Учащимся 5-9 классы

1.3. Представление чисел

 1.3.1.  Системы счисления

Системой счисления или нумерацией называется определенный способ записи чисел. Из Базового курса информатики вы знакомы с историей систем счисления, знаете, что системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Вам также известно, что привычная для нас система счисления называется десятичной позиционной системой, что в компьютере для представления чисел и выполнения вычислений используется  двоичная система счисления.

Числа заключают в себе количественную информацию. Запись чисел по правилам определенной системы счисления есть способ кодирования чисел. От способа кодирования зависит размер кода, т.е. количество цифр в записи числа, а также правила выполнения вычислений. Одной из главных проблем, которую нужно было решить изобретателям ЭВМ, это проблема представления чисел в памяти компьютера и алгоритма их обработки (вычислений) процессором. Для понимания того, как были решены эти проблемы нужно  знать  принципы организации систем счисления.

Основные понятия позиционных систем счисления

Цифрами называют символы, используемые для записи чисел. Алфавитом системы счисления называется совокупность всех цифр. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

В записи многозначного числа цифры, стоящие в разных позициях, имеют разный вес. Так в целом десятичном числе 325 тройка означает три сотни, двойка – два десятка, пятерка  - пять единиц:   325=3·100 + 2·10 +5·1. Такая запись называется развернутой формой записи числа: число записывается в виде суммы, в которой каждое слагаемое – это цифра, умноженная на свой вес. Вот еще пример развернутой записи смешанного десятичного числа:

6248,547 = 6·1000 + 2·100 + 4·10 + 8·1 + 5·0,1 + 4·0,01 + 7·0,001= 6·103 + 2·102 + 4·101 + 8·100 + 5·10-1 + 4·10-2 + 7·1-3

В десятичной системе счисления веса равны степеням десятки (положительным и отрицательным). Каждая позиция в записи числа называется разрядом числа. Разряды нумеруются в целой части числа положительными целыми числами, начиная от нуля, в дробной части – отрицательными числами, начиная от минус единицы:

                разряды:        3 2 1 0 -1-2-3

                число:                6248,547  

Здесь номера разрядов указаны маленькими цифрами сверху.  Отсюда видно, что веса соответствующих цифр равны десяти в степени,  равной номеру разряда, в котором стоит эта цифра.

Десятичная  система  относится к числу традиционных систем счисления Следующий,  бесконечный в обе стороны ряд целых степеней десятки называется базисом десятичной системы счисления:

… 109, 108, 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101, 100, 10-1, 10-2, 10-3, …

Запись числа в развернутой форме еще называют разложением числа по базису.

Система счисления именуется традиционной, если ее базис образует геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии называется основанием системы счисления. У традиционных систем счисления знаменатель базиса совпадает с размерностью ее алфавита.  

Основание десятичной системы счисления равно десяти т.к. размерность ее алфавита и знаменатель базиса равны десяти.

По такому же принципу организованы все  другие традиционные системы счисления. Наименьшим основанием для позиционной системы является 2 – двоичная система. Система с основание 1 не может быть позиционной, поскольку для нее невозможно построить базис - единица в любой степени равна единице. Базис двоичной системы  счисления выглядит так:

… 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, 2-3, …

Основанием традиционной позиционной системы может быть любое натуральное число, начиная от двух.

Размерность алфавита равна основанию системы счисления. Вот несколько примеров позиционных систем и их алфавитов:

Если n – основание системы не большее десяти, то в алфавите используются n первых арабских цифр. Если основание превышает 10, то в качестве дополнительных цифр выступают буквы латинского алфавита по порядку.

При записи недесятичного числа принято указывать его основание маленькой подстрочной цифрой – нижним индексом. Например: 1375 – число в пятеричной системе счисления. Отметим одно очень важное обстоятельство:

в любой позиционной системе счисления ее основание записывается как 10.

Например: 102=2,  103=3, 108=8, 1016=16 и т.д.

Задача 1. Число в троичной системе счисления:  2011,13 нужно перевести в десятичную систему, т.е. определить равное ему число в десятичной системе.

Разложим данное число по базису троичной системы счисления, т.е. запишем его в развернутой форме и вычислим полученное выражение по правилам десятичной арифметики:

2011,13= 2·33+0·32+1·31+1·30+1·3-1=54+3+1+1/3=

Задача 2. Шестнадцатеричное число 2AF,8C16 перевести в десятичную систему.

Задача также решается через разложение шестнадцатеричного числа по базису системы счисления и вычисления полученного выражения. В разложении цифры, обозначаемые буквами, заменяются на их эквиваленты в десятичной системе.

2AF,8C16=2·162+10·16+15·160+8·16-1+12·16-2=512+160+15+1/2+3/64= 687,546875

Задача 3. Двоичное число 1010101111,1000112 перевести в десятичную систему.

1010101111,1000112=1·29+1·27+1·25+1·23+1·22+1·2+1+1·2-1+1·2-5+1·2-6= 512 + 128 + 32 + 8 + 4 +2 + 1 +1/2 + 1/32 +1/64 =687,546875.

Обратите внимание, что результат тот же, что и в задаче 2. Значит двоичное число из данной задачи равно шестнадцатеричному числу из задачи 2. К этому обстоятельству мы еще вернемся.

Схема Горнера и перевод чисел

Недесятичное число можно быстро перевести в десятичную систему и с помощью простого калькулятора.  Такой перевод связан с применением так называемой схемы Горнера для вычисления алгебраических многочленов.  Сначала рассмотрим перевод целого числа на примере восьмеричного числа 2317458. Запишем его в развернутой форме и преобразуем полученную сумму к эквивалентной скобочной форме:

2317458 = 2·85+3·84+1·83+7·82+4·8+5=((((2·8+3)·8+1)·8+7)·8+4)·8+5=78821

Раскройте мысленно скобки в записанном выражении, и вы увидите, что получится то же разложение по базису восьмеричной системы счисления. Но зато скобочное выражение очень просто вычислять. На калькуляторе нужно последовательно слева направо выполнять умножения и сложения. Порядок нажатия клавиш на калькуляторе будет таким:

 В этом примере было выполнено пять умножений и пять сложений. Такой способ вычисления называется схемой Горнера.

В общем виде алгебраический многочлен n-й степени и его преобразование к скобочной форме выглядит так:

Из этой формулы следует, что алгебраический многочлен n-й степени можно вычислит за n операций умножения и n операций сложения. Это самый оптимальный способ вычисления.

Схему Горнера можно применить и для перевода дробных чисел. Покажем на примере двоичного числа 0,1101012. Запишем число в развернутой форме и выполним тождественные преобразования, приводящие выражение к скобочной форме:

0,1101012 = 1·2-1+1·2-2+0·2-3+1·2-4+0·2-5+1·2-6 = 1·2-6+0·2-5+1·2-4+0·2-3+1·2-2+1·2-1 =

=(((((1/2+0)/2+1)/2+0)/2+1)/2+1)/2= 0, 828125

Полученное выражение также поддается последовательному вычислению на калькуляторе: шесть операций деления и пять – сложения. Клавиши нажимаются в таком порядке:

Прибавление нулей можно не делать, тогда число операций сократиться.

Пример нетрадиционной системы счисления

В качестве примера нетрадиционной системы счисления рассмотрим так называемую фиббоначиевую систему. Базисом этой системы является следующий числовой ряд:   1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Он называется рядом Фибоначчи или числами Фибоначчи. Ряд Фибоначчи строится следующим образом: первые два числа задаются как начальные значения: F1=1, F2=2. Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: F3=F2+F1, F4=F3+F2, F5=F4+F3 и т.д.

Базис фибоначчиевой системы не является геометрической прогрессией, как у традиционных систем счисления. Алфавит фибоначчиевой системы состоит из двух цифр: 0 и 1, как у двоичной системы счисления.  Можно доказать, что в фибоначчиевой системе представимо любое целое число. В следующей таблице для сравнения приводятся первые 10 целых чисел в десятичной, двоичной и фибоначчиевой системах счисления:

Таблица 1.3

Отметим важную особенность фибоначчиевой системы: неоднозначность представления некоторых целых чисел в этой системе.  Например, число 3 можно записать двумя способами: 3=11fib=100fib. А число 8 можно записать тремя способами: 8=10000fib=1100fib=1011fib. Такое свойство системы называется избыточностью. Традиционные системы счисления не имеют избыточности. Для автоматической обработки данных избыточность оказывается полезным свойством. Благодаря избыточности  можно обнаруживать потерю  данных, возникающую из-за технических сбоев. Отсюда интерес к фибоначчиевой системе счисления со стороны конструкторов вычислительной техники.

Система основных понятий

Вопросы и задания

1. Определите основные понятия систем счисления: традиционные системы, нетрадиционные системы; цифра, алфавит системы, основание системы.

2. Почему развернутую форму записи числа называют разложением по базису?

3. Чему будет равно:  1/3 при переводе  в троичную систему, 1/5 -  в пятеричную систему, 1/8 - в восьмеричную систему, 1/16 - в шестнадцатеричную систему?

4. Что общего между результатами вычисления следующих выражений: 1112+12,  2223+13,  7778+18,  FFF16+116 ?  

5. Назовите  предыдущие  значения в натуральном ряде чисел для следующих значений:  1005,  1007, 1009 .

6. В таблице 1.3  для всех чисел в диапазоне от 0 до 9 приведено лишь по одному способу представления в фибоначчиевой системе счисления. Для тех чисел, представление которых неоднозначно, запишите все варианты.

7. Составьте программу вычисления n-го элемента из ряда чисел Фибоначчи (n>2) согласно определению ряда: F1=1, F2=2, Fi=Fi-1+Fi-2,   i=3,4,… Массив в программе не использовать.

8*. Составьте программу перевода целого числа из фибоначчиевой системы счисления в десятичную систему.

9**. Составьте программу перевода целого десятичного числа в фибоначчиеву систему счисления.

1.3.2. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Рассмотрим перевод десятичных чисел в системы счисления   с другими основаниями.  Подойдем к этой проблеме с общей математической позиции.

Сначала получим правила перевода целого числа. Обозначим целое число через  Х. Основание системы счисления, в которую будем переводить, обозначим p. В результате перевода получится (n+1)- разрядное число. Запишем это следующим образом:

Здесь α0 обозначает цифру нулевого разряда числа,  α1 – цифру первого разряда и т.д. Значения этих цифр лежат в диапазоне от 0 до р-1. Запишем значение числа в системе p в развернутом виде и преобразуем к скобочной форме.

=

Отсюда нетрудно понять, что α0 равно остатку от целочисленного деления Х на р, а Х1 – частное от целочисленного деления Х на р. Применяя символику языка Паскаль, запишем: α0=X mod p,  X1=X div p. Здесь div – знак операции целого деления, а mod – остатка от деления. Таким образом, найдена α0 -  цифра нулевого разряда числа в p-ичной системе.

Теперь запишем число Х1 в скобочной форме:

По аналогии с предыдущим следует, что  α1=X1 mod p – остаток от деления Х1 на р;   X2=X1 div p.  Найден α1 - первый разряд  искомого числа.

Продолжая далее целочисленные деления на р  с выделением остатка, последовательно будем получать искомые цифры р-ичного числа. Процесс закончится, когда в результате деления нацело (div) получится ноль.  Последний остаток будет равен αn – старшей цифре числа.

Задача 1. Перевести число 58 в троичную систему счисления.

Перевод производим путем последовательных делений на 3. После знака равенства записывается  целая часть частного, а в скобках указывается остаток.

                58 : 3 = 19        (1)

                19 : 3 = 6        (1)

                6 :  3 = 2        (0)

                2 :  3 = 0        (2)

Окончательный результат такой: 58=20113. Это равенство мы уже получали в предыдущем параграфе.

Теперь рассмотрим перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием р. Пусть Y – дробное десятичное число:  Y<1. Очевидно, что в системе с основание р оно также будет дробным числом, поскольку 1 в любой системе  счисления обозначает одну и ту же величину. Число, равное Y в системе р,  запишем в развернутой форме.

Умножим это равенство на  р:      

Отсюда видно, что α-1 – это целая часть произведения Y·p, а Y1 – дробная часть этого произведения. Далее выпишем Y1 и умножим его на р:

Теперь α-2 стало целой частью произведения Y1·p. Очевидно, что дальше нужно умножать на р значение Y2. Выделив его целую часть, получим третью цифру дробного числа - α-3. И так далее.

До каких же пор продолжать этот процесс? Тут могут быть разные ситуации. Первая ситуация: после некоторого числа умножений в дробной части произведения получится ноль. Понятно, что дальше будут все нули. Следовательно,  переведенное значение имеет конечное число цифр. Рассмотрим пример такого перевода.

Задача 2. Перевести десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления.

Будем последовательно умножать это число на 2, выделяя целую часть произведения:

В итоге получили: 0,625 = 0,1012

Вторая ситуация – получение периодической дробной части. В таком случае последовательные умножения надо продолжать до выделения периода.

Задача 3. Перевести число 0,123 в пятеричную систему счисления.

Далее пойдет повторение двух последних цифр. Результат получился таким:

0,123=0,030(14)5.

Из математики вам должно быть известно, что число с конечной или периодической десятичной дробной частью является рациональным числом. Можно доказать, что любое дробное рациональное десятичное число при переводе в другую систему счисления также дает рациональное число. Попробуйте доказать это  самостоятельно!

Если требуется перевести смешанное десятичное число, то отдельно переводится целая часть числа путем последовательных делений и дробная часть путем умножений. Затем два эти результата записываются через запятую одним смешанным числом.

1.3.3. Автоматизация перевода чисел из системы в систему

В этом параграфе будут рассмотрены способы перевода чисел из одной системы счисления в другую с помощью электронных таблиц и программирования.

Перевод из недесятичной системы в десятичную

Как переводить недесятичные числа в десятичную систему счисления,  было рассказано раньше. Там же описан способ быстрого перевода на основе использования схемы Горнера, который можно реализовать на простом калькуляторе.

Решим теперь такую задачу. Требуется создать электронную таблицу, с помощью которой будет происходить автоматический перевод недесятичного числа из любой системы счисления, основание которой меньше десяти, в десятичную систему.

Пример использования такой таблицы приведен на рис.1.1.  Здесь показан перевод троичного числа 2011,13 .

Рис.1.1.  Перевод недесятичного числа в десятичную систему счисления

Для перевода числа используется разложение по базису позиционной системы. Знаменатель базиса – в ячейке D2. Номера разрядов числа равны степеням знаменателя в развернутой форме.  Значащие цифры числа вписываются в соответствующие ячейки пятой строки. В шестой строке вычисляются слагаемые развернутой формы числа. Например, в ячейке B6 записана формула:  =B5*$D$2^B4. В ячейке C6: =C5*$D$2^C4 и т.д. Результат перевода получается в ячейке N5, где стоит формула:  =СУММ(B6:L6). Данная таблица рассчитана на 6-разрядную целую часть и 4-разрядную дробную часть. При необходимости ее можно расширить.

Учимся программировать

Рассмотрим программу на Паскале, по которой происходит перевод целого недесятичного числа в десятичную систему.

Program Numbers_p_10;

var N10,Np,k: longint;

    p: 2..9;

begin write('p='); readln(p);         {ввод основания системы}

      write('N‘,p,’='); readln(Np);        {ввод исходного p-ичного числа}

      k:=1; N10:=0;

      while (Np<>0) do        {цикл выполняется, пока Np не равно нулю}

      begin N10:=N10+(Np mod 10)*k;         {суммирование развернутой формы}

           k:=k*p;                                   {вычисления базиса: p, p2, p3 …}

Np:=Np div 10                        {отбрасывание младшей цифры}

      end;

      writeln('N10=',N10)                        {вывод десятичного числа}

end.

В программе использованы следующие переменные:

p  - основание системы счисления  - исходное данное;

Np –  целое p-ичное число – исходное данное;

N10 – десятичное число – результат;

Тип longint – длинный целый тип. Значения величин этого типа лежат в диапазоне от-2147483648  до 2147483647  Значит данная программа может работать с числами, не более, чем 9-значными.  Тип переменной р – диапазон целых чисел от 2 до 9.

Про операции div и mod уже было сказано раньше: div – целое деление, mod – остаток от целого деления.  Например:  1234 mod 10=4 – выделяется разряд  единиц; 1234 div 10 = 123 – отбрасывается младший разряд.

Пример: при переводе по данной программе двоичного числа 11012  в десятичную систему,  на экране увидим:

p=2                  

N2=1101        

N10=13         

Следовательно, в итоге получили:  11012=13

Для лучшего понимания работы программы, внимательно изучите приведенную ниже трассировочную таблицу. Она отражает изменения значений переменных на каждом шаге выполнения алгоритма, реализованного в программе.

Теперь познакомьтесь  с программой перевода целого десятичного числа в недесятичную систему счисления с основанием  p (1

Program Numbers10-p;

var         N10, Np, k: longint;

p: 2..9;

begin

write('N10='); readln(N10);         {Ввод исходного 10-тичного числа}

write('p='); readln(p);                  {Ввод основания системы}

k:=1; Np:=0;

repeat

Np:=Np+(N10 mod p)*k;        {Суммирование развернутой формы}

k:=k*10;                          {Вычисление базиса: 10, 100, 1000, …}

N10:=N10 div p                 {Отбрасывание младшей цифры}

until (N10=0);                  {Цикл заканчивает выполнение при N10=0}

Writeln('N',p,'=',Np)         {Вывод p-ичного числа}

end.

Здесь использованы те же обозначения, что и в предыдущей программе. Исходными данными являются: N10 – десятичное число и p – основание системы, в которую осуществляется перевод.  Результат получается в переменной Np – число в системе с основанием p.

В алгоритме используется цикл с постусловием (repeat … until). Цикл повторяется до выполнения условия: N10=0.

Пример использования программы. Переведем число 25 в двоичную систему счисления. Работа программы на экране компьютера отразится следующим образом:

N10=25

p=2

N2=11001

Следовательно, в результате получили: 25 =110012.

Для лучшего понимания работы программы рекомендуем построить трассировочную таблицу, наподобие  предыдущей.

Система основных понятий

Вопросы и задания

1. Как переводится целое десятичное число в систему счисления с основанием р ?

2. Как переводится дробное десятичное число в систему счисления с основанием р?

3. Переведите число 4267,13 в двоичную и восьмеричную системы счисления.

4. Реализуйте на компьютере программу Numbers_p-10. Протестируйте ее не различных значениях исходных данных.

5. Реализуйте на компьютере программу Numbers10-p. Протестируйте ее не различных значениях исходных данных.

6*. Постройте электронную таблицу для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием р (2≤р≤9). Протестируйте работу таблицы.

7*. Составьте программу на Паскале перевода дробного числа из р-ичной системы в десятичную.

8**. Составьте программу на Паскале перевода дробного десятичного числа в р-ичную систему счисления.

1.3.4. Смешанные системы счисления

Способ записи чисел, при котором числа из позиционной системы счисления с основанием Q записываются с помощью цифр системы счисления с основанием P, называется смешанной P-Q-ичной системой.

Примером смешанной системы является двоично-десятичная система счисления. В ней десятичное число записывается путем замены каждой цифры на 4-разрядный двоичный код. Таблица соответствия для двоично-десятичной системы следующая:

В этой таблице каждой десятичной цифре поставлено в соответствие равное ей четырехзначное двоичное число (нули слева – незначащие). Например, десятичное число 58236,37 в двоично-десятичной форме запишется так: 101 10001 0010 0011 0101,0011 01112-10 . Первый слева ноль у целого числа является незначащей цифрой, поэтому его можно не писать.

Для обратного преобразования из двоично-десятичной формы в десятичное число нужно разбить на четверки все знаки двоичного кода: от запятой влево – в целой части и вправо – в дробной части. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить на соответствующую десятичную цифру. Например:

11 1000 0010 1001 0011,0101 1001 1000 2-10 → 3823,598

Отметим важное обстоятельство: между данными десятичным и двоично-десятичным числом нельзя поставить знак равенства. Двоично-десятичное представление – это всего лишь двоичный код для представления десятичного числа, но никак не равное ему значение в двоичной системе счисления. Выполнение арифметических вычислений над десятичными числами, представленными в двоично-десятичной форме, весьма затруднительны. Тем не менее, в истории ЭВМ известны такие примеры. В первой ЭВМ под названием  ENIAC использовалась двоично-десятичная система.

Современные компьютеры производят вычисления в двоичной системе счисления. Однако для представления компьютерной информации нередко используются двоично-восьмеричная и двоично-шестнадцатеричная системы.

Двоично-восьмеричная система. В следующей таблице представлено соответствие между восьмеричными цифрами и трехзначными двоичными числами (двоичными триадами), равными по значению этим цифрам.

Записать восьмеричное число в двоично-восьмеричном виде – это значит заменить каждую восьмеричную цифру на соответствующую двоичную триаду. Например:

3517,28→11 101 001 111,010 2-8.

А теперь переведем данное восьмеричное число в двоичную систему счисления. Для этого сначала его переведем в десятичную систему, а потом из десятичной в двоичную систему счисления. Вот что получается:

3517,2 8 = 1871,25=11101001111,01 2

Но это тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-восьмеричной системе! Мы пришли к следующему результату: двоично-восьмеричное число равно значению данного восьмеричного числа в двоичной системе счисления.

Отсюда следует, что перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную производится перекодировкой по двоично-восьмеричной таблице путем замены каждой восьмеричной цифры на соответствующую двоичную триаду. А для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную его цифры надо разбить на триады (начиная от запятой) и заменить каждую триаду на соответствующую восьмеричную цифру.

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В следующей таблице представлено соответствие между шестнадцатеричными цифрами и  четырехзначными двоичными числами (двоичными тетрадами), равными по значению этим цифрам.

Записать шестнадцатеричное число в двоично-шестнадцатеричном виде – это значит заменить каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую двоичную тетраду. Например:

С81F,1D16 → 1100 1000 0001 1111,0001 11012-16

Переведем данное шестнадцатеричное число сначала в десятичную систему счисления, а затем в двоичную систему. Получим:

С81F,1D16 = 51231,875 = 1100 1000 0001 1111,0001 11012

Получился тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-шестнадцатеричной системе! Рассмотренный пример привел к следующему результату: двоично-шестнадцатеричное  число равно значению данного шестнадцатеричного числа в двоичной системе счисления.

Следовательно, для  перевода числа из шестнадцатеричной  системы счисления в двоичную достаточно выполнить перекодировку по двоично-шестнадцатеричной таблице путем замены каждой шестнадцатеричной цифры на соответствующую двоичную тетраду. А для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную его цифры надо разбить на тетрады (начиная от запятой) и заменить каждую тетраду на соответствующую шестнадцатеричную цифру. 

Можно ли на основании приведенных частных примеров  делать  глобальные выводы о том, что двоично-восьмеричный (двоично-шестнадцатеричный) код любого восьмеричного (шестнадцатеричного) числа совпадает с двоичным значением этого числа?  Нет, конечно! Это утверждение требует доказательства. Такое доказательство существует^[1].

Доказано, что для любого числа в системе счисления с основанием p=2n смешанный двоично-р-ичный код совпадает с представлением этого числа в двоичной системе счисления.

Поскольку 8=23, а 16=24, то сформулированное правила относится к восьмеричной и шестнадцатеричной системам.  Очевидно, что такая же связь существует между двоичной  и четверичной системами счисления, поскольку 4=22.

Любые данные в памяти компьютера хранится в двоичном виде. Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления используют для компактного представления содержимого памяти компьютера, а также ее адресации. Восьмеричное представление сжимает двоичный код в три раза, а шестнадцатеричное представление – в четыре раза.

Задача. Перевести число 1369,75 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Наиболее рациональный способ решения задачи следующий. Нужно перевести это число в одну из трех систем с основанием 2, 8 или 16, а затем, используя связь между ними через смешанное представление, выполнить перевод в две другие системы путем перекодировки по таблицам 2-8 и 2-16.

1) Переведем число в восьмеричную систему путем последовательного деления на 8 целой части и последовательного умножения на 8 дробной части числа. Получим:

1369,75=2531,68

2) Путем перекодировки по двоично-восьмеричной таблице переведем это число в двоичную систему счисления:

2531,68=10 101 011 001,1102

3) Разделив цифры двоичного числа на тетрады (влево и вправо от запятой), переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему, используя двоично-шестнадцатеричную таблицу:

0101 0101 1001,11002=559,С16

Система основных понятий

Вопросы и задания

1. Дайте определение смешанной системе счисления.

2. Почему двоично-десятичный код не совпадает с двоичным числом, равным данному десятичному числу?

3. Для каких целей в компьютерных технологиях используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

4. Выполните наиболее рациональным способом следующие переводы чисел:  537,158→X2;  537,158→X16;  10111011010101,010112→X8→Y16.

5. Напишите двоично-четверичную таблицу перекодировки.

6*. Постройте электронную таблицу для перевода четверичных чисел в двоичную систему счисления.

7**. Постройте электронную таблицу для перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления.

8**. Напишите программу на Паскале перевода целого двоичного числа в восьмеричную систему счисления

1.3.5. Арифметика в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления выполнение арифметических операций подчиняется одним и тем же законам: коммутативному, ассоциативному, дистрибутивному. В основе арифметических вычислений лежат правила сложения (таблица сложения) и правила умножения (таблица умножения) однозначных чисел.

Сложение и вычитание многозначных чисел в р-ичной системе производится столбиком по тому же алгоритму, что и для десятичных чисел. Соответствующие разряды слагаемых записываются друг под другом. Сложение производится поразрядно, начиная с младшего разряда. Если при суммировании цифр одного разряда сумма оказывается больше р-1 (двузначное число), то в данном разряде результата записывается младшая цифра суммы, а старшая цифра прибавляется к следующему по старшинству разряду (ближайшему слева)

Вычитание – обратная к сложению операция. Если в очередном разряде уменьшаемого стоит цифра меньшая,  чем у вычитаемого, то занимается единица у ближайшего слева ненулевого разряда. В результате к вычисляемому разряду уменьшаемого добавляется р. Если единица занималась не у соседнего слева разряда,  то к промежуточным разрядам добавляется р-1.

Умножение  сводится к многократному сложению со сдвигом разрядов, а деление – к многократному вычитанию.

Двоичная арифметика. Вот как выглядят таблица сложения и таблица умножения в двоичной системе счисления:

Рассмотрим примеры выполнения четырех арифметических операций с двоичными числами. Замечание: далее нижний индекс для обозначения системы счисления будет упускаться.

Пример 1. Сложение  двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, переносимые при сложении  в соседний слева разряд.

Пример 2. Вычитание двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, добавляемые к разряду в процессе переноса единицы из ближайшего ненулевого разряда слева.

Правильность полученного результата можно проверить путем сложения разности с вычитаемым. В результате должно получиться уменьшаемое.

Пример 3. Умножение  двоичных чисел.

Пример 4. Деление двоичных  чисел. В следующем примере делимым числом является произведение из предыдущего примера, делителем – второй сомножитель. Частное получилось равным первому сомножителю.

Двоичная арифметика – наиболее простая. Эта простота стала одной из причин использования двоичной системы счисления в компьютерах.

Арифметика в других системах счисления. Приведем примеры вычислений в других системах счисления.  Рассмотрим пятеричную систему.

Вычисления в системах  счисления с основание p=2n  можно производить по такой же схеме, как это делалось выше: построить таблицы сложения и умножения и, заглядывая в эти таблицы, выполнять многозначные вычисления. Но можно пойти другим путем, используя связь таких систем с двоичной системой счисления. Алгоритм вычисления будет следующим:

1. перевести данные числа в двоичную систему счисления, используя таблицу двоично-р-ичной смешанной системы;
2. выполнить вычисления с двоичными числами;
3. перевести полученное двоичное число в р-ю систему через ту же таблицу (п.1).

Задача 1. Вычислить сумму  двух шестнадцатеричных чисел:  3A8D,1F16 + 2C6,516.

Используем описанный выше алгоритм.

Задача 2. В среде электронной таблицы создать автоматически заполняемую таблицу умножения для восьмеричной системы счисления.

В режиме отображения значений электронная таблица будет иметь следующий вид:

Таблица создается в такой последовательности:

1. В ячейку D1 заносится число 8 – основание системы счисления. Поясняющий текст заносится в соседние ячейки первой строки.
2. В блок B3:H3 заносятся числа с 1 до 7.
3. В блок A4:А10  заносятся числа с 1 до 7.
4. В ячейку В4 заносится формула:  

=ЦЕЛОЕ(B$3*$A4/$D$1)*10+ОСТАТ(B$3*$A4;$D$1)

5. Формула из ячейки В4 копируется в блок B4:H10

Таблица готова!

Здесь используются две стандартные функции электронных таблиц:

ЦЕЛОЕ(число) – выделение целой части числа, стоящего в аргументе;

ОСТАТ(число; делитель) – остаток целочисленного деления (аналог операции mod в Паскале)

Учимся программировать

Задача 3. Создать программу на Паскале, выводящую на экран таблицу умножения в системе счисления с основанием p (2

Program Tabl_mul;

var X,Y,Z,p: integer;

begin

write('Input p (2

writeln(P,’-system multiplication table');

for X:=1 to p-1 do       {Изменение первого сомножителя}

    for Y:=1 to p-1 do   {Изменение второго сомножителя}

    {Вычисление произведения и перевод в р-ичную систему}

Z:=(X*Y div p)*10 + (X*Y) mod p;

    write(Z:3)  {вывод произведения без перевода строки}

    end;

    writeln     {перевод строки}

end

end.

В данной программе переменные X и Y принимают значения сомножителей, изменяющихся в диапазоне от 1 до р-1. Произведение X*Y может быть одно- или двузначным числом. Структура алгоритмы – два вложенных цикла: внешний цикл – по переменной X, внутренний цикл – по переменной Y. «Пустой» оператор writeln используется для перехода к новой строке таблицы при выводе на экран после каждого окончания внутреннего цикла. Форматирование выводимого значения (Z:3) обеспечивает выделение под число трех позиций на экране. При использовании данной программы для построения восьмеричной таблицы умножения, на экране получим:

Input p (2=10): 8

8-system multiplication table

Вопросы и задания

1. Проверьте для двоичной системы счисления выполнение трех арифметических законов:

а) коммутативности:   a+b=b+a;  a·b = b·a;

б) дистрибутивности: c(a+b)=c·a+c·b; 

в) ассоциативности: (a+b)+c=a+(b+c);  (ab)c=a(bc).

Выполните проверку на примере значений: a=1102, b=10112, c=112.

2. Сформулируйте вербально алгоритм сложения многозначных чисел в p-ичной позиционной системе счисления.
3. Постройте таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.
4. Используя результат предыдущего задания, выполните вычисления в троичной системе:  20113+21203; 11113-2013; 21123·123;  12103:203.
5. Используя смешанные системы «2-8» и «2-16», выполните вычисления:

73564,3248 + 17654,1238;  F19C5,7A16 - 4D2B,33C916.

6. Создайте электронную таблицу, приведенную в задаче 2. На ее основе получите таблицу умножения пятеричной системы счисления.
7. Создайте электронную таблицу сложения восьмеричных чисел. На ее основе получите таблицу сложения девятеричных чисел.
8. Реализуйте на компьютере программу на Паскале, приведенную в задаче 3. Проведите с ней расчеты для различных значений p: 3, 5, 9, 10.
9. * Составьте программу на Паскале для получения таблицы умножения в шестнадцатеричной системе счисления.

Задачи по теме
"Позиционные системы счисления. Арифметические операции"

Задания к работе

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

3. Сложить числа.

4. Выполнить вычитание.

5. Выполнить умножение.

6. Выполнить деление.

Примечание. В заданиях 3–6 проверять правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления. В задании 1д получить пять знаков после запятой в двоичном представлении.

Вариант 1

1. а) 666(10); б) 305(10); в) 153,25(10); г) 162,25(10); д) 248,46(10)

2. а) 1100111011(2); б) 10000000111(2); в) 10110101,1(2); г) 100000110,10101(2); д) 671,24(8); е) 41A,6(16).

3. а) 10000011(2)+1000011(2); б) 1010010000(2)+1101111011(2); в) 110010,101(2)+1011010011,01(2); г) 356,5(8)+1757,04(8); д) 293,8(16)+3CC,98(16).

4. а) 100111001(2)-110110(2); б) 1111001110(2)-111011010(2); в) 1101111011,01(2)-101000010,0111(2); г) 2025,2(8)-131,2(8); д) 2D8,4(16)-A3,B(16).

5. а) 1100110(2)× 1011010(2); б) 2001,6(8)× 125,2(8); в) 2C,4(16)× 12,98(16).

6. а) 110011000(2) : 10001(2); б) 2410(8) : 27(8); в) D4A(16) : 1B(16);

Вариант 2

1. а) 164(10); б) 255(10); в) 712,25(10); г) 670,25(10); д) 11,89(10)

2. а) 1001110011(2); б) 1001000(2); в) 1111100111,01(2); г) 1010001100,101101(2); д) 413,41(8); е) 118,8C(16).

3. а) 1100001100(2)+1100011001(2); б) 110010001(2)+1001101(2); в) 111111111,001(2)+1111111110,0101(2); г) 1443,1(8)+242,44(8); д) 2B4,C(16)+EA,4(16).

4. а) 1001101100(2)-1000010111(2); б) 1010001000(2)-1000110001(2); в) 1101100110,01(2)-111000010,1011(2); г) 1567,3(8)-1125,5(8); д) 416,3(16)-255,3(16).

5. а) 100001(2)× 1001010(2); б) 1723,2(8)× 15,2(8); в) 54,3(16)× 9,6(16).

6. а) 10010100100(2) : 1100(2); б) 2760(8) : 23(8); в) 4AC(16) : 17(16);

Вариант 3

1. а) 273(10); б) 661(10); в) 156,25(10); г) 797,5(10); д) 53,74(10)

2. а) 1100000000(2); б) 1101011111(2); в) 1011001101,00011(2); г) 1011110100,011(2); д) 1017,2(8); е) 111,B(16).

3. а) 1110001000(2)+110100100(2); б) 1001001101(2)+1111000(2); в) 111100010,0101(2)+1111111,01(2); г) 573,04(8)+1577,2(8); д) 108,8(16)+21B,9(16).

4. а) 1010111001(2)-1010001011(2); б) 1110101011(2)-100111000(2); в) 1110111000,011(2)-111001101,001(2); г) 1300,3(8)-464,2(8); д) 37C,4(16)-1D0,2(16).

5. а) 1011010(2)× 1000010(2); б) 632,2(8)× 141,34(8); в) 2A,7(16)× 18,8(16).

6. а) 111010110(2) : 1010(2); б) 4120(8) : 23(8); в) 4F8(16) : 18(16);

Вариант 4

1. а) 105(10); б) 358(10); в) 377,5(10); г) 247,25(10); д) 87,27(10)

2. а) 1100001001(2); б) 1100100101(2); в) 1111110110,01(2); г) 11001100,011(2); д) 112,04(8); е) 334,A(16).

3. а) 101000011(2)+110101010(2); б) 111010010(2)+1011011110(2); в) 10011011,011(2)+1111100001,0011(2); г) 1364,44(8)+1040,2(8); д) 158,A(16)+34,C(16).

4. а) 1111111000(2)-100010011(2); б) 1111101110(2)-11100110(2); в) 1001100100,01(2)-10101001,1(2); г) 1405,3(8)-346,5(8); д) 3DD,4(16)-303,A(16).

5. а) 1011100(2)× 1100100(2); б) 347,2(8)× 125,64(8); в) 10,A8(16)× 35,4(16).

6. а) 1000101000(2) : 1100(2); б) 5101(8) : 31(8); в) D7A(16) : 1E(16);

Вариант 5

1. а) 500(10); б) 675(10); в) 810,25(10); г) 1017,25(10); д) 123,72(10)

2. а) 1101010001(2); б) 100011100(2); в) 1101110001,011011(2); г) 110011000,111001(2); д) 1347,17(8); е) 155,6C(16).

3. а) 1000101101(2)+1100000010(2); б) 1111011010(2)+111001100(2); в) 1001000011,1(2)+10001101,101(2); г) 415,24(8)+1345,04(8); д) 113,B(16)+65,8(16).

4. а) 1101111100(2)-100100010(2); б) 1011010110(2)-1011001110(2); в) 1111011110,1101(2)-1001110111,1(2); г) 1333,2(8)-643,2(8); д) 176,7(16)-E5,4(16).

5. а) 1101100(2)× 1010011(2); б) 516,54(8)× 44,64(8); в) 61,8(16)× 48,9(16).

6. а) 11000100000(2) : 10000(2); б) 3074(8) : 25(8); в) 6D5(16) : 21(16);

Вариант 6

1. а) 218(10); б) 808(10); в) 176,25(10); г) 284,25(10); д) 253,04(10)

2. а) 111000100(2); б) 1011001101(2); в) 10110011,01(2); г) 1010111111,011(2); д) 1665,3(8); е) FA,7(16).

3. а) 11100000(2)+1100000000(2); б) 110101101(2)+111111110(2); в) 10011011,011(2)+1110110100,01(2); г) 1041,2(8)+1141,1(8); д) 3C6,8(16)+B7,5(16).

4. а) 10110010(2)-1010001(2); б) 1101000000(2)-10000000(2); в) 1100101111,1101(2)-100111000,1(2); г) 1621,44(8)-1064,5(8); д) 1AC,B(16)-BD,7(16).

5. а) 1000000(2)× 110110(2); б) 714,34(8)× 133,4(8); в) 16,B(16)× 2B,6(16).

6. а) 10001110011(2) : 10001(2); б) 5456(8) : 33(8); в) 6FA(16) : 13(16);

Вариант 7

1. а) 306(10); б) 467(10); в) 218,5(10); г) 667,25(10); д) 318,87(10)

2. а) 1111000111(2); б) 11010101(2); в) 1001111010,010001(2); г) 1000001111,01(2); д) 465,3(8); е) 252,38(16).

3. а) 1000001101(2)+1100101000(2); б) 1010011110(2)+10001000(2); в) 1100111,00101(2)+101010110,011(2); г) 520,4(8)+635,4(8); д) 2DB,6(16)+15E,6(16).

4. а) 1101000101(2)-111111000(2); б) 11110101(2)-110100(2); в) 1011101011,001(2)-1011001000,01001(2); г) 1034,4(8)-457,44(8); д) 239,A(16)-9C,4(16).

5. а) 1101101(2)× 101010(2); б) 310,2(8)× 40,5(8); в) 18,4(16)× 35,4(16).

6. а) 10101001110(2) : 1110(2); б) 5360(8) : 31(8); в) B80(16) : 20(16);

Вариант 8

1. а) 167(10); б) 113(10); в) 607,5(10); г) 828,25(10); д) 314,71(10)

2. а) 110010001(2); б) 100100000(2); в) 1110011100,111(2); г) 1010111010,1110111(2); д) 704,6(8); е) 367,38(16).

3. а) 10101100(2)+111110010(2); б) 1000000010(2)+110100101(2); в) 1110111010,10011(2)+1011010011,001(2); г) 355,2(8)+562,04(8); д) 1E5,18(16)+3BA,78(16).

4. а) 1010110010(2)-1000000000(2); б) 1111100110(2)-10101111(2); в) 1101001010,101(2)-1100111000,011(2); г) 1134,54(8)-231,2(8); д) 2DE,6(16)-12A,4(16).

5. а) 10101(2)× 11010(2); б) 575,2(8)× 102,2(8); в) 55,4(16)× 6,5(16).

6. а) 1110111000(2) : 1110(2); б) 6457(8) : 33(8); в) AF0(16) : 1C(16);

Вариант 9

1. а) 342(10); б) 374(10); в) 164,25(10); г) 520,375(10); д) 97,14(10).

2. а) 1000110110(2); б) 111100001(2); в) 1110010100,1011001(2); г) 1000000110,00101(2); д) 666,16(8); е) 1C7,68(16).

3. а) 1101010000(2)+1011101001(2); б) 100000101(2)+1100001010(2); в) 1100100001,01001(2)+1110111111,011(2); г) 242,2(8)+1153,5(8); д) 84,8(16)+27E,8(16).

4. а) 1111110(2)-1111011(2); б) 1111100000(2)-111110011(2); в) 1111011111,1001(2)-1010111100,01(2); г) 1241,34(8)-1124,3(8); д) 15F,A(16)-159,4(16).

5. а) 1001010(2)× 1101111(2); б) 1616,3(8)× 61,3(8); в) 3A,38(16)× 64,4(16).

6. а) 10100100000(2) : 10000(2); б) 2756(8) : 26(8); в) D63(16) : 17(16);

Вариант 10

1. а) 524(10); б) 222(10); в) 579,5(10); г) 847,625(10); д) 53,35(10).

2. а) 101111111(2); б) 1111100110(2); в) 10011000,1101011(2); г) 1110001101,1001(2); д) 140,22(8); е) 1DE,54(16).

3. а) 1101010000(2)+11100100(2); б) 100110111(2)+101001000(2); в) 1111100100,11(2)+1111101000,01(2); г) 1476,3(8)+1011,1(8); д) 3E0,A(16)+135,8(16).

4. а) 1010010100(2)-11101110(2); б) 10000001110(2)-10011100(2); в) 1110100111,01(2)-110000001,1(2); г) 1542,5(8)-353,24(8); д) 3EB,8(16)-3BA,8(16).

5. а) 111000(2)× 100111(2); б) 157,4(8)× 101,1(8); в) 19,7(16)× 58,78(16).

6. а) 1111100000(2) : 10000(2); б) 1760(8) : 22(8); в) A17(16) : 15(16);

Вариант 11

1. а) 113(10); б) 875(10); в) 535,1875(10); г) 649,25(10); д) 6,52(10).

2. а) 11101000(2); б) 1010001111(2); в) 1101101000,01(2); г) 1000000101,01011(2); д) 1600,14(8); е) 1E9,4(16).

3. а) 1000111110(2)+1011000101(2); б) 1001000(2)+1101101001(2); в) 110110010,011(2)+1000011111,0001(2); г) 620,2(8)+1453,3(8); д) 348,1(16)+234,4(16).

4. а) 1100001010(2)-10000011(2); б) 1101000001(2)-10000010(2); в) 110010110,011(2)-10010101,1101(2); г) 1520,5(8)-400,2(8); д) 368,4(16)-239,6(16).

5. а) 1100110(2)× 110010(2); б) 177,4(8)× 23,4(8); в) 10,6(16)× 26,8(16).

6. а) 1110010000(2) : 10000(2); б) 4343(8) : 31(8); в) A3B(16) : 1B(16);

Вариант 12

1. а) 294(10); б) 723(10); в) 950,25(10); г) 976,625(10); д) 282,73(10).

2. а) 10000011001(2); б) 10101100(2); в) 1101100,01(2); г) 1110001100,1(2); д) 1053,2(8); е) 200,6(16).

3. а) 1000111110(2)+10111111(2); б) 1111001(2)+110100110(2); в) 1001110101,00011(2)+1001001000,01(2); г) 104,4(8)+1310,62(8); д) 2BD,3(16)+EB,C(16).

4. а) 11110111(2)-11110100(2); б) 1001100111(2)-101100111(2); в) 1100110111,001(2)-1010001101,0011(2); г) 631,1(8)-263,2(8); д) 262,8(16)-1D6,88(16).

5. а) 111101(2)× 1111(2); б) 1751,2(8)× 77,24(8); в) 40,4(16)× 54,6(16).

6. а) 100111000(2) : 1101(2); б) 4120(8) : 23(8); в) 8F6(16) : 1F(16);

Вариант 13

1. а) 617(10); б) 597(10); в) 412,25(10); г) 545,25(10); д) 84,82(10).

2. а) 110111101(2); б) 1110011101(2); в) 111001000,01(2); г) 1100111001,1001(2); д) 1471,17(8); е) 3EC,5(16).

3. а) 1110100100(2)+1010100111(2); б) 1100001100(2)+1010000001(2); в) 1100111101,10101(2)+1100011100,0011(2); г) 750,16(8)+1345,34(8); д) 158,4(16)+396,8(16).

4. а) 10000000010(2)-100000001(2); б) 1110111111(2)-1010001(2); в) 1011001100,1(2)-100100011,01(2); г) 1110,62(8)-210,46(8); д) 1D8,D8(16)-110,4(16).

5. а) 11001(2)× 1011100(2); б) 1440,4(8)× 17,6(8); в) 14,8(16)× 4A,3(16).

6. а) 1010100100(2) : 1101(2); б) 1375(8) : 21(8); в) 4C4(16) : 14(16);

Вариант 14

1. а) 1047(10); б) 335(10); в) 814,5(10); г) 518,625(10); д) 198,91(10).

2. а) 1101100000(2); б) 100001010(2); в) 1011010101,1(2); г) 1010011111,1101(2); д) 452,63(8); е) 1E7,08(16).

3. а) 1101100101(2)+100010001(2); б) 1100011(2)+110111011(2); в) 1010101001,01(2)+10011110,11(2); г) 1672,2(8)+266,2(8); д) 18B,A(16)+2E9,2(16).

4. а) 1110111011(2)-100110111(2); б) 1110000101(2)-1001110(2); в) 1011110100,0011(2)-101001011,001(2); г) 1560,22(8)-1142,2(8); д) 1A5,8(16)-7D,A(16).

5. а) 111100(2)× 111100(2); б) 274,5(8)× 31,34(8); в) 13,4(16)× 38,48(16).

6. а) 10011101100(2) : 1110(2); б) 1436(8) : 23(8); в) CD6(16) : 1F(16);

Вариант 15

1. а) 887(10); б) 233(10); в) 801,5(10); г) 936,3125(10); д) 218,73(10).

2. а) 1010100001(2); б) 10000010101(2); в) 1011110000,100101(2); г) 1000110001,1011(2); д) 1034,34(8); е) 72,6(16).

3. а) 1010110101(2)+101111001(2); б) 1111100100(2)+100110111(2); в) 111111101,01(2)+1100111100,01(2); г) 106,14(8)+322,5(8); д) 156,98(16)+D3,2(16).

4. а) 1111100100(2)-110101000(2); б) 1110110100(2)-1101010101(2); в) 1100001,0101(2)-1011010,101(2); г) 537,24(8)-510,3(8); д) 392,B(16)-149,5(16).

5. а) 111100(2)× 1101001(2); б) 1567,2(8)× 147,2(8); в) 44,8(16)× 13,6(16).

6. а) 1111001100(2) : 10010(2); б) 5050(8) : 31(8); в) 7EC(16) : 1A(16);

Вариант 16

1. а) 969(10); б) 549(10); в) 973,375(10); г) 508,5(10); д) 281,09(10).

2. а) 10100010(2); б) 1110010111(2); в) 110010010,101(2); г) 1111011100,10011(2); д) 605,02(8); е) 3C8,8(16).

3. а) 1111010100(2)+10000000010(2); б) 101001011(2)+10000000010(2); в) 1011101001,1(2)+1110111,01(2); г) 1053,34(8)+1513,2(8); д) 40A,E8(16)+92,7(16).

4. а) 1001100011(2)-111111110(2); б) 1110001000(2)-1011110(2); в) 10000010111,001(2)-1000010,01(2); г) 553,2(8)-105,5(8); д) 298,9(16)-67,4(16).

5. а) 1110000(2)× 1000101(2); б) 436,2(8)× 57,14(8); в) 61,4(16)× 1E,B8(16).

6. а) 10001001100(2) : 1010(2); б) 5203(8) : 27(8); в) D58(16) : 1C(16);

Вариант 17

1. а) 163(10); б) 566(10); в) 694,375(10); г) 352,375(10); д) 288,61(10).

2. а) 1001101001(2); б) 110011101(2); в) 1000001101,01(2); г) 1010001001,11011(2); д) 247,1(8); е) 81,4(16).

3. а) 1010111011(2)+11001000(2); б) 1111101010(2)+1101100100(2); в) 1100011100,1001(2)+10111100,1(2); г) 1711,6(8)+1763,34(8); д) 30A,4(16)+89,48(16).

4. а) 111100101(2)-1101101(2); б) 1001011100(2)-110110101(2); в) 1110011001,1011(2)-1101101100,11(2); г) 1617,4(8)-1442,6(8); д) 36C,2(16)-38,5(16).

5. а) 1100001(2)× 1011100(2); б) 104,54(8)× 66,3(8); в) 4D,A(16)× 69,6(16).

6. а) 10110000010(2) : 1111(2); б) 3316(8) : 32(8); в) A17(16) : 15(16);

Вариант 18

1. а) 917(10); б) 477(10); в) 74,5(10); г) 792,25(10); д) 84,33(10).

2. а) 1110011100(2); б) 1111101111(2); в) 111110100,101(2); г) 110011110,1000011(2); д) 1446,62(8); е) 9C,D(16).

3. а) 11100101(2)+1110111111(2); б) 1101111(2)+1000010(2); в) 1000010100,011(2)+1111110111,011(2); г) 1664,1(8)+501,3(8); д) 1F0,6(16)+34,4(16).

4. а) 1011110110(2)-1001011001(2); б) 1101101110(2)-1000111000(2); в) 1101110010,01(2)-111110110,01(2); г) 1653,1(8)-415,6(8); д) 1B9,4(16)-1B4,6(16).

5. а) 1010000(2)× 1101011(2); б) 1605,14(8)× 22,04(8); в) 24,4(16)× 5E,4(16).

6. а) 10010101111(2) : 1011(2); б) 5366(8) : 27(8); в) 690(16) : 14(16);

Вариант 19

1. а) 477(10); б) 182(10); в) 863,25(10); г) 882,25(10); д) 75,2(10).

2. а) 101011100(2); б) 1000010011(2); в) 11100011,1(2); г) 100101010,00011(2); д) 1762,7(8); е) 1B5,6(16).

3. а) 1011010111(2)+1011110101(2); б) 1110001001(2)+1110101011(2); в) 1100011000,101(2)+10000010100,1(2); г) 1742,4(8)+456,1(8); д) 29E,3(16)+D8,4(16).

4. а) 1000001000(2)-101110000(2); б) 1111011010(2)-101001001(2); в) 1101101,1011(2)-111110,001(2); г) 1026,66(8)-124,2(8); д) 3E0,2(16)-1EA,2(16).

5. а) 1101101(2)× 100000(2); б) 1355,5(8)× 125,64(8); в) 20,4(16)× 2F,4(16).

6. а) 10000001000(2) : 1100(2); б) 3060(8) : 20(8); в) 88B(16) : 1B(16);

Вариант 20

1. а) 804(10); б) 157(10); в) 207,625(10); г) 435,375(10); д) 30,43(10).

2. а) 10010000(2); б) 11001010(2); в) 1110101100,1011(2); г) 110110101,10111(2); д) 1164,36(8); е) 1D5,C8(16).

3. а) 1100010100(2)+1100011010(2); б) 1001001(2)+1100010001(2); в) 1000110,101(2)+1010010001,001(2); г) 433,4(8)+1774,2(8); д) F7,4(16)+178,4(16).

4. а) 10111110(2)-1100010(2); б) 1111110000(2)-100111011(2); в) 1011011100,011(2)-111011111,1(2); г) 314,54(8)-77,14(8); д) 233,68(16)-DB,4(16).

5. а) 1110010(2)× 1010111(2); б) 242,2(8)× 73,2(8); в) 1D,A(16)× 8,4(16).

6. а) 11101100000(2) : 10000(2); б) 3366(8) : 22(8); в) A1E(16) : 25(16);

Вариант 21

1. а) 753(10); б) 404(10); в) 111,1875(10); г) 907,0625(10); д) 62,88(10).

2. а) 11100011(2); б) 1111001111(2); в) 1011111111,01001(2); г) 1001011101,011(2); д) 615,72(8); е) 3DA,5(16).

3. а) 1100101011(2)+1010110010(2); б) 110100111(2)+1100100010(2); в) 1100110100,0011(2)+1101110000,01(2); г) 477,2(8)+647,4(8); д) 372,4(16)+1F0,4(16).

4. а) 1001100000(2)-111001000(2); б) 1100001110(2)-110000001(2); в) 1100110100,01(2)-101100010,101(2); г) 543,46(8)-517,2(8); д) 284,B(16)-77,4(16).

5. а) 1100010(2)× 100001(2); б) 1324,2(8)× 75,54(8); в) 66,D(16)× 1C,D(16).

6. а) 1110110101(2) : 1101(2); б) 5366(8) : 27(8); в) 76C(16) : 19(16);

Вариант 22

1. а) 571(10); б) 556(10); в) 696,25(10); г) 580,375(10); д) 106,67(10).

2. а) 110011010(2); б) 111001010(2); в) 1000010011,00101(2); г) 11010110,00001(2); д) 1343,66(8); е) 3C3,6(16).

3. а) 1100101100(2)+11010000(2); б) 101110110(2)+11111101(2); в) 1001110001,01(2)+1101000111,00101(2); г) 1213,34(8)+1012,34(8); д) 3FE,58(16)+339,7(16).

4. а) 111001111(2)-110011100(2); б) 1010011001(2)-1000100010(2); в) 1111110101,001(2)-101100011,0011(2); г) 610,2(8)-117,2(8); д) 404,B8(16)-307,4(16).

5. а) 111011(2)× 11110(2); б) 1210,2(8)× 5,3(8); в) 4F,4(16)× 56,D(16).

6. а) 11001100110(2) : 10101(2); б) 1732(8) : 35(8); в) 478(16) : 16(16);

Вариант 23

1. а) 244(10); б) 581(10); в) 351,6875(10); г) 1027,375(10); д) 151,44(10).

2. а) 1001100111(2); б) 1100010010(2); в) 1100110010,1101(2); г) 1001011,0101(2); д) 171,3(8); е) 3A3,4(16).

3. а) 1011101111(2)+10101100(2); б) 11001101(2)+110010111(2); в) 101011011,011(2)+11100010,1(2); г) 552,24(8)+1443,2(8); д) 1BE,4(16)+29A,38(16).

4. а) 1100011001(2)-1010101001(2); б) 1010000100(2)-1000110001(2); в) 101110011,11(2)-1110001,01(2); г) 724,26(8)-240,2(8); д) 30F,78(16)-91,8(16).

5. а) 100101(2)× 100101(2); б) 113,2(8)× 60,2(8); в) 2F,38(16)× 37,7(16).