Материалы к урокам

Самостоятельная работа

«Определение подобных треугольников. Первый признак подобия треугольников»   

1 вариант

2. 

Докажите, что треугольники подобны. Найдите ВК, если КС = 35 см, АК = 14 см, КD = 15 см.

3. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке М. Основания трапеции ВС = 10 см,

АD =  15 см. Отрезки ВМ = 8 см и АМ = 9 см. Найти МС и МD.

2. вариант

2. Докажите, что треугольники подобны. Найдите АЕ, если ВЕ = 21 см, СЕ = 16 см, ЕD = 14 см.

3. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке N. Основания трапеции ВС = 4 см,

АD = 12 см. Отрезки NC = 7 см и ND = 15 см. Найти BN и AN.

Самостоятельная работа

«Определение подобных треугольников. Первый признак подобия треугольников»   

1 вариант

2. 

Докажите, что треугольники подобны. Найдите ВК, если КС = 35 см, АК = 14 см, КD = 15 см.

3. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке М. Основания трапеции ВС = 10 см,

АD =  15 см. Отрезки ВМ = 8 см и АМ = 9 см. Найти МС и МD.

3. вариант

2. Докажите, что треугольники подобны. Найдите АЕ, если ВЕ = 21 см, СЕ = 16 см, ЕD = 14 см.

4. Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке N. Основания трапеции ВС = 4 см,

АD = 12 см. Отрезки NC = 7 см и ND = 15 см. Найти BN и AN.

Ответы:

1 вариант  1) x = 7см, у = 3 см, z = 5 см.         2) ВК = 6 см.       3) МС = 6 см,  МD = 12 см.

2 вариант   1) x = 12см, у = 15 см, z = 18 см.         2) АЕ = 24 см.         3) ВN = 5 см,   АN = 21 см.

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Вариант 1

1.Решите уравнение:

а) ;                                 г);

б) ;                             д) .

в) ;

2) Решите неравенство:

а)  ;                                      г) ;

б)  ;                            д) .

в) ;

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вариант 2

1.Решите уравнение:

а) ;                                 г);

б) ;                             д) .

в) ;

2) Решите неравенство:

а)  ;                                      г) ;

б)  ;                            д) .

в) ;

1.  Найдите значение выражения 

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения 

4. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

5.  Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Батон хлеба стоит в магазине 15 рублей, а пенсионер заплатил за него 13 рублей 80 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

6. Найдите m из равенства F = ma, если F = 84 и a = 12.

       7.  Сырок стоит 4 рубля 90 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?

8. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

9.   На прямой отмечены точки A, B, V и D.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

10. Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

1.  Найдите значение выражения 

2. Найдите значение выражения .

3. Найдите значение выражения 

4. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

5.  Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Батон хлеба стоит в магазине 15 рублей, а пенсионер заплатил за него 13 рублей 80 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

6. Найдите m из равенства F = ma, если F = 84 и a = 12.

       7.  Сырок стоит 4 рубля 90 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?

8. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?

9.   На прямой отмечены точки A, B, V и D.

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

10. Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

1.  За 12 минут велосипедист проехал 4 километра. Сколько километров он проедет за 33 минуты, если будет ехать с той же скоростью?

2.  В среднем за день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 9 дней. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

3.  На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Хризантемы стоят 50 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа хризантем он может купить букет Маше на день рождения?

4.  Бегун пробежал 200 метров за 20 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

5.  В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 900 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 7 недель?

6.  В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 2 курсов, по 280 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 30 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

7.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

8.  1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 40 копеек. Счётчик электроэнергии 1 июня показывал 23818 киловатт-часов, а 1 июля показывал 23992 киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за июнь? Ответ дайте в рублях.

9.  В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 52. На каком этаже живёт Петя?

10.  На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 26 литров бензина. Цена бензина 34 рубля за литр. Сколько рублей сдачи должен получить клиент?

11.  В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 11 человек?

12.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счёте осталось меньше 22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счёте было 400 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёта?

13.  Выпускники 11 «А» класса покупают букеты цветов для последнего звонка: из 5 роз каждому учителю и из 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 18 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 25 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

14.  Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 8 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 11 литров маринада?

15.   

Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за три шоколадки, покупатель получает четыре (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

16.  Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку  — 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?

17.  В доме, в котором живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живёт в квартире № 98. В каком подъезде живёт Оля?

18.  В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

19.  Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

20.   Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Мама купила 2 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 200 рублей?

21.  На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 99 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:8. Сколько голосов получил победитель?

22.  Налог на доходы в России составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 20 000 рублей. Сколько рублей он получит после уплаты налога на доходы?

23.  Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 810 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

24.  Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в два раза. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

25.  Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 240 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

26.   Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на 25%?

27.  Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получает работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет 20 000 рублей?

28.  Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 240 рублей за одну штуку и продаёт с наценкой 35 %. Сколько рублей будут стоить 2 такие погремушки, купленные в этом магазине?

29.  Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

30.  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 15 660 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

31.  Цена на электрический чайник была повышена на 17% и составила 1521 рубль. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

32.  Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 17% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

33.  Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

34.  Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

35.  В городе 240 000 жителей, причём 25%  — это пенсионеры. Сколько пенсионеров в этом городе?

36.  

Среди 45000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

37.  В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 33 000 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

38.  В городе N живет 1 500 000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

39.  70 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 40% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

40.  Розничная цена учебника 132 рубля, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 5000 рублей?

41.  Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

42.  В начале года число абонентов телефонной компании «Юг» составляло 200 тыс. человек, а в конце года их стало 240 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

43.  В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

44.  Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

45.  Ежемесячная плата за телефон составляет 200 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 2%. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

46.  Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 17 : 33. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

47.  Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц стоит в магазине 40 рублей, а пенсионер заплатил за них 35 рублей 60 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?

48.   Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 950 рублей после понижения цены на 25%?

49.  Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 1 : 3 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 24 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам? Ответ дайте в миллионах рублей.

50.  В начале учебного года в школе было 400 учащихся, а к концу года их стало 500. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?

1.  За 12 минут велосипедист проехал 4 километра. Сколько километров он проедет за 33 минуты, если будет ехать с той же скоростью?

Решение. Составляя пропорцию, получаем:

Ответ: 11.

2.  В среднем за день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 9 дней. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

Решение. Для конференции необходимо приобрести 60 · 9  =  540 пакетиков чая. Поскольку в пачке 50 пакетиков необходимо приобрести не менее пачек. Следовательно, нужно приобрести 11 пачек чая.

Ответ: 11.

3.  На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Хризантемы стоят 50 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа хризантем он может купить букет Маше на день рождения?

Решение. Разделим 500 руб. на 50 руб.:

Тем самым, можно будет купить 9 хризантем.

Ответ: 9.

4.  Бегун пробежал 200 метров за 20 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение. Средняя скорость бегуна 200 : 20  =  10 м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:

1 м/с  =  60 м/мин  =  3600 м/ч  =  3,6 км/ч.

Поэтому 10 м/с  =  36 км/ч.

Ответ: 36.

5.  В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 900 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 7 недель?

Решение. За 8 недель в офисе расходуется 900 · 7  =  6300 листов бумаги. Разделим 6300 на 500:

Значит, нужно купить не меньше 13 пачек бумаги.

Ответ: 13.

6.  В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 2 курсов, по 280 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 30 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Решение. Всего привезли 280  2  =  560 учебников по геометрии. В книжном шкафу помещается 30  7  =  210 учебников. Разделим 560 на 210:

Значит, полностью можно будет заполнить 2 шкафа.

Ответ: 2.

7.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 16 руб. Если на счету осталось меньше 16 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

Решение. 300/16 = 18,75. За 18 дней (включая сегодняшний) со счета будет списано 18 · 16  =  288 руб. Вечером восемнадцатого дня после списания средств на счете будет 300 − 288  =  12 руб., и утром девятнадцатого дня счет будет заблокирован. Следовательно, Лиза сможет пользоваться телефоном 18 дней.

Ответ: 18.

Примечание.

Заметим, что снятые со счета деньги являются платой за прошедший, а не следующий день. Рекомендуем сравнить эту задачу с задачами 560718 и 323512.

8.  1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 40 копеек. Счётчик электроэнергии 1 июня показывал 23818 киловатт-часов, а 1 июля показывал 23992 киловатт-часа. Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за июнь? Ответ дайте в рублях.

Решение. Расход электроэнергии за июнь составляет 23 992 − 23 818  =  174 киловатт-часов. Значит, за июнь нужно заплатить 1,4  174  =  243,6 рубля.

Ответ: 243,6.

9.  В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 52. На каком этаже живёт Петя?

Решение. Разделим 52 на 7:

Тем самым, Петя живёт на восьмом этаже.

Ответ: 8.

10.  На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 26 литров бензина. Цена бензина 34 рубля за литр. Сколько рублей сдачи должен получить клиент?

Решение. Цена бензина составляет 26 · 34 = 884 руб. Поэтому причитающаяся сдача 116 рублей.

Ответ: 116.

11.  В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 11 человек?

Решение. Разделим 11 на 4: Значит, в поход нужно взять 3 палатки.

Ответ: 3.

12.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счёте осталось меньше 22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счёте было 400 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёта?

Решение. Делением получаем, что Лизе этих денег хватит на 18 полных дней.

Ответ: 18.

13.  Выпускники 11 «А» класса покупают букеты цветов для последнего звонка: из 5 роз каждому учителю и из 11 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 18 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 25 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

Решение. Выпускники подарят 11 роз классному руководителю, 11 роз директору и по 5 роз оставшимся 16 учителям, т. е. еще 80 роз, всего 102 розы. Всего они потратят 102 · 25  =  2550 рублей.

Ответ: 2550.

14.  Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 8 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 11 литров маринада?

Решение. Для приготовления 11 литров маринада потребуется 8  11  =  88 г лимонной кислоты. Разделим 88 на 10:

Значит, нужно будет купить 9 пакетиков.

Ответ: 9.

15.   

Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за три шоколадки, покупатель получает четыре (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

Решение. Разделим 200 на 40:

Значит, можно будет купить 5 шоколадок. Еще 1 будет дана в подарок. Всего можно будет получить 6 шоколадок.

Ответ: 6.

16.  Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку  — 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?

Решение. Найдем, что 45 поездок стоили бы 28  45  =  1260 рублей. Значит, Аня сэкономила 1260 − 650  =  610 рублей.

Ответ: 610.

17.  В доме, в котором живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живёт в квартире № 98. В каком подъезде живёт Оля?

Решение. Узнаем сколько квартир в одном подъезде:

Тем самым, Оля живёт во втором подъезде.

Ответ: 2.

18.  В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Решение. За 3 кг помидоров отдыхающие заплатили 4 · 3  =  12 гривен. Значит, в рублях они заплатили: 12 · 3,7  =  44,4 рубля. Округляем до целого числа, получаем 44.

Ответ: 44.

19.  Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

Решение. Чтобы сварить 27 кг вишни, нужно купить 27 · 1,5  =  40,5 кг сахара. Значит, нужно купить 41 упаковку сахара.

Ответ: 41.

20.   Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Мама купила 2 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 200 рублей?

Решение. Найдем стоимость 2 кг 200 г клубники: 2,2  60  =  132 рубля. Значит, с 200 рублей мама получит сдачи 200 − 132  =  68 рублей.

Ответ: 68.

21.  На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 99 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:8. Сколько голосов получил победитель?

Решение. Найдём количество голосов в одной части:

Найдём количество человек проголосовавших за победителя:

Ответ: 72.

22.  Налог на доходы в России составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 20 000 рублей. Сколько рублей он получит после уплаты налога на доходы?

Решение. После уплаты налога работник получит 20 000 − 20 000 · 0,13  =  20 000 − 2600  =  17 400 руб.

Ответ: 17 400.

23.  Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 810 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Решение. Товар стоил до распродажи 810 : 0,60 = 1350 рублей.

Ответ: 1350.

24.  Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в два раза. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

Решение. Поскольку число больных гриппом уменьшилось в два раз, следовательно, число уменьшилось на 50%.

Ответ: 50.

25.  Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 240 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение. Скидка на покупку составит 240 · 0,05  =  12 рублей. Значит, держатель дисконтной карты заплатит за книгу 240 − 12  =  228 рублей.

Ответ: 228.

26.   Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на 25%?

Решение. После повышения цены ручка станет стоить 30 + 0,25  30=37,5 рубля. Разделим 300 на 37,5:

Значит, можно будет купить 8 ручек.

Ответ: 8.

27.  Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получает работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет 20 000 рублей?

Решение. После уплаты налога работник получит 20 000 − 20 000 · 0,13  =  20 000 − 2600  =  17 400 руб.

Ответ: 17 400.

28.  Магазин детских товаров закупает погремушки по оптовой цене 240 рублей за одну штуку и продаёт с наценкой 35 %. Сколько рублей будут стоить 2 такие погремушки, купленные в этом магазине?

Решение. Одна погремушка в этом магазине будет стоить

рубля.

Значит, две погремушки будут стоить 324 · 2  =  648 рублей.

Ответ: 648.

29.  Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение. Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 3480 на 1,16:

Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.

Ответ: 3000.

30.  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 15 660 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение. Пусть заработная плата Марии Константиновны составляет x рублей. Тогда

Значит, зарплата Марии Константиновны составляет 18 000 рублей.

Ответ: 18 000.

31.  Цена на электрический чайник была повышена на 17% и составила 1521 рубль. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение. Цена чайника после повышения стала составлять 117% от начальной цены. Разделим 1521 на 1,17:

Значит, цена чайника до повышения составляла 1300 рублей.

Ответ: 1300.

32.  Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 17% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение. Через год клиент должен будет выплатить 60 000 + 0,17  60 000  =  70 200 рублей. Разделим 70 200 на 12:

рублей.

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 5850 рублей.

Ответ: 5850.

33.  Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Решение. В одной таблетке лекарства содержится 20 · 0,05  =  1 мг активного вещества. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 5 кг составит: 1,4 · 5  =  7 мг. Тем самым ребенку следует дать 7 таблеток.

Ответ: 7.

34.  Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Решение. Налог составит 800  0,13  =  104 рубля. После выплаты налога останется 800 − 104  =  696 рублей. На 696 рублей можно купить 6 роз ценой 100 руб. В букете должно быть нечетное число цветов, поэтому студент купит 5 роз.

Ответ: 5.

35.  В городе 240 000 жителей, причём 25%  — это пенсионеры. Сколько пенсионеров в этом городе?

Решение. В городе 240 000 · (0,25)  =  60 000 жителей являются пенсионерами.

Ответ: 60 000.

36.  

Среди 45000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

Решение. Не интересуются футболом 45 000  0,3  =  13 500 человек, а интересуются  — 45 000 − 13 500  =  31 500. Значит, смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов 31 500  0,8  =  25 200 человек.

Ответ: 25 200.

37.  В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 33 000 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Решение. По условию задачи шкаф стоит 33 000 рублей. Вычислим, сколько будет стоить сборка данного шкафа:  рублей. Шкаф со сборкой стоит:  рублей.

Ответ: 36 300.

38.  В городе N живет 1 500 000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение. Численность детей и подростков в городе N составляет 1 500 000 · 0,2  =  300 000. Численность взрослого населения 1 500 000 − 300 000  =  1 200 000 человек. Из них не работает 1 200 000 · 0,35  =  420 000 человек. Значит, работает 1 200 000 − 420 000  =  780 000 человек.

Ответ: 780 000.

39.  70 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 40% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

Решение. Разделим 70 на 0,4:

Значит, в школе 175 выпускников.

Ответ: 175.

40.  Розничная цена учебника 132 рубля, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 5000 рублей?

Решение. Розничная цена учебника составляет 120% от оптовой цены. Разделим 132 на 1,2:

Поскольку

по оптовой цене на 5 000 рублей можно купить 45 учебников.

Ответ: 45.

41.  Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Решение. С учетом наценки учебник будет стоить 170 + 0,2 · 170  =  204 рубля. Разделим 7000 на 204:

Значит, можно будет купить 34 учебника.

Ответ: 34.

42.  В начале года число абонентов телефонной компании «Юг» составляло 200 тыс. человек, а в конце года их стало 240 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение. За год добавилось 240 − 200  =  40 тыс. абонентов, что составляет 40 : 200  =  0,2 или 20 %.

Ответ: 20.

43.  В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

Решение. В октябре сливы подорожали на 60 · 0,25  =  15 рублей. Значит, 1 кг слив после подорожания в октябре стал стоить 60 + 15  =  75 рублей.

Ответ: 75.

44.  Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

Решение. После понижения цены тетрадь станет стоить 40 − 0,1 · 40  =  36 рублей. Разделим 750 на 36:

Значит, можно будет купить 20 тетрадей.

Ответ: 20.

45.  Ежемесячная плата за телефон составляет 200 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 2%. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

Решение. Рассчитаем, на сколько увеличится ежемесячная плата в следующем году:

Таким образом, в следующем году плата составит

Ответ: 204.

46.  Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 17 : 33. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

Решение. Пусть x  — единица длины. Тогда количество хвойных  — 17x, а количество лиственных  — 33x. Так как других деревьев в парке нет, то лиственные составляют:

Ответ: 66.

47.  Магазин делает пенсионерам скидку. Десяток яиц стоит в магазине 40 рублей, а пенсионер заплатил за них 35 рублей 60 копеек. Сколько процентов составила скидка для пенсионера?

Решение. Магазин снизил цену на десяток яиц на 40 − 35,6  =  4,4 рубля. Разделим 4,4 на 40:

Значит, скидка для пенсионеров составляет 11%.

Ответ: 11.

48.   Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 950 рублей после понижения цены на 25%?

Решение. После понижения цены тетрадь станет стоить 40 − 0,25  40  =  30 рублей. Разделим 950 на 30:

Значит, можно будет купить 31 тетрадь.

Ответ: 31.

49.  Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 1 : 3 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 24 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам? Ответ дайте в миллионах рублей.

Решение. Поскольку акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 1 : 3 соответственно, частным акционерам должно пойти на выплату прибыли за год. Тогда получаем

млн руб.

Ответ: 18.

50.  В начале учебного года в школе было 400 учащихся, а к концу года их стало 500. На сколько процентов увеличилось за учебный год число учащихся?

Решение. Число учащихся к концу года увеличилось на 500 − 400 = 100 человек. Значит, число учащихся увеличилось на 100 : 400 · 100%  =  25%.

Ответ: 25.

Входная работа для 11 класса (профиль)

1. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

2.Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов  и

3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

4.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5. В городе 48 % взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

6. Решите уравнение 

7. Найдите  если 

8. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество целых точек, в которых функция f(x) возрастает.

9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  где  – начальная масса изотопа,  – время, прошедшее от начального момента,  – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

10. Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

11. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите значение .

12. Найдите точку максимума функции 

В заданиях 13 – 18 запишите решение и ответ

13. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

15. Решите неравенство: 

16. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

17. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что 

б) Найдите отношение CK и KE, если 

18. Определите, при каких значениях параметра  уравнение

имеет ровно два решения.

19. Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39?

б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?

в) Какова их минимальная сумма?