Дистанционное обучение по математике

Слайд 1

Слайд 2

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ ВА Вектор Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором А В a АВ = АВ Начало вектора Конец вектора АВ Вектор а Вектор

Слайд 3

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым M MM = 0 Длина нулевого считается равной нулю MM Вектор 0 Вектор Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

Слайд 4

Назовите векторы, изображенные на рисунке. Укажите начало и конец векторов. N E F A В C D Е F Вектор AB Вектор CD Вектор NN Вектор 0 или

Слайд 5

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами ( или коротко векторами) В A 1Н 8 Н

Слайд 6

При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. + E Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Слайд 7

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током. B Н а п р а в л е н и е т о к а

Слайд 8

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c a b c a c b Коллинеарные, сонаправленные векторы o a o c o b Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором.

Слайд 9

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c b a Коллинеарные, противоположно направленные векторы b c

Слайд 10

АВС D – параллелограмм. А В С D b a Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. a b = 1 2 В A = CD ; A В = DC ; C В = DA ; AD = BC . О Найдите еще пары равных векторов. О – точка пересечения диагоналей.

Слайд 11

Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А А a a Вектор отложен от точки А a a М c От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. a a c = c a c a =

Слайд 12

М a n c D Отложить вектор, равный a 1 2 от точки М от точки D

Слайд 13

С А В D 4 3 АВ = 3 В C = 4 D С = 3 M А = 1,5 СВ = 4 АС = 5 5 M № 745 В прямоугольнике АВС D АВ=3см, ВС=4см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

Слайд 14

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ . M N P Q MN QP NM PQ QM PN MQ NP

Слайд 15

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (противоположно направленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ . M N P Q MN PQ NM QP MQ PN QM NP

Слайд 16

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВС D с основаниями AD и BC . А В С D СВ DA ВС AD Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы ВС DA СВ AD

Слайд 17

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH. F G H Коллинеарных векторов нет

Слайд 18

№ 74 8 В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы. Обоснуйте ответ. А В С D A В = DC ; ВС = D А; A О = О C ; О A С = В D .

Слайд 19

О А В С D АВС D – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски: 1. АВ и CD – … 2. ВС … С D , так как … 3. АО = … 4. ВО = АО, так как … 5. СО = СА, так как … 6. DD … , DD = … 4 4

Слайд 20

АВС D – параллелограмм. По данным рисунка найти А В С D АВ 30 0 6 К 12 = 12

Слайд 21

D O АВС – равнобедренный треугольник. О – точка пересечения медиан. По данным рисунка найти А В С DO 10 = 2 16 8 6 2 В O = 4

Слайд 1

Слайд 2

Коллинеарные векторы Векторы, расположенные на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными. А B C D E F AB CD, CD EF сонаправленные противоположно направленные

Слайд 3

Равенство векторов Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. а = b , если а = b и а b От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. a  M K

Слайд 4

Задача № 321 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 AD=8,AB=9, AA 1 =12 Найти длины векторов: СС 1 ,CB,CD DC 1 ,DB, DB 1

Слайд 5

C ложение векторов a b a b c a b c Правило треугольника Правило параллелограмма

Слайд 6

Сложение векторов Чтобы сложить векторы, надо к концу первого вектора приложить начало второго, и вектор, начало которого – начало первого вектора, а конец его - конец второго является суммой этих векторов. Найти сумму векторов: АВ и ВС, АВ + ВС = АС Свойства: 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c)

Слайд 7

C ложение нескольких векторов a b c d e a b c d e O M a + b + c + d + e = OM Правило многоугольника

Слайд 8

Сложение векторов Если А 1 , А 2 , А 3 , ….А n произвольные точки, то А 1 А 2 + А 2 А 3 + А 3 А 4 +…А n-1 A n = A 1 A n Правило параллелепипеда

Слайд 9

Разность векторов Разностью векторов a и b называется такой вектор с, сумма которого с вектором b равна вектору a. a – b = c a – b = a + (-b) a b a -b c

Слайд 10

Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна l k l  l а l , причем векторы a и b c онаправлены, если k  0, и противоположно направлены, если k<0 . Законы: для любых a,b и любых чисел k,l 1. (kl)a = k(la) 2. k(a+b) = ka + kb 3. (k+l)a = ka + la Если векторы a и b коллинеарны и a=0 , то существует такое k , что b = ka

Слайд 11

Условие коллинеарности векторов Векторы a и b коллинеарны, если существует такое число к = 0, что a = kb. Векторы a и c и b и с коллинеарны. Докажите, что векторы a – b и c коллинеарны. a = kc, b = mc, ( по определению) a – b = kc –mc= c(k-m), следовательно, вектор a – b коллинеарен с (по условию коллинеарности векторов).

Слайд 12

Опрос 1 вариант 2 вариант 1. Дать определения: а)вектора, а) нулевого вектора, б)коллинеарных б) равных векторов, в)длины вектора, в)разности векторов, 2. Записать и начертить правила сложения треугольника. параллелограмма. 3. Дать определение произведения вектора на число.

Слайд 13

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант 1. Упростите: 3( a+b)-4(b-a) 2(a-b)-5(a+b) 2. Векторы a и c, b и c коллинеарны. Докажите, что векторы a + 3b и c 2b – a и c коллинеарны 3. Укажите вектор Х, начало и конец которого являются вершинами призмы АВСА 1 В 1 С 1 такой, что АА 1 +В 1 С-Х=ВА АС 1 -ВВ 1 +Х=АВ

Слайд 14

Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. O B C D A E F K Векторы OA,OF,OC компланарны, так как ОС = AF , а векторы OA,OF,AF лежат в одной плоскости.

Слайд 15

Признак компланарности векторов Если вектор с можно разложить по векторам a и b , т.е. представить в виде с = ха + у b , где х и у некоторые числа, то векторы a, b, c – компланарны. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Слайд 16

Свойства 1. Если точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то ОМ = 1/3(ОА + ОВ + ОС) 2. Если точки А 1 ,В 1 ,С 1 и М 1 – основания перпендикуляров, проведенных к плоскости α из вершин треугольника АВС и из точки М (точки пересечения медиан этого треугольника), то ММ 1 = 1/3(АА 1 + ВВ 1 +СС 1 )

Слайд 1

Слайд 2

1 2 3 4 5 6 7 8 МЕНЮ

Слайд 3

> 6 дн 90 км на 5 км/дн на 5 км/дн > 90 км 8 дн Задача 1 . Если туристы будут проходить в день на 5 км меньше, то они пройдут за 8 дней расстояние, меньшее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км больше, то за 6 дней они пройдут расстояние, большее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы? МЕНЮ

Слайд 4

Задача 1 . Если туристы будут проходить в день на 5 км меньше, то они пройдут за 8 дней расстояние, меньшее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км больше, то за 6 дней они пройдут расстояние, большее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы? МЕНЮ

Слайд 5

Решение 1 Пусть туристы проходят Х км/д. Если туристы будут идти (х-5) км/д, то за 8 дней они пройдут 8(х-5) км/д. По условию задачи 8(х-5) <90. Если туристы будут идти (х + 5) км/д, то за 6 дней они пройдут 6 (х + 5) км/д. По условию задачи 6 (х + 5) >90. Нужно найти те значения Х, при которых верно как неравенство 8(х-5) <90 , так и неравенство 6 (х + 5) >90 , т.е. найти общие решения этих неравенств. Следовательно, нужно решить систему неравенств: МЕНЮ 10 16 x Ответ: Более 10 км и менее 16 км.

Слайд 6

2. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решениями МЕНЮ

Слайд 7

Решение 2 МЕНЮ 6 2 x [2;6] Ответ: 2,3,4,5,6.

Слайд 8

3. Найдите целые решения системы неравенств МЕНЮ

Слайд 9

Решение 3 МЕНЮ x 7 3 (3 ;7]. Ответ: 4,5,6,7.

Слайд 10

4. Решите системы неравенств МЕНЮ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Слайд 11

Решение 4.1 *12 *6 Ответ: (- ;6). МЕНЮ x 6 12

Слайд 12

Решение 4.2 Ответ: (1;15).

Слайд 13

Решение 4.3 Ответ: [0,6;5].

Слайд 14

Решение 4.4 Ответ: (2;16].

Слайд 15

Решение 4.5 Ответ: (-2;-1).

Слайд 16

Решение 4.6 Ответ : ( ; 9).

Слайд 17

Решение 4.7 Ответ: (-1; 2).

Слайд 18

5. Решите двойное неравенство: МЕНЮ

Слайд 19

Решение 5 МЕНЮ х 2 Ответ: ( ; 2).

Слайд 20

6. При каких у значения двучлена 3у-5 принадлежат промежутку (-1;1)? МЕНЮ

Слайд 21

Решение 6 МЕНЮ y 2 Ответ: ( ; 2).

Слайд 22

7. Решите систему неравенств МЕНЮ

Слайд 23

Решение 7 МЕНЮ Ответ: (8; + ) х -4 7 8

Слайд 24

8. Решите систему неравенств МЕНЮ

Слайд 25

Решение 8 МЕНЮ х 1 4 5 Ответ: (1; 4).

Слайд 1

Слайд 2

Проверка.

Слайд 3

1) Постройте сумму а + b , используя правило треугольника. а b c Построение: d Дано: а b 1) a + b

Слайд 4

2) Постройте сумму с + d , используя правило параллелограмма . а b c Построение: d Дано: с d 2 ) c + d

Слайд 5

3 ) Постройте разность с - b , используя теорему о разности векторов. а b c Построение: d Дано: с - b 3 ) с - b

Слайд 6

4) Постройте разность d - а, используя правило вычитания векторов . а b c Построение: d Дано: а d 4 ) х = d – a , значит d = а + х d - a

Слайд 7

5) Упростите выражение: 1 вариант. CA – OB – CD + AB = 2 вариант. BA + CD – OD – CA = = CA + BO + DC + AB = = DC + CA + AB + BO = = DO. = BA + CD + DO + AC = = BA + AC + CD + DO = = BO.

Слайд 8

У мно же ние вектора на число.

Слайд 9

Что получается при умножении вектора на число? а b c d 2а 3 b 0,5с - 0,5 d

Слайд 10

До скорой встречи на экзамене!

Слайд 1

Слайд 2

у х i j М(х;у) О Возьмем точку М(х;у) х у ОМ=х i+yj ОМ {x;y} ОМ – радиус-вектор точки М

Слайд 3

х у i j О А(х 1 ;у 1 ) В(х 2 ;у 2 ) OA {x 1 ;y 1 } ОВ {x 2 ;y 2 } 1. Координаты вектора АВ = ОВ - ОА АВ {x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 }

Слайд 4

Пример: В(2;4) С(5;1) ВС {5-2; 1-4} ВС {3; -3}

Слайд 5

K (5;-2) (-10;1) (-3;0) M (3;0) (-2;1) (0;2) KM 2KM -0,5KM Заполните таблицу:

Слайд 6

2. Координаты середины отрезка А(х 1 ;у 1 ) В(х 2 ;у 2 ) С(х;у) Пример:

Слайд 7

А (2;-3) (0;1) (0;0) ( c;d ) (3;5) (3t+5;7) (1;3) В (3;-1) (4;7) (-3;7) (3;8) (t+7;-7) М (-3;-2) (3;-5) (a;d) (0;0) № 936

Слайд 8

3 . Длина вектора a{x;y} Пример:

Слайд 9

№ 93 8 ( а,б,в ) а) а {5;9}; б) b{-3;4}; в) с { -10 ; -10 };

Слайд 10

3 . Расстояние между двумя точками М 1 (х 1 ;у 1 ) и М 2 (х 2 ;у 2 ) | М 1 М 2 |=d

Слайд 1

Слайд 2

Устная работа Арифметическая прогрессия 1) 1, 3, 5, 7, 9, … d = 2 2) 5, 8, 11, 14, … d = 3 3) -1, -2, -3, -4, … d = -1 4) -2, -4, -6, -8, … d = - 2 Геометрическая прогрессия 1) 1, 2, 4, 8, … q = 2 2) 5, 15, 45, 135, … q = 3 3) 1; 0,1; 0,001;0,0001; q = 0,1 4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, … q = 2/3 d - разность q -знаменатель Найдите закономерности

Слайд 3

Определение Арифметической Геометрической прогрессией а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,… называется п оследовательность, отличных от нуля чисел каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. умноженному на одно и то же число.

Слайд 4

Определение Числовая последовательность а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,… называется арифметической геометрической если для всех натуральных n выполняется равенство a n+1 = a n + d b n+1 = b n * q

Слайд 5

Вывод d>0 арифметическая прогрессия возрастающая d<0 арифметическая прогрессия убывающая q > 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 < q < 1 геометрическая прогрессия убывающая

Слайд 6

Определите вид прогрессии В третьем тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012 ,2016, 2020. В какой последовательности записаны года? В искусственном водоеме 10 кг водорослей. Через три дня их стало 20 кг. Через шесть дней – 40 кг, а через девять – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса водорослей?

Слайд 7

Формула n -го члена прогрессии Пусть заданы а 1 и d а 2 =а 1 + d a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d= а 1 + 2d a 4 =a 3 +d= а 1 + 3d …………………………… .. a n =a 1 +(n-1)d Пусть заданы b 1 и q b 2 = b 1 *q b 3 = b 2 *q= b 1 *q*q=b 1 *q 2 b 4 =b 1 *q 3 …………………………………………… .. b n = b 1 * q n-1 Чтобы задать арифметическую геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и первый член и разность знаменатель

Слайд 8

Составьте геометрическую прогрессию: Ежедневно каждый болеющий гриппом может заразить четырех окружающих. 1; 4; 16; 64;… Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются). 30; 60; 120; 240;… Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза. 0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Слайд 9

Работа в тетрадях Задание 1. Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия b 1 = 5 q = 3 Найти: b 3 ; b 5 . Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45 b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81 =4 0 5 Ответ: 45; 4 0 5. Решение

Слайд 10

Работа в тетрадях Задание 2. Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия b 4 = 40 q = 2 Найти: b 1 . Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5 Ответ: 5. Решение

Слайд 11

Работа в тетрадях Задание 3. Дано: ( b n ) - геометрическая прогрессия b 1 = -2, b 4 =-54. Найти: q . Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 4 =b 1 q 3 ; -54=(-2) q 3 ; q 3 = -54:(-2)=27; q =3 Ответ: 3. Решение

Слайд 12

Математике должно учить в школе ещё с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые были достаточными для обыкновенных потребностей жизни. И.Л.Лобачевский

Слайд 13

Биология Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320. Легкая промышленность Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток. Физика Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? Экология Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей? 5 инфузорий 6144 клетки 128; 64; 16 4 деления

Слайд 14

Подготовка к ГИА Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих последовательностей не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией. Укажите её. А. 1; 2; 3;… Б. 1; 2; 4;… В. 1; 4; 16;… Г. 1; 4; 9;…

Слайд 15

Подготовка к ГИА Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих последовательностей не является геометрической прогрессией. Укажите её. А. -3; 1; ;… Б. -3; -9; -27;… В. -3; 5; -7;… Г. -3; ; -1;…

Слайд 16

Подготовка к ГИА Последовательности ( a n ) , ( b n ), ( c n ) заданы формулами n -го члена. Поставьте в соответствие каждой последовательности верное утверждение. ФОРМУЛА А) Б) В) УТВЕРЖДЕНИЕ Последовательность – арифметическая прогрессия 2) Последовательность – геометрическая прогрессия 3) Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией А Б В 2 1 3

Слайд 17

Домашнее задание Придумайте или найдите задачи, позволяющие использовать геометрическую прогрессию; оформите их решение в тетрадь.

Слайд 18

МАНГУСТ Мангуст – пушистый зверёк, родина которого – Индия. Длина тела ~ 50-60см. Даёт потомство 3 раза в год, в помёте в среднем по 4 детёныша.

Слайд 19

4 детёныша 4 детёныша 4 детёныша через год 1 пара=2 мангуста

Слайд 20

Сколько будет детёнышей, если образовалось 6 пар и каждая пара даёт 12 детёнышей? 1–й год – 2 мангуста 2-й год – 12 детёнышей 3-й год – 72 детёныша!!!

Слайд 21

Сколько детёнышей мангустов появится на 10-й год? в 10 = 20 155 392 детёныша

Слайд 1

Слайд 2

Какие из следующих утверждений верны ? Задание 1 1 2 3 4 Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на sin угла между ними. Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на cos угла между ними. Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на cos угла между ними. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. Неверно ! Неверно . Верно. Верно.

Слайд 3

Какие из следующих утверждений верны ? Задание 2 1 2 3 4 Стороны треугольника пропорциональны синусам противополежащих углов. Стороны треугольника пропорциональны косинусам противополежащих углов. Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов. Стороны треугольника пропорциональны противополежащим углам. . Верно. Неверно ! Неверно ! Неверно !

Слайд 4

Какие из следующих утверждений верны ? Задание 3 1 2 3 4 Решить треугольник – это значит найти его площадь и периметр. Решить треугольник – это значит измерить все его элементы. Решить треугольник – это значит найти его неизвестные элементы по трем известным. Решить треугольник – это значит найти ему равный треугольник. Не верно! Не верно! Верно. Не верно!

Слайд 5

А Б В Г 2 4 3 1 А Б В Г Установите соответствие? Задание 4 1) 2) 3) 4) А) теорема синусов Б) формула Герона В) теорема Пифагора Г) теорема косинусов

Слайд 6

Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Задание 5 8 шагов 4 шага ? 1,7 м Подсказка (2) А К М В С Рассмотреть подобные треугольники Δ АВС и Δ АКМ 5,1

Слайд 7

Футбольный мяч находится у Ежика, который расположился на расстояниях 23 м и 24 м от стоек ворот. Ширина ворот 7 м. Найдите угол попадания мяча в ворота? Задание 6

Слайд 8

Задание 7 А В С 7 24 23

Слайд 9

Алгоритм решения практических задач Выполнить рисунок Построить математическую модель (чертеж) Решить геометрическую задачу

Слайд 10

А В С Дано: АВ=15 м < В=80 0 < А=70 0 Найти АС Задание 7 Найти расстояние до недоступного предмета АС=29,5 м

Слайд 11

Алгоритм нахождения расстояния до недоступного предмета Наметить 2 точки, расстояние между которыми можно измерить Выполнить измерение углов Построить математическую модель (чертеж) Решить геометрическую задачу, используя теорему синусов

Слайд 12

Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ озера. В ответе укажите целое число метров АВ=47м

Слайд 13

Решите сами 1 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта С и В на расстоянии 50м друг от друга. Измерили углы А СВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. ( < А C В=55 0 , < АВС=65 0 ) 2 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта В и С на расстоянии 40м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС , где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды . ( < А C В=60 0 , < АВС=70 0 )

Слайд 14

Проверьте друг друга < А =180 0 -60 0 -70 0 = 50 0 A В = 49 м < А =180 0 - 55 0 - 65 0 = 60 0 A В = 52 м

Слайд 1

Слайд 2

Диктант Цель: проверка опорных знаний

Слайд 3

1. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3. 2. Определите, вид треугольника, два угла которого равны 43 0 и 48 0 . 3. Найдите синус угла, если его косинус равен 4. Стороны треугольника равны 7см, 8 см и 10 см. Найдите косинус наибольшего угла этого треугольника. 5. В  АВС, АВ = 5 см, АС = 12 см,  С = 30 0 . Найдите  В. 1. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7. 2. Найдите синус угла, если его косинус равен 3.Определите, вид треугольника, два угла которого равны 47 0 и 49 0 . 4. Стороны треугольника равны 5см, 6 см и 8 см. Найдите косинус наименьшего угла этого треугольника. 5. В  АВС, АВ = 1 см, АС = см,  С = 30 0 . Найдите  В.

Слайд 4

Проверка 1. sin(180 0 -  ) = sin  = 0,3 2. 180 0 -43 0 – 48 0 = 89 0 , остроугольный 3. 4. 5. Решений нет 1. sin(180 0 -  ) = sin  = 0, 7. 2. 3. 180 0 -47 0 – 49 0 = 84 0 , остроугольный 4. 5.

Слайд 5

«При изучении наук, примеры не менее поучительны, чем правила.» И.Ньютон

Слайд 7

Ни асторолябией Ни рулеткой ни экером ни теодолитом

Слайд 8

Определите ширину реки

Слайд 9

Реш ите задач у №1 037 Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С – дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что  САВ=12  ,  АВС=72  . Найдите ширину реки. A B C 70 м х

Слайд 10

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот . Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол  попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Слайд 11

ФИЗМИНУТКА

Слайд 12

3 2 4 6 5 4 5 4 3 Правильно – руки вверх, неправильно - вперед остроугольный тупоугольный остроугольный

Слайд 13

Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию . 1859 -1930 г.г.

Слайд 14

Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: «… я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. В рассказе «Обряд дома Месгрейвов» он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будет конец тени от вяза, который срубили.

Слайд 15

Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать».

Слайд 16

Измерение высоты предмета Предположим, что требуется определить высоту какого-либо предмета Отметим точку В на определенном расстоянии  от основания Н предмета и измерим  АВН:  АВН=  . По этим данным из прямоугольного треугольника АВН находим высоту предмета:

Слайд 17

Измерение расстояния до недоступной точки А В С d   c Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С

Слайд 18

Домашнее задание № 10 3 6, № 1038 § 2 п . 97, 98, 100 Каждая задача требует чертёж и дополнительные пояснения. Помните об этом.

Слайд 19

Три пути ведут к знанию: путь размышления — самый благородный, путь подражания — самый легкий, и путь опыта — этот путь самый горький. Конфуций «Знания — дети удивления и любопытства».

Слайд 1

Слайд 2

Повторение Назовите координаты вектора Найдите координаты суммы векторов Найдите координаты вектора Скалярное произведение векторов и равно 0. Чему равен угол между этими векторами

Слайд 3

Проверка домашнего задания № 1042(а,б) А В С a

Слайд 4

Скалярное произведение в координатах Теорема Скалярное произведение векторов и выражается формулой:

Слайд 5

Следствие 1. Следствие 2.

Слайд 6

Свойства скалярного произведения векторов - переместительное свойство - сочетательное свойство распределительное свойство № 1044 (а, б); 1047 (б,в); 1051

Слайд 7

Домашнее задание: П. 103,104 № 1044(в), 1047(а).

Слайд 1

Слайд 2

Первый тип задач

Слайд 3

1

Слайд 4

Решение:

Слайд 5

2

Слайд 7

Второй тип задач

Слайд 8

3

Слайд 10

4

Слайд 12

5 Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина 48 см. Расстояние между точками А и В составляет 10 м. Найдите высоту , на которую поднимается лестница (в метрах). Решение. Пифагор (+): АВ(10):50*14(высота)=2,8

Слайд 13

6 Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 17,5 см, а длина 60 см. Расстояние между точками А и В составляет 12,5 м. Найдите высоту , на которую поднимается лестница (в метрах).

Слайд 14

6 Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 17,5 см, а длина 60 см. Расстояние между точками А и В составляет 12,5 м. Найдите высоту , на которую поднимается лестница (в метрах). Решение. Пифагор (+): АВ(12,5):62,5*17,5(высота)=3,5

Слайд 15

7 Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина 40 см. Расстояние между точками А и В составляет 7,5 м. Найдите высоту , на которую поднимается лестница (в метрах).

Слайд 16

7 Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина 40 см. Расстояние между точками А и В составляет 7,5 м. Найдите высоту , на которую поднимается лестница (в метрах). Решение. Пифагор (+): АВ(7,5):50*30(высота)= 4,5

Слайд 1

Слайд 2

Длина окружности Понятие длины окружности Формула Выведем формулу для длины окружности. Рассмотрим 2 окружности с вписанными n- угольниками. и — длины окружностей , и — радиусы , и — стороны вписанных n- угольников , и — периметры вписанных n- угольников . Обозначения: Используя формулу для стороны правильного многоугольника, вписанного в окружность, получаем: Следовательно, Это равенство верно для любого значения n , и т.к. и при , то предел отношения равен , а значит

Слайд 3

Длина окружности Понятие длины окружности Формула и — длины окружностей , и — радиусы , и — стороны вписанных n- угольников , и — периметры вписанных n- угольников . Обозначения: Значит, отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число обозначают греческой буквой (*) (*) принимает вид Отсюда получаем формулу: В решении задач обычно используют приближенное значение

Слайд 1

Слайд 2

0,(8) =0,888…= х х = 0,888… = 0,(8) ( * 10) 10 х = 8,888… = 8,(8) 10х – х = 8,(8) – 0,(8) 9х = 8 Х = 8/9

Слайд 3

0,(12) = 0,1212… = х Х = 0,1212… = 0,(12) (* 100) 100х = 12, 1212… = 12,(12) 100х – х = 12,(12) – 0,(12) 99х = 12 Х = 12/99

Слайд 4

0,1(2)= 0,1222…= х Х = 0,1222… = 0,1(2) (*10) (*100) 10х = 1,222… = 1,(2) 100х = 12,222… = 12,(2) 100х – 10х =12,(2) – 1,(2) 90х = 11 х= 11/90

Слайд 1

Слайд 2

Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. 1/3, 1/7, 2/9, 5/21

Слайд 3

7/9 – несократимая дробь. 7/9=0,777…. Это бесконечная периодическая десятичная дробь или периодическая дробь. 0,777…=0,(7). Нуль целых и семь в периоде. Цифра 7 - период дроби.

Слайд 4

0,1717… = 0,(17) 2,3666… = 2,3(6) две целых, три десятых и 6 в периоде. 24=24,0=24,000…=24,(0) 1,25=1,250=1,25000…=1,25(0)

Слайд 5

Любое положительное рациональное число разлагается в периодическую дробь. Обратное утверждение: Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого положительного рационального числа.

Слайд 1

Слайд 2

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ ВА Вектор Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором А В a АВ = АВ Начало вектора Конец вектора АВ Вектор а Вектор

Слайд 3

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым M MM = 0 Длина нулевого считается равной нулю MM Вектор 0 Вектор Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

Слайд 4

Назовите векторы, изображенные на рисунке. Укажите начало и конец векторов. N E F A В C D Е F Вектор AB Вектор CD Вектор NN Вектор 0 или

Слайд 5

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами ( или коротко векторами) В A 1Н 8 Н

Слайд 6

При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. + E Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Слайд 7

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током. B Н а п р а в л е н и е т о к а

Слайд 8

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c a b c a c b Коллинеарные, сонаправленные векторы o a o c o b Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором.

Слайд 9

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c b a Коллинеарные, противоположно направленные векторы b c

Слайд 10

АВС D – параллелограмм. А В С D b a Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. a b = 1 2 В A = CD ; A В = DC ; C В = DA ; AD = BC . О Найдите еще пары равных векторов. О – точка пересечения диагоналей.

Слайд 11

Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А А a a Вектор отложен от точки А a a М c От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один. a a c = c a c a =

Слайд 12

М a n c D Отложить вектор, равный a 1 2 от точки М от точки D

Слайд 13

С А В D 4 3 АВ = 3 В C = 4 D С = 3 M А = 1,5 СВ = 4 АС = 5 5 M № 745 В прямоугольнике АВС D АВ=3см, ВС=4см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

Слайд 14

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ . M N P Q MN QP NM PQ QM PN MQ NP

Слайд 15

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (противоположно направленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ . M N P Q MN PQ NM QP MQ PN QM NP

Слайд 16

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВС D с основаниями AD и BC . А В С D СВ DA ВС AD Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы ВС DA СВ AD

Слайд 17

№ 74 7 Укажите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH. F G H Коллинеарных векторов нет

Слайд 18

№ 74 8 В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы. Обоснуйте ответ. А В С D A В = DC ; ВС = D А; A О = О C ; О A С = В D .

Слайд 19

О А В С D АВС D – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски: 1. АВ и CD – … 2. ВС … С D , так как … 3. АО = … 4. ВО = АО, так как … 5. СО = СА, так как … 6. DD … , DD = … 4 4

Слайд 20

АВС D – параллелограмм. По данным рисунка найти А В С D АВ 30 0 6 К 12 = 12

Слайд 21

D O АВС – равнобедренный треугольник. О – точка пересечения медиан. По данным рисунка найти А В С DO 10 = 2 16 8 6 2 В O = 4

Слайд 1

Слайд 2

Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

Слайд 3

Обозначение основных фигур в пространстве: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …

Слайд 4

Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр. Октаэдр.

Слайд 5

Геометрические тела: Цилиндр. Конус. Шар.

Слайд 6

Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Слайд 7

Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Слайд 8

Аксиомы стереометрии. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.  А В С

Слайд 9

Аксиомы стереометрии. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости  А В

Слайд 10

Аксиомы стереометрии. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .  

Слайд 11

Аксиомы стереометрии описывают: А1. А2. А3. А В С  Способ задания плоскости  А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей  

Слайд 12

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек.  а  а М g а а   а ∩  = М а ⊄ 

Слайд 13

Прочитайте чертеж A С

Слайд 14

Прочитайте чертеж B c b a

Слайд 15

Прочитайте чертеж

Слайд 16

а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите:

Слайд 17

а) Две плоскости , c одержащие прямую DE . б) Прямую по которой пересекаются плоскости АЕ F и SBC . в) Плоскость, которую пересекает прямая SB . S В А С F E D Пользуясь данным рисунком, назовите:

Слайд 18

S В А С F E D а) Две плоскости , c одержащие прямую EF . б ) Прямую по которой пересекаются плоскости BD Е и SAC . в ) Плоскость, которую пересекает прямая AC . Пользуясь данным рисунком, назовите:

Слайд 19

Домашнее задание: Выучить аксиомы. 2) П. 2-3 стр. 4 – 6. 3) № 1 (в, г); 2(в, г); 6.

Слайд 20

Комментарий к задаче № 6: А В С 1 случай: точки лежат на одной прямой. А В С 2 случай: точки лежат в одной плоскости. Удачи!

Слайд 1

Слайд 2

Какие фигуры на рисунках являются углами? Объяснить.

Слайд 4

Назвать углы на рисунках, их вершины .

Слайд 5

M N K b A D E F O

Слайд 6

Какие точки принадлежат внутренней области угла, какие – внешней?

Слайд 7

M A P C D B K O E F X

Слайд 8

Сравнение отрезков и углов

Слайд 9

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Слайд 11

A M B N MN  AB

Слайд 12

A M B M - середина отрезка AB

Слайд 13

Точка отрезка, делящая его пополам, т.е.на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Слайд 14

A B  MNK   ABC С M N K

Слайд 15

A B С D BD -биссектриса  ABD= D BC

Слайд 16

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Слайд 17

A B №1 .На рисунке CB = BE , DE  AC . Сравните AB и DB . С D E

Слайд 18

A B №2 .На рисунке  AO B =  DOC . Есть ли еще на рисунке равные углы? С O D

Слайд 19

№ 3 .На прямой a от точки A в одном направлении отложены два отрезка AB и AC ( AC  AB ). От точки С на этой прямой отложите такой отрезок CE , чтобы AC = BE . Что вы можете сказать о длине отрезка CE ?

Слайд 20

A B С E a AC  AB AC = BE CE - ?

Слайд 21

A B № 4 .На рисунке  AO С =  DOB , OM –биссектриса  AOB . Докажите, что OM -биссектриса угла С OD . С O D M

Слайд 1

Слайд 2

Цели урока: Познакомиться с понятиями смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства; Научить строить угол, смежный с данным углом, изображать вертикальные углы, находить на рисунке вертикальные и смежные углы.

Слайд 3

Давай вспомним! Что такое угол?

Слайд 4

АОВ О В ВОА А О Луч ОА Луч ОВ Как обозначаются углы?

Слайд 5

Для измерения углов используют транспортир . Какой инструмент можно использовать для измерения углов? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Слайд 6

10 20 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 80 0 10 20 30 40 50 60 70 0 40 30 А Б и с с е к т р и с а I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 А OB = 70 0 Что называется биссектрисой угла ? B O

Слайд 7

Единицы измерения угла Всего 18 0 частей. 1 часть – это 1 градус. 1/60 часть градуса называется минутой , обозначается знаком « ′ » 1/60 часть минуты называется секундой , обозначается знаком « ″ »

Слайд 8

Виды углов ОСТРЫЙ УГОЛ Название угла Рисунок Градусная мера ПРЯМОЙ УГОЛ ТУПОЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ менее 90 ˚ 90 ˚ >90 ˚, но <180 ˚ 180 ˚

Слайд 9

Какой угол образует клюв вороны, когда: "Ворона сыр во рту держала?" А когда "Ворона каркнула во все воронье горло?"

Слайд 10

К вашим знаниям об углах сегодня добавится еще два вида: Смежные и вертикальные углы.

Слайд 11

1 2 A B C O Начертите развернутый угол АОС. Начертите произвольный луч О B , лежащий между сторонами развернутого угла.

Слайд 12

Определение смежных углов Определение. Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. А О В С  ВОА и  ВОС смежные А О В С А О В С А О В С А О В С А О В С А О В С А О В С

Слайд 13

Являются ли смежными углы  AOD и  BOD  AO С и  DO С  AO С и  DO В  AO С,  DO С и  BOD ?

Слайд 14

Построение смежных углов

Слайд 15

А О В С Угол смежный для острого угла является тупым . 1.Одну из сторон угла продолжить за его вершину. 2.Получившийся угол АОС является смежным с углом АОВ. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Слайд 16

А В С О Угол смежный для тупого угла является острым .

Слайд 17

А В О С Угол смежный с прямым углом является прямым

Слайд 18

Сумма смежных углов равна 180 0 С О A B C войство смежных углов

Слайд 19

130 0 ? Решение: ( по свойству смежных углов )

Слайд 20

Начертите произвольный  AOB . Постройте лучи OC и OD , противоположные к его сторонам. В С А О D Определение. Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого

Слайд 21

А D B C O Найдите вертикальные углы. M N D С B А B А С D O B А С D M D С B А D С B А

Слайд 22

Построение вертикальных углов

Слайд 23

А О В I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C D Построить угол. 2.Продлить каждую сторону угла за его вершину.

Слайд 24

Свойство вертикальных углов A O D B C Вертикальные углы равны. Дано :  AOD и  COB – вертикальные. Доказать :  AOD=  COB Доказательство . По свойству смежных углов:  AOD +  AOB = 180  и  CO В +  AOB = 180  . Имеем:  AOD = 180  –  AOB и  COB = 180  –  AOB , значит,  AOD =  COB

Слайд 25

Решите задачу по чертежу Решение:

Слайд 26

Закончи предложение Если один из смежных углов равен 50°, то другой равен… Угол, смежный с прямым, … Если один из вертикальных углов прямой, то второй... Угол смежный с острым… Если один из вертикальных углов равен 25°, то второй угол равен… 130 ° прямой прямой тупой 25 °

Слайд 27

50 ° ? 1 2 1 _ 2 = 70 ° 79 ° ? 1 + 2 = 90 ° 2 1 Задания для самопроверки Определите по рисункам: Найдите  1 и  2 1 Найдите  1 и  2

Слайд 28

Образец оформления решения задачи При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 43 0 . Найдите величины остальных углов . M O F P K 43 0 Дано: Найти: Решение: Ответ: 137 0 , 43 0 , 137 0 МК  PF = О  МО F = 43 °  FOK,  KOP,  POM.  МО F =  KOP по свойству вертикальных углов,  KOP = 43 °  МО F +  FOK = 180 ° , так как они смежные,  FOK = 180 ° - 43 ° =137 °  FOK и  POM вертикальные, значит  FOK =  POM ,  POM =137 °

Слайд 30

Дано:  = 3  . Найти:  и  . ОС- биссектриса Найти  BOC Найти  BOC

Слайд 31

Т Е С Т по теме "Вертикальные и смежные углы"

Слайд 32

1. Сумма смежных углов равна…. 360 0 90 0 180 0 A B C

Слайд 33

2. Как называется угол меньше 180 0 , но больше 90 0 острый тупой прямой A B C

Слайд 34

3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 47 0 ? 133 0 47 0 43 0 C B A

Слайд 35

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов? тупой развернутый прямой C B A

Слайд 36

5. Найдите

Слайд 37

6. Найдите

Слайд 38

7. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. 60 0 и 120 0 90 0 и 100 0 40 0 и 80 0 C B A

Слайд 39

8. Угол равен 72 0 . Чему равен вертикальный ему угол? 72 0 108 0 18 0 C B A

Слайд 40

9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают три часа? острый тупой прямой C B A

Слайд 41

Проверь себя. 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C

Слайд 42

Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении двух прямых, если один из углов равен 102 0 . Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз меньше другого. Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на 30 0 больше другого? Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных углов, если их сумма равна 98 0 .

Слайд 43

Обучающая самостоятельная работа А С В D 2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КО N ; б) угол MOR. 3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке: Е А D C В F 4 . Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на рисунке: D В А М С N 1 . На рисунке изображены прямые АС и В D , пересекающиеся в точке О. Дополните записи:  ВОС и  . . . - вертикальные,  ВОС и  . . . - смежные,  СО D и  . . . - вертикальные,  СО D и  . . . - смежные. o

Слайд 1

Слайд 2

1 . а+ b = b +а (переместительный закон сложения) 2. ( a+b )+c =a+( b+c ) (сочетательный закон сложения)

Слайд 3

3. ab = ba ( переместительный закон умножения) 4. ( ab )c=a( bc ) (сочетательный закон умножения) 5. a( b+c )= ab+ac ( распределительный закон)

Слайд 4

6. а+0=а (свойство нуля) 7. а+ (-а)=0 (сумма противоположных чисел равна нулю) 8. а1=а 9. а0=а

Слайд 1

Слайд 4

Теорема 1: Каждое, отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.

Слайд 5

Теорема 2: Простых чисел бесконечно много.

Слайд 1

Слайд 1

Слайд 2

В А С Любой треугольник имеет три медианы . Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Медиана треугольника Дано: ∆АВС А 1  ВС, ВА 1 = А 1 С; В 1  АС, АВ 1 = В 1 С; С 1  АВ, АС 1 = С 1 В; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – медианы ∆АВС А 1 С 1 В 1

Слайд 3

В А С Определение Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектриса треугольника К

Слайд 4

В А С Любой треугольник имеет три биссектрисы . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: ∆АВС А 1  ВС,  ВАА 1 =  САА 1 ; В 1  АС,  АВВ 1 =  СВВ 1 ; С 1  АВ,  ВСС 1 =  АСС 1 ; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – биссектрисы ∆АВС А 1 С 1 В 1 Биссектриса треугольника

Слайд 5

В А С Определение Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Высота треугольника Н

Слайд 6

В А С Любой треугольник имеет три высоты . Высоты треугольника или их продолжение пересекаются в одной точке. Дано: ∆АВС А 1  ВС, АА 1  ВС; В 1  АС, ВВ 1  АС; С 1  АВ, СС 1  АВ; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – высоты ∆АВС А 1 С 1 В 1 Высота треугольника

Слайд 7

Дано: ∆АВС А В = АС А В, АС – боковые стороны ∆АВС ВС – основание ∆АВС В А С Равнобедренный треугольник Определение Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны . боковая сторона основание боковая сторона

Слайд 8

Дано: ∆АВС А В = АС = ВС В А С Равносторонний треугольник Определение Треугольник, все стороны которого равны называется равносторонним .

Слайд 9

Дано: ∆АВС А В = АС В А С Свойства равнобедренного треугольника Теорема 1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны . 1 2 Доказать:  В =  С D

Слайд 10

Дано: ∆АВС А В = АС ;  1 =  2. В А С Свойства равнобедренного треугольника Теорема 2 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. 1 2 3 4 Доказать: 1) BD = DC ; 2) AD  DC. D

Слайд 11

Утверждение 1 Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Утверждение 2 Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Свойства равнобедренного треугольника В А С D

Слайд 12

Теорема Если сторона и два прилежащих к ней углам одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 Дано: ∆АВС, ∆А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 ,  А =  А 1 ,  В =  В 1 Доказать: ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1

Слайд 13

Теорема Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 Дано: ∆АВС, ∆А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 Доказать: ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1

Слайд 14

Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват . учреждений / Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012. http://www.graphicsfuel.com/2012/07/pencil-icon-vector-psd/ - карандаш Использованы ресурсы

Слайд 1

Слайд 2

В А С Любой треугольник имеет три медианы . Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Медиана треугольника Дано: ∆АВС А 1  ВС, ВА 1 = А 1 С; В 1  АС, АВ 1 = В 1 С; С 1  АВ, АС 1 = С 1 В; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – медианы ∆АВС А 1 С 1 В 1

Слайд 3

В А С Определение Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектриса треугольника К

Слайд 4

В А С Любой треугольник имеет три биссектрисы . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: ∆АВС А 1  ВС,  ВАА 1 =  САА 1 ; В 1  АС,  АВВ 1 =  СВВ 1 ; С 1  АВ,  ВСС 1 =  АСС 1 ; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – биссектрисы ∆АВС А 1 С 1 В 1 Биссектриса треугольника

Слайд 5

В А С Определение Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Высота треугольника Н

Слайд 6

В А С Любой треугольник имеет три высоты . Высоты треугольника или их продолжение пересекаются в одной точке. Дано: ∆АВС А 1  ВС, АА 1  ВС; В 1  АС, ВВ 1  АС; С 1  АВ, СС 1  АВ; АА 1 ВВ 1 , СС 1 – высоты ∆АВС А 1 С 1 В 1 Высота треугольника

Слайд 7

Дано: ∆АВС А В = АС А В, АС – боковые стороны ∆АВС ВС – основание ∆АВС В А С Равнобедренный треугольник Определение Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны . боковая сторона основание боковая сторона

Слайд 8

Дано: ∆АВС А В = АС = ВС В А С Равносторонний треугольник Определение Треугольник, все стороны которого равны называется равносторонним .

Слайд 9

Дано: ∆АВС А В = АС В А С Свойства равнобедренного треугольника Теорема 1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны . 1 2 Доказать:  В =  С D

Слайд 10

Дано: ∆АВС А В = АС ;  1 =  2. В А С Свойства равнобедренного треугольника Теорема 2 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. 1 2 3 4 Доказать: 1) BD = DC ; 2) AD  DC. D

Слайд 11

Утверждение 1 Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Утверждение 2 Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Свойства равнобедренного треугольника В А С D

Слайд 12

Теорема Если сторона и два прилежащих к ней углам одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 Дано: ∆АВС, ∆А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 ,  А =  А 1 ,  В =  В 1 Доказать: ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1

Слайд 13

Теорема Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства треугольников В А С А 1 В 1 С 1 Дано: ∆АВС, ∆А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 Доказать: ∆АВС = ∆А 1 В 1 С 1

Слайд 14

Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват . учреждений / Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012. http://www.graphicsfuel.com/2012/07/pencil-icon-vector-psd/ - карандаш Использованы ресурсы

Слайд 1

Слайд 2

Определение степени с натуральным показателем Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . а n = a  a  a …  a n раз

Слайд 3

Свойства степени с натуральным показателем 1 свойство : a m  a n = a m + n 2 свойство: a m : a n = a m - n 3 свойство: ( a m ) n = a mn 4 свойство : ( a  b ) n = a n  b n

Слайд 4

1. При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели складываются. 2. При делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются. 3. При возведении степень в степень основание остается прежним, а показатели умножаются. 4. Чтобы произведение возвести в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень.

Слайд 1

Слайд 2

у х i j М(х;у) О Возьмем точку М(х;у) х у ОМ=х i+yj ОМ {x;y} ОМ – радиус-вектор точки М

Слайд 3

х у i j О А(х 1 ;у 1 ) В(х 2 ;у 2 ) OA {x 1 ;y 1 } ОВ {x 2 ;y 2 } 1. Координаты вектора АВ = ОВ - ОА АВ {x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 }

Слайд 4

Пример: В(2;4) С(5;1) ВС {5-2; 1-4} ВС {3; -3}

Слайд 5

K (5;-2) (-10;1) (-3;0) M (3;0) (-2;1) (0;2) KM 2KM -0,5KM Заполните таблицу:

Слайд 6

2. Координаты середины отрезка А(х 1 ;у 1 ) В(х 2 ;у 2 ) С(х;у) Пример:

Слайд 7

А (2;-3) (0;1) (0;0) ( c;d ) (3;5) (3t+5;7) (1;3) В (3;-1) (4;7) (-3;7) (3;8) (t+7;-7) М (-3;-2) (3;-5) (a;d) (0;0) № 936

Слайд 8

3 . Длина вектора a{x;y} Пример:

Слайд 9

№ 93 8 ( а,б,в ) а) а {5;9}; б) b{-3;4}; в) с { -10 ; -10 };

Слайд 10

3 . Расстояние между двумя точками М 1 (х 1 ;у 1 ) и М 2 (х 2 ;у 2 ) | М 1 М 2 |=d

Слайд 1

Слайд 2

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

Слайд 3

??? A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли параллельными прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ? Почему? АА 1 || DD 1 , как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости.

Слайд 4

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся . a b

Слайд 5

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α , С D ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что С D и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β . Доказать, что АВ Скрещивается с С D А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая С D пересекает α . Плоскости, которой принадлежат АВ и С D не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с С D. Ч.т.д.

Слайд 6

Закрепление изученной теоремы: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С?

Слайд 7

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с С D . Построить α : АВ α , С D || α . А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || С D . Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α . АВ α , С D || α . α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство : α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую С D.

Слайд 8

Задача Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b . Построение: Через точку К провести прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b . а b К а 1 b 1 3 . Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α . α – искомая плоскость.

Слайд 9

Задача №34. А В С D M N P Р 1 К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB

Слайд 10

Задача №34. А В С D M N P К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB г) МР и A С д) К N и A С е) М D и B С

Слайд 11

Задача №93 α a b М N Дано: a || b MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b . Скрещивающиеся.

Слайд 12

полуплоскость полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. а

Слайд 13

Углы с сонаправленными сторонами A О О 1 О 2 A 1 В 2 A 2 О 3 A 3

Слайд 14

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Теорема об углах с сонаправленными сторонами О О 1 A 1 A B 1 B

Слайд 15

Угол между прямыми a b Пусть - тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен .

Слайд 16

a b 30 0 n 10 0 0 m 8 0 0 Угол между прямыми m и n 80 0 . Угол между прямыми а и b 30 0 .

Слайд 17

Угол между скрещивающимися прямыми а b a b b М Через произвольную точку М 1 проведем прямые m и n , соответственно параллельные прямым a и b . Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен m n

Слайд 18

Угол между скрещивающимися прямыми а b a b М Точку М можно выбрать произвольным образом. m В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Слайд 19

Прямая С D проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми С D и EF , если DCA = 60 0 D В EF С D А C ? F E

Слайд 20

Прямая МА проходит через вершину квадрата АВС D и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МА D = 45 0. М D МА ВС С А ? B

Слайд 21

т № 46. Прямая m параллельна диагонали В D ромба АВС D и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 128 0 . А В D С 128 0 128 0

Слайд 22

А D С А 1 B 1 С 1 D 1 В 130 0 130 0 На рисунке АВС D – параллелограмм, АВС = 130 0 , АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1 . Найдите угол между прямыми АВ и А 1 D 1 .

Слайд 23

А D С А 1 B 1 С 1 D 1 В 1 2 0 0 На рисунке АВС D – параллелограмм, ВС C 1 = 1 2 0 0 , АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1 . Найдите угол между прямыми ВВ 1 и А D .

Слайд 1

Слайд 2

A В D АВС D – ромб, сторона которого 6 см, С NSD – параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника АВ NS , если С N = 4 см и угол ADS равен 60 0 . C N S 6 см 6 см 4 см Повторение

Слайд 3

Многоугольник ABCDNH – фигура, составленная из отрезков. А В С D H N А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 Многоугольник A 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 – часть плоскости, ограниченная линией A 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 А 7 .

Слайд 4

D А С В Поверхность, составленная из четырех треугольников … называется тетраэдром Грани Вершины Ребра

Слайд 5

Тетраэдр. Слово составлено из греческих «четыре» и - «основание». Буквальное значение – «четырехгранник». По-видимому, термин впервые употреблен Евклидом. После Платона чаще встречается «пирамида» , / С А В S S

Слайд 6

D А С В Противоположные ребра основание А С В D основание

Слайд 7

Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВС D и A 1 B 1 C 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ADD 1 A 1 , CDD 1 C 1 и ВСС 1 В 1 А В С D D 1 С 1 A 1 B 1

Слайд 8

А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Параллелепипед АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Грани Вершины Ребра Противоположные грани

Слайд 9

Параллелепипед. Слово составлено из греческих «плоскость» «поверхность». Слово встречалось у Эвклида и Герона, но его еще не было у Архимеда. , ,

Слайд 10

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Диагональ параллелепипеда - отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Слайд 11

Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны.

Слайд 12

А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Свойства параллелепипеда Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Слайд 13

А В С D D 1 С 1 A 1 B 1 Свойства параллелепипеда Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Слайд 14

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 Каково взаимное положение прямых А 1 D и MN , А 1 D и В 1 С 1 , М N и A 1 B 1 ? N M R Ошибка

Слайд 15

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 F E F и E - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых и угол между прямыми EF и AC .

Слайд 16

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 F F - средина ребра DD 1 куба. Определите взаимное расположение прямых BD и B 1 F . R

Слайд 17

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 F E F и E - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых и угол между прямыми В 1 Е и О F . О

Слайд 18

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 F F и Е - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых АС и F Е и угол между ними. Е

Слайд 19

А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 F F и Е - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых ОЕ и F В 1 . Е О

Слайд 20

А В С D N M E F F , Е, N, M - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NM и F Е и угол между ними.

Слайд 21

А В С D N M N, M - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NM и ВС.

Слайд 22

А В С D N M N, M , Р и К - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых N К и МС. Р К

Слайд 23

А В С D N N , Р и К - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых N В и РК. Р К

Слайд 24

А В С D N N и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой N Р и плоскости АС D Р

Слайд 25

А В С D Определите взаимное расположение прямой D В и плоскости АС D

Слайд 26

А В С D N F, S, N и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой CF и плоскости NPS Р S F

Слайд 27

А В С D N K, F, S, N и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой KF и плоскости NPS Р S F K

Слайд 1

Слайд 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 2: А В

Слайд 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Аксиома 3: В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой m М

Слайд 4

Следствия из аксиом стереометрии 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М m

Слайд 5

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. а b

Слайд 6

Взаимное расположение в пространстве двух прямых Две прямые лежат в одной плоскости 2. Прямые пересекаются 1. Прямые параллельны Одна общая точка Нет общих точек

Слайд 7

Взаимное расположение в пространстве двух прямых Не лежат в одной плоскости: являются скрещивающимися М a m

Слайд 8

Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости 1. Прямая лежит в плоскости 2. Прямая пересекает плоскость Бесконечно много общих точек Одна общая точка

Слайд 9

3. Прямая параллельна плоскости. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Нет общих точек Признак параллельности прямой и плоскости:

Слайд 10

Способы задания плоскостей По трем точкам (аксиома 1) По прямой и не лежащей на ней точке (следствие 1) По двум пересекающимся прямым (следствие 2) По двум параллельным прямым (по определению параллельных прямых)

Слайд 11

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью

Слайд 12

№ 1. Построить сечение, определенное точками K, L, M. K M L Прямая КМ 2. Прямая М L 3. Прямая К L КМ L –сечение А В Р (аксиома 1)

Слайд 13

N2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА 1 и CC 1 . А А 1 В 1 С 1 D 1 С В D 1. Прямая А 1 С 1 2. Прямая АС АА 1 С 1 С - сечение

Слайд 14

N3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС 1 и А 1 С. А А 1 В 1 С 1 D 1 D В С 1. Прямые А 1 С 1 и АС 2. Прямые АА 1 и СС 1 АА 1 С 1 С - сечение (следствие 2)

Слайд 15

N4. Построить сечение по прямой BC и точке М . А В С Р М 1. Прямая ВС 2. Прямая СМ ВСМ - сечение 3. Прямая ВМ (следствие 1)

Слайд 16

А А 1 В 1 С 1 D 1 D С N5. Определите вид сечения куба АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 плоскостью, проходящей через ребро А 1 Д 1 и середину ребра ВВ 1 . В М К 1. Прямая А 1 М 3 . Прямая D 1 K 2 . Прямая МК A 1 D 1 A 1 D 1 KM - сечение

Слайд 17

А А 1 В 1 С 1 D 1 D В С N6 . Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС . К М 1. Прямая СМ 2. Прямая МК II AC 3 . Прямая AK AK МС - сечение

Слайд 18

N7. Построить сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку М середину ребра В 1 С 1 . А В С А 1 В 1 С 1 М К 1. Прямая ВМ 2. Прямая МК параллельно АВ 3. Прямая АК АКМВ - сечение

Слайд 19

N8. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основания пирамиды. А В С D К S 1. Прямая КМ II AD 2 . Прямая К N II DC N M 3 . Прямая М P II AB P 4 . Прямая PN II BC KMPN - сечение

Слайд 20

МЕТОД СЛЕДОВ Суть метода: построение вспомогательной прямой, являющейся линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани фигуры. Эту линию называют следом секущей плоскости.

Слайд 21

М Р Постройте сечение куба, проходящее через точки P, М, К. К А 1. Прямая МК В 2. Прямая КР О Т 3. Прямая ОТ МАВРС - сечение С

Слайд 22

Самостоятельная работа. (с последующей проверкой) M N P M N P M N P M N P M N P M N P

Слайд 23

P N M N P M N P M Решения варианта 1. Решения варианта 2. M N P M N P M N P

Слайд 24

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их (Д. Пойа) СПАСИБО ЗА УРОК !

Слайд 1

Слайд 2

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Слайд 3

План решения задачи на построение . Анализ ( нахождение связи между элементами геометрической фигуры). Построение с обязательным описанием хода его выполнения. Доказательство получения искомой фигуры. Исследование.

Слайд 4

А В С Построение угла, равного данному. Дано: угол А. Построим угол, равный данному. О D E Теперь докажем, что построенный угол равен данному. Показ

Слайд 5

Построение угла, равного данному . Дано: угол А. А Построили угол О. В С О D E Доказать: А = О Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и О DE . АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. АВ=О D , как радиусы одной окружности. ВС= DE , как радиусы одной окружности. АВС= О D Е (3 приз.) А = О Показ

Слайд 6

биссектриса Построение биссектрисы угла. Показ

Слайд 7

Докажем, что луч АВ – биссектриса А П Л А Н Дополнительное построение. Докажем равенство треугольников ∆ АСВ и ∆ А DB . 3. Выводы А В С D АС=А D , как радиусы одной окружности. СВ= DB , как радиусы одной окружности. АВ – общая сторона. ? ∆ АСВ = ∆ А D В, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса ? ?

Слайд 8

Q P В А М Показ Докажем, что а РМ М a Построение перпендикулярных прямых.

Слайд 9

М М a a Докажем, что а РМ АМ=МВ, как радиусы одной окружности. АР=РВ, как радиусы одной окружности АРВ р/б 3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ. Значит, а РМ. В А Q P Показ

Слайд 10

a N М Построение перпендикулярных прямых. Показ Докажем, что а MN М a

Слайд 11

a N B М a A C 1 = 2 1 2 В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой. Тогда, а М N. М Докажем, что а MN Показ Посмотрим на расположение циркулей. АМ=А N=MB=BN , как равные радиусы. М N- общая сторона. M В N = MAN , по трем сторонам

Слайд 12

Докажем, что О – середина отрезка АВ. Q P В А О Показ Построение середины отрезка

Слайд 13

Q P В А АР Q = BPQ , по трем сторонам. 1 2 1 = 2 Треугольник АРВ р/б. Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой. Тогда, точка О – середина АВ. О Показ Докажем, что О – середина отрезка АВ.

Слайд 14

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Угол hk h Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному. Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2 . В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя I признак. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 Q 1 P 1 P 2 Q 2 а k Показ

Слайд 15

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Угол h 1 k 1 h 2 Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному h 1 k 1 . Построим угол, равный h 2 k 2 . В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя II признак. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q 1 P 1 а k 2 Показ h 1 k 1 N

Слайд 16

С Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2 . Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3 . В А Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак. Дано: отрезки Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 , P 3 Q 3 . Q 1 P 1 P 3 Q 2 а P 2 Q 3 Показ Построение треугольника по трем сторонам.

Слайд 17

Методы решения задач на построение 1.Метод анализа. 2.Метод подобия. 3.Метод геометрических мест.

Слайд 18

НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ Квадратура круга - построение квадрата , равновеликого данному кругу с помощью циркуля и линейки

Слайд 19

НЕРАЗРЕШИМЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ ТРИСЕКЦИЯ УГЛА – деление данного угла на три равных части с помощью циркуля и линейки.

Слайд 20

НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ УДВОЕНИЕ КУБА – построение ребра куба , объем которого вдвое больше объема данного куба, с помощью циркуля и линейки.

Слайд 21

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ ! ДО ВСТРЕЧИ В БУДУЩЕМ УЧЕБНОМ ГОДУ!

Слайд 1

Слайд 2

Найдите соответствие 1 ) a | | b, так как накрест лежащие углы равны 2) a | | b, так как соответственные углы равны 3) a | | b, так как сумма внутренних односторонних углов равна 180° m a b 150 0 30 0 a) a b m 45 0 45 0 b) a b m 150 0 150 0 c) 08.01.2017 2

Слайд 3

А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? На аксиомах Утверждениях о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений ( без доказательства) ? Об аксиомах геометрии Строится вся геометрия Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна 08.01.2017 3

Слайд 4

Мы использовали и другие аксиомы , хотя особо не выделяли их. Так, сравнение 2-ух отрезков мы проводили с помощью наложения. Возможность такого наложения вытекает из аксиомы «На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один» 08.01.2017 4

Слайд 5

Сравнение 2-х углов основано на аналогичной аксиоме: От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу , и притом только один Эти аксиомы не вызывают сомнений и с помощью них доказываются другие утверждения. 08.01.2017 5

Слайд 6

Сначала формулируются исходные положения - аксиомы На их основе, путём логических рассуждений доказываются другие утверждения Такой подход к построению геометрии зародился в глубокой древности и был изложен в сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида 365 – 300 гг. до н.э. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами ) и сейчас используются в геометрии Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». 08.01.2017 6

Слайд 7

М а в с Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а . Доказательство: а ┴ с = > а в в ┴ с Можно ли через т.М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ? в 1 Ч ерез т.М нельзя провести прямую (отличную от прямой в ), параллельную прямой а . Можно ли это утверждение доказать? Ответ на этот непростой вопрос дал великий русский математик Аксиома параллельных прямых Николай Иванович Лобачевский 1792-1856 08.01.2017 7

Слайд 8

Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной Аксио́ма – исходное утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения какой-либо теории, дисциплины. Теоре́ма – утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. Следствие – утверждение, которое выводится из теорем и аксиом. 08.01.2017 8

Слайд 9

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 2.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а в М с Доказательство: Предположим, что прямая с не пересекает прямую в , значит, с в. Тогда через т.М проходят две прямые а и с параллельные прямой в . 3. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит , прямая с пересекает прямую в . а в с Доказательство: Предположим, что прямая а и прямая в пересекаются. 2. Тогда через т.М проходят две прямые а и в параллельные прямой с 3 . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит прямые а и в параллельны . Способ рассуждения , который использован, называется методом доказательства от противного Следствия из аксиомы параллельных прямых 08.01.2017 9

Слайд 10

Во всякой теореме есть 2 части: условие и заключение . Условие теоремы -это то, что дано. Заключение – это то, что требуется доказать. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие.

Слайд 11

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а в А В 1 2  1 =  2 c

Слайд 12

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равн ы. а в А В 1 2  1 =  2

Слайд 13

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. а в А В 3 1  1 +  3 = 180°

Слайд 14

Задача : A B С 2 Условие: две параллельные прямые а и в пересечены секущей с. Найти, чему будут равны 4 и 3, если 1=45° . 3 4 1

Слайд 15

Задача : а в с 4 3 5 8 7 2 1 6 Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных а и в секущей с , если один из углов на 70° больше другого.

Слайд 16

Решение задач Задача №197 Через точку, не лежащую на данной прямой p , проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую p ? Рассмотрите все возможные случаи. А р Задача № 199 Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые АВ и ВС пересекают прямую р. А В С р Ответ: три или четыре 08.01.2017 16

Слайд 1

Слайд 2

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема Если две пересекающие прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. a b a 1 b 1 C C 1 A A 1 B B 1

Слайд 3

Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD , если АВ = 3 см, ВС = 7 см, А D = 1,5 см. А В С D Дано: АВ АС, АВ А D, AD AC. АВ = 3 см, ВС = 7 см, А D = 1,5 см. 3 см 7 см 1,5 см Найти CD. ? Решение: 1) АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора АС 2 = ВС 2 – АВ 2 = 49 – 9 = 40, АС = см. 2) АС D – также прямоугольный, по теореме Пифагора С D 2 = AC 2 + AD 2 = = 40 + 2 ,25 = 42,25. CD = c м = 6,5 см. Ответ: CD = 6,5 см.

Слайд 4

Задача Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD , если В D = 9 см, ВС = 16 см, А D = 5 см. А В С D Дано: АВ АС, АВ А D, AD AC. BD = 9 см, ВС = 16 см, А D = 5 см. 16 см 5 см Найти CD. ? Решение: 1) АВ D – прямоугольный, по теореме Пифагора А B 2 = В D 2 – А D 2 = 81 – 25 = 56 , АС = см. 2) АС B – также прямоугольный, по теореме Пифагора AC 2 = BC 2 - AB 2 = = 256 - 56 = 200 . AC = c м. Ответ: CD = 15 см. 9 см 3) ACD – прямоугольный, CD 2 = AC 2 +AD 2 = = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.

Слайд 5

Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости

Слайд 6

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. a b c x C X B A A 1 A 2

Слайд 7

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. a 1 a 2 A 1 A 2 x 2 x 1

Слайд 8

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. а b • С b 1 В В 1

Слайд 9

Перпендикуляр и наклонная. А В С АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости. В – основание перпендикуляра. АС – наклонная, С- основание наклонной. ВС – проекция наклонной

Слайд 10

Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7 см. Найдите проекции наклонных. А В 20 см С 15 см 7 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см. Найти: ВО и СО. Решение: 1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: . p = (a+b+c)/2 = ( 20 +1 5 + 7 )/2 = 21 см. = 7 · 6 = 42 см 2 . 2) , АО = 2 · 42/7 = 84/7 = 12 см. 12 см А O С – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 225 – 144 = 81, ОС = 9 см. 4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см. Ответ: 9 см и 16 см. 9 см

Слайд 11

Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см. А В 2 х С 1 х 7 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см. Найти: АВ и АС. Решение: Ответ: 4 см и 8 см. 1 см Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = 4х 2 – 49, В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 1. Т. к. левые части этих равенств равны, то равны и правые: 4х 2 – 49 = х 2 – 1, 3х 2 = 48, х 2 = 16, х = 4. Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

Слайд 12

Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных. А В 17 см С 10 см 9 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см. Найти: ВО и СО. Решение: 1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: . p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см. = 9 · 4 = 36 см 2 . 2) , АО = 2 · 36/9 = 72/9 = 8 см. 8 см АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС 2 = АС 2 – АО 2 = 100 – 64 = 36, ОС = 6 см. 4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см. Ответ: 6 см и 15 см. 6 см

Слайд 13

Задача 24 Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см. А В (х + 26 )см С х см 40 см О Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см. Найти: АВ и АС. Решение: Ответ: 15 см и 41 см. 12см Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО 2 = АВ 2 – ОВ 2 = (х+26) 2 – 40 2 , В АСО АО 2 = АС 2 – СО 2 = х 2 – 12 2 . Т. к. левые части этих равенств равны, то равны и правые: (х+26) 2 – 40 2 = х 2 – 12 2 , х 2 +52х+676 – 1600 = х 2 -144, 52х = 780, х = 15 см. Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.

Слайд 14

Теорема о трёх перпендикулярах. Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Обратная теорема Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. А В С А 1 с

Слайд 15

Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см. А В С D F 6 см 6 см 6 см 13 см Дано : АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, А D (АВС), А D= 13 см. Найдите: ( D; BC). Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС. По теореме о трёх перпендикулярах AF BC, т.к. треугольник АВС- равносторонний, то А F –медиана, т.е. BF=FC= 3 см. А FC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF 2 = AC 2 – CF 2 = 36 – 9 = 27, AF = см. ADF – прямоугольный, DF 2 = AD 2 + AF 2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см. Ответ: 14 см.

Слайд 16

Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны. А В С D 15 см 37 см 26 см 9 см Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр В F на прямую ВС. F По теореме о трёх перпендикулярах DF AC. BF найдём из треугольника АВС. Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона. p = (a+b+c) /2 = (15+2 6 + 3 7) /2 = 39 , S = = 13 · 3 · 4 = 156 (см 2 ). S= AC · BF, BF = 2 · S/AC= 2 · 156 / 26 = 12 см. 12 см Треугольник DFB – прямоугольный. По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2 , DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см. Ответ: 12 см и 15 см.

Слайд 17

Задание на дом: П. 19, Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр В D к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если В D = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

Слайд 18

Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр В D к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если В D = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см. А В С D 15 см 20 см 7 см 9 см Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС. F По теореме о трёх перпендикулярах BF AC. BF найдём из треугольника АВС. Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона. p = (a+b+c) /2 = (15+20+7) /2 = 21, S = = = = 7 · 6 = 42 (см 2 ). S= AC · BF, BF = 2 · S/AC= 2 · 42 / 7 = 12 см. 12 см Треугольник DFB – прямоугольный. По теореме Пифагора DF 2 = DB 2 + BF 2 , DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см. Ответ: 15 см. 15 см

Слайд 19

Перпендикулярность плоскостей. Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым. с a b

Слайд 20

Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. b c a

Слайд 21

Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, В D = 7 м, С D = 6 м. • А • В С D Дано: , А  , В  , АС CD, BD CD АС = 6 м, В D = 7 м, С D = 6 м. Найти: АВ. 6 м 7 м 6 м ? Решение: BCD – прямоугольный, 90 0 по теореме Пифагора ВС 2 = С D 2 + BD 2 , ВС 2 = 36 +49 = 85, ВС = м. АВС – прямоугольный, 90 0 по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , АВ 2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м. Ответ : 11 м.

Слайд 22

Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, В D = 5 м, С D = 7 м. • А • В С D Дано: , А  , В  , АС CD, BD CD АС = м, В D = 5 м, С D = 7 м. Найти: АВ. м 5 м 7 м ? 90 0 90 0

Слайд 23

Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону. А В С D 9 см 10 см 17 см Решение: 1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС. F 2) Найдём площадь АВС по формуле Герона: p=(a + b + c) : 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см), = 9 · 4 = 36 см 2 . 3) , В F = (2 · S) : АС = (2 · 36) : 9 = 8 (см). 4) DF AC по теореме о трёх перпендикулярах. DBF – прямоугольный, поэтому DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289, DF = 17 см. Ответ: 8 см и 17 см. 8 см 15 см 17 см

Слайд 24

Задание на дом : П 20, задачи № № 25, 59 3),

Слайд 25

К задаче № 25 А В О С 33 см 23 см 3х 2х Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3. ?

Слайд 26

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.

Слайд 1

Слайд 2

Функция вида у = а х ,где а - заданное число, а > 0, а ≠ 1, х-переменная, называется показательной .

Слайд 3

Показательная функция обладает следующими свойствами: О.О.Ф: множество R всех действительных чисел; Мн.зн.: множество всех положительных чисел; Показательная функция у=а х является возрастающей на множестве всех действительных чисел,если а>1 ,и убывающей ,если 0<а<1 ; Не является ни четной, ни нечетной; Не ограничена сверху,ограничена снизу; Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; Непрерывна; Если а>1 ,то функция выпукла вниз.

Слайд 4

Графики функции у=2 х и у=( ½ ) х 1.График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у > 0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. 0<а<1 Д(у): х є R Е(у): у>0 Убывает на всей области определения.

Слайд 5

Решить графически уравнения: 1) 3 x =4-x, 2) 0,5 х =х+3.