Инновационная деятельность на базе КФУ.

Отчёт об инновационной деятельности за 2016 год.

Урок  по теме: «Решение текстовых задач при подготовке учащихся 9  и 11 класса к ОГЭ и ЕГЭ по математике»

Данный урок подготовлен для проведения в 9 и 11 классе общеобразовательной школы.

На данном уроке учащиеся повторяют методы решения текстовых задач. В ходе урока решаются задачи на движение, совместную работу и концентрацию.

Задачи решаемые на этом уроке и подобные им могут встретиться на ЕГЭ. Тексты задач были взяты из реальных работ, предлагаемых в материалах для подготовки к экзамену.

Тексты задач должны быть распечатаны на отдельных листках и розданы учащимся. Также целесообразно вывести тексты заданий при помощи проектора на экран (презентация задач представлена в приложении).

Цели урока:

- обучающие:

• обучение приёмам математизации текста задачи (перевод содержания задачи на математический язык, т.е. выражение искомой величины через известные величины и введенные переменные);
• научить применять эти знания при решении задач;

-развивающие:

• работать над развитием понятийного аппарата;
• развивать навыки самоконтроля и логического мышления;
• развивать память, речь, умение анализировать, сопоставлять, формулировать выводы;
• совершенствовать навыки решения задач.

-воспитательные:

• прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу;
•  формировать умение аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Оборудование: раздаточный материал, компьютер, экран

Ход урока

Учитель: На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим текстовые задачи, которые предлагались на ОГЭ и ЕГЭ по математике в прошлые годы.

 Вместе мы рассмотрим три типа задач: на концентрацию, совместную работу и движение. Вспомним понятие процента, правило нахождения процента от числа и решение дробных рациональных уравнений.

Некоторые задачи мы будем решать с вами вместе, решение некоторых будет предложено для самостоятельного выполнения.

 Надеюсь, что этот урок поможет вам успешно подготовиться к решению задания, которое возможно будет вам предложено на экзамене  по математике.

Решение задачи на движение (вместе с учителем)

 Задача 1. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 1 час позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч [3].

Решение:

ОТВЕТ: 20 (км/ч).

К доске вызываются двое учащихся. Им предлагается самостоятельно решить по одной задаче на совместную работу. Класс в это время работает самостоятельно, потом проводится проверка решения.

Текст задач для учащихся.

1. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми 100 км., одновременно выехали катер и моторная лодка. За час катер проезжает на 20 км больше, чем моторная лодка. Определите скорость моторной лодки, если известно, что она прибыла в пункт B на 15 часов позже катера. Ответ дайте в км/ч.

2. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми 60 км., одновременно выехали 2 велосипедиста. За час первый велосипедист проезжает на 1 км больше, чем второй. Определите скорость второго велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 3 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение задач на концентрацию (вместе с учителем)

Задача 2. Сколько килограммов воды нужно добавить в сосуд, содержащий 200г. 70% - го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8% раствор уксусной кислоты.

Решение:

Раствор уксусной кислоты = уксусная кислота + вода

ОТВЕТ: 1,55 кг.

К доске вызываются двое учащихся. Им предлагается самостоятельно решить по одной задаче на совместную работу. Класс в это время работает самостоятельно, потом проводится проверка решения.

Текст задач для учащихся.

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли составляло 2%

2. В баке находится 30 кг 30%-ного раствора соли. Сколько килограммов воды нужно в него добавить чтобы раствор стал 20%-ым.

Решение задач на совместную работу (вместе с учителем)

Задача 3. Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них потребуется на 10 дней больше, чем другому? [4]

Решение:

ОТВЕТ: 20 (дней).

К доске вызываются двое учащихся. Им предлагается самостоятельно решить по одной задаче на совместную работу. Класс в это время работает самостоятельно, потом проводится проверка решения.

Текст задач для учащихся.

1. Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из них для этого требуется на 5 дней больше, чем другой?

2. Два экскаватора, работая совместно, вырыли котлован за 18 дней. Сколько дней потребовалось бы каждому из экскаваторов на выполнение этой работы, если одному из них для этого требуется на 15 дней больше, чем другому?

Подведение итога урока, выставление оценок

Домашнее задание

Решить задачи:

1. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми 12 км, одновременно выехали 2 велосипедиста. За час первый велосипедист проезжает на 1 км больше, чем второй. Определите скорость второго велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 1 час позже первого. Ответ дайте в км/ч.

2. Сколько килограммов воды нужно добавить в сосуд, содержащий 300г. 60% - го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 10% раствор уксусной кислоты.                                                

3. Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 24 дня. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из них для этого требуется на 20 дней больше, чем другой?                 

Методы и способы решения текстовых задач

Текстовая задача – есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Структура текстовой задачи состоит из утверждения и требования. Утверждения задачи называют условиями (или условием). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть как в вопросительной, так и утвердительной форме.

Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Пример. Рассмотрим задачу: «Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420м. Когда они встретились, первая пробежала на 60м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30с?»

Условия задачи: 1) Две девочки бегут навстречу друг другу. 2) Движение они начали одновременно. 3) Расстояние, которое они пробежали – 420м.4) Одна девочка пробежала на 60м больше, чем другая. 5) Девочки встретились через 30с. 6) Скорость движения одной девочки больше скорости другой.

Требования задачи: 1) С какой скоростью бежала первая девочка. 2) С какой скоростью бежала вторая девочка.

По отношению между условиями и требованиями различают следующие виды задач.

• Определенные задачи – в них условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнений требований (В букете 5 красных роз, а белых на 3 розы меньше. Сколько всего роз в букете?).

• Недоопределенные задачи – в них условий недостаточно для получения ответа (Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?).

• Переопределенные задачи – в них имеются лишние условия (Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?).

Уточним смысл термина «решения задачи». Так сложилось, что этим термином обозначает разные понятия:

• результат, т.е. ответ на требование задачи;

• процесс нахождения этого результата: а) как метод нахождения результата; б) как последовательность тех действий, который выполняет решающий.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.

Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими методами.

Пример. Решим различными арифметическими способами задачу: «Из ткани сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4м ткани. Сколько кофт можно сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2м?»

1 способ

• 43=12 (м) – столько было ткани

• 122=6 (к) – сшили из 12м ткани

2 способ

• 42=2 (раза) – больше ткани идет на платье, чем на кофту

• 32=6 (к) – можно сшить из этой ткани

Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.

Пример. Решим различными алгебраическими способами задачу: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200г шерсти. На шарф потребовалось на 100г шерсти больше, чем шапку, и на 400г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

1 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х+100)г, а на свитер ((х+100)+400)г. Так как на все три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х+100)+((х+100)+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=200, т.е. если на шапку ушло 200г шерсти, то на шарф – 200+100=300(г), а на свитер (200+100)+400=700(г).

2 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х-100)г, а на свитер (х+400)г. Так как на все три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х-100)+(х+400)=1200. Решив данное уравнение, получим х=300, т.е. если на шарф ушло 300г шерсти, то на шапку – 300-100=200(г), а на свитер 300+400=700(г).

3 способ

Обозначим через х(г) массу шерсти, израсходованную на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х-400)г, а на шапку ((х-400)-100)г. Так как на три вещи израсходовано 1200г, то можно составить уравнение: х+(х-400)+((х-400)-100)=1200. Решив данное уравнение, получим х=700(г), т.е. если на свитер ушло 700г шерсти, то на шарф – (700-400=300)г, а на шапку ((700-400)-100=200)г.

• Этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения

Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы: анализ задачи; поиск и составление плана решения задачи; осуществление плана решения задачи; проверка решения задачи.

Рассмотрим подробнее приемы выполнения этапов решения задачи.

Анализ задачи.

Первый прием - Специальные вопросы.

• О чем задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идет речь в задаче, какими величинами характеризуется этот процесс?

• Что в задаче известно о названных величинах?

• Что неизвестно о названных величинах?

• Что требуется найти в задаче?

Пример. Проведем анализ следующей задачи: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй догоняет первого. С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ:

• О чем задача? Задача о движении двух мальчиков и собаки. Она характеризуется для каждого участника движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

• Что известно о названных величинах? В задаче известно, что: а) мальчики идут в одном направлении; б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км; в) скорость первого мальчика (идущего впереди) 4 км/ч; г) скорость второго мальчика (идущего позади) 5км/ч; д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч; е) время движения собаки – это время, за которое второй мальчик догонит первого.

• Что неизвестно о названных величинах? В задаче неизвестно: за какое время второй мальчик догонит первого; с какой скоростью происходит сближение мальчиков; расстояние, которое пробежала собака.

• Что требуется найти в задаче? В задаче требуется найти, какое расстояние пробежит собака за время, за которое второй мальчик догонит первого.

Второй прием – Перефразировка текста задачи.

Данный прием заключается в замене описания некоторой ситуации в задаче другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Пример. Проведем перефразировку теста рассмотренной выше задачи: «1) Скорость одного мальчика 4км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5км/ч. 2) Расстояние, на которое мальчики сблизились 2км. 3) Время движения мальчиков и собаки – это время, за которое второй мальчик догонит первого. 4) Скорость собаки 8км/ч. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Третий прием – Построение вспомогательной модели задачи.

Вспомогательная модель задачи служит формой фиксации анализа текстовой задачи и является основным средством поиска плана ее решения. В качестве вспомогательной модели задачи выступают: рисунок или схематический рисунок; чертеж или схематический чертеж; таблица. Чаще всего используют схематический чертеж или таблицу.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

• Все ли объекты задачи и их величины показаны на модели.

• Все ли отношения между ними отражены.

• Все ли числовые данные приведены.

• Есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

Пример. Построим вспомогательную модель рассмотренной выше задачи. В данной задаче вспомогательной моделью целесообразно выбрать таблицу.

Поиск и составление плана решения задачи.

Первый прием – Разбор задачи по тексту.

Разбор задачи проводится виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу в тексте задачи выделяется два данных и на основе знания связи между ними (полученные при анализе задачи) определяется, какое неизвестное может быть найдено по этим данным, и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, вновь выделяется два взаимосвязанных данных и определяется неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д. Данный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.

Пример. Решим задачу, используя данный прием: «На поезде, скорость которого 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Разбор текста задачи от данных к вопросу:

Известно, что 6ч турист проехал на поезде, который шел со скоростью 56км/ч. По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч – для этого нужно скорость умножить на время (566=336). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (3664=1344). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать. Можем найти весь путь, выполнив сложение найденных расстояний (336+1344=1680). Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде, вторым действием – расстояние, которое ему осталось проехать и третьим – весь путь туриста.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для этого нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, что бы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения.

Пример. Решим задачу, описанную в предыдущем примере, используя данный прием.

Разбор текста задачи от вопроса к данным:

В задаче требуется узнать весь путь туриста, который состоит из двух частей. Значит, чтобы найти ответ на вопрос задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал, и сколько километров ему осталось проехать. И то и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист – это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал (566=336). Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (3364=1344). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь туриста.

Второй прием – Поиск плана решения задачи по вспомогательной модели.

Пример. Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи о движении мальчиков и собаки (см. выше) по вспомогательной модели (таблице).

Из таблицы видно, что для того, чтобы найти расстояние, которое пробежала собака достаточно знать ее скорость и время движения. Скорость известна, а время движения собаки такое же, как у мальчиков. Чтобы найти это время, нужно знать какое расстояние было между мальчиками и скорость их сближения. Расстояние известно, а скорость сближения мальчиков можно найти, так как скорость каждого известна. Скорость сближения мальчиков найдем разностью, так как они двигаются в одном направлении (5-4=1). Затем узнаем, сколько времени понадобилось, чтобы второй мальчик догнал первого, для этого расстояние между мальчиками разделим на скорость их сближения (21=2). И наконец, мы можем узнать расстояние, которое пробежала собака за это время, для этого ее скорость умножим на время движения собаки (82=16). Итак, вначале найдем скорость движения мальчиков, затем время движения всех участников (оно одинаковое), а потом расстояние, которое пробежала собака.

Осуществление плана решения задачи.

Первый прием – Запись плана решения задачи по действиям (с пояснениями, без пояснений, с вопросами).

Пример. Приведем различные приемы записи решения задачи про движение туриста.

С пояснениями:

• 566=336(км) – турист проехал за 6ч

• 3364=1344(км) – осталось проехать туристу

• 336+1344=1680(км) – весть путь туриста

Без пояснений:

• 566=336(км)

• 3364=1344(км)

• 336+1344=1680(км)

С вопросами:

• Сколько километров проехал турист на поезде? 566=336(км)

• Сколько километров осталось проехать туристу? 3364=1344(км)

• Каков весь путь туриста? 336+1344=1680(км)

Второй прием – Запись решения задачи в виде выражения.

Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем составляется выражение и находится его значение. Так как обычно это значение записывают, поставив после числового выражения знак равенства, то запись становится числовым равенством, в левой части которого – выражение, составленное по условию задачи, а в правой – его значение, которое позволяет сделать вывод о выполнении требований задачи.

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу.

• 566 (км) – турист проехал за 6ч

• 5664 (км) – осталось проехать туристу

• 566+5664 =1680(км) – весть путь туриста

Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме, тогда запись решения задачи примет вид: 566+5664 =1680(км).

Проверка решения задачи.

Прием первый – Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли противоречия.

Пример. Проверим, используя данный прием, правильность решения задачи о движении туриста.

Мы установили, что турист должен был проехать 180км. Пусть этот результат будет одним из данных задачи. Как известно, за 6ч турист проедет 336км (56=336) и ему останется проехать 1680-336=1344(км). Согласно условию задачи это расстояние должно быть в 4 раза больше того, что он проехал на поезде. Разделив 1344 на 336, получим 4. Следовательно, противоречий с условиями задачи не возникает. Значит, задача решена верно.

Второй прием – Решение задачи другим способом.

Пусть при решении каким-то способом получен некоторый результат. Если решение задачи другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача решена верно. Например, если задача решена арифметическим методом, то правильность ее решения можно проверить, решив задачу алгебраическим методом.

Не следует думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность ее решения обеспечивается, прежде всего, четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах решения задачи.

• Решение задач «на части»

Рассматриваемые в таких задачах величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других эти части надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определить, из каких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.

При решении таких задач арифметическим методом чаще всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.

Пример. Решим задачу: «Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10кг ягод?»

Решение: В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10кг и что на две части ягод надо три части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10кг ягод.

По условию задачи 10кг ягод составляют 2 части, следовательно, на 1 часть приходится 102=5(кг). Сахара надо взять три таких части, получаем, что 53=15(кг).

В рассмотренной выше задаче части представлены явно. Рассмотрим пример задачи, в которой части нужно суметь выделить.

Пример. Решим задачу: «В двух кусках ткани одинаковое количество материи. После того, как от одного куска отрезали 18м, а от другого 25м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?»

Решение: В задаче речь идет о двух кусках ткани одинаковой длины. От первого отрезали 18м, от второго 25м. После этого в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Требуется найти первоначальную длину кусков ткани.

Вспомогательная модель будет иметь вид:

18м

25м

Если количество ткани, которое осталось во втором куске – это 1 часть, то количество оставшейся ткани в первом куске – это 2 таких части. По чертежу видно, что на 1 часть приходится количество ткани, которое легко найти – 25-18=7(м). Тогда в каждом куске было 25+7=32(м).

• Решение задач на движение

Задачи на движение решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (расстояние) (s), скорость (v), время (t). Основное отношение (зависимость) между ними выражается формулой: s=vt.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1, v1, t1, а движение второго – s2, v2, t2. Такое движение можно представить на схематическом чертеже: v1, t1 tвстр. v2, t2

Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента движения и до встречи затрачивает одинаковое время – время встречи, т.е. t1= t2= tвстр.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. vсбл.=v1+v2.

Расстояние между телами можно выразить так: s=s1+s2.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть рассчитано по формуле: s=vсбл.tвстр..

Пример. Решим задачу: «Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние межу которыми 18км. Скорость одного их них 5км/ч, другого – 4км/ч. Через сколько часов они встретятся?»

Решение: В задаче рассматривается движение на встречу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5км/ч, другой – 4км/ч. Путь, который они должны пройти, 18км. Требуется найти время, через которое они встретятся, начав движение одновременно.

Вспомогательные модели могут быть разными – схематический чертеж (см. выше) и таблица:

Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения: 5+4=9(км/ч). Затем, зная скорость сближения и расстояние, которое им нужно пройти, можно найти время, через которое пешеходы встретятся: 189=2(ч).

Задачи на движение двух тел в одном направлении.

Среди таких задач различают два типа: 1) движение начинается одновременно из разных пунктов; 2) движение начинается в время из одного пункта.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1, v1, t1, а движение второго – s2, v2, t2. Такое движение можно представить на схематическом чертеже:

v1, t1 v2, t2 tвстр.

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v1v2, кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние v1-v2. Это расстояние называют скоростью сближения: vсбл.=v1-v2.

Расстояние между телами можно выразить формулами: s= s1- s2 и s= vсбл.tвстр.

Пример. Решим задачу: «Из двух пунктов, удаленных друг от друга на расстояние 30км. Скорость одного 40км/ч, другого 50км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?»

Решение: В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30км.Скорость одного 40км/ч, другого 50км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.

Вспомогательные модели могут быть разными – схематический чертеж (см. выше) и таблица:

Зная скорость обоих мотоциклистов можно узнать их скорость сближения: 50-40=10(км/ч). Затем зная скорость сближения и расстояние между мотоциклистами найдем время, за которое второй мотоциклист догонит первого: 3010=3(ч).

Приведем пример задачи, в которой описывается вторая ситуация движения двух тел в одном направлении.

Пример. Решим задачу: «В 7ч из Москвы со скоростью 60км/ч вышел поезд. В 13ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?»

Решение: В задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но в разное время. Известно, что скорость поезда 60км/ч, скорость самолета – 780км/ч; время начала движения поезда 7ч, а самолета 13ч следующего дня. Требуется узнать, через какое время самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. Если его найти, то данная задача становится аналогичной предыдущей задаче.

Что бы найти это расстояние нужно подсчитать, сколько времени находился в пути поезд: 24-7+13=30(ч). Зная скорость поезда и время, которое он был в пути до вылета самолеты, можно найти расстояние между поездом и самолетом: 6030=1800(км). Затем найдем скорость сближения поезда и самолета: 780-60=720(км/ч). И далее, время, через которое самолет догонит поезд: 1800720=2,5(ч).