«Сборник задач с решениями» для студентов техникума по специальности «Земельно – имущественные отношения»

Тамбовское областное государственное

 автономное профессиональное

 образовательное учреждение

ТОГАПОУ «Техникум отраслевых технологий»

«Сборник задач с решениями»

 для студентов техникума по специальности «Земельно – имущественные отношения»

Тамбов 2019

Чтобы научить студента решать задачи, необходимо, прежде всего, сформировать привычку решать задачи, да еще привычку делать это с удовольствием. А этому можно научить! Когда требуется решить задачу, первое, что должно быть сделано, — ее исследование. Для этого необходимо: установить, что дано, что нужно получить; преобразовать имеющуюся информацию в более приемлемую форму. Планирование решения означает разработку алгоритма. Здесь определяется связь между исходными данными и неизвестным. В настоящее время проблема постановки задач в любом курсе стала главной и очень важной в развитии преподавания. Умение решать задачи выступает самой яркой характеристикой состояния образования.

Поскольку задача - это проблемная ситуация, что требует решения, то её роль в обучении человека очень важна. Так, с её помощью иллюстрируется теоретический вопрос - изучается, разъясняется его содержание. Через простые задачи, что выполняются по шаблону, который даёт теория, достигается усвоение изучаемого факта. Задача и решение её формирует у студентов умение ориентироваться в  ситуациях, собирать информацию для выполнения заданий, а также познание действительности.

Д. Пойа писал, "что решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь ... если вы захотите научиться плавать, то вынуждены будете зайти в воду, а если вы захотите стать человеком, хорошо решающим задачи, вы вынуждены их решать". Успехов!

Володина А.В. – преподаватель специальных дисциплин

Задача 1. Имеется совокупность данных о 30 рабочих промышленного предприятия, где уровень образования имеет обозначения: ВП – высшее профессиональное, НВП – неполное высшее образование, СП – среднее профессиональное, НП – начальное профессиональное.

         По имеющимся данным постройте ряд распределения по признаку Образование и графически изобразите его с помощью полигона распределения частот.

Таблица 1

Статистические данные о результатах производственной деятельности рабочих промышленного предприятия за год

Решение

        Поскольку признак Образование – качественный, имеет 4 варианта, то в результате получим следующий атрибутивный ряд распределения по четырём группам (табл. 2).

Таблицы 2

Распределение рабочих предприятия по уровню образования

        Таким образом, половина всех рабочих имеют среднее профессиональное образование.

Графически данный ряд распределения можно представить в виде полигона частот (рис. 2).

Рис. 2. Полигон распределения частот по признаку Образование

Задача 2. Используя данные задачи 1, постройте ряд распределения по признаку Среднемесячная производительность труда, образовав 5 групп с равными интервалами. Отобразите построенный ряд в виде гистограммы.

Решение

Строим ранжированный ряд распределения в порядке возрастания группировочного признака

Величину интервала определим по формуле 1:

i = (10,1 – 4,1) / 5 = 1,2 тыс. руб.

Строим вспомогательную таблицу, в которой в каждой группе  определим число рабочих, имеющих соответствующую среднемесячную производительность труда.

При отнесении единицы совокупности к тому или иному интервалу используется правило: значение признака, совпадающее с левой границей интервала, включается в данную группу, а совпадающие с правой границей – включаются в следующую группу (кроме последнего интервала, для которого обе границы закрыты) (табл. 3).

Таблица 3

Вспомогательная таблица

        На основе вспомогательной таблицы строим ряд распределения по признаку среднемесячная производительность труда (табл. 4).

Таблица 4

Распределение рабочих по среднемесячной производительности труда

Графически данный ряд распределения изобразим в виде гистограммы (рис. 3).

Рис. 3. Гистограмма распределения рабочих по среднемесячной производительности труда

Задача 3. Имеются следующие данные об урожайности зерновых и валовом сборе.

Рассчитать среднюю урожайность для всех хозяйств.

Примечание: показатели «урожайность зерновых» и «валовой сбор зерна» умножить на поправочный коэффициент в соответствии с вариантом задания.

Решение:

Сформируем таблицу данных с учетом поправочного коэффициента:

Среднюю урожайность определим по формуле средней гармонической взвешенной:

10.63 ц/га.

Задача 4. Имеются следующие данные о распределении рабочих предприятия по квалификации (тарифному разряду):

На основании имеющихся данных определите по цехам предприятия и по предприятию в целом:

1) средний тарифный разряд рабочих;

2) модальные и медианные значения тарифного разряда рабочих. Поясните экономическое содержание этих показателей;

3) абсолютные показатели вариации тарифного разряда рабочих;

4) относительные показатели вариации тарифного разряда рабочих. Сравните вариацию тарифного разряда рабочих по цехам предприятия и по предприятию в целом.

Решение.

  Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу.

Таблица 2.2.

Промежуточные вычисления для расчета показателей вариации.

1. Средний тарифный разряд работников по каждому цеху и по всему предприятию определим по формуле  средней арифметической взвешенной.

   По первому цеху:

4,4 разряд.

   По второму цеху:

862/200 = 4,31 разряд.

  По всему предприятию в целом:

1302/300 = 4,34 разряд.

Найдем моду Мо, исходя из того, что модальному значению соответствует разряд, имеющий наибольшую частоту.

   Для первого цеха:

Мо(1) = 4 разряд.

    Наибольшее число работников 1-го цеха имеют 4-ый разряд.   Для второго цеха:

Мо(2) = 4 разряд.

    Наибольшее число работников 2-го цеха имеют 4-ый разряд.    По всему предприятию в целом:

Мо= 4 разряд.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

NMe = (n + 1)/2

, где n – объем савокупности.

Медиана – это варианта, располагающаяся в середине ранжированного ряда распределения. Для первого цеха:

NMe(1) = (100 + 1)/2 = 50,5

  Точная середина располагается между 50-м и 51-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(1) = 4 разряд. Половина работников 1-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4. Для второго цеха:

NMe(1) = (200 + 1)/2 = 100,5

  Точная середина располагается между 100-м и 101-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме(2) = 4 разряд. Половина работников 2-го цеха имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4. По всему предприятию в целом:

NMe(1) = (300 + 1)/2 = 150,5

  Точная середина располагается между 150-м и 151-м работником. Данные работники имеют 4-ый разряд, следовательно Ме = 4 разряд. Половина работников предприятия имеют разряд до 4, а вторя половина работников имеет разряд более 4. К абсолютным показателям вариации относятся дисперсия и среднее квадратическое  отклонение. Найдем дисперсию по следующей формуле:

.

Среднее квадратическое отклонение находим формуле:

.

 Размах вариации:

R = Xmax – Xmin = 8 – 7 = 7 разряд.

Среднее линейное отклонение:

Для первого цеха:

 = 2154/100 = 21,54 разряд2

21,54 – 4,42 = 2,18 разряд2

σ1 = 1,476 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,476 тарифных единиц.

   Среднее линейное отклонение:

d1= 118,4/100 = 1,184 разряда.

Для первого цеха:

 = 4162/200 = 20,82 разряд2

20,82 – 4,312 = 2,244 разряд2

σ2 = 1,498 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,498 тарифных единиц.

   Среднее линейное отклонение:

d2= 239,44/200 = 1,2 разряда.

Для всего предприятия:

 = 6318/300 = 21,06 разряд2

21,06 – 4,342 = 2,224 разряд2

σ = 1,491 разряд.

Разброс наблюдений относительно средней величины составляет 1,491 тарифного разряда.

   Среднее линейное отклонение:

d= 358,2/300 = 1,19 разряда.

1. К относительным показателям вариации относится коэффициент вариации. Коэффициент вариации определим по формуле:

.

Коэффициент осцилляции:

Линейный коэффициент вариации:

Для 1-го цеха:

V1 = 1,476/4,4 = 0,336 или 33,6%.

VR1 = 7/4,4 = 1,591 или 159,1 %.

Vd1 = 1,18/4,4 = 0,269 или 26,9%.

Для 2-го цеха:

V2 = 1,498/4,31 = 0,348 или 34,8%.

VR2 = 7/4,31 = 1,624 или 162,4 %.

Vd2 = 1,2/4,31 = 0,278 или 27,8%.

Для всего предприятия:

V = 1,491/4,34 = 0,344 или 34,4%.

VR = 7/4,34 = 1,613 или 161,3 %.

Vd = 1,19/4,34 = 0,275 или 27,5%.

     Когда относительные показатели вариации не превышают 35%, то принято считать, что полученные средние характеристики достаточно надежно характеризуют совокупность по варьирующему признаку. В нашем же случае, коэффициент вариации не больше 35% , как для цехов в отдельности, так и для всего предприятия в целом. Следовательно, полученная средняя величина тарифного разряда ненадежно характеризует данную совокупность по этому признаку.

    По относительным показателям вариации между показателями каждого из цехов и всех цехов вместе практически нет различий. Т. е. показатели вариации по тарифному разряду в каждом цехе практически одинаковые.

Задача 5. На основе данных задачи 1, выявите структуру рабочих, имеющих среднее профессиональное образование  по признаку Потери рабочего времени, образовав оптимальное число групп с равными интервалами.        

Решение

Потери рабочего времени среднего профессионального образования составили: 91, 75, 42, 100, 79, 23, 112, 72, 54, 39, 57, 34, 20, 54, 46.

Если число групп с равными интервалами заранее неизвестно, то его можно найти по формуле Стерджесса (для равномерного распределения)

 (2):

        Тогда величина интервала составит: i = (112-20) / 5 = 18,4

        Построим вспомогательную таблицу, в которой в каждой группе определим число рабочих, и потери рабочего времени (табл.5).        

Таблица 5

Вспомогательная таблица

На основе вспомогательной таблицы строим группировку, отражающую структуру рабочих со средним специальным образованием по потерям рабочего времени (табл. 6).

Таблица 6

Структура рабочих предприятия со средним профессиональным образованием по потерям рабочего времени за год

Задача 6. Используя исходные данные, представленные в задаче 1, определите наличие и направление связи между признаками Среднемесячная производительность труда и Премия по итогам года с помощью аналитической группировки. Постройте группировку по факторному признаку, образовав 5 групп с равными интервалами и точечную диаграмму связи.

Решение

        В нашем случае факторный признак  - среднемесячная производительность труда, результативный – премия по итогам года.

        i = (10,1 – 4,1) / 5 = 1,2

        Составим рабочую таблицу, сгруппировав рабочих по среднемесячной производительности труда (табл. 7).

Таблица 7

Группировка рабочих по среднемесячной производительности труда

                По данным рабочей таблицы строим аналитическую группировку (табл. 8).

Таблица 8

Зависимость величины премии от уровня среднемесячной производительности труда

Можно сделать вывод, что с ростом среднемесячной производительности труда размер премии по итогам года также увеличивается в среднем на 1-го рабочего. Следовательно, между факторным и результативным признаками существует прямая зависимость. Эту зависимость наглядно можно представить в виде точечной диаграммы, где по оси х берутся значения факторного признака, а по оси у – результативного (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость размера премии по итогам года от среднемесячного уровня производительности труда

Задача 7. На основе имеющихся данных (табл. 9) произвести вторичную группировку образовав шесть групп.                                                                                                                                                        Таблица 9

Распределение магазинов по размеру товарооборота за отчётный период

Решение

Приведённая группировка недостаточно наглядно, потому, что не отражает чёткой и строгой закономерности в изменении товарооборота по группам.   Уплотним ряды распределения, образовав шесть групп. Новые группы образуем путём суммирования первоначальных групп (табл. 10).

Таблица 10

Вторичное распределение магазинов по размеру товарооборота за отчётный период

На основе вторичной группировки чётко видно, что чем крупнее магазины, тем выше уровень товарооборота.

Задача 8. По имеющимся данным (табл. 11) произвести сравнительный анализ распределения численности рабочих по двум районам, предварительно приведя данные к сопоставимому виду (за основу взять более крупную структуру распределения).

Таблица 11

Группировка предприятий по численности рабочих по двум районам

Произвести сравнительный анализ распределения численности рабочих по двум районам, предварительно приведя данные к сопоставимому виду (за основу взять более крупную структуру распределения).

Решение

 Приведённые данные не позволяют провести сравнение распределения предприятий в двух районах по численности рабочих, т. к. число групп и величины интервалов различны. Необходимо ряды распределения привести к сопоставимому виду. За основу сравнения лучше взять распределение предприятий 1-го района (интервалы более крупные). Следовательно, по второму району надо произвести вторичную группировку, чтобы образовать такое  же число групп и с теми же интервалами, как и в первом районе. Получим следующие данные (табл. 12).

Таблица 12

Распределение предприятий по численности рабочих

Для определения числа предприятий, которые надо взять из пятой группы по второму району во вновь образованную группу, условно примем, что это число должно быть пропорционально удельному весу рабочих в группе. Определим удельный вес 50 рабочих в пятой группе.

Определяем удельный вес 50 рабочих в пятой группе:

(50 ∙ 15) / (250 – 150) = 9

Определяем удельный вес 50 рабочих в шестой группе:

(50 ∙ 21) / (400 – 250) = 7

Из данной группировки видно, что наибольший удельный вес принадлежит предприятиям с численностью от 300 до 500 чел. В 1-м районе на их долю приходится 28,1%, а во 2-м районе – 37,0 %. При этом наименьший удельный вес в численности рабочих приходится на предприятия с численностью до 100чел.

Задача 9. Продажа телевизоров в России характеризуется следующими данными (тыс. шт.) (цифры условные): 2008г. - 5527; 2009г. - 5563; 2010г. - 5628; в т.ч. было продано телевизоров цветного изображения (тыс. шт.): 2008г. - 3427; 2009г. -3616; 2010г. – 3915.

        Приведённые данные представить в виде статистической таблицы выявив структуру продаж телевизоров цветного изображения и изменения продаж во времени. Продажу телевизоров представить графически и сформулировать выводы, охарактеризовав происшедшие изменения в объёме и составе продаж телевизоров.

Решение

Решение задачи представим табл. 13.

Таблица 13

Продажа телевизоров в России

        Удельный вес телевизоров цветного изображения в общем, объёме продаж определяется так:

Объём продаж по сравнению с базисным 2008г.:

        - всех телевизоров

        - телевизоров цветного изображения

        Как видно из табл. 13, резкого увеличения объёма продаж всех телевизоров не было. За три года объём продаж повысился всего лишь на 1,8%. При этом значительно увеличился объём продаж телевизоров цветного изображения. За три года они выросли на 14,2%

Об этом также следует и из исчисленной структуры, где доля телевизоров цветного изображения в общем, объёме продаж имеет тенденцию к повышению с 62 до 69,6%.

Динамику продаж представим графически на рис. 5.

Рис. 5 Продажа телевизоров в России за 2008-2010годы

Рис. 6 Структура продаж телевизоров в России за 2008-2010годы

Графическое изображение подтверждает ранее сделанный вывод о том, что продажа всех телевизоров повышается незначительно. При этом преобладает реализация телевизоров цветного изображения.

Задача 10. На основе данных задачи 3, графически отобразите структуру рабочих, имеющих среднее профессиональное образование  по признаку Потери рабочего времени с помощью круговой и столбиковой диаграмм.

Решение

        Графически структуру численности рабочих и совокупных потерь рабочего времени по выделенным группам представим с помощью секторной и столбиковой диаграмм (рис. 7, рис. 8).

Рис.7 Распределение рабочих на группы по потерям рабочего времени

Рис. 8. Структура численности рабочих и совокупных потерь рабочего времени по выделенным группам

Рабочие с наиболее типичными значениями показателя входят во вторую группу (38,4 - 56,8). Их удельный вес 33,34 %, причём на эту группу приходится наибольшая доля всех потерь рабочего времени за год – 26,1 %.

Задача 11. В прошлом году объём грузооборота по грузовому автотранспортному предприятию составил 210,0 млн. т/км. Планом текущего года было предусмотрено довести объём грузооборота до 220,5 тыс. т/км; фактический объём грузооборота в текущем году составил 229,32 млн. т/км.

Определить:

- относительную величину планового задания по росту грузооборота;

- относительную величину динамики грузооборота;

- относительную величину выполнения плана по грузообороту.

Решение

1) относительную величину планового задания по росту грузооборота:

2) относительную величину динамики грузооборота:

3) относительную величину выполнения плана по грузообороту:

Задача 12.        В отчётном периоде на предприятии изготовлено 400 тыс. 12-листовых тетрадей, 50 тыс. – 24-листовых, 70тыс. – 48-листовых и 25 тыс. – 96-листовых. Определите общий объём изготовленных тетрадей в условно-натуральном выражении, если за условную единицу принимается 12-листовая тетрадь.

Решение

        Определим коэффициент перевода производства тетрадей в условные единицы

12 / 12 = 1

24 / 12 = 2

48 / 12 = 4

48 / 12 = 4

96 / 12 = 8

Определим общий объём изготовленных тетрадей в условно-натуральном выражении

400 ∙ 1 + 50 ∙ 2 + 70 ∙ 4 + 25 ∙ 8 = 980 тыс. условных штук

Задача 13. Ввод в действие зданий в 2014году (Тамбовская область в цифрах. 2014)  характеризуется следующими данными:

Число зданий – всего, единиц 2856, в том числе: жилого назначения – 2551, нежилого назначения – 305.

Определите структуру ввода в общем числе зданий.

Решение

Удельный вес жилого назначения:

,

Удельный вес нежилого назначения:

Наибольший удельный вес ввода в действие, занимают здания жилого назначения. На их долю приходится 89,3 % от общей численности зданий.

Задача 14. Имеются следующие данные о зарплате рабочих участка:

        Вычислите среднюю месячную заработную плату рабочих участка.

Решение

Процесс выбора средней величины таков:

        1) определяющий показатель – общая сумма начисленной заработной платы;

        2) математическое выражение определяющего показателя - ;

        3) замена индивидуальных значений средними -  ;

        4) решение уравнения

        Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.

Задача 15. Распределение рабочих участка по стажу работы следующее:

Определите средний стаж работы рабочих участка.

Решение

Условные обозначения записаны в таблице. Определяющий показатель  общий стаж работы всех рабочих - .

Средний стаж работы:  

Для каждого интервала предварительно вычислялось среднее значение признака как полусумма нижнего и верхнего значений интервала.

Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов:

        Для решения задачи использовалась формула средней арифметической взвешенной.

Задача 16. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные:

Определите, за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия.

Решение

        Введём условные обозначения за сентябрь:

 - численность работников по каждому цеху;

 - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель – общий фонд заработной платы - .

        Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила:

        Условные обозначения за октябрь следующие:

 - фонд заработной платы по каждому цеху;

 - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель - .

        Средняя месячная заработная плата работников предприятия за октябрь равна:

 - численность работников каждого цеха в октябре.

Средняя заработная плата в октябре исчислена по формуле средней гармонической взвешенной.

Динамика средней месячной заработной платы работников предприятия:

1741,8:1736,8=1,003 или 100,3%

Следовательно, средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре возросла по сравнению с сентябрем на 0,3%  (100,3-100).

Задача 17. Имеются следующие данные об экспорте продукции металлургического комбината:

Определите средний удельный вес продукции на экспорт.

Решение

        Удельный вес стоимости продукции на экспорт, %   определяется отношением стоимости продукции на экспорт ко всей стоимости продукции.

        Результат деления умножают на 100.

         - стоимость продукции на экспорт;

         - удельный вес продукции на экспорт;

        - стоимость всей продукции.

        Средний удельный вес продукции на экспорт:

Задача 18. Имеются следующие данные о чистой прибыли, полученной предприятиями:

        Вычислите размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Решение         

        Для решения задачи воспользуемся вспомогательной таблицей:

        Вычислим среднюю прибыль:

        Размах вариации:    

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

        Коэффициент вариации:

        Средний размер чистой прибыли составляет 30,6 млн. руб. При этом прибыль отдельных предприятий отличается от среднего размера в среднем на 7,5 8млн. руб.

Данная совокупность является однородной, поскольку коэффициент вариации не превышает 33%.

Задача 19. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы и вычислите:  дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации

Решение:

Для решения построим вспомогательную  таблицу:

Средняя длина пробега:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

        Следовательно, изучаемая совокупность считается не однородной, т.к. коэффициент вариации  превышает 33 %.

Задача 20. В трёх партиях продукции, представленных на контроль качества, было обнаружено:

а) первая партия – 1000 изделий, из них 800 годных, 200 бракованных;

б) вторая партия – 800 изделий, из них 720 годных, 80 бракованных;

в) третья партия – 900 изделий, из них 855 годных и бракованных 45 единиц продукции.

        Определите в целом для всей партии следующие показатели:

1) средний процент годной продукции и средний процент брака;

2) дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации годной продукции.

Решение:

Это пример на определение средней величины и показателей вариации альтернативного признака.

        Средняя величина альтернативного признака равна р – удельному весу единиц, обладающих данным признаком во всей совокупности.

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

,

где - удельный вес совокупности, не обладающий изучаемым признаком.

Средний процент годной продукции в трёх партиях равен:

        Средний процент брака:

Дисперсия удельного веса годной продукции:

Среднее квадратическое отклонение удельного веса годной продукции:

        Коэффициент вариации удельного веса годной продукции в общем выпуске продукции:    

Задача 21. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет):

Определите моду и медиану. Представьте интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы, полигона и кумуляты.

Решение

Моду определим по формуле:

Гистограмма строится в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывают интервалы значений вариационного признака, причём число интервалов целесообразно увеличить на два (по одному в начале и в конце имеющегося ряда) для удобства преобразования гистограммы в полигон частот. На отрезках (интервалах) строятся прямоугольники, высота которых соответствует частоте.

Для преобразования гистограммы в полигон частот середины верхних прямоугольников соединяют отрезками прямой, и две крайние точки прямоугольника замыкают по оси абсцисс на середине интервалов, в которых частоты равны нулю.

На основе построенной гистограммы графически можно определить значение моды. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым верхнем углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых будет модой распределения.

На рис. 9 эти прямые линии, соединяющие вершины прямоугольников, и перпендикуляр из точки их пересечения показаны пунктирной линией. Кроме того, на рис. 9  представлено графическое изображение построенного интервального вариационного ряда в виде гистограммы и полигона частот.

Рис. 9 Гистограмма и полигон распределения рабочих цеха по возрасту и графическое определение моды

Значение моды, полученное по формуле, соответствует значению, полученному на графике.

Место медианы -

Медианным является интервал 27 – 30 лет, так как в этом интервале находятся номера 15 и 16 ряда.

Медиана вычисляется по формуле:

Для графического определения медианы может быть использована кумулята. Для этого последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси х, до пересечения её с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой. Линии, определяющие медиану, на рис. 10 показаны пунктирными линиями.

Рис. 10 Кумулята распределения рабочих цеха по возрасту

Задача 22. Определите границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности, если известно следующее её распределение, основанное на результатах повторного выборочного обследования:

        Уровень  доверительной вероятности определите самостоятельно.

Решение

Среднее значение признака по выборке:

        Выборочная дисперсия:

Вероятность ошибки установим – 0,954, соответственно уровень коэффициента доверия составит 2.

        Установим границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности

        Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее значение признака в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 9,06 до 10,94.

Задача 23. В результате случайной повторной выборки в городе предполагается определить долю семей с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,27.

Решение

        Необходимый объём выборки определим по формуле:

семей

        Численность выборки должна составлять 2700 семей.

Задача 24. Проведено выборочное наблюдение партии однородной продукции для определения процента изделий высшего сорта.

При механическом способе из партии готовых изделий в 20000 единиц было обследовано 800 единиц, из которых 640 изделий отнесены к высшему сорту.

        Определите с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.

Решение

        В случае механического отбора предельная ошибка определяется по следующей формуле:

,

где t  - коэффициент доверия t=3 при р = 0,997;

N – численность генеральной совокупности;

n- численность выборки;

w – выборочная доля.

Определяем выборочную долю       w = 640/800 = 0.8

        Рассчитываем предельную ошибку выборки

        Устанавливаем границы генеральной доли изделий высшего сорта:

Следовательно, генеральная доля находится в пределах:

Задача 25. На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Определить:

- среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

        - долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 1400 руб.  и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954;

        - необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 50 руб.;

        - необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 1400 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 2 %.

Решение

        Средний месячный доход по выборке

        Определяем дисперсию выборочной средней

        Предельная ошибка выборки при вероятности р=0,997 t=3 составит:

        Доверительный интервал среднего размера месячного дохода работников предприятия

        Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия находится в пределах  от 1209,1 до 1382,9 руб.

        2) Определим долю рабочих (w), имеющих размер месячного дохода 1400 руб. и выше:

        Предельная ошибка выборки при вероятности р=0,954 t=2 составит:

        Устанавливаем доверительные интервалы для генеральной доли:

        С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля рабочих предприятия имеющих месячный доход 1400 руб.  и выше, находится в пределах от 19,5 до 363,5 %.

Необходимая численность выборки для определения среднего месячного дохода определяется по формуле:

Необходимая численность выборки для определения доли рабочих, имеющих доход 1400 руб. и выше, определяется по формуле:

Задача 26. На основании выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем, объёме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется. Требуется определить численность выборки, если результаты выборки дать с точностью до 1 % и гарантировать это с вероятностью 0,95.

Решение

        По условию задачи известны:    

        Так как значение w  не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение w=0.5

Необходимая численность выборки составит:

        Следовательно, чтобы с заданной точностью определить долю частных писем в общем, объёме отправляемой корреспонденции необходимо в порядке случайной выборки отобрать 9604 письма.

Задача 27. Имеются следующие данные о продаже легковых автомобилей в России:

Определить показатели динамики продажи легковых автомобилей от года к году и средние за весь анализируемый период:

Решение:

Решение задачи оформим таблицей:

Средний уровень интервального ряда динамики:

 тыс. руб.

Средний абсолютный прирост

 тыс. руб.

или  тыс. руб.

Средний коэффициент роста:

или

Средний темп роста

Средний темп прироста

или

Средняя величина абсолютного значения 1 % прироста

Задача 28. Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):

Определить абсолютное и относительное изменение среднегодовой стоимости имущества в 2010 г. по сравнению с 2008 и 2009 гг.

Решение:

Поскольку промежутки времени между датами равны, средний уровень моментного ряда динамики исчисляется по формуле:

,

где у1 и у n - уровни соответственно на начало и на конец периода, за который  исчисляется средний уровень;

n - число уровней ряда.

 млн. руб.

 млн. руб.

 млн. руб.

В 2010г. среднегодовая стоимость имущества предприятия возросла по сравнению с 2008г. на 20,375 млн. руб. (∆ = 87,375 - 67) или на 30,4% (Кр = 87,375 : 67 = 1,304), и по сравнению с 2009г. - на 13,125 млн. руб., или на 17,7% (13,125 : 74,25 ∙ 100)

Задача 29. Имеются следующие данные о выпуске продукции предприятия по месяцам за год в сопоставимых ценах:

Решение

Укрупним интервалы до трёх месяцев и рассчитаем суммарный  и среднемесячный выпуск продукции по кварталам. Новые данные будут выглядеть следующим образом (табл. 20):

Таблица 20

Данные о выпуске продукции после укрупнения интервалов

Задача 30. Методом трёхзвенной скользящей средней выровнять исходные данные о выпуске продукции предприятия за отчётный период. Проиллюстрировать выровненную кривую на графике.

Решение

Определим трёхзвенные скользящие средние следующим образом:

,      и т.д. (см. гр. 2 табл. 21).        Таблица 21

Полученные значения нанесём на график (рис. 11)

Рис. 11 Выравнивание исходных данных с помощью скользящей средней

Задача 31. На основе имеющихся данных произвести выравнивание ряда по прямой (цифры условные).

Решение

Решение задачи оформим таблицей 22.                                                                                                    Таблица 22

Определяем параметры уравнения:

,

 (графа 5 табл. 22).

Таким образом, среднегодовой прирост производства стали составляет ежегодно 2,21 т.

Задача 32. По имеющимся  данным о заключении брака в городе за ряд лет наблюдения определите индексы сезонности.

Решение

Решение задачи оформим таблицей 23.                                                                              Таблица 23

При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.

Общий средний уровень ряда составляет:

 - среднемесячное число браков

Средний уровень января:

 - среднее число браков в январе.

Аналогично рассчитываются средние уровни за все последующие месяцы.

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенные по полученным индексам сезонности линейный график наглядно показывает сезонность рассматриваемого процесса (рис. 12).

Рис. 12 График сезонной волны числа заключённых браков

По графику можно сделать вывод, что самым непопулярными месяцами для заключения брака являются май, июнь и сентябрь.

Задача 33. Имеются следующие данные о продаже товаров на рынке города:

Определите:

        1. Индивидуальные  индексы цен и объема проданного товара;

        2. Общий индекс товарооборота;

        3. Общий индекс физического объема товарооборота;

        4. Общий индекс цен;

        5. Прирост товарооборота  всего и в том числе за счет изменения цен и объема продажи товаров.

        Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

Решение:

Для удобства решение задачи оформим вспомогательной таблицей:

        1. Общий индекс товарооборота

    или  93 %

        Товарооборот в июле снизился на 7% (93-100) по сравнению с июнем.

        2. Общий индекс физического объёма товарооборота.

    или 86,3 %

        Это значит, что количество проданного товара  в июле было меньше на 13,7% ,чем в июне.

        3. Общий индекс цен

     или 107,8 %

т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 7,8%

        4. Снижение товарооборота  в целом

        Данное снижение обусловлено изменением двух факторов.

        а) прирост за счёт изменения цен составил:

        б) снижение за счёт изменения количества проданных товаров:

        Между исчисленными индексами существует взаимосвязь:

Задача 34. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазине города:

        Определите индекс физического объема товарооборота.

Решение:

        Индекс физического объёма товарооборота определяется как средний арифметический:

,

где  - индивидуальный индекс физического объёма

        Индивидуальные  индексы количества по товарным группам составят:

        Подставляем значения в формулу и получаем индекс физического объёма товарооборота

          или 111,0 %

        Следовательно, количество проданных товаров увеличилось на 11%, что в денежном выражении составило 69 тыс. руб. (696 - 627).

        Если, например, известно, что цены на эти товары снизились на 5%, то можно определить, как изменился общий товарооборот:

  или 104,5 %,

т.е. товарооборот по этим товарам увеличился на 4,5 %.

Задача 35. По имеющимся данным о продаже товаров в торговых предприятиях района определите:

1. Изменение цен на проданные товары (индекс цен)

        2. Общий индекс товарооборота

        3. Общий индекс физического товарооборота

Решение:

        1. Общий индекс цен исчислим в форме среднего гармонического индекса:

Здесь   - индивидуальный индекс цен.

        Для вычисления этого индекса определим предварительно индивидуальные индексы цен:

Для обуви                             100+12= 112 %  или 1,12  в коэффициентах,

Для трикотажа                     100+5= 105 %  или 1,05

Для кожгалантереи             (100+2):100 = 1,02

Следовательно:

т.е. цены в среднем увеличились на 7,6 %. Сумма перерасхода, полученная   населением от повышения цен, составила 155 – 144  = 11тыс. руб.

  2.Общий индекс товарооборота:

        Товарооборот во втором квартале вырос по сравнению с 1 кварталом на 33,6 % или на 39 тыс. руб. (155-116)

        3. Общий индекс физического товарооборота:

        Следовательно, количество проданных товаров увеличилось на 24,1%,что составляет 28 тыс. руб. (144-116).

 Задача 36. На основании данных о реализации обуви за два периода,      определите:

        1.Среднюю цену на обувь за базисный и отчетный периоды и динамику этой цены (индекс переменного состава);

        2. Индекс постоянного состава;

        3. Индекс структурных сдвигов в реализации обуви.

Решение:

        1. Определим среднюю цену за периоды:

- базисный:    

- отчётный:    

        Индекс переменного состава:    

        Индекс показывает, что средняя цена обуви по всем её видам возросла на 10,5 %.Это повышение обусловлено изменением цен по каждому виду обуви и изменением структуры.

Выявим влияние каждого из этих факторов на динамику средней цены, исчислив индексы постоянного (фиксированного) состава и влияния структурных сдвигов.

        2. Индекс фиксированного (постоянного) состава:

        Цена по всем видам обуви возросла в среднем на 6,9%

                3. Индекс влияния структурных сдвигов:

        Средняя цена в отчётном периоде увеличилась дополнительно на 3,4 % за счёт изменения структуры.

Задача 37. На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования  представлены в следующей таблице.

а) Определите час пик – время, когда в вагоне едут максимальное число людей.
б) Найдите время, когда  относительная частота возрастной категории от 30-40 лет максимальна.
в) Какой процент пассажиров вагона, отправившегося в 11ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 20 до 50 лет?

Решение.

а) Чтобы определить час пик, найдем общее количество людей, едущих в вагоне, каждый час. Для этого просуммируем данные таблицы по столбцам.