Введение

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления.  Комплексные числа

Корни, степени и логарифмы

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Практические занятия

Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.

Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.

Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Решение прикладных задач.

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений.

Приближенные вычисления и решения прикладных задач. Решение логарифмических уравнений.

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия

Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

Функции, их свойства и графики

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями.

Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Определения функций, их свойства и графики. Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Практические занятия

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Производная: механический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Прикладные задачи

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Практические занятия

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Элементы комбинаторики

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементы теории вероятностей

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Элементы математической статистики

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Практические занятия

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Многогранники

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Измерения в геометрии

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Координаты и векторы

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия

Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

Для внеаудиторных занятий студентам наряду с решением задач и выполнения практических заданий можно предложить темы исследовательских и реферативных работ, в которых вместо серий отдельных мелких задач и упражнений предлагаются сюжетные задания, требующие длительной работы в рамках одной математической ситуации. Эти темы могут быть как индивидуальными заданиями, так и групповыми для совместного выполнения исследования.

Вид учебной работы

Объем часов

Объем образовательной программы

351

Учебная нагрузка обучающихся во взаимодействии с преподавателем

327

в том числе:

 - лекции

151

 - практические занятия

176

Промежуточная аттестация

24

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные  работы и практические занятия,

 самостоятельная работа обучающихся 

Объем

часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Введение

1

Вводное занятие

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

2

2

Глава 1.

Развитие понятия о числе.

Содержание учебного материала

8

3

1

Целые и рациональные числа.

2

Действительные числа. Приближенные числа.

3

Комплексные числа. Сложение, вычитание комплексных чисел.

4

Комплексные числа. Умножение, деление комплексных чисел

Практические занятия:

1. Арифметические действия над числами.
2. Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений
3. Действия с комплексными числами

6

Глава 2.

Корни, степени, логарифмы

Содержание учебного материала

14

3

1

Корни натуральной степени из числа, их свойства.

2

Степени с рациональными показателями, их свойства.

3

Степени с действительными показателями, их свойства.

4

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

5

Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию

6

Логарифмические уравнения и неравенства.

7

Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений

Практические занятия:

4. Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.
5. Степень с рациональным и действительным показателем
6. Решение иррациональных уравнений.
7. Решение показательных уравнений.
8. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Вычисление и сравнение логарифмов.
9. Свойства логарифмов.
10. Решение логарифмических уравнений.
11. Решение логарифмических неравенств.

16

Глава 3.

Прямые и плоскости в пространстве

Содержание учебного материала

12

2

1

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

2

Перпендикулярность прямой и плоскости.

3

Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

4

Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

5

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции.

6

Изображение пространственных фигур

Практические занятия:

12. Признаки взаимного расположения прямых.
13. Угол между прямыми и плоскостями.
14. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
15. Теорема о трех перпендикулярах.
16. Расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между  плоскостями.
17. Параллельное проектирование и его свойства.

12

Глава 4.

Элементы комбинаторики

Содержание учебного материала

9

3

1

Основные понятия комбинаторики

2

Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов.

3

Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов.

4

Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Практические занятия:

18. История развития комбинаторики и ее роль в различных сферах человеческой деятельности.
19. Размещения, сочетания и перестановки.
20. Решение комбинаторных задач.
21. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.

8

Глава 5.

Координаты и векторы

Содержание учебного материала

10

2

1

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

2

Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

3

Векторы, модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям.

4

Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов.

5

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия:

22. Векторы. Действия с векторами.
23. Уравнения окружности, сферы, плоскости.
24. Действия с векторами, заданными координатами.
25. Скалярное произведение векторов, угол между векторами.
26. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

10

Глава 6.

Основы тригонометрии

Содержание учебного материала

14

3

1

Радианная мера угла. Вращательное движение.

2

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла.

3

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения. Формулы половинного угла.

4

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла.

5

Простейшие тригонометрические уравнения.

6

Простейшие тригонометрические неравенства

7

Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия:

27. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой.
28. Основные тригонометрические тождества.
29. Формулы сложения, удвоения.
30. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот.
31. Упрощение выражений и доказательство тождеств.
32. Простейшие тригонометрические уравнения.
33. Простейшие тригонометрические неравенства.
34. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

16

Глава 7.

Функции, их свойства и графики

Содержание учебного материала

16

2

1

Область определения и множество значений. График функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

2

Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

3

Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

4

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

5

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

6

Обратные тригонометрические функции.

7

Сложная функция (композиция).

8

Арифметические операции над функциями. Преобразования графиков.

Практические занятия:

35. Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин.
36. Построение и чтение графиков функций. Исследование функций.
37. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функции.
38. Свойства и графики тригонометрических функций.
39. Обратные тригонометрические функции.
40. Преобразования графика функций.
41. Преобразования графика функций.
42. Прикладные задачи.
43. Решение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств с помощью свойств соответствующих функций.

18

Глава 8.

Многогранники

Содержание учебного материала

12

3

1

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

2

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

3

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

4

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

5

Сечения куба, призмы и пирамиды.

6

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Практические занятия:

44. Различные виды многогранников.
45. Изображения многогранников.
46. Решение задач на построение сечений.
47. Сечения, развертки многогранников.
48. Площадь поверхности.
49. Вычисление площади боковой и полной поверхности призмы и пирамиды.
50. Решение прикладных задач.

14

Глава 9.

Тела и поверхности вращения

Содержание учебного материала

4

3

1

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

2

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Практические занятия:

51. Вычисление площади боковой и полной поверхности цилиндра.
52. Вычисление площади боковой и полной поверхности конуса.
53. Решение прикладных задач.

6

Глава 10.

Измерения в геометрии.

Содержание учебного материала

6

2

1

Интегральная формула объема. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

2

Формулы объема пирамиды и конуса.

3

Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Практические занятия:

54. Вычисление объема призмы, цилиндра.
55. Вычисление объема пирамиды.
56. Вычисление объема конуса.
57. Вычисление объема шара и площади сферы.
58. Решение прикладных задач.

10

Глава 11.

Начала математического анализа

Содержание учебного материала

16

3

1

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

2

Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

3

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. 

4

Уравнение касательной к графику функции.

5

Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Производные обратной функции и композиции функции.

6

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. 

7

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

8

Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Практические занятия:

59. Способы задания числовой последовательности, нахождение ее членов.
60. Механический и геометрический смысл производной.
61. Уравнение касательной к графику функции.
62. Производные элементарных функций.
63. Правила дифференцирования.
64. Производная сложной функции.
65. Исследование функции с помощью производной.
66. Полное исследование функции и построение графика.
67. Полное исследование функции и построение графика.
68. Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции.
69. Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции.
70. Решение прикладных задач.

24

Глава 12.

Первообразная и интеграл

Содержание учебного материала

6

3

1

Первообразная и интеграл

2

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

3

Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия:

71. Вычисление неопределенного интеграла.
72. Вычисление определенного интеграла.
73. Вычисление определенного интеграла.
74. Приложения определенного интеграла.
75. Приложения определенного интеграла.

10

Глава 13.

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Содержание учебного материала

10

1

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

2

Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

3

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

4

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.

5

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Практические занятия:

76. Классическое определение вероятности.
77. Теорема о сумме вероятностей.
78. Вычисление вероятностей.
79. Прикладные задачи.
80. Представление числовых данных.
81. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

12

Глава 14.

Уравнения и неравенства

Содержание учебного материала

12

1

1

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

2

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

3

Основные приемы  решения уравнений и неравенств (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

4

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

5

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов.

6

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Практические занятия:

82. Корни уравнения. Равносильность уравнений.
83. Основные приемы решения уравнений.
84. Решение систем уравнений.
85. Основные приемы решений неравенств.
86. Решение систем неравенств.
87. Решение систем неравенств.
88. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств

14

Итого

327

Промежуточная аттестация в форме экзамена

24

Всего:

351

Содержание обучения

Характеристика основных видов деятельности студентов

(на уровне учебных действий)

Введение

Ознакомление с ролью математики в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Ознакомление с целями и задачами изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Выполнение арифметических действий над числами, сочетая

устные и письменные приемы.

Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнение числовых выражений.

Нахождение ошибок в преобразованиях и вычислениях (относится ко всем пунктам программы)

Корни, степени, логарифмы

Ознакомление с понятием корня n-й степени, свойствами радикалов и правилами сравнения корней.

Формулирование определения корня и свойств корней. Вычисление  и сравнение корней, выполнение прикидки значения корня.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.

Выполнение расчетов по формулам, содержащим радикалы, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.

Определение равносильности выражений с радикалами. Решение иррациональных уравнений.

Ознакомление с понятием степени с действительным показателем.

Нахождение значений степени, используя при необходимости инструментальные средства.

Записывание корня n-й степени в виде степени с дробным показателем и наоборот.

Формулирование свойств степеней. Вычисление степеней с рациональным показателем, выполнение прикидки значения степени, сравнение степеней.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих степени, применяя свойства. Решение показательных уравнений.

Ознакомление с применением корней и степеней при вычислении средних, делении отрезка в «золотом сечении». Решение прикладных задач на сложные проценты

Преобразование алгебраических выражений

Выполнение преобразований выражений, применение формул, связанных со свойствами степеней и логарифмов.

Определение области допустимых значений логарифмического выражения. Решение логарифмических уравнений

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением.

Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их взаимосвязи

Основные тригонометрические тождества

Применение основных тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических функций по одной из них

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения его. Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Решение по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических уравнений.

Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений.

Умение отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа

Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функций.

Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окружности, применение при решении уравнений

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функции.

Понятие о непрерывности функции

Ознакомление с понятием переменной, примерами зависимостей между переменными.

Ознакомление с понятием графика, определение принадлежности точки графику функции. Определение по формуле простейшей зависимости, вида ее графика. Выражение по формуле одной переменной через другие.

Ознакомление с определением функции, формулирование его. Нахождение области определения и области значений функции

Свойства функции.

Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

Ознакомление с примерами функциональных зависимостей в реальных процессах из смежных дисциплин.

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств линейной и квадратичной функций, проведение исследования линейной, кусочно-линейной, дробно-линейной и квадратичной функций, построение их графиков. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.

Составление видов функций по данному условию, решение задач на экстремум. Выполнение преобразований графика функции

Обратные функции

Изучение понятия обратной функции, определение вида и построение графика обратной функции, нахождение ее области определения и области значений. Применение свойств функций при исследовании уравнений и решении задач на экстремум. Ознакомление с понятием сложной функции

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Вычисление значений функций по значению аргумента.

Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

Построение графиков степенных и логарифмических функций.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств по известным алгоритмам.

Ознакомление с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков.

Ознакомление с понятием гармонических колебаний и примерами гармонических колебаний для описания процессов в физике и других областях знания.

Ознакомление с понятием разрывной периодической функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их графиков.

Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических функций, решения тригонометрических уравнений.

Построение графиков обратных тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение преобразования графиков

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности

Ознакомление с понятием числовой последовательности, способами ее задания, вычислениями ее членов.

Ознакомление с понятием предела последовательности.

Ознакомление с вычислением суммы бесконечного числового ряда на примере вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение задач на применение формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Производная и ее применение. Первообразная и интеграл

Ознакомление с понятием производной.

Изучение и формулирование ее механического и геометрического смысла, изучение алгоритма вычисления производной на примере вычисления мгновенной скорости и углового коэффициента касательной.

Составление уравнения касательной в общем виде.

Усвоение правил дифференцирования, таблицы производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, составления уравнения касательной.

Изучение теорем о связи свойств функции и производной, формулировка их.

Проведение с помощью производной исследования функции, заданной формулой.

Установление связи свойств функции и производной по их графикам.

Применение производной для решения задач на нахождение наибольшего, наименьшего значения и на нахождение экстремума.

Ознакомление с понятием интеграла и первообразной.

Изучение правила вычисления первообразной и теоремы

Ньютона—Лейбница.

Решение задач на связь первообразной и ее производной, вычисление первообразной для данной функции.

Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин и площадей

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Ознакомление с простейшими сведениями о корнях алгебраических уравнений, понятиями исследования уравнений и систем уравнений.

Изучение теории равносильности уравнений и ее применения. Повторение записи решения стандартных уравнений, приемов преобразования уравнений для сведения к стандартному уравнению.

Решение рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений. Повторение основных приемов решения систем.

Решение уравнений с применением всех приемов (разложения на множители, введения новых неизвестных, подстановки, графического метода).

Решение систем уравнений с применением различных способов.

Ознакомление с общими вопросами решения неравенств и использование свойств и графиков функций при решении неравенств.

Решение неравенств и систем неравенств с применением различных способов.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретирование результатов с учетом реальных ограничений

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Основные понятия комбинаторики

Изучение правила комбинаторики и применение при решении комбинаторных задач.

Решение комбинаторных задач методом перебора и по правилу умножения.

Ознакомление с понятиями комбинаторики: размещениями, сочетаниями, перестановками и формулами для их вычисления.

Объяснение и применение формул для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач.

Ознакомление с биномом Ньютона и треугольником Паскаля.

Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.

Элементы теории вероятностей

Изучение классического определения вероятности, свойств вероятности, теоремы о сумме вероятностей.

Рассмотрение примеров вычисления вероятностей. Решение задач на вычисление вероятностей событий

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики)

Ознакомление с представлением числовых данных и их характеристиками.

Решение практических задач на обработку числовых данных, вычисление их характеристик.

Геометрия

Прямые и плоскости в пространстве

Формулировка и приведение доказательств признаков взаимного расположения прямых и плоскостей. Распознавание на чертежах и моделях различных случаев взаимного расположения прямых и плоскостей, аргументирование своих суждений. Формулирование определений, признаков и свойств параллельных и перпендикулярных плоскостей, двугранных и линейных углов.

Выполнение построения углов между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями по описанию и распознавание их на моделях.

Применение признаков и свойств расположения прямых и плоскостей при решении задач.

Изображение на рисунках и конструирование на моделях перпендикуляров и наклонных к плоскости, прямых, параллельных плоскостей, углов между прямой и плоскостью и обоснование построения.

Решение задач на вычисление геометрических величин. Описывание расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Формулирование и доказывание основных теорем о расстояниях (теорем существования, свойства).

Изображение на чертежах и моделях расстояния и обоснование своих суждений. Определение и вычисление расстояний в пространстве. Применение формул и теорем планиметрии для решения задач.

Ознакомление с понятием параллельного проектирования и его свойствами. Формулирование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Применение теории для обоснования построений и вычислений.

Аргументирование своих суждений о взаимном расположении пространственных фигур

Координаты и векторы

Ознакомление с понятием вектора. Изучение декартовой системы координат в пространстве, построение по заданным координатам точек и плоскостей, нахождение координат точек

Нахождение уравнений окружности, сферы, плоскости. Вычисление расстояний между точками.

Изучение свойств векторных величин, правил разложения векторов в трехмерном пространстве, правил нахождения координат вектора в пространстве, правил действий с векторами, заданными координатами.

Применение теории при решении задач на действия с векторами.

Изучение скалярного произведения векторов, векторного уравнения прямой и плоскости. Применение теории при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Ознакомление с доказательствами теорем стереометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей с использованием векторов.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Показатели оценки результатов

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Умения:

выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства

 Студент  демонстрирует умение выполнять преобразование выражений, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства

Текущий контроль:

Опрос

Практические работы №1-11, 27-34

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

использовать графический метод

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для построения и исследования простейших математических моделей

Студент демонстрирует умение строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций

Студент демонстрирует умение решения уравнений и неравенств;

изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

Текущий контроль:

Опрос

Практические работы № 35-34, 82-88

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Студент демонстрирует умение находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков

Текущий контроль:

Опрос

Практические работы № 59-75

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

анализа информации статистического характера.

Студент демонстрирует умение анализировать информацию статистического характера

Текущий контроль:

Опрос

Практические работы № 18-21, 76-81

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Студент демонстрирует умение решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

Текущий контроль:

Опрос

Практические работы №12-17, 22-26, 44-58

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

Составляющие компетенции

ОЦЕНКИ СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ

неудовлетворительно

удовлетворительно

хорошо

отлично

Полнота знаний

Уровень знаний ниже минимальных требований. Имели место грубые ошибки.

Минимально допустимый уровень знаний. Допущено много негрубых ошибки.

Уровень знаний в объеме, соответствующем программе подготовки. Допущено несколько грубых ошибок

Уровень знаний в объеме, соответствующем программе подготовки, Допущено несколько несущественных ошибок.

Наличие умений (навыков)

При решении стандартных задач не продемонстрированы некоторые основные умения и навыки. Имели место грубые ошибки.

Продемонстрированы основные умения. Решены типовые задачи с негрубыми ошибками. Выполнены все задания но не в полном объеме.

Продемонстрированы все основные умения. Решены все основные задачи с негрубыми ошибками. Выполнены все задания, но с  некоторыми недочетами.

Продемонстрированы все основные умения, некоторые - на уровне хорошо закрепленных навыков. Решены все основные задачи с отдельными несущественными ошибками. Выполнены все задания, в полном объеме, без недочетов.

Введение

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления.  Комплексные числа

Корни, степени и логарифмы

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Практические занятия

Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.

Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.

Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Решение прикладных задач.

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений.

Приближенные вычисления и решения прикладных задач. Решение логарифмических уравнений.

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия

Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

Функции, их свойства и графики

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями.

Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Определения функций, их свойства и графики. Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Практические занятия

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Производная: механический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Прикладные задачи

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Практические занятия

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Элементы комбинаторики

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементы теории вероятностей

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Элементы математической статистики

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Практические занятия

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Многогранники

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Измерения в геометрии

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Координаты и векторы

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия

Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

Для внеаудиторных занятий студентам наряду с решением задач и выполнения практических заданий можно предложить темы исследовательских и реферативных работ, в которых вместо серий отдельных мелких задач и упражнений предлагаются сюжетные задания, требующие длительной работы в рамках одной математической ситуации. Эти темы могут быть как индивидуальными заданиями, так и групповыми для совместного выполнения исследования.

Вид учебной работы

Объем часов

Объем образовательной программы

316

Учебная нагрузка обучающихся во взаимодействии с преподавателем

292

в том числе:

 - лекции

134

 - практические занятия

158

Промежуточная аттестация

24

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные  работы и практические занятия,

 самостоятельная работа обучающихся 

Объем

часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Введение

1

Вводное занятие

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

2

2

Глава 1.

Развитие понятия о числе.

Содержание учебного материала

8

3

1

Целые и рациональные числа.

2

Действительные числа. Приближенные числа.

3

Комплексные числа. Сложение, вычитание комплексных чисел.

4

Комплексные числа. Умножение, деление комплексных чисел

Практические занятия:

1. Арифметические действия над числами.
2. Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений
3. Действия с комплексными числами

6

Глава 2.

Корни, степени, логарифмы

Содержание учебного материала

14

3

1

Корни натуральной степени из числа, их свойства.

2

Степени с рациональными показателями, их свойства.

3

Степени с действительными показателями, их свойства.

4

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

5

Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию

6

Логарифмические уравнения и неравенства.

7

Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений

Практические занятия:

4. Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.
5. Степень с рациональным и действительным показателем
6. Решение иррациональных уравнений.
7. Решение показательных уравнений.
8. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Вычисление и сравнение логарифмов.
9. Свойства логарифмов.
10. Решение логарифмических уравнений.
11. Решение логарифмических неравенств.

16

Глава 3.

Прямые и плоскости в пространстве

Содержание учебного материала

12

2

1

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

2

Перпендикулярность прямой и плоскости.

3

Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

4

Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

5

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции.

6

Изображение пространственных фигур

Практические занятия:

12. Признаки взаимного расположения прямых.
13. Угол между прямыми и плоскостями.
14. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
15. Теорема о трех перпендикулярах.
16. Расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между  плоскостями.
17. Параллельное проектирование и его свойства.

12

Глава 4.

Элементы комбинаторики

Содержание учебного материала

6

3

1

Основные понятия комбинаторики

2

Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов.

3

Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Практические занятия:

18. История развития комбинаторики и ее роль в различных сферах человеческой деятельности.
19. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки.
20. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.

6

Глава 5.

Координаты и векторы

Содержание учебного материала

10

2

1

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

2

Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

3

Векторы, модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям.

4

Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов.

5

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия:

21. Векторы. Действия с векторами.
22. Уравнения окружности, сферы, плоскости.
23. Действия с векторами, заданными координатами.
24. Скалярное произведение векторов, угол между векторами.
25. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

10

Глава 6.

Основы тригонометрии

Содержание учебного материала

12

3

1

Радианная мера угла. Вращательное движение.

2

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла.

3

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения. Формулы половинного угла.

4

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла.

5

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

6

Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия:

26. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой.
27. Основные тригонометрические тождества.
28. Формулы сложения, удвоения.
29. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот.
30. Упрощение выражений и доказательство тождеств.
31. Простейшие тригонометрические уравнения.
32. Простейшие тригонометрические неравенства.
33. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

16

Глава 7.

Функции, их свойства и графики

Содержание учебного материала

12

2

1

Область определения и множество значений. График функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

2

Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

3

Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

4

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

5

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

6

Сложная функция (композиция). Арифметические операции над функциями. Преобразования графиков.

Практические занятия:

34. Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин.
35. Построение и чтение графиков функций. Исследование функций.
36. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функции.
37. Свойства и графики тригонометрических функций.
38. Обратные тригонометрические функции.
39. Преобразования графика функций.
40. Прикладные задачи.
41. Решение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств с помощью свойств соответствующих функций.

16

Глава 8.

Многогранники

Содержание учебного материала

10

3

1

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

2

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

3

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

4

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды.

5

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Практические занятия:

42. Различные виды многогранников.
43. Изображения многогранников.
44. Решение задач на построение сечений.
45. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности.
46. Вычисление площади боковой и полной поверхности призмы и пирамиды.
47. Решение прикладных задач.

12

Глава 9.

Тела и поверхности вращения

Содержание учебного материала

4

3

1

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

2

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Практические занятия:

48. Вычисление площади боковой и полной поверхности цилиндра.
49. Вычисление площади боковой и полной поверхности конуса.
50. Решение прикладных задач.

6

Глава 10.

Измерения в геометрии.

Содержание учебного материала

6

2

1

Интегральная формула объема. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

2

Формулы объема пирамиды и конуса.

3

Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Практические занятия:

51. Вычисление объема призмы, цилиндра.
52. Вычисление объема пирамиды, конуса.
53. Вычисление объема шара и площади сферы.
54. Решение прикладных задач.

8

Глава 11.

Начала математического анализа

Содержание учебного материала

12

3

1

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

2

Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

3

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

4

Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Производные обратной функции и композиции функции.

5

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

6

Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Практические занятия:

55. Способы задания числовой последовательности, нахождение ее членов.
56. Механический и геометрический смысл производной.
57. Уравнение касательной к графику функции.
58. Производные элементарных функций.
59. Правила дифференцирования.
60. Производная сложной функции.
61. Исследование функции с помощью производной.
62. Полное исследование функции и построение графика.
63. Нахождение наибольшего, наименьшего значения функции.
64. Решение прикладных задач.

20

Глава 12.

Первообразная и интеграл

Содержание учебного материала

6

3

1

Первообразная и интеграл

2

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

3

Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия:

65. Вычисление неопределенного интеграла.
66. Вычисление определенного интеграла.
67. Приложения определенного интеграла.
68. Приложения определенного интеграла.

8

Глава 13.

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Содержание учебного материала

8

1

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

2

Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

3

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.

4

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Практические занятия:

69. Классическое определение вероятности.
70. Теорема о сумме вероятностей.
71. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи.
72. Представление числовых данных.
73. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

10

Глава 14.

Уравнения и неравенства

Содержание учебного материала

12

1

1

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

2

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

3

Основные приемы  решения уравнений и неравенств (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

4

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

5

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов.

6

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Практические занятия:

74. Корни уравнения. Равносильность уравнений.
75. Основные приемы решения уравнений.
76. Решение систем уравнений.
77. Основные приемы решений неравенств.
78. Решение систем неравенств.
79. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств

12

Итого

292

Промежуточная аттестация в форме экзамена

24

Всего:

316

Содержание обучения

Характеристика основных видов деятельности студентов

(на уровне учебных действий)

Введение

Ознакомление с ролью математики в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Ознакомление с целями и задачами изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Выполнение арифметических действий над числами, сочетая

устные и письменные приемы.

Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнение числовых выражений.

Нахождение ошибок в преобразованиях и вычислениях (относится ко всем пунктам программы)

Корни, степени, логарифмы

Ознакомление с понятием корня n-й степени, свойствами радикалов и правилами сравнения корней.

Формулирование определения корня и свойств корней. Вычисление  и сравнение корней, выполнение прикидки значения корня.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.

Выполнение расчетов по формулам, содержащим радикалы, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.

Определение равносильности выражений с радикалами. Решение иррациональных уравнений.

Ознакомление с понятием степени с действительным показателем.

Нахождение значений степени, используя при необходимости инструментальные средства.

Записывание корня n-й степени в виде степени с дробным показателем и наоборот.

Формулирование свойств степеней. Вычисление степеней с рациональным показателем, выполнение прикидки значения степени, сравнение степеней.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих степени, применяя свойства. Решение показательных уравнений.

Ознакомление с применением корней и степеней при вычислении средних, делении отрезка в «золотом сечении». Решение прикладных задач на сложные проценты

Преобразование алгебраических выражений

Выполнение преобразований выражений, применение формул, связанных со свойствами степеней и логарифмов.

Определение области допустимых значений логарифмического выражения. Решение логарифмических уравнений

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением.

Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их взаимосвязи

Основные тригонометрические тождества

Применение основных тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических функций по одной из них

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения его. Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Решение по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических уравнений.

Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений.

Умение отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа

Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функций.

Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окружности, применение при решении уравнений

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функции.

Понятие о непрерывности функции

Ознакомление с понятием переменной, примерами зависимостей между переменными.

Ознакомление с понятием графика, определение принадлежности точки графику функции. Определение по формуле простейшей зависимости, вида ее графика. Выражение по формуле одной переменной через другие.

Ознакомление с определением функции, формулирование его. Нахождение области определения и области значений функции

Свойства функции.

Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях

Ознакомление с примерами функциональных зависимостей в реальных процессах из смежных дисциплин.

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств линейной и квадратичной функций, проведение исследования линейной, кусочно-линейной, дробно-линейной и квадратичной функций, построение их графиков. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.

Составление видов функций по данному условию, решение задач на экстремум. Выполнение преобразований графика функции

Обратные функции

Изучение понятия обратной функции, определение вида и построение графика обратной функции, нахождение ее области определения и области значений. Применение свойств функций при исследовании уравнений и решении задач на экстремум. Ознакомление с понятием сложной функции

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Вычисление значений функций по значению аргумента.

Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

Построение графиков степенных и логарифмических функций.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств по известным алгоритмам.

Ознакомление с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков.

Ознакомление с понятием гармонических колебаний и примерами гармонических колебаний для описания процессов в физике и других областях знания.

Ознакомление с понятием разрывной периодической функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их графиков.

Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических функций, решения тригонометрических уравнений.

Построение графиков обратных тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение преобразования графиков

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности

Ознакомление с понятием числовой последовательности, способами ее задания, вычислениями ее членов.

Ознакомление с понятием предела последовательности.

Ознакомление с вычислением суммы бесконечного числового ряда на примере вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Решение задач на применение формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Производная и ее применение. Первообразная и интеграл

Ознакомление с понятием производной.

Изучение и формулирование ее механического и геометрического смысла, изучение алгоритма вычисления производной на примере вычисления мгновенной скорости и углового коэффициента касательной.

Составление уравнения касательной в общем виде.

Усвоение правил дифференцирования, таблицы производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, составления уравнения касательной.

Изучение теорем о связи свойств функции и производной, формулировка их.

Проведение с помощью производной исследования функции, заданной формулой.

Установление связи свойств функции и производной по их графикам.

Применение производной для решения задач на нахождение наибольшего, наименьшего значения и на нахождение экстремума.

Ознакомление с понятием интеграла и первообразной.

Изучение правила вычисления первообразной и теоремы

Ньютона—Лейбница.

Решение задач на связь первообразной и ее производной, вычисление первообразной для данной функции.

Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин и площадей

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Ознакомление с простейшими сведениями о корнях алгебраических уравнений, понятиями исследования уравнений и систем уравнений.

Изучение теории равносильности уравнений и ее применения. Повторение записи решения стандартных уравнений, приемов преобразования уравнений для сведения к стандартному уравнению.

Решение рациональных, иррациональных, показательных и тригонометрических уравнений и систем.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений. Повторение основных приемов решения систем.

Решение уравнений с применением всех приемов (разложения на множители, введения новых неизвестных, подстановки, графического метода).

Решение систем уравнений с применением различных способов.

Ознакомление с общими вопросами решения неравенств и использование свойств и графиков функций при решении неравенств.

Решение неравенств и систем неравенств с применением различных способов.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретирование результатов с учетом реальных ограничений

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Основные понятия комбинаторики

Изучение правила комбинаторики и применение при решении комбинаторных задач.

Решение комбинаторных задач методом перебора и по правилу умножения.

Ознакомление с понятиями комбинаторики: размещениями, сочетаниями, перестановками и формулами для их вычисления.

Объяснение и применение формул для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач.

Ознакомление с биномом Ньютона и треугольником Паскаля.

Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.

Элементы теории вероятностей

Изучение классического определения вероятности, свойств вероятности, теоремы о сумме вероятностей.

Рассмотрение примеров вычисления вероятностей. Решение задач на вычисление вероятностей событий

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики)

Ознакомление с представлением числовых данных и их характеристиками.

Решение практических задач на обработку числовых данных, вычисление их характеристик.

Геометрия

Прямые и плоскости в пространстве

Формулировка и приведение доказательств признаков взаимного расположения прямых и плоскостей. Распознавание на чертежах и моделях различных случаев взаимного расположения прямых и плоскостей, аргументирование своих суждений. Формулирование определений, признаков и свойств параллельных и перпендикулярных плоскостей, двугранных и линейных углов.

Выполнение построения углов между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями по описанию и распознавание их на моделях.

Применение признаков и свойств расположения прямых и плоскостей при решении задач.

Изображение на рисунках и конструирование на моделях перпендикуляров и наклонных к плоскости, прямых, параллельных плоскостей, углов между прямой и плоскостью и обоснование построения.

Решение задач на вычисление геометрических величин. Описывание расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Формулирование и доказывание основных теорем о расстояниях (теорем существования, свойства).

Изображение на чертежах и моделях расстояния и обоснование своих суждений. Определение и вычисление расстояний в пространстве. Применение формул и теорем планиметрии для решения задач.

Ознакомление с понятием параллельного проектирования и его свойствами. Формулирование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Применение теории для обоснования построений и вычислений.

Аргументирование своих суждений о взаимном расположении пространственных фигур

Координаты и векторы

Ознакомление с понятием вектора. Изучение декартовой системы координат в пространстве, построение по заданным координатам точек и плоскостей, нахождение координат точек

Нахождение уравнений окружности, сферы, плоскости. Вычисление расстояний между точками.

Изучение свойств векторных величин, правил разложения векторов в трехмерном пространстве, правил нахождения координат вектора в пространстве, правил действий с векторами, заданными координатами.

Применение теории при решении задач на действия с векторами.

Изучение скалярного произведения векторов, векторного уравнения прямой и плоскости. Применение теории при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Ознакомление с доказательствами теорем стереометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей с использованием векторов.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Показатели оценки результатов

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Умения:

выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства

 Студент  демонстрирует умение выполнять преобразование выражений, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства

Текущий контроль:

Опрос

Практическая работа №1-11,26-33

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

использовать графический метод

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для построения и исследования простейших математических моделей

Студент демонстрирует умение строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций

Студент демонстрирует умение решения уравнений и неравенств;

изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

Текущий контроль:

Опрос

Практическая работа №34-41, 74-79

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Студент демонстрирует умение находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков

Текущий контроль:

Опрос

Практическая работа №55-68

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;

анализа информации статистического характера.

Студент демонстрирует умение анализировать информацию статистического характера

Текущий контроль:

Опрос

Практическая работа № 18-20, 69-73

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Студент демонстрирует умение решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

Текущий контроль:

Опрос

Практическая работа №12-17, 21-25, 42-54

Промежуточная аттестация

Экзаменационное задание

Составляющие компетенции

ОЦЕНКИ СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ

неудовлетворительно

удовлетворительно

хорошо

отлично

Полнота знаний

Уровень знаний ниже минимальных требований. Имели место грубые ошибки.

Минимально допустимый уровень знаний. Допущено много негрубых ошибки.

Уровень знаний в объеме, соответствующем программе подготовки. Допущено несколько грубых ошибок

Уровень знаний в объеме, соответствующем программе подготовки, Допущено несколько несущественных ошибок.

Наличие умений (навыков)

При решении стандартных задач не продемонстрированы некоторые основные умения и навыки. Имели место грубые ошибки.

Продемонстрированы основные умения. Решены типовые задачи с негрубыми ошибками. Выполнены все задания но не в полном объеме.

Продемонстрированы все основные умения. Решены все основные задачи с негрубыми ошибками. Выполнены все задания, но с  некоторыми недочетами.

Продемонстрированы все основные умения, некоторые - на уровне хорошо закрепленных навыков. Решены все основные задачи с отдельными несущественными ошибками. Выполнены все задания, в полном объеме, без недочетов.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Председатель ЦК/МК

(выбрать нужное)

   26       марта     2020 г.

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для

исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании цикловой/методической комиссии

_______________________________________________

Протокол от  26        марта            2020 г.  № 3

Председатель МК _______

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Председатель ЦК/МК

(выбрать нужное)

__ __________ 20__ г.

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для

исполнения в 2021-2022 учебном году на заседании цикловой/методической комиссии

_______________________________________________

Протокол от  __ __________ 20__ г.  №  __

Председатель ЦК/МК_______

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Председатель ЦК/МК

(выбрать нужное)

__ __________ 20___ г.

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для

исполнения в 2022-2023 учебном году на заседании цикловой/методической комиссии

_______________________________________________

Протокол от  __ __________ 20___ г.  №  __

Председатель ЦК/МК _______

Введение

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе

Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления.  Комплексные числа

Корни, степени и логарифмы

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Практические занятия

Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.

Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.

Решение иррациональных уравнений. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений.

Решение прикладных задач.

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений.

Приближенные вычисления и решения прикладных задач. Решение логарифмических уравнений.

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Основные тригонометрические тождества

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.

Преобразования простейших тригонометрических выражений

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия

Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

Функции, их свойства и графики

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями.

Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Определения функций, их свойства и графики. Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Практические занятия

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций. Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частные. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Производная: механический и геометрический смысл производной.

Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Неравенства. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Прикладные задачи

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Практические занятия

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

Элементы комбинаторики

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементы теории вероятностей

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Элементы математической статистики

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Практические занятия

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Многогранники

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Измерения в геометрии

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Координаты и векторы

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия

Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников. Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

Для внеаудиторных занятий студентам наряду с решением задач и выполнения практических заданий можно предложить темы исследовательских и реферативных работ, в которых вместо серий отдельных мелких задач и упражнений предлагаются сюжетные задания, требующие длительной работы в рамках одной математической ситуации. Эти темы могут быть как индивидуальными заданиями, так и групповыми для совместного выполнения исследования.

Вид учебной работы

Объем часов

Объем образовательной программы

232

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)

214

в том числе:

 -лекции

151

 - практические занятия

176

- консультации

2

Промежуточная аттестация – ИТО, экзамен

18

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные  работы и практические занятия,

 самостоятельная работа обучающихся 

Объем

часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Введение

1

Вводное занятие

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

Повторение школьного курса математики за 9 класс. Решение квадратных уравнений и неравенств. Упрощение выражений.

2

2

Глава 1.

Развитие понятия о числе. Корни, степени.

Содержание учебного материала

6

3

1

Целые, рациональные и действительные числа

Определение натуральных, целых, рациональных, действительных и иррациональных чисел. Конечная и бесконечная десятичная дробь. Периодические дроби. Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и наоборот. Упрощение выражений с рациональными и иррациональными числами.

2

Арифметический корень натуральной степени

Определение арифметического корня натуральной степени. Свойства арифметического корня натуральной степени. Решение упражнений содержащих арифметический корень натуральной степени.

3

Степень с рациональным и действительным показателями. Свойства степени с рациональным и действительным показателями

Определение степени с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Решение упражнений содержащих степень с рациональным показателем.

Практические занятия:

1. Применение свойств степени с рациональными и действительными показателями для упрощения выражений

2. Преобразование  выражений, содержащих степень с рациональными и действительнымии показателями

4

Глава 2.

 Степенная

 функция

Содержание учебного материала

6

3

1

Степенная функция ее свойства и график. Монотонность функции

Определение степенной функции. Свойства и графики степенных функции с показателями p=2n, p= -2n, p=2n-1, p= -(2n-1). Использование свойств степенной функции для сравнения чисел. Построение графиков функций.

2

Равносильные уравнения и неравенства. Тождественные и нетождественные преобразования

 Определение равносильных уравнений и неравенств. Область определения уравнения и неравенства. Посторонние корни.

3

Иррациональные уравнения и неравенства

Определение иррационального уравнения, неравенства. Решение простейших иррациональных уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений, содержащих два радикала.

Практические занятия:

3. Решение иррациональных уравнений

4. Решение иррациональных неравенств

5. Общие методы решения иррациональных уравнений и неравенств

6

Глава 3.

Показательная  функция

Содержание учебного материала

6

3

1

Показательная функция, ее свойства и график

Определение показательной функции. Свойства показательной функции.  Построение графиков.

2

Показательные уравнения и неравенства. Основные приемы решения показательных уравнений и неравенств

Системы показательных уравнений и неравенств. Решение простейших показательных уравнений. Решение показательных уравнений с помощью вынесение общего множителя за скобки  и введения новой переменной. Решение простейших показательных неравенств, используя свойство монотонности функции. Решение показательных неравенств с помощью вынесение общего множителя за скобки  и введения новой переменной. Решение систем показательных уравнений и  неравенств различными способами.

Практические занятия

6. Решение показательных уравнений

7. Решение показательных неравенств

8. Общие методы решения показательных уравнений и неравенств

6

Глава 4.

Логарифмы, логарифмические уравнения и неравенства

Содержание учебного материала

10

3

1

Логарифм  числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов

Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода к новому основанию

Определение логарифма числа. Вычисление и упрощение выражений с помощью определения логарифма и применения основного логарифмического тождества. Применение свойств логарифмов для преобразования выражений. Определение десятичного и натурального логарифма. Формула перехода к новому основанию

2

Логарифмическая функция ее свойства и график

Определение логарифмической функции. Использование свойств и графика логарифмической функции для сравнения чисел и решения упражнений. Нахождение области определения функции.

3

Логарифмические уравнения, основные приемы решения логарифмических уравнений

Определение логарифмического уравнения. Решение простейших логарифмических уравнений, используя определение логарифма и  его свойств.

4

Логарифмические неравенства, основные приемы решения

Определение логарифмического неравенства. Решение логарифмических неравенств, используя определение логарифма и свойство монотонности логарифмической функции.

Практические занятия

9.Упрощение выражений содержащих логарифмы

10.Решение логарифмических уравнений

11. Решение логарифмических неравенств

12. Решение систем логарифмических уравнений и неравенств

8

Глава 5. 

Параллельные прямые и плоскости в пространстве

Содержание учебного материала

10

2

1

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии и применение их для решения задач. Доказательство теорем - следствий ( условия для существования плоскости) и применение их при решении задач.

2

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Определение параллельных прямых в пространстве. Теорема о единственности прямой, параллельной заданной. Теорема о параллельности трех прямых. Применение теоремы при решении задач.

3

Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости

Определение параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Доказательство признака параллельности прямой и плоскости. Применение признака при решении задач.

4

Параллельные плоскости. Свойство параллельных плоскостей

Определение параллельных плоскостей. Признак параллельности плоскостей. Свойства параллельных плоскостей.

Практические занятия

13.Определение взаимного расположения  прямых в пространстве. Решение задач на применение признака скрещивающихся прямых

14. Тетраэдр.  Параллелепипед.  Решение задач на построение сечений и нахождение площади сечения

4

Глава 6.

 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание учебного материала

8

2

1