Дистанционный курс 11 класс

   Дорогие ребята, здравствуйте! Сегодня вы увидели  задания для первого занятия по теме « Механические колебания». Пусть вас не пугает тот факт, что их много: мне хотелось отработать с вами эту тему и добиться её хорошего усвоения – без неё никуда! Рекомендую внимательно разобрать предложенную задачу и подготовительный тест и только тогда приступить к самостоятельной работе , ответы вы увидите только  утром 14 октября.  Ваши работы вы можете отправить мне по электронной почте или самостоятельно проверить по ответам, данным позже, а мне написать о результатах. Желаю удачи!

Механические колебания

В рассматриваемой теме есть как «физические»,так и «математические» трудности. Последние обусловлены использованием свойств тригонометрических функций и элементов математического анализа. По этой причине целесообразно подробно изучать механические колебания вместе с электромагнитными в 11-м классе, когда у школьников уже имеется необходимый математический багаж. А вот «физические» трудности можно рассмотреть и даже преодолеть в 10-м классе, при изучении механики.

При этом важно акцентировать внимание на главном свойстве гармонических колебаний: возвращающая сила прямо пропорциональна смещению из  

положения равновесия с обратным знаком (Заметим только, что при колебаниях возвращающая сила не всегда является равнодействующей всех приложенных к телу сил

и поэтому она не обязательно равна нулю в положении равновесия. Например, для самого распространённого вида колебаний в школьном курсе – колебаний нитяного маятника – равнодействующая всех приложенных к грузу сил максимальна как раз в тот момент, когда колеблющийся груз проходит положение равновесия! Тем не менее, и в этом случае возвращающая сила (ею является в данном случае проекция силы тяжести на направление скорости груза) при малых колебаниях прямо пропорциональна смещению

из положения равновесия.)

Ниже мы приводим подробный разбор обучающей задачи, в основе сюжета которой лежит известная задача из ЕГЭ, которая оказалась по силам немногим. При решении этой задачи прорабатывается не только тема «Механические колебания», но и тема  «Плавание тел», что нам кажется полезным, так как

она уже изрядно забыта после того, как её «прошли» в 7-м классе.

Задача

   Однородный брусок высотой h = 10 см, будучи полностью погружённым, плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей. Брусок полностью погружён в жидкости, причём 2/3 бруска находятся в более тяжёлой жидкости,

плотность которой в 1,5 раза больше плотности более лёгкой. От небольшого вертикального толчка брусок начинает совершать вертикальные колебания. Чему равен период этих колебаний? Считайте,

что сопротивлением жидкостей можно пренебречь.

( Следует отметить, что эта задача физически не совсем корректна, потому, что в колебаниях будет участвовать не только брусок, но и окружающие его слои воды, то есть «эффективная масса» колеблющегося тела будет на самом деле значительно больше массы бруска.)

Подготовительный тест

1. Деревянный брусок плавает на поверхности воды, погрузившись наполовину. Выберите из предложенных все правильные утверждения о действующей на брусок силе Архимеда (Правильные ответы выделены жирным шрифтом.):

а) равна действующей на брусок силе тяжести;

б) равна половине действующей на брусок силы тяжести;

в) равна весу воды в объёме всего бруска;

г) равна весу воды в половине объёма бруска.

Обоснование правильных ответов. Сила Архимеда, действующая на полностью или частично погружённое в жидкость тело, равна весу жидкости в объёме, вытесненном телом (то есть в объёме погружённой в жидкость части тела, если тело погружено в жидкость частично).

2. На деревянный брусок, плавающий на поверхности воды, положили небольшой груз. Как изменились при этом указанные ниже физические величины, если в конечном состоянии брусок покоится, плавая на поверхности воды?

Обоснование правильных ответов. Действующая на брусок сила тяжести определяется только массой бруска, которая осталась неизменной. А вот действующая на брусок сила Архимеда увеличилась, потому что брусок погрузился в воду глубже. Равнодействующая всех приложенных к бруску сил в начальном и конечном состояниях равна нулю, потому что в этих состояниях брусок покоился.

3. Деревянный брусок плавает в воде. При этом верхняя грань бруска находится на высоте 2 см над водой. К бруску прикладывают направленную вниз силу F.

Движение бруска считать равномерным и достаточно медленным. Какой график соответствует зависимости F от координаты x верхней грани бруска, если в конечном состоянии брусок покоится?

а)

б)

в)

г)

Обоснование правильного ответа. Действующая на брусок сила F уравновешивает равнодействующую силы тяжести и силы Архимеда. В начальном состоянии эта равнодействующая была равна нулю.

При погружении бруска сила тяжести не изменяется, а сила Архимеда до тех пор, пока брусок погружён в воду частично, увеличивается, а после того,

как брусок погрузится в воду полностью, будет оставаться постоянной. Следовательно, при погружении бруска F увеличивается от нуля до некоторого значения, после чего будет оставаться постоянной. Этому требованию удовлетворяют только варианты б и г. Учтём теперь, что для бруска постоянного сечения сила Архимеда линейно зависит от глубины погружения. Следовательно, правильный вариант б.

4. Чтобы увеличить глубину погружения плавающего на поверхности бруска массой 400 г на 5 мм, надо приложить силу 2 Н. Каков будет период колебаний бруска, если его отпустить?

а) 0,1 с; б) 0,22 с; в) 0,33 с; г) 0,4 с.

Обоснование правильного ответа. Возвращающей силой является в данном случае равнодействующая силы тяжести и силы Архимеда. В начальном состоянии равнодействующая этих сил равна нулю. Сила тяжести не зависит от глубины погружения бруска, а для бруска постоянного сечения сила Архимеда зависит от этой глубины линейно. Следовательно, равнодействующая этих сил

будет прямо пропорциональна изменению глубины погружения бруска по сравнению с начальным состоянием, когда брусок находился в равновесии под действием силы тяжести и силы Архимеда. Это означает, что зависимость возвращающей силы от смещения бруска такая же, как в законе Гука. По-

этому можно использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника

T=2π , где k=== 4⋅10² Н/м.

5. Брусок плавает на границе раздела двух жидкостей. Выберите из предложенных все правильные утверждения:

1. Верхняя жидкость давит на брусок вниз.

2. Давление в нижней жидкости обусловлено суммарным весом обеих жидкостей.

3. Действующая на брусок сила Архимеда равна весу только нижней жидкости в объёме, занятом бруском.

4. Действующая на брусок сила Архимеда равна общему весу жидкостей в объёме, занятом бруском.

Обоснование правильного ответа. Верхняя жидкость давит на боковые грани бруска и на верхнюю его грань. Силы давления на боковые грани уравновешивают друг друга, а сила давления на верхнюю грань направлена вниз. Следовательно, верхняя жидкость давит на брусок вниз. Из-за веса верхней жидкости увеличивается давление в нижней жидкости, поэтому давление в нижней жидкости обусловлено суммарным весом обеих жидкостей. По этой причине действующая на брусок сила Архимеда равна общему весу жидкостей в объёме, занятом бруском.

6. Полностью погружённая, льдинка плавает на границе раздела воды и керосина. Плотность керосина 800 кг/м3, льда 900 кг/м3, воды 1000 кг/м3.

Как относится объём части льдинки, находящийся в воде, к объёму части, находящейся в керосине?

а)  8/9     б) 8/10     в) 9/10     г) 1

Обоснование правильного ответа: На льдинку действуют сила тяжести и сила Архимеда со стороны керосина и воды, равная по модулю Fᴀ = Fᴀк + Fᴀв.

Так как льдинка находится в состоянии равновесия,

mg = Fᴀ, следовательно, mg = Fᴀк + Fᴀв.

Масса льдинки m =ρлV, где V – объём льдинки,

ρл — плотность льда.

Сила Архимеда, действующая на тело со стороны жидкости, Fᴀ  = ρжgVж, где ρж – плотность жидкости, а Vж объём погружённой в эту жидкость части

тела. Следовательно, ρл Vg ρкgVкρвgVв откуда

ρлV ρкVкρвVв

Поскольку V VкVв, получаем:

ρл(VкVв) = ρкVк +ρвVв ,

Vк(ρл - ρк) =Vв(ρв - ρл),

=  

Подставив численные значения, получим:

=  = 1

7. Груз массой m закреплён на горизонтальной пружине жёсткостью k и может двигаться по горизонтальной поверхности без трения. Какой формулой выражается период колебаний груза?

а)          б) 2π          в)           г)       

Вернемся к решению задачи.

Вникаем в условие и строим план решения задачи

Тело начинает совершать колебания, когда его выводят из положения устойчивого равновесия и отпускают. На тело действует возвращающая сила,

стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Возвращающая сила является в данном случае равнодействующей всех действующих на тело сил.

На брусок действуют сила тяжести mg и сила Архимеда Fᴀ со стороны обеих жидкостей. Почему со стороны верхней жидкости на брусок тоже действует сила Архимеда, направленная вверх, мы обсудим в «Беседе за чашечкой кофе».

Когда брусок находится в положении равновесия, сила тяжести и сила Архимеда уравновешивают друг друга. Если брусок погрузить ниже положения равновесия, сила Архимеда увеличится, потому что большая часть бруска погрузится в более тяжёлую жидкость. В результате сила Архимеда «победит» силу тяжести: их равнодействующая будет направлена вверх и будет стремиться вернуть брусок в положение равновесия. Рассуждая аналогично, мы придём к выводу, что если брусок находится выше положения равновесия, равнодействующая будет направлена вниз, то есть снова будет стремиться вернуть брусок в положение равновесия. Итак, мы имеем дело с колебательной системой. Если вывести брусок из положения равновесия, то под действием возвращающей силы он вернётся в это положение, но по инерции проскочит его и начнёт смещаться в другую сторону. При этом возвращающая сила также поменяет направление на противоположное – в результате и возникнут колебания около положения равновесия. Если выражение для модуля возвращающей силы будет иметь вид F = kx, где x – модуль смещения бруска от положения равновесия, то возвращающая сила будет иметь свойства силы упругости (как для пружинного маятника). Если доказать, что возвращающая

обладает действительно этим свойством, то мы сможем найти период колебаний,  используя формулу для периода колебаний пружинного маятника T=2π      

Массу бруска можно выразить через его размеры и плотность, а плотность – через плотности жидкостей, используя условие равновесия для бруска,

плавающего на границе этих жидкостей. Можно предположить, что после сокращений в ответ войдут только заданные в условии величины.

План решения

1. Найдём выражение для возвращающей силы, возникающей при вертикальном смещении бруска из положения равновесия. Из этого выражения найдём «жёсткость» k колебательной системы.

2. Используя условие равновесия бруска, найдём выражение для массы m бруска через плотности жидкостей и размеры бруска.

3. Используя формулу T=2π   , найдём период вертикальных колебаний бруска.

Подробное решение

1. Как получить выражение для возвращающей силы? Обозначим плотности более лёгкой и более тяжёлой жидкостей соответственно через ρ1 и ρ2.

При смещении бруска вниз от положения равновесия на расстояние x изменятся значения силы Архимеда, действующей на брусок со стороны каждой жидкости. Действующая со стороны верхней (более лёгкой) жидкости, сила Архимеда уменьшится, потому что уменьшится объём части бруска, находящейся в этой жидкости. Объём уменьшится на ΔV1 = Sx, поэтому ΔFᴀ1 = –ρ1Sxg.

Рассуждая аналогично, получим, что сила Архимеда, действующая на брусок со стороны нижней (более тяжёлой) жидкости увеличится на ΔFᴀ2 =ρ2Sxg.

Поскольку ρ2 > ρ1, сила Архимеда в результате увеличится на ΔFᴀ = ΔFᴀ2 + ΔFᴀ1 = (ρ2 – ρ1)Sg · x.

Изменение силы Архимеда и есть выражение для модуля возвращающей силы F

 (поскольку действующая на брусок сила тяжести осталась той же). Следовательно, F = [(ρ2 – ρ1)Sg] · x. Как мы видим, наше предположение о том, что возвращающая сила прямо пропорциональна смещению из положения равновесия, оправдалось.

Сравнивая полученное выражение для возвращающей силы с выражением для силы упругости F = kx, получим: k = (ρ2 – ρ1)Sg.

2. Как выразить массу бруска через плотности жидкостей и размеры бруска?

Когда брусок находится в равновесии, действующая на него сила тяжести mg  уравновешивает силу Архимеда Fᴀ, поэтому mg = Fᴀ. Обозначим высоты частей бруска, находящихся в лёгкой и тяжёлой жидкостях, h1 и h2. Площадь горизонтальной грани бруска обозначим S.

Условие равновесия бруска mg = FА можно записать в виде:

mg = ρ1Sh1g + ρ2Sh2g.

По условию, 2/3 бруска находятся в более тяжёлой жидкости, поэтому h1 = h/3, h2 = 2h/3.

Следовательно, m=()Sh .

3. Как найти период вертикальных колебаний бруска?

Подставляя найденные выражения для массы бруска m и «жёсткости» k в формулу для периода колебаний получим:

T = 2π   =2π  = 2π  .

Согласно условию, ρ2 = ρ1,поэтому T = 2π  .

Проверим наименование физической единицы:

[T] =   =  = с

Подставим числовые данные:

T = 2π  = T = 2π  = 1(с)

Ответ: T = 1 с.

Беседа за чашечкой кофе

Почему со стороны верхней жидкости на брусок действует сила Архимеда, направленная ВВЕРХ? Ведь эта жидкость давит на верхнюю грань бруска сверху ВНИЗ!

Однако верхняя жидкость давит ещё и на нижнюю жидкость, увеличивая давление в ней. За счёт этого нижняя жидкость давит на нижнюю грань бруска с большей силой, в результате чего сила Архимеда увеличивается.

Всё-таки это общее рассуждение меня не убеждает.

Давай произведём прямой расчёт силы Архимеда для нашего бруска, плавающего на границе двух жидкостей. Обозначим давление в жидкости на уровне верхней грани бруска pв, а на уровне нижней грани pн. Тогда на верхнюю грань действует направленная вниз сила давления F= pвS, а на

нижнюю — направленная вверх сила давления F= pнS. Равнодействующая этих сил Fᴀ  = (рв – рн)S и является силой Архимеда. Разность давлений (рв – рн) создают слои обеих жидкостей: слой верхней жидкости высотой h1 и слой нижней жидкости высотой h2, поэтому pв – pн = ρ1gh1 + ρ2gh2. Следовательно,

Fᴀ  = (ρ1gh1 + ρ2gh2)S = ρ1gV1 + ρ2gV2 = Fᴀ1 + Fᴀ2, где V1 и V2 — объёмы частей бруска, находящиеся в верхней и нижней жидкостях соответственно.

И правда, результирующая сила Архимеда оказалась равной сумме двух «сил Архимеда», действующих со стороны верхней и нижней жидкостей.

А ты заметил, что при решении задачи мы получили «заодно» и выражение для плотности бруска, плавающего на границе двух жидкостей?

Вы имеете в виду формулу  m=()Sh ?

Ну, конечно, ведь объём бруска V = Sh, поэтому

 ρ =  = (ρ1 +2ρ2 .

Скажи, пожалуйста, а если бы брусок был погружён в более тяжёлую жидкость не на 2/3, а только на 1/своего объёма, то период колебаний был бы другим?

Наверное, да. Сейчас я посчитаю…

Хорошо, посчитай. А вот сможешь ли ты без расчёта сказать – увеличится период или уменьшится?

Сейчас подумаю. При отклонении от положения равновесия равнодействующая останется такой же, потому что она зависит только от площади горизонтальной грани и плотностей жидкостей…Значит, не изменится и «коэффициент жёсткости» k. Но период колебаний зависит ещё и от массы. Если брусок немного всплыл по сравнению с предыдущим, значит, его масса меньше. Отсюда следует, что и период уменьшится.

Правильно. А сможешь ли ты найти «новый» период?

Задачи для самостоятельного решения.

1.На гладкой горизонтальной плоскости лежит грузик массой m, прикреплённый горизонтальными пружинами к стенам (рис. 1).Жесткость одной пружины k, другой - 2k. Если грузик несколько сместить вправо (влево), он начнёт колебаться. Найдите период колебаний грузика.

 рис.1

2.Шарик массой m совершает гармонические колебания с амплитудой    на пружине жесткостью  k. На расстоянии  /2 от положения равновесия установили массивную стальную плиту, от которой шарик абсолютно упруго отскакивает (рис. 2). Найдите период колебаний шарика.

 рис.2

3. Определите период малых колебаний T математического маятника, подвешенного к потолку лифта, движущегося с ускорением  a = 3,2м/с, направленным вертикально вверх. В равномерно движущемся лифте тот же маятник имеет период  = 2,2с.

4. . Определите период колебаний T математического маятника массой m и длиной l, если его зарядить зарядом q и поместить в однородное электрическое поле, вектор  которого направлен  а) вертикально вверх; б) горизонтально.

5.В сообщающихся сосудах цилиндрической формы налита ртуть. Найдите период малых колебаний ртути, если площадь поперечного сечения каждого сосуда S=0,3см², масса ртути m=484 г, плотность ртути ρ=13,6⋅10³ кг/м³. Трением пренебречь.

6.На двух вращающихся навстречу друг другу цилиндрических валиках лежит горизонтально доска массой m (рис. 3). Расстояние между центрами валиков l, коэффициент трения между доской и каждым валиком . Доску смещают в направлении одного из валиков и отпускают. Определите период возникших при этом колебаний.

 рис. 3