Проектные работы учащихся
Исседовательские работы учащихся по математике
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели и задачи: Рассмотреть формулу, при помощи которой можно легко вычислить площадь какого-либо многоугольника, вершины которого лежат в узлах сетки Научиться применять формулу Пика в задачах
Содержание: Биография математика Георга Пика Знакомство с формулой Пика Вывод формулы для прямоугольника Применение формулы на практике
Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году.
Краткая Биография Георг Александр Пик (10 августа 1859 -13 июля 1942) австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать Йозефа Шляйзингер , отец Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900-1901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика Неванлинны , лемма Шварца Пика. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт , где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
формула пика ABCD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линии сетки В – количество узлов, лежащих внутри прямоугольника Г – количество узлов на его границе
Доказательство. S=B+ -1 S= 1 · B+( Г-4) · -4 ·
. Число внутренних узлов равно В=( р —1)( q—1) Число граничных узлов равно Г= 2( р+ q)
Вывод:
В=1 Г=6 S=1 +6 :2 – 1=3 Применение формулы Пика на практике
Применение формулы Пика на практике В=0 Г=32 S= 0+32 : 2-1=15
Применение формулы Пика на практике В=7 Г=8 S= 7+8:2-1=10
Источники: Библиотечка «Кенгуру» выпуск №8 2006 год http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem http://www.bitclass.ru/math/theory/ Геометрия/ Формула_Пика
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Само название «карандаш» пришло с востока и в переводе означает «чёрный камень» или «чёрный сланец».
Считается , что история возникновения карандаша началась с 14 века , когда появился «итальянский карандаш» , который представлял собой глинистый черносланцевый стержень , завернутый в кожу
«Серебряные карандаши».
С 16 века в истории карандаша наметились изменения , именно тогда для ведения записей начали использовать графит.
В тоже время французами был придуман «парижский карандаш», состоящий из черной сажи и светлой глины , отличавшийся особой мягкостью . Сначала графит использовался в виде палочек только для рисования, а появлением у них обертки, и для письма .
Так выглядел карандаш в 1565 г В трактате о минералах Конрада Геснера 1565 года находится первое описание карандаша из графита, вставленного в дерево .
История карандаша претерпела кардинальные изменения в конце 18 века , когда французский изобретатель Николя Жак Конте предложил использовать для производства карандашных стержней смесь, в состав которой входили ,помимо графита, сажа ,глина, крахмал и вода.
В 1869 году американец А.Т. Кросс создал первый механический карандаш, поместив графитный стержень в металлическую трубку и создав приспособления для его выдвижения.
Так, в России в 1913 году Гиндельман запатентовал свой механический карандаш, грифель которого двигался с помощью гайки в металлическом канале . А через три года японец Хаякава изготовил карандаш , таким, каким мы знаем его сейчас. Начало 20 века ознаменовалось многими открытиями в области создания карандашей.
Найден карандаш каменного века Сотрудниками научно-исследовательской лаборатории древних технологий Иркутского государственного технического университета во время летней экспедиции в Бодайбинском районе найден карандаш, возраст которого 6120 лет. Пожалуй, это самый древний из сохранившихся карандашей на планете. Сенсация
За время истории существования карандаша постоянно совершенствовалась и его оболочка. Чтобы он не скатывался со стола его форму сделали шестигранной , а в верхний конец поместили ластик. После изобретения пластмассы нашлась достойная замена древесине . Создание механического карандаша в металлической оболочке довершило его облик.
Спасибо за внимание !
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель работы Установить закономерность чередования цифр в окончании степеней с натуральным показателем. Используя данную закономерность , решить олимпиадные задачи содержащие степени с натуральным показателем.
План работы История возникновения степени натурального числа Пла Составление таблицы степеней СоС Определение окончания степеней с натуральным показателем Установление закономерности в окончаниях степеней Решение олимпиадных задач
История возникновения степени числа
Таблица степеней 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 n a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 а 2 1 4 9 1 6 2 5 3 6 4 9 6 4 8 1 10 0 а 3 1 8 2 7 6 4 12 5 21 6 34 3 51 2 72 9 10 0 0 а 4 1 1 6 8 1 25 6 62 5 129 6 240 1 409 6 656 1 100 0 0 а 5 1 3 2 24 3 102 4 312 5 777 6 1680 7 3276 8 5904 9 а 6 1 6 4 72 9 409 6 1562 5 4665 6 11764 9 26214 4 а 7 1 12 8 218 7 1638 4 7812 5 27993 6 82354 3 209715 2 а 8 1 25 6 656 1 6553 6 39062 5 167961 6 576480 1
ОКАНЧАНИЕ СТЕПЕНЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ЕСЛИ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ НА 1,5,6,10, ТО ПРИ ВОЗВЕДЕНИИ В СТЕПЕНЬ ЧИСЛО БУДЕТ ОКАНЧИВАТЬСЯ ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРОЙ ЭТОГО ЧИСЛА ЕСЛИ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ 2,3,4,7,8,9,ТО ПРИ ВОЗВЕДЕНИИ В СТЕПЕНЬ ОКОНЧАНИЕ ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЫ ЧИСЛА БУДЕТ ЧЕРЕДОВАТЬСЯ.
Чередование окончания степеней.
Задание со степенями : 1. Определить последнею цифру числа: 1.1 2004 2004 1.2 5867 5867
Решение 1.1 200 4 2004 Окончание для числа 4 : 4;6 Значит 2004 (показатель) нужно разделить на 2 Если при деление показателя остаток будет равен нулю то окончание будет 6, а если остаток один то окончание будет 4 . 2004 : 2 = 1002 ост. 0 Т.к. остаток 0 , то число 2004 2004 будет оканчиваться цифрой 6 1.2 586 7 5867 Окончание для Числа 7: 7,9,3,1 При деление показателя на 4 (5876:4), получили остаток 2, значит число 5867 58 7 6 будет оканчиваться на 9
Задание со степенями : 2. Определить последнею цифру значения выражения : 2.1 734 1531 +2*631 324 + 389 678 2.2 1743 651 - 3*135 163 +4*647 174
Решение. 2.1 734 153 +2*631 324 + 389 678 Для того что бы определить последнею цифру нужно определить последнею цифру каждого слагаемого, и выполнить сложение(вычитание) 734 153 окончанием числа 6(т.к. 734 оканчивается 4, то показатель 153 нужно разделить на 2 остаток 1 ,а значит число 734 1 3 5 будет оканчиваться 6 ) 2*631 324 631 324 будет оканчиваться 1 2*631 324 нужно окончание числа 631 324 умножить на 2 2*1=2 2*631 324 будет оканчиваться цифрой 2
Решение 389 678 будет оканчиваться 9 6+2+9=1 7 734 153 +2*631 324 + 389 678 окончание числа этого выражения будет равно 7. 2.2 1743 651 - 3*135 163 +4*647 174 Вычисляем последнюю цифру каждого слагаемого: 1743 651 651:4=162 ост. 3 т.к . остаток 3, то 1743 651 будет оканчиваться 7.
Задание со степенями : 3.Определить будет ли число составным или простым 3.1 537 1994 – 3 3.2 735 1937 -1
Решение 3*135 163 т.к. 135оканчивается 5, то 135 163 степени тоже будет оканчиваться 5 5(окончание )* 3=1 5 3*135 163 будет оканчиваться 5 4*647 174 174:4=43 ост. 2 Т.к. остаток 2, то 647 174 будет оканчиваться 9 9(окончание )* 4=3 6 Дальше нужно выполнить вычитание и сложение: 7-5+6=8 1743 651 - 3*135 163 +4*647 174 окончанием числа этого выражения будет 8.
Решение 3.1 537 1994 – 3 для того что бы определить будет ли число составным нужно определить последнею цифру значения всего выражения. 537 1994 1994:4=498 ост. 2 Т.к. остаток 2, то число будет оканчиваться 9 9-3= 6 Число 6 четное, а значит ,что все выражение делится на 2, т.е . будет составным.
Решение 3.2 735 1937 -1 Определяем последнею цифру выражения. Т.к. 735 оканчивается 5, то окончание этого числа будет 5. 5-1=4 Число 4 является четным, а значит все выражение делится на 2 ,т.е. будет составным.
Литература Учебник алгебры 7 класс wikipedia.org MirUrkov.ru
Спасибо за внимание!!!