3.Продуктивность личного вклада педагогического работника в повышении качества образования

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 г. Ак-Довурак

Открытый урок в 10 классе

«ЛОГАРИФМЫ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ»

Подготовила и провела:

 учитель математики МБОУ СОШ №2 г. Ак-Довурак

Куулар Анна Сагаан-ооловна

г. Ак-Довурак 2016

Цели урока:

1. Образовательная: закрепить умения выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
2. Воспитательная: воспитывать самостоятельность;
3. Развивающая: развивать память и внимание.

Оборудование: компьютер с видеопроектором.

Тип урока: урок - смотр знаний.

ХОД УРОКА:

1. Организационный момент.

(сообщение темы урока)                           слайд 2

2. Проверка домашнего задания.

(Выполняется устно по цепочке. Учащиеся называют только ответы.

При необходимости объясняют решение).

3. Сделай выводы по каждому блоку примеров.

(Выполняется устно)

Заполните пустые клетки так, чтобы получилось верное равенство. Назовите, чему

равны неизвестные компоненты, сделайте выводы.

Первый блок.

                      слайд 3

Вывод: По определению логарифма   слайд 4

Второй блок.

                           слайд 5

Вывод:  так как  при                  слайд 6

Третий блок.

                         слайд 7

Вывод:  так как при                      слайд 8

4. Теоретическая разминка.                                          слайд 9-20

• Что называется логарифмом?
• Что называется логарифмированием?
• Чему равен логарифм произведения?
• Назовите формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
• Чему равен логарифм частного?
• Чему равен логарифм степени?
• Назовите основное логарифмическое тождество.
• Что называется десятичным логарифмом?
• Что называется натуральным логарифмом?
• Чему равно число e?
• Объясните смысл формулы .            

5. Практическая часть.

Задание 1. Вычислите (выполняется у доски):

                   .                                              слайд 21

         Решение:

Задание 2. Вычислите (выполняется с комментированием с места):

                                                               слайд 22

         Решение:

=

Задание 3. Вычислите (задание по рядам, один человек из ряда решает у доски с последующей проверкой ответов):

                                                                                                            слайд 23-24

1 ряд:                

Решение:

2 ряд:                             

Решение:

3 ряд:                   .

Решение:

=

Задание 4. Вычислите (задание для тех, кто справился с предыдущим раньше других):

                    .

                                                             слайд 25

 Решение:

=

=

Задание 5. Вычислите, используя формулу . (Двое учащихся решают на

                    обратной стороне доски, затем ход решения проверяется).     СЛАЙД 26-28                                          

Решение:

=

=.

6. Подведение итогов урока. (Анализ учащихся по теме «Логарифмы и их свойства).

7. Домашнее задание.                                                 слайд29

Литература:

1. Мартышова Л.И. «Открытые уроки алгебры и начал анализа»;

 Москва,«Вако», 2012

2. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы

     по алгебре. 10-11 классы», М.; Дрофа, 1997

     Обобщающий урок по теме «Векторы и действия над ними»

  Цели:

    Образовательные: выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний (в частности, на  примере решения задач с практическим применением); систематизировать и расширить знания учащихся о векторах. 

 Развивающие: развить навыки использования векторов в математике и ее приложениях, в частности, навыки, связанные со сложением сил, вычислением длин отрезков и углов, развивать память, логическое мышление, любознательность; развивать умений искать ответы на возникающие вопросы.

    Воспитательные: воспитание целеустремленности, самостоятельности учащихся, стремления к получению знаний и применению их в нестандартных ситуациях, уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе..

    Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: уметь использовать понятие векторов и действий с ним при решении задач практического содержания.

    Тип урока: урок обобщения изученного материала.

    Формы работы:  фронтальная.

    Методы: исследовательские, словесные,  наглядные.

    Оборудование: линейка, медиапроектор, экран, компьютер, доска, мел, карточки для разноуровневой работы, карточки рефлексии.

    Структура урока:

I.  Организационный момент. 2 мин

II. Проверка владения понятийным аппаратом,  устная работа по готовым слайдам.10 мин

III.Решение задач.  15 мин

IV. Релаксация. 3 мин

V. Дифференцированная самостоятельная работа. 10 мин

VI.  Домашнее задание. 1 мин

VII. Итог урока, рефлексия. 3 мин

Ход урока.

1. Организационный момент, 2 мин

Здравствуйте, ребята! Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов  и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет нам хорошее знание такого предмета как геометрия.  Начнём наш урок с логического задания. О чём идет речь в данной шараде?

Шарада                                                                                                        Слайд 2

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Модель второго – на столе,

Румяна, с пылу, с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий». (Вектор)                                                                 Слайд 3

И сегодня на уроке, который является обобщающим по теме «Векторы», мы попытаемся выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний,  в частности, на  примере решения задач с практическим применением.

Вектор - одно из основных геометрических понятий. Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и   ирландского   математика   У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими  математиками  и   физиками.                        Слайд 4

 Термин "вектор" ввел Гамильтон приблизительно в 1845 году. Символ [→a, →b] для обозначения векторного произведения ввел Грасман. Векторы применяются  в    классической    механике    Галилея - Ньютона (в ее современном изложении),  в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

2. Проверка владения понятийным аппаратом.

Четверо учащихся (слабоподготовленные)  на местах выполняют задания:

Заполните пропуски:

Проверяет задания один из учащихся , если необходимо ему предлагается образец для проверки.

3. Устная работа по готовым слайдам.

На протяжении нескольких дней 1 группе ребят было дано задание подготовить проектные работы в виде задач по теме  «Векторы», ребятам было предложено составить и предложить своим товарищам устные задания или задания на готовых чертежах. Работу учащиеся выполняли индивидуально, сегодня мы рассмотрим 3 задания, подготовленные Овсянниковой Дарьей, Елагиным Никитой и Никулиным Иваном.                                  

Сейчас рассмотрим здания, которые приготовили ребята. Ребята, подготовившие задания и ребята, активно участвующие в решении задач, получают оценки.                                             Слайды 5-7

IV. Решение задач

Задача 1                                   Басня И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука”                            Слайд 8 

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак, да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват из них, кто прав, - судить не нам;

Да только воз и ныне там.

История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись», известна всем. Но мало кто пробовал рассматривать эту басню с точки зрения векторов, а правда ли, что воз всегда будет стоять на месте?  Результат получается  не всегда  похожий на вывод баснописца Крылова. Так ли это? Посмотрим.

Мы исследуем этот вопрос с точки зрения механики.

Цель нашего исследования – положение воза в басне И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука”.

 Перед нами  задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой.

Направление сил определены в басне так:
… Лебедь рвется в облака, Рак пятится назад, а щука тянет в воду. Обозначим векторами OA, OB, OC, направление движения.

Это значит, что одна сила, тяга лебедя (ОА), направлена вверх; другая, тяга щуки (ОВ), – вбок; третья, тяга рака (ОС), – назад. Не забудем, силу тяжести воза направленную отвесно вниз учитывать не будем, так как поклажа легка. В басне утверждается, что равнодействующая всех приложенных к возу сил равна нулю то есть “воз и ныне там”.

Применяя правило сложения векторов, строим на силах ОВ и ОС параллелограмм

сил, диагональ его OD даёт равнодействующую силу. Из рисунка видно, что векторы OD и OA не являются противоположными, значит их равнодействующая сила не равна нулю. В данном случае воз сдвинется с места, в какую сторону – будет зависеть от соотношения сил и от угла между векторами. Если сила лебедя не уравновешивает веса воза, то и в этом случае равнодействующая сила не будет равняться нулю, значит, воз сдвинется с места. Воз останется на месте при одном условии: если трение у его осей и о полотно дороги больше, чем приложенные усилия. Но это противоречит утверждению, что “поклажа бы для них казалась и легка”. Поэтому И.А.Крылов не мог с уверенностью утверждать, что “возу всё нет ходу”, что “воз и ныне там”. Данное утверждение не меняет смысла басни.

Учащийся у доски находит сумму векторов, и делает вывод прав ли Крылов, можно показать разные решения этой задачи, в одном из которых Крылов прав, а в другом нет.

                                                                                                                                        Слайд 9-10

Задача 2                                                                                                                             Слайд 11

Парашютист  после прыжка из самолёта  спускался вниз на землю со скоростью 4 м/с. Но вдруг поднялся ветер, и парашютиста стало сносить в сторону со скоростью 3 м/с. На каком расстоянии от точки выброса окажется парашютист, если время его свободного падения составляло 3 минуты.

Решение.

Ответ: на расстоянии 900 м от точки выброса парашютистов

Задача №796 учебника.

В этой задаче мы используем применение векторов при решении задач

                              C1                                                                                   Дано: Окружность, CD – диаметр,C1D1 – касательная,              

                                                        К                                         СС1С1D1, DD1С1D1, CC1=11cм, СD=27cм.

                                                                      D1                            Найти: DD1

         С                                                    D

                                                          Решение:

C1D1 – касательная к окружности, следовательно ОК⊥C1D1, т.к. СС1⊥С1D1 , DD1⊥С1D1 по условию, то СС1||DD1||OK. O – середина CD ОК – средняя линия трапеции СС1D1D. ОК – радиус окружности,  ОК= СD = 27∙0,5=13,5 см. Т.к. ОК - средняя линия трапеции СС1D1D, то ОК =(СС1+DD1)  0,5 DD1 = OK – 0,5 CC1 DD1 = 2∙13,5 – 11= 16 c

Ответ: 16 см

 V. Релаксация.                                                                                                     Слайд 12

А теперь  мы с вами немного отдохнем.

Займите удобное положение. Расслабьте лицо, руки, шею, тело. Представьте, как мышцы лица становятся мягкими, расслабленными. Почувствуйте свое расслабленное тело. Улыбнитесь и представьте, как вы красивы, когда улыбаетесь. Представьте, что все ваше тело улыбается.

А теперь представьте, что вы стоите перед полем, засеянным пшеницей. Полюбуйтесь его красотой. Посмотрите, какие краски вас окружают. Наклонитесь и рассмотрите налитые силой колосья. Какие они. Почувствуйте запахи этого поля. Вдохните аромат нивы. Прислушайтесь к звукам, которые вас окружают: шелесту пшеницы, пению птиц. Ощутите легкий ветерок на своем лице. Насладитесь покоем. Пройдитесь по этому полю. Почувствуйте, как колосья, мягкие и теплые, касаются ваших рук, ног, тела, как они нежно вас гладят, слегка щекочут. А теперь представьте, что ветер стих. Наклонитесь и рассмотрите один колосс. Из маленького зернышка, закопанного в землю, он вырос, стремясь к солнцу. Посмотрите, каким он стал сильным, мощным. Колос сам как вектор: зернышко – это его начало, а прекрасное соцветие – колос – конец. Его направление – это движение к солнцу. Все колосья как стрелы направлены вверх Сорвите один колос. Колосья как и вектора имеют длину, могут быть сонаправленными или противоположно направленными друг другу. Пройдите еще по полю. Погладьте колосья, подержите их в своих руках. Насладитесь красотой и покоем хлебной нивы. Пошлите ей свою любовь. Почувствуйте ступни ног, прилив сил к рукам и ногам. Ощутите спину, плечи. Улыбнитесь и сделайте глубокий вдох. Медленно каждый в своем режиме возвращайтесь в класс. Откройте глаза, потянитесь. Поверните голову влево, вправо. Улыбнитесь соседям, сидящим слева и справа.

VI. Дифференцированная самостоятельная работа, 10 мин

Вариант  1.

Базовый уровень

Упростите выражение:

.

Повышенный уровень

Прямая  BM, параллельная боковой стороне CD трапеции ABCD, делит основания на отрезки AM=12 см, MD=8см. Найдите среднюю линию трапеции.

Высокий уровень

В равнобедренной трапеции ABCD ∠А=∠D=600, BC=4 см, АВ=СD=6cм. Найдите среднюю линию трапеции.

Вариант 2.

 Базовый уровень

Упростите выражение:

Повышенный  уровень

Прямая NE, параллельная боковой стороне MP трапеции KNMP, делит основания на отрезки КЕ=10см, EP=14 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Высокий уровень

В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 5 см, высота – 6см, углы при основании равны  450. Найти среднюю линию трапеции.

Время истекло ваши работы я проверю позже и  скажу результаты на следующем уроке

VII.  Домашнее задание, 1 мин                                                                          Слайд13

№778 (практическое задание на построение векторов), №802 (задание выразить вектор), №809 ( задача на нахождение средней линии трапеции)

VIII. Итог урока. Рефлексия, 3 мин

Где мы ещё встречаемся с понятием вектора?

В наши дни понятие вектор постоянно  встречается в газетных и журнальных публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованного человека.

             Кроме наук, в которых векторы применяются в прямом значении, их ещё применяют и в переносном значении. Чаще всего для необходимого объяснения в спортивных командных играх.

        В спортивных играх тренер не всегда может показать игрокам данный манёвр или просто какой-либо финт. Ему помогают модели поля, на которых он изображает перемещение игроков векторами.

Предложенные примеры показывают единство геометрии и физики, геометрии и физкультуры. Их содержание отличается тем, что применение векторов при их решении (объяснении задач для команды) предпочтительнее, чем использование других средств.

        Вектор – чисто математическое понятие, которое применяется в физике или других науках, и которое позволяет упростить решение (пояснение) задач.

Карточка самооценки деятельности учащегося на уроке

Я вижу, что сегодня мы с вами поработали плодотворно. Спасибо, за урок. Урок окончен.

3.1 Урок1

Урок алгебры 8 класса на тему «Решение квадратных уравнений различными способами»

Предварительная подготовка: учащиеся должны знать следующие темы: «Квадратное уравнение и его корни», «Неполные квадратные уравнения», «Метод выделения полного квадрата», «Решение квадратных уравнений», «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета», «Уравнение , приводящиеся к квадратным», уметь применять знания о квадратных уравнениях для выполнения различных заданий.

Цели урока: 1) образовательная: формирование умений применять полученные ранее знания, сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения;2) воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу, навыков самоконтроля и взаимоконтроля; 3) развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, таблица со значениями коэффициентов, листы с заданиями (без решения), учебники.

Ход урока

1. Устная работа.

1.(На доске начерчена таблица, в которой не заполнен последний столбец.)

- Составьте квадратные уравнения с заданными коэффициентами а, в, с.

- Определите, какие из них являются полными квадратными уравнениями , а какие неполными. (Полные квадратные уравнения- 3,4; неполные – 1,2,5.)

2.Составьте квадратное уравнение, у которого: 1) нет корней; 2) два корня; 3) один корень. ( Ответы на это задание могут быть самыми различными. Например,  можно придерживаться следующих позиций. Корней не будет, когда х2˂0. Два корня будут при решении обычного квадратного уравнения. Уравнение будет иметь один корень, если х=0, т.е. произведение должно быть равно нулю.)

Варианты уравнений:

1. 7х2+9=0; х2+4х+16=4х; -х2=81.
2. х2-4х+4=0; 15х+9х2=7х2+10х; 3х2-27=0
3. 8х2=0; 3х2+17=17; х2=0

3.Составьте алгоритм решения квадратного уравнения х2-14х+49=0, учитывая , что есть три способа его решения.

Решение:

Первый способ.

Вычислить корни уравнения можно через дискриминант. То есть вычисляется дискриминант. Потом  находят корни квадратного уравнения.  Д=в2-4ас=196-196=0;

Х1,2=

Второй способ. 

Второй коэффициент квадратного уравнения четное число, поэтому можно вычислить его через k. То есть вычисляется дискриминант при коэффициенте k. Потом находят корни квадратного уравнения. Д=k2-ас= 49-49=0; х1,2==7.

Третий способ.

Разложить квадратное уравнение на множители. Уравнение преобразуется так, чтобы в левой его части получился квадрат двучлена. х2-14х+49=0; х2-2*7х+49=0; (х-7)2=0; х-7=0; х=7. (Данное задание выполнить на доске тремя учениками одновременно.)

II. Выполнение заданий

1.В уравнении х2+рх-18=0 один из корней равен -9. Найдите другой корень и   коэффициент р.

Решение: используя теорему Виета, получаем следующие выражения: -9+х2=-р;

-9*х2=-18. Из последнего уравнения х2=2. Подставим полученное значение в первое уравнение: -9+2=-р. -7=-р; р=7.

Ответ:  х2=2, р=7.

2.Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение , не решая его.

1) х2-7х+6=0

Решение: Д=25, значит 2 корня.

Ответ: два корня.

2) 2х2-16х+32=0

Решение: Д=0, значит уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

3. 2х2-50=0; х2-25=0; х2=25; Так как 25˃0, то уравнение имеет два корня.
4. 15х2+30х=0; 15х(х+2)=0. Один из корней равно 0, а второй корень равен -2.

Ответ: два корня.

3. При каком значении параметра а уравнение имеет два корня?

1. ах2+5х-2=0 

Решение: уравнение имеет два корня, если Д˃0. Вычислим дискриминант: Д=25+8а. Полученное выражение должно быть больше нуля, т.е. 25+8а˃0, 8а˃-25; а˃-25/8. При любом значении  а˃-25/8 уравнение ах2+5х-2=0  имеет два корня. Например, а=-3.

Ответ: при   а˃-25/8.

2. 2х2-3х+а=0.

Решение:         2х2-3х+а=0. Д=9-8а;  9-8а˃0; а˂9/8.

Ответ: при а˂9/8.

4.Решите квадратное уравнение , учитывая, что второй коэффициент является четным числом.

1) х2+4х-5=0

Решение: Д1=9; х1,2=-2±3. х1=1, х2=-5.

2)х2+6х-7=0

Решение: Д1=16; х1=1, х2=-7

5.Вычислите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них больше другой на 5 см. Площадь данной фигуры равна 6 см.

Решение: пусть дона из сторон прямоугольника равна х см. Тогда вторая сторона будет равна х+5см. Площадь такой фигуры равна х(х+5)=6; Решим полученное уравнение: х2+5х-6=0; Д=49; х1=1; х2=-6. Второй корень лишний. Поэтому вторая сторона прямоугольника равна 1+5=6.

Ответ: 1см, 6см.

III. Повторение.

Устная работа.

1.Замените уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением:

1) 2х2+8х-6=0; Ответ: х2+4х-3=0

2) 5х2-15х+20=0 Ответ: х2-3х+4=0.

3) 1/2х2+3х-4=0. Ответ: х2+6х-8=0

2.Запоните пропуски, используя в качестве модели квадратное уравнение 9х2+6х-8=0

1)а=…, в=…, k=….

2). Ответ: .

3)х1=. Решение: Д= в2-4ас= 36+288=324; х1=

4) х2=; Ответ: ) х2=

IV. Выполнение заданий.

1.Каким способом можно решить подобные уравнения? Решите уравнения.

а)х4+7х2-8=0

Решение: Такие уравнения решаются введением новой переменной. Пусть х2=у, тогда получим следующее уравнение: у2+7у-8=0. Решим полученное уравнение: Д=81, у1=1, у2=-8. Так как х2=у, то подставим полученные корни в данное уравнение: х2=1, х2=-8. Первое уравнение имеет два корня т.к.1˃0. Второе уравнение не имеет корней, т.к. -8˂0. Решим первое уравнение: х2=1; х; х1,2=±1.

Ответ: х1,2=±1.

б)(1-у2)2+12=у2-7.

Решение: Преобразуем уравнение формулой сокращенного умножения возведя скобку в квадрат. Получим 1-2у2+у4+12-у2+7=0; у4-3у2+20=0. Решая введением новой переменной получим: х2-3х+20=0; Д=-71,Д˂0. Данное уравнение не имеет корней. Значит, уравнение (1-у2)2+12=у2-7 не имеет корней.

Ответ: не имеет корней.

2.Составьте приведенное квадратное уравнение:

А) если х1=5, х2=2.

Решение: данное уравнение является приведенным, поэтому первый коэффициент равен 1. Используя теорему Виета, вычислим другие коэффициенты данного уравнения .По теореме Виета х1+х2=-р, х1*х2=q. Получаем, что 5+2=-р, т.е. р=-7; 5*2=q, т.е.q=10. Следовательно, уравнение имеет вид х2-7х+10=0.

Б) если х1=3, х2=-4. Ответ: х2+х-12=0.

3.Решитье уравнение методом выделения полного квадрата:

а)х2+6х+5=0. Решение: х2+6х=-5; х2+2*3х= -5; х2+2*3+32= -5+32; (х+3)2=4; Х+3=±=±2, х+3=2, х+3=-2; х=-1, х=-5.

Ответ: х=-1, х=-5.

б) х2-8х-20=0. Ответ: х1=10, х2= -2.

V. Самостоятельная работа.

 Решите уравнение любым способом (1-2х)(4х2+2х+1)= 8(1-х2)(х+2)+8х2+1.

Решение: Раскрыв скобки, приведя подобные члены получим, 8х2-8х-16=0; х2-х-2=0; Д=9, х1=2, х2=-1.

VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V. Домашнее задание.

Тема урока: Использование формул сокращенного умножения при решении задач

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующее темы: «Возведения в квадрат суммы и разности двух выражений», «Разложение на множители с помощью  формул квадрата суммы и квадрата разности», «Умножение разности двух выражений на их  сумму», «Разложение разности квадратов на множители», «Разложение на множители суммы и разности кубов», владеть навыками работы с формулами сокращенного умножения.

Цель урока: 1)Образовательная: закрепление знаний и умений по данной теме; формирование умения свободно с помощью формул сокращенного умножения; 2)Воспитательная: воспитание чувства взаимопомощи, самоконтроля, интереса к решению примеров, математической культуры; 3)Развивающая: развитие внимательности, логического мышления, умения систематизировать и применять полученные знания.

Оборудование: Написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, листы с заданиями (без решений), учебниками.

Тип-урока: Урок-смотр знаний.

        Ход урока

I.Устная работа.

1.При написании формул сокращенного умножения были допущены ошибки. Найдите и исправьте их.

1) (а-в)2=а2+2ав+в2

Ответ: (а-в)2=а2+2ав+в2

2) (а-с)2=а2-2ас+с2

Ответ: (а-с)2=а2-2ас+с2

3) а2-в2=(а-в)(а+в)

Ответ: а2-в2-(а-в)(а+в)

4) а3+в3=(а+в)(а2+2ав+в2)

Ответ: а2+в3=(а2+2ав+в2)

5) а3-в3=(а+в)(а2-ав+с2)

Ответ: а3-в3=(а-в)(а2+ав+в2)

2.Составьте из предложенных одночленов выражения так, чтобы их можно было разложить по формулам сокращенного умножения. Потом получившиеся многочлены преобразуйте.

81а2, 4у2, 8ав, -18ав, 16а2, 28ху, в2, 49х2.

Решение: 81а2-18ав+в2=(9а – в)2 , 4у2+28ху+49х2=(2у+7х)2, 16а2+8ав+в2=(4а+в)2

3.В таблицах представлены выражения, которые после перемножения образуют суммы и разность кубов. Подберите к каждому выражению из первой таблицы выражение из второй таблицы. Составьте и преобразуйте получившиеся выражения.

1)

2)

Решение: (а2-в)(а4+а2в+в2)=а6-в3, (2-х)(4+2х+х2)=8-х3. (х+1)(х2-х+1)=х3+1, (а+3)(а2-2а+9)=а3+27.

4. Докажите , что значение выражения (а+4)(а-4)- (а-5)(а+5) не зависит от значения переменной.

Доказательство:  (а+4)(а-4) - (а-5)(а+5) = а2- 16 – (а2- 25) = а2-16- а2+25 = 9.

Следовательно, выражения (а+4)(а-4)- (а-5)(а+5) не зависит от значения переменной.

II.Выполнения заданий

1.Представьте в виде произведения:

1) m12+n15= (m4)3+(n5)3 = (m4+n5)(m8- m4n5+n10)

Ответ: (m4+n5)(m8- m4n5+n10)

2) Некое целое число нужно возвести в квадрат, потом из него вычесть данное число, увеличенное в 16 раз. Если к получившемуся выражению добавить 64, то в итоге поучится ноль. Найдите это число.

Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда по условию задачи составим следующее выражение: х2-16х +64=0. Решим получившееся уравнение:

х2-16х +64=0; (х-8)2= 0; х-8=0; х=8.

Следовательно, задуманное число равно 8.

Ответ: 8.

3) При каком значении а удвоенное произведение двух членов а+1 и а- 1 меньше суммы их квадратов на 7?

Решение: составим по условию задачи неравенство и решим его.

2(а+1)(а-1)˂(а+1)2+ (а-1)2 + 7;

2(а2 – 1)˂(а2+2а+1) + (а2-2а + 1) + 7;

2а2-2˂а2+2а+1+а2-2а+1+7;

2а2-2˂2а2+9; 2а2-2а2˂9+2; 0˂11.

Следовательно, при любом значении а выполняется условие задачи.

Ответ: при всех а.

4)Найдите два последовательных нечетных числа, произведение которых равно -1. Известно, одно из них на 2 единиц больше другого.

Решение: обозначим за х одно из нечетных чисел. Тогда второе последовательное нечетное число равно х+2. По условие задачи произведение чисел равно -1. Составим и решим уравнение. х(х+2)=-1; х2+2х+1=0; (х+1)2=0; х+1=0; х=-1. Значит, одно из чисел равно -1, второе число х+2= -1+2=1

Ответ: -1,1.

III.Устная работа

1.(Данное задание на карточках.) Саша получил на уроке оценку. В качестве ответа на вопрос Пети об отметке он использовал задачу. Сумма квадрата оценки и числа 25 равна произведению оценки и числа 10. Найдите ошибки, которые допустил в решении Петя, и помогите ему узнать, какую оценку получил Саша.

Решение Пети: обозначим за х оценку, которую получил Саша на уроке. Составим и решим уравнение по условию задачи. х2+25=10х; х2+10х+25=0; (х+5)2=0; х+5=0; х=-5. Получилось, что Саша на уроке получил оценку «-5». Найдите ошибку.

Правильное решение: ошибка возникла при решении самого уравнения. Петя  забыл поменять знак на противоположный при перенесении множителя 10х.Он неправильно преобразовал левую часть. Х2+25=10х; х2-10х+25=0; (х-5)2=0; х-5=0; х=5. Следовательно, Саша получил на уроке оценку «5».

2.Один ученик высказал предположение, любое число равно числу, в 2 раза большему его. В качестве доказательства он привел такой пример. Пусть х- любое число. Возьмем х2-х2=х2-х2.Правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, а в левой части вынесем х за скобки. В итоге получим, что (х-х)(х+х)=х(х-х). После упрощения данного тождества получается 2х=х. Мы понимаем, что такого быть не может. Тогда найдите ошибку.

Ответ: ошибка заключается в том, что ученик при упрощении делит тождество на (х-х). А этого делать нельзя , так как х-х=0.

IV. Выполнение заданий.

1.Разность двух чисел равна 79. Уменьшаемое представляет собой квадрат суммы неизвестного числа и 6. Вычитаемое – разность квадратов неизвестного числа и 5. Найдите это число.

Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда уменьшаемое будет равно (х+6)2, а вычитаемое – х2-52. По условии задачи разность двух чисел равна 79. Составим и решим уравнение: (х+6)2 –(х2-52 )=79; х2+12х+36-х2 +25= 79; 12х+61=79; 12х=79-61; 12х=18; х=1,5. Следовательно, неизвестное число равно 1,5.

Ответ: 1,5.

2.Какими должны быть значения а и в, чтобы выполнялось тождество а3 +а2в+ав2= а2в+ав2 +в3?

Решение: вынесем в левой и правой части тождества общие множители: а(а2+ав+в2)= в(а2+ав+в2). Перенесем из правой части тождества выражение в левую часть и снова вынесем общий множитель за скобки: : а(а2+ав+в2)- в(а2+ав+в2);  (а-в)( а2+ав+в2)=0. Левая часть тождества представляет собой разность кубов: а3-в3=0. Так как разность кубов равна 0, то а и ив могут быть любыми одинаковыми числами с противоположными знаками.

Ответ: любые числа с противоположными знаками.

3. Докажите, что 1733+3273 делится на 100.

Доказательство: выражение представляет собой суммы кубов. Преобразуем его: 1733+3273=(173+327)(1732-173х327+3272)=500(1732-173х327+3272). В данном выражении 500 делится на 100, значит , значение выражения делится на 100.

V.Самостоятельная работа

 Вычислите значение выражения (52-32)2, используя минимум две формулы сокращенного умножения.

Решение: сначала используем формулу разности квадратов а2-в2=(а-в)(а+в). Получим:

(52-32)2=((5-3)(5+3))2=(2х8)2=162=254. Затем представим число 16 в виде 16=20-4 и применим формулу квадрата разности (а-в)2=а2-2ав+в2. Получим, (20-4)2=202-2х20х4+42=400-160+16=256.

VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VII. Домашнее задание.