДЧИКОВ

Нумерация Древнего Египта:

ǀ - единицы; ˄ - десятки; е – сотни; ﻻ - тысячи.

Задание: перевести числа с древнеегипетской записи, выполнить действия. Ответ записать на древнеегипетском языке.

(˄˄˄ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ) ∙ (ее ǀ ǀ ǀ) – (˄˄˄˄˄˄˄ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ) ∙ (еееее ˄ ǀ ǀ ǀ ǀ - ееее ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ) + (˄ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ + ˄ ˄ ǀ ǀ ǀ) ∙ (˄˄ǀ ǀ)

Ответ: 38 ∙ 203 – 75 ∙ ( 514 – 477) + (16 + 23) ∙ 22 = 5797

ﻥ ﻥ ﻥ ﻥ ﻥ еееееее ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ˄ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ

КТО БЫСТРЕЕ

Заполните цепочку:

Ответ: а) 24а; б) 8х; в) 9m; г) 13у.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК С СЕКРЕТОМ

1. Какой из числовых рядов лишний, то есть отличается от других?

Ответ:

4

5

6

7

5

10

20

40

80

2. Согласно закономерности, найденной между числами в первом четырёхугольнике, определите недостающее число во втором.

Ответ: 71; 5.

КОНКУРС

На плакате в беспорядке расположены числа от 1 до 25. Вам необходимо показать все числа, называя их по порядку.

ПОДУМАЙ! СООБРАЗИ!

Задание: за определённое время необходимо решить как можно больше задач.

Задание 1:

1) Торговка, направляясь на базар, соображала: «Если бы к моим яблокам прибавить половину их, да ещё десяток. то у меня была бы целая сотня!» Сколько яблок было у торговки? Ответ: 60 яблок.

2) Трёхзначное число 87* делится на 5 и на 3. Какова последняя цифра? Ответ: 0

3) Хор, состоящий из 280 мальчиков и 105 девочек, исполняет задушевную песню. к счастью, только четвёртая часть мальчиков и третья часть девочек орёт во всё горло. Остальные только открывают рот. Найдите разность между мальчиками и девочками, орущими во всё горло. Ответ: 35 человек.

4) Что всегда только увеличивается и никогда не уменьшается? Ответ: возраст.

5) Чем больше из неё берут, тем больше она становится. Ответ: яма.

Задание 2:

1) Внук спросил деда: «Сколько тебе лет?» Дед ответил: «Если проживу ещё половину того, что я прожил, да ещё 1 год, то мне будет 100 лет». Сколько лет деду?

Ответ: 66 лет.

2) Число яблок в корзине – двузначное число. Яблоки можно разделить поровну между двумя, тремя и пятью детьми, но нельзя разделить между четырьмя детьми. Сколько яблок в корзине? Ответ: 30 яблок.

3) 40 человек вошли в автобус. Пятая часть купила билеты, а остальные заявили, что у них проездной. На самом деле проездной был только у 7 человек. Сколько человек проехали «зайцем»? Ответ: 25 человек.

4) Как может кошка зайти в погреб с одной головой, а выйти с двумя?

Ответ: если поймает мышь.

5) Одно яйцо варят 4 минуты. Сколько минут нужно варить 5 яиц? Ответ: 4 минуты.

НАЙДИ ОШИБКУ

1. Решить уравнение:

а) 2х + х ∙ 8 = 72 б) 8а + а – 7 = 256

3х ∙ 8 = 72 2а = 256

24х = 72 а = 256 : 2

х = 72 : 24 а = 128

х = 3 Ответ: 128.

Ответ: 3

2. Вычислить:

1) 52 – 50 ∙ 324 = 2 ∙ 324 = 648

2) 102102 : 102 = 11.

Желаю успехов, жду ваши ответы!

Тема. Задача Эйлера

Цель урока: знакомство с математическим понятием граф.

Леонард Эйлер жил в 18 веке, родился в Швейцарии, но большую часть своей жизни он прожил в России, в Санкт – Петербурге. Это один из немногих математиков, который при жизни был признан первым математиком мира. Именно Леонард Эйлер ввёл понятие скобки и впервые записал их.

Однажды Леонард Эйлер гулял в городе Кёнигсберг по берегам реки Прегель. Жители города задали ему вопрос: «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?»

Что сделал Эйлер? Он изобразил острова в виде точек, мосты в виде линий и построил схему. Впоследствии такие схемы он назовёт ГРАФ.

Граф – это набор точек некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами, а соединяющие их линии – рёбрами.

Число рёбер выходящих и любой вершины называется степень вершины. Если из вершины нечётное число рёбер, то она называется нечётной. Если чётное число рёбер, то чётной.

Итак, чтобы найти количество рёбер графа нужно суммировать степени вершин и поделить на 2.

Когда, например, мы рисуем домик, не отрывая карандаша от бумаги, то мы строим уникурсальный граф. Построение графа не отрывая карандаша от бумаги.

Возвращаемся к нашей задаче. «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?» Т. е. можно ли нарисовать граф не отрывая карандаша от бумаги? (НЕТ) все его вершины его нечётные.

Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задача 1. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два множества (можно вводить обозначения их не только кругами), так как два вида спорта. В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то квадраты нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2. В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16 − 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12 − 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей.

Ответ: 26 друзей.

Задача 2. Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж: 

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем: 

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок». 
Получаем: 

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». 
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. 
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задача 3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: 
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

4) Работа в группах. Самостоятельное решение задач, с последующей проверкой. 1 группа: Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом: 

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

2 группа: Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

3 группа: «троечники»

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.

Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

4 группа: Любители физики

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана. Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

Домашнее задание: 

1. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник, и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
3. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
4. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?
5. Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Тема. Спрос, предложение и равновесие.

Примеры нахождения рыночного равновесия.

Цель.  Формирование представления учащихся о спросе и предложении, познакомить с законами спроса и предложения, раскрыть связь между предложением и спросом и равновесной ценой.

Основные используемые понятия:

закон спроса, спрос

закон предложения, предложение

равновесная цена

товар, услуга

маркетинг

Добрый день, ребята. Сегодня я хотела бы начать наше занятие с таких слов:

                                        При обычном и повседневном положении дел

                                        спрос на любые товары предшествует

                                        их предложению.

                                                                                                       (Давид Рикардо)

А сейчас давайте поразмышляем, и ответим на следующие вопросы:

1. Что такое товар?

2. Какие свойства товара знаете?

3. Что еще продается и покупается?

4. Какое изобретение человечества самое важное и, наверно, самое мудрое?

5. Что раньше выполняло роль денег?

6. Чем современные деньги отличаются от ранних?

7. Какие функции выполняют деньги?

8. Как связаны товар и деньги в экономике?

9. Что такое инфляция?

Я не случайно задала вам все эти вопросы, так как отвечая на них, вы столкнётесь с вопросами сегодняшней нашей темы. Объяснение сопровождается презентацией.

1. Понятие спроса.

А как же регулируются цены? В рыночной экономике цены регулируются соотношением спроса и предложения. В экономической науке различают понятия: спрос и предложение.

Спрос– это желание людей приобрести тот или иной товар или услуги.

(Слайд 2)

Достаточно ли одного желания для приобретения товара?

Нет, одного желания для приобретения недостаточно, нужно денежное подкрепление этого желания.

Величина спроса – это количество товаров и услуг, которые покупатель желает и способен купить по данной цене и в данное время.

(Слайд 3 про спрос)

- От чего может зависеть величина спроса?

Величина спроса непосредственно зависит от цены товара, услуги. Эту зависимость можно представить в виде графика: (Слайд 4)

Попробуйте, проанализировав график, сформулировать закон спроса.

Повышение цены обычно ведет к уменьшению величины спроса, и, наоборот, снижение цены ведет к увеличению величины спроса. (слайд 5)

- Используя график и закон спроса, ответьте на вопросы.

1. Какова будет величина спроса при различных уровнях цен?

2. Как изменится величина спроса при изменении цены?

(слайды 6-7)

Какую зависимость или закономерность можно сформулировать из этого же графика: чем выше цена товара (услуги), тем ниже величина спроса и наоборот.

- Количество товаров, предлагаемых к продаже в рыночной экономике, также зависит от цены, которая, как истинный диспетчер, своей «невидимой рукой» регулирует соотношение спроса и предложения.

В экономической науке также различают предложение и величину предложения.

Что вы себе представляете под предложением?

Предложение– это желание и намерение продавца предложить свой товар или услуги к продаже. Выброс на рынок все большего числа товаров или услуг, определяется, прежде всего, производственными факторами (количеством сырья, производительностью и т. д.)

(слайды 8-9)

Величина предложения – это объем (количество) товаров (услуг), который продавцы готовы (хотят и могут) предложить на рынок в течение определенного периода времени при определенном уровне рыночной цены на этот товар (услугу). Обычно чем выше цена товара (услуги), тем большее количество его производители и продавцы готовы предложить на рынок.

Эту зависимость тоже можно представить в виде графика:

Из этого графика попробуем вывести закон предложения: повышение цены товара (услуги) обычно ведет к росту величины предложения, и, наоборот, снижение цены ведет к уменьшению величины предложения.

 (слайд 10 с графиком предложения)

Ребята, предлагаю вам представить себя грамотными предпринимателями и, используя два графика, найти точку равновесия цены, то есть ту цену, при которой товар будет продан.

Рыночное равновесие.

Да, можно свести воедино важные понятия спроса и предложения, чтобы выяснить, как взаимодействие решений потребителей о покупке товара (услуги) и решений продавцов о продаже определяет цену товара (услуги) и количество, которое реально покупается и продается на рынке. Для этого соединим кривые спроса и предложения: (наложим графики друг на друга)

Пересечение кривых спроса и предложения дает значение равновесной цены.

Что же такое равновесная цена? Как она влияет на ситуацию на рынке?

Равновесная цена– это цена, при которой весь поставляемый на рынок товар покупается. (слайд 11)

Если цена товара на рынке выше равновесной, то это побуждает продавца к увеличению предложения. В то же время эта завышенная цена снижает спрос на данный товар. В результате на рынке возникает избыточное предложение (избыток) товара, что, в свою очередь, приводит к снижению цены до уровня равновесия.

Если цена ниже равновесной, то предложение падает, а спрос растет. Такая ситуация на рынке приводит к дефициту товара.

Маркетинг. (слайд 12)

Разобраться в ситуации на рынке производителям и продавцам помогает маркетинг – это система управления производственно-сбытовой деятельностью предприятия, основанная на комплексном анализе рынка. (Слайд 12)

Виды маркетинговой деятельности: (Слайд 13)

маркетинговые исследования

разработка товара

ценообразование

организация распространения товаров и услуг

организация рекламы

Вопросы для самостоятельного объяснения:

Что такое спрос и что такое величина спроса, в чем заключается главное различие этих понятий?

Спрос – желание, намерение покупателей приобрести данный товар, подкрепленное денежной возможностью.

Величина спроса зависит от желания и способности приобрести какое-то количество товаров и услуг по данной цене в данный период времени.

Закон спроса – при прочих равных условиях по низкой цене удастся продать больше товаров, чем по высокой.

Что такое предложение и величина предложения?

Предложение – желание или намерение продавца предложить свой товар к продаже.

Величина предложения измеряется количеством товаров и услуг, предлагающихся продавцами на продажу по различным ценам в данном месте и в данное время.

Какая зависимость существует между спросом и предложением?

Когда спрос растет, то растет и предложение, но – когда растет предложение, не обязательно вырастает спрос.

Что такое равновесная цена и благодаря чему она образуется?

Равновесная цена – цена, уравновешивающая спрос и предложение в результате конкуренции.

Что такое маркетинг и каково его предназначение?

Маркетинг изучает объем спроса и предложений, насыщенность рынка той или иной продукцией, возможности разных групп покупателей приобретать те или иные товары

С помощью законов спроса и предложения объясните почему:

А) шубы летом продают со скидкой?

Б) прохладительные напитки на пляже дороже, чем в магазине?

Домашнее задание:

Составить кроссворд по сегодняшней теме.