Разборы вариантов ЕГЭ

По мере моих возможностей, здесь будут представлены разборы КИМ-ов  ЕГЭ.

Задание 1. Показания счётчика электроэнергии 1 марта составляли 58 134 кВт•ч, а 1 апреля — 58 234 кВт•ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за март, если 1 кВт•ч электроэнергии стоит 3 руб. 93 коп.? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Сначала вычислим объем потребленной электроэнергии за март, получим:

58 234 - 58 134 = 100 кВт•ч.

Так как один кВт•ч стоит 3 руб. 93 коп (то есть 3,93 рубля), то за март нужно заплатить

3,93•100=393 рубля.

Ответ: 393.

Задание 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по июнь 1994 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Так как среднемесячная температура откладывается по вертикали, то на графике нужно выбрать столбик наибольшей высоты в первой половине года, то есть с января по июнь. Из графика видно, что максимальная температура соответствует месяцу июнь и составляет половину интервала от 12 до 16 градусов, то есть равна (12+16):2 = 14 градусам.

Ответ: 14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь треугольника будем искать по формуле

,

где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).

Из рисунка видно, что длина красной линии (высоты) равна h=6 клеток, а длина основания (синей линии) a=5 клеток. Подставляя эти значения в формулу площади, имеем:

.
Ответ: 15.

Задание 4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 9 прыгунов из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из Голландии.

Решение.

Так как всего 3 прыгуна из Голландии, а всего спортсменов 30, то вероятность того, что прыгун из этой страны будет выступать под каким-либо номером, в том числе и под восьмым, равна

.

Ответ: 0,1.

Задание 5. Найдите корень уравнения .

Решение.

1. Запишем ОДЗ уравнения, очевидно, что

2. Для решения уравнения, возведем обе его части в квадрат, получим:

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

Задание 6. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 33, CD = 18. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Решение.

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны, то есть для него можно записать следующее равенство:

AD+BC=AB+CD.

По условию задачи нам даны длины сторон AB=33 и CD=18, следовательно,

AD+BC=33+18=51

Периметр четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть

P=AD+BC+AB+CD,

и, подставляя известные числовые значения, имеем:

P=51+51=102.

Ответ: 102.

Задание 7. На рисунке изображён график у=f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у = -3x-6 или совпадает с ней.

Решение.

Нужно найти число точек, в которых касательные к графику функции y=f(x) будут параллельны (или совпадать) с прямой . Вспомним, что производная в какой-либо точке функции y=f(x) есть касательная к графику в этой точке. Причем угол наклона касательной к оси Ox есть значение производной.

Из графика прямой  видим, что ее угловой коэффициент равен -3. Следовательно, касательные будут параллельны этой прямой, если они будут иметь такой же угловой коэффициент. То есть для нахождения таких точек, нам достаточно выбрать значения, в которых производная равна -3. Из приведенного графика производной видим, что таких точек ровно 4 (см. число пересечений графика производной y=f’(x) с красной линией уровня -3).

Ответ: 4.

Задание 8. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B1, А, В, С.

Решение.

В задаче нужно найти объем пирамиды B1АВС, показанной на рисунке ниже красными линиями.

По условию задачи дана площадь основания этой пирамиды  и высота (длина ребра ). Используя формулу для вычисления объема пирамиды, имеем:

,

и, подставляя числовые значения, получаем:

.

Ответ: 14.

Задание 9. Найдите значение выражения .

Решение.

Для вычисления значения воспользуемся правилом , тогда отношение логарифмов , получаем решение:

.

Ответ: 1.

Задание 10. Груз массой 0,26 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону v=v0*sin(2πt/T), где t — время с момента начала колебаний в секундах, Т = 12 с — период колебаний, v0 = 4 м/с. Кинетическая энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле E=mv^2/2, где m - масса груза (в кг), v - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 5 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Решение.

Для нахождения кинетической энергии через 5 секунд, найдем скорость движения груза из формулы  в момент времени t=5, получим:

 м/с.

Зная массу груза m=0,26 кг и его скорость v=2 м/с, вычислим его кинетическую энергию:

 Дж.

Ответ: 0,52.

Задание 11. Смешав 25-процентный и 95-процентный растворы кислоты и добавив 20 кг чистой воды, получили 40-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 50-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 25-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Обозначим через x кг – массу 25% раствора, а через y кг – массу 95% раствора. Можно заметить, что суммарная масса кислоты в растворе после их смешивания, равна . В задаче сказано, что если смешать эти два раствора и добавить 20 кг чистой воды, то получим 40% раствор. При этом масса кислоты будет определяться выражением . Так как масса кислоты после добавления 20 кг чистой воды остается прежней, то имеем уравнение вида

.

По аналогии получается второе уравнение, когда вместо 20 кг воды добавляется 20 кг 30-процентного раствора той же кислоты и получается 50-процентный раствор кислоты:

.

Решаем систему уравнений, получаем:

Умножаем первое уравнение на -9, а второе – на 11, имеем:

Складываем оба уравнения, получаем:

Таким образом, вычислили массу 25-процентного раствора, равную 20 кг.

Ответ: 20.

Задание 12. Найдите точку максимума функции .

Решение.

Точку максимума можно найти как точку экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума вычислим производную функции и приравняем ее нулю, получим:

Имеем уравнение для точек экстремума:

Знаки производной при переходе точек экстремума распределяются следующим образом (см. рисунок ниже).

Из рисунка видно, что точка экстремума – это точка с координатой x=-19.

Ответ: -19.

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) 1. Запишем ОДЗ уравнения:

2. Пусть , тогда исходное уравнение можно записать в виде

.

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

3. Делаем обратную замену, имеем два уравнения:

Корни второго уравнения принадлежат ОДЗ.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Для первого корня:

имеем одно целое значение n=-1 и корень .

Для второго корня:

имеем одно целое значение m=-1 и корень .

Ответ: а) ; б) .

Задание 14. В правильной четырехугольной призме ABCA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE:EA1=1:2.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Решение.

а) Построение. Точка пересечения  прямых  и : , показана на рисунке ниже. Точка  - общая точка плоскостей ABC и . Плоскости ABC и  пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что . Учитывая, что , следует  (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как

.

По условию задачи , следовательно, , а . Треугольник  подобен треугольнику  с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка  из прямоугольного треугольника ANB:

.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB:

,

откуда

.

Таким образом,

и

.

Задание 15. Решите неравенство .

Решение.

Введем следующее обозначение , получим уравнение:

Последнее неравенство дает следующие точки на числовой оси:

Получаем два неравенства относительно t:

И общее решение

.

Ответ: .

Задание 17. 15-го января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придётся выплатить больше 1,5 млн рублей.

Решение.

В начале следующего месяца долг в 1 млн рублей увеличивается на r процентов, то есть становится равный . Аркадий должен погасить эту сумму так, чтобы сумма долга составила 0,8 млн рублей (согласно таблице). Следовательно, первая выплата банку должна составить

 млн рублей

или, если ввести обозначение , то

.

В следующем месяце остаток 0,8 млн рублей также увеличивается на r процентов, то есть становится равный  и выплаты  должны быть такими, чтобы сумма долга стала равной 0,6, то есть

.

Аналогично для всех последующих месяцев, имеем:

Общая сумма выплат будет равна

,

и после подстановки вместо  соответствующих значений, получаем:

Заменяя m на , имеем:

.

По условию задачи нужно найти такое наименьшее целое r, при котором сумма станет больше 1,5, то есть приходим к неравенству вида

Из последнего неравенства видно, что наименьшее целое r=14.

Ответ: 14.