Задача о трисекции угла

                                          Задача о трисекции угла

   1.Угол А = 90 (рисунок 1). На сторонах угла  А отложим равные отрезки длиной а. Через их концы проведем прямые, параллельные к сторонам данного  угла.  Проведем окружность  с  центром в точке  А  и радиуса  АВ=2а.    Окружность  пересекается  с проведенными прямыми в точках C и  Д, а со сторонами данного угла в точках В и Е. Соединяем точки С и Д с вершиной угла А. Докажем, что ВАС=САД =ДАЕ.      

    Из  точки  С и Д к сторонам данного угла А  проведем перпендикуляры  СН  и  ДN.     В прямоугольном треугольнике САН  катет СН= а,  гипотенуза АС=2а, т.е. катет равен половине гипотенузы по построению. ПоэтомуСАН = 30.Точка Н лежит на прямой АВ, откудаСАВ=30   Аналогично,ДАЕ =30. САД=90– (САВ +ДАЕ) =  90 – 60= 30 .   Таким образом,  ВАС  = САД  = ДАЕ.

2.Угол А  60 (рис.2). На сторонах угла А отложим равные отрезки. Через их концы проведем прямые, параллельные к сторонам угла. Проведем биссектрису (е) угла А. Во втором ромбе (от точки А по биссектрисе) отметим точку пересечения диагоналей -Н1.  Проведем окружность с центром в точке А и радиуса АН1. Окружность  пересекается со сторонами данного ромба в точках В1 и В2, а со сторонами данного угла в точках В и В3.Соединяя точки В и В1, В1 и В2, В2 и В3, получим равнобедренные треугольники:  ∆ ВАВ1, ∆ В1АВ2, ∆ В2АВ3.   

  Докажем, чтоВАВ1 =В1АВ2 =В2АВ3       

    Касательная к окружности в точке Н1 пересекается с прямыми АВ1 и АВ2      в точках С1 и С2 соответственно. С1С2 АН1;  АН1 принадлежит биссектрисе  е  угла А.   Высота   АК1 равнобедренного  ∆ В1АВ2,  являющейся и  биссектрисой В1АВ2, также совпадает с биссектрисой  е, значит и с радиусом  АН1.     Поэтому В1А К1 =К1АВ2.     Отсюда следует, что В1АВ2  = 2В1А К1.   (1)    Из  точки  С1   проведем  касательную С1С.  Отрезки  касательных  к  окружности, проведенные из точки С1, равны и составляют равные углы с прямой АС1, то есть С1Н1 = С1Н, С1НАН,Н С1А =АС1Н1.  Поэтому  ∆ АНС1  =  ∆С1АН1.  Откуда   НА С1 =С1АН1. Значит АС1  является биссектрисой угла  НАН1.   Так  как  каждая точка биссектрисы угла равноудалена  от его сторон, имеем   В1К1 = В1 К.  Поэтому   точка К лежит на радиусе АН.  Следовательно, КАВ1 = В1А К1.                                              

    В равнобедренном  ∆ ВАВ1    высота АК является и биссектрисой ВАВ1, то естьВА К =КАВ1. Следовательно,ВАВ1 = 2КАВ1=2В1А К1  (2).  Из уравнений (1) и (2) получим ВАВ1=В1АВ2.       Аналогично доказывается  равенство углов    В1АВ2 =В2АВ3 .  Таким образом, получим, что ВАВ1=В1АВ2 =В2АВ3.     

     Кроме того, измеряя с помощью циркуля, убеждаемся, что дуги  ВВ1, В1В2, В2В3  равны,  поэтому ВАВ1 =В1АВ2 = В2АВ3.  

2.Если  данный  угол А больше 60и меньше или равен 120 ( рис.3), то половину данного угла, то есть ВАЕ  делим на три равных  угла. Откладывая дугу, равную  ВД=2/3ВЕ, убеждаемся, что РАВ = 3ВАД.

3.Если данный угол больше 120и меньше или равен 180(рис.4), то 1/4 часть угла,    то есть ВАЕ  делим на три равных  угла. Откладывая дугу, равную ВМ = 4/3ВЕ, убеждаемся, что ВАТ=3ВАМ 

 Аналогично, с помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол  на 5 равных углов (рис.5).  Таким же образом,  угол можно разделить на  2n-1  равных  частей, где  n ≥2.  При этом  радиус окружности нужно брать  равный отрезку  от вершины угла до точки пересечения диагоналей  ромба  по биссектрисе угла так, чтобы   количество ромбиков  по прямой, перпендикулярной к биссектрисе е, 

от одной стороны угла  до второй стороны было 2n-1.                                                                                                                            

  Примечание. Точки пересечения окружности с прямыми, параллельными к сторонам угла А следующие: выше биссектрисы  е - на прямых, параллельных к стороне АВ,   ниже   биссектрисы  е  -  на прямых, параллельных к стороне АС данного угла.  Например. Деление угла на 7 равных углов (рис 6).  

Выше прямой е - точки K,L,M;  ниже прямой е - точки N,S,T.

                                          Задача о трисекции угла

   1.Угол А = 90 (рисунок 1). На сторонах угла  А отложим равные отрезки длиной а. Через их концы проведем прямые, параллельные к сторонам данного  угла.  Проведем окружность  с  центром в точке  А  и радиуса  АВ=2а.    Окружность  пересекается  с проведенными прямыми в точках C и  Д, а со сторонами данного угла в точках В и Е. Соединяем точки С и Д с вершиной угла А. Докажем, что ВАС=САД =ДАЕ.      

    Из  точки  С и Д к сторонам данного угла А  проведем перпендикуляры  СН  и  ДN.     В прямоугольном треугольнике САН  катет СН= а,  гипотенуза АС=2а, т.е. катет равен половине гипотенузы по построению. ПоэтомуСАН = 30.Точка Н лежит на прямой АВ, откудаСАВ=30   Аналогично,ДАЕ =30. САД=90– (САВ +ДАЕ) =  90 – 60= 30 .   Таким образом,  ВАС  = САД  = ДАЕ.

2.Угол А  60 (рис.2). На сторонах угла А отложим равные отрезки. Через их концы проведем прямые, параллельные к сторонам угла. Проведем биссектрису (е) угла А. Во втором ромбе (от точки А по биссектрисе) отметим точку пересечения диагоналей -Н1.  Проведем окружность с центром в точке А и радиуса АН1. Окружность  пересекается со сторонами данного ромба в точках В1 и В2, а со сторонами данного угла в точках В и В3.Соединяя точки В и В1, В1 и В2, В2 и В3, получим равнобедренные треугольники:  ∆ ВАВ1, ∆ В1АВ2, ∆ В2АВ3.   

  Докажем, чтоВАВ1 =В1АВ2 =В2АВ3       

    Касательная к окружности в точке Н1 пересекается с прямыми АВ1 и АВ2      в точках С1 и С2 соответственно. С1С2 АН1;  АН1 принадлежит биссектрисе  е  угла А.   Высота   АК1 равнобедренного  ∆ В1АВ2,  являющейся и  биссектрисой В1АВ2, также совпадает с биссектрисой  е, значит и с радиусом  АН1.     Поэтому В1А К1 =К1АВ2.     Отсюда следует, что В1АВ2  = 2В1А К1.   (1)    Из  точки  С1   проведем  касательную С1С.  Отрезки  касательных  к  окружности, проведенные из точки С1, равны и составляют равные углы с прямой АС1, то есть С1Н1 = С1Н, С1НАН,Н С1А =АС1Н1.  Поэтому  ∆ АНС1  =  ∆С1АН1.  Откуда   НА С1 =С1АН1. Значит АС1  является биссектрисой угла  НАН1.   Так  как  каждая точка биссектрисы угла равноудалена  от его сторон, имеем   В1К1 = В1 К.  Поэтому   точка К лежит на радиусе АН.  Следовательно, КАВ1 = В1А К1.                                              

    В равнобедренном  ∆ ВАВ1    высота АК является и биссектрисой ВАВ1, то естьВА К =КАВ1. Следовательно,ВАВ1 = 2КАВ1=2В1А К1  (2).  Из уравнений (1) и (2) получим ВАВ1=В1АВ2.       Аналогично доказывается  равенство углов    В1АВ2 =В2АВ3 .  Таким образом, получим, что ВАВ1=В1АВ2 =В2АВ3.     

     Кроме того, измеряя с помощью циркуля, убеждаемся, что дуги  ВВ1, В1В2, В2В3  равны,  поэтому ВАВ1 =В1АВ2 = В2АВ3.  

2.Если  данный  угол А больше 60и меньше или равен 120 ( рис.3), то половину данного угла, то есть ВАЕ  делим на три равных  угла. Откладывая дугу, равную  ВД=2/3ВЕ, убеждаемся, что РАВ = 3ВАД.

3.Если данный угол больше 120и меньше или равен 180(рис.4), то 1/4 часть угла,    то есть ВАЕ  делим на три равных  угла. Откладывая дугу, равную ВМ = 4/3ВЕ, убеждаемся, что ВАТ=3ВАМ 

 Аналогично, с помощью циркуля и линейки можно разделить данный угол  на 5 равных углов (рис.5).  Таким же образом,  угол можно разделить на  2n-1  равных  частей, где  n ≥2.  При этом  радиус окружности нужно брать  равный отрезку  от вершины угла до точки пересечения диагоналей  ромба  по биссектрисе угла так, чтобы   количество ромбиков  по прямой, перпендикулярной к биссектрисе е, 

от одной стороны угла  до второй стороны было 2n-1.                                                                                                                            

  Примечание. Точки пересечения окружности с прямыми, параллельными к сторонам угла А следующие: выше биссектрисы  е - на прямых, параллельных к стороне АВ,   ниже   биссектрисы  е  -  на прямых, параллельных к стороне АС данного угла.  Например. Деление угла на 7 равных углов (рис 6).  

Выше прямой е - точки K,L,M;  ниже прямой е - точки N,S,T.