Валуйский колледж

Методическая разработка

занятия по математики

на тему: «Пределы функций».

Выполнила:

преподаватель ВМУ

Яковлева Н.В.

Валуйки 2012г.

Содержание методической  работы:

1. Мотивация.
2. Цели занятия.
3. Межпредметные связи.
4. Хронокарта.
5. Ход занятия.
6. Приложения.

Мотивация.

Изучение курса математики необходимо на первом году обучения в медицинском училище потому что, во – первых, на данном этапе происходит изучение различных предметов, в которых математика используется в виде различных формул и математических вычислений; во – вторых, потому, что на занятиях по специальным предметам студенты сталкиваются с необходимостью применения элементарных математических навыков для решения ситуационных задач, расчета дозы лекарственных средств и т. п..

Цель:

1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Пределы функций»,
2. Формировать навыки решения пределов,
3. Развивать логическое мышление, математическую зоркость.

Студент должен знать:

1. Изученный материал по теме: «Пределы функций».
2. определение функции;
3. определение предела функции;
4. свойства пределов функций и основные теоремы о пределах.
5. формулы нахождения корней квадратных уравнений,
6. правила умножения, деления, сложения и вычитания чисел с разными знаками,
7. способы решения квадратных уравнений в зависимости от их вида,

Студент должен уметь:

8. производить элементарные операции с функциями;
9. находить область значений, область определений функций;
10. строить графики функций;
11. находить пределы функций.
12. решать квадратные алгебраические уравнения;
13.  находить значение придела по заданному условию.

Оборудование: дидактический материал.

 Время: 90 минут.

Место проведения: аудитория № 3

Тип занятия: практическое

Математику уже затем нужно знать,

 что она ум в порядок приводит.

                        М.В. Ломоносов.

Ход занятия:

1. Организация внимания учащихся.
2. Проверка домашнего задания.

Вопросы для повторения теоретической части:

 1.Дайте определение предела функции f(х) в точке хо.

 2.Закончите формулировки перечисленных теорем о пределах:

          Теорема 1. Предел постоянной равен ___________

        Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен _

        Теорема 3.Предел произведения двух функций равен _________

        Теорема 4.Постоянный множитель можно _________

        Теорема 5. Предел отношения двух функций равен ________ их пределов, если предел делителя ____

         Теорема 6. Если функция имеет предел при х – хо, то

3. Устные упражнения.

Как умножить числа с разными знаками?

-2*3

6*(-5)

Как умножить числа с отрицательными знаками?

-2*(-8)

-0,5*(-2)

Как сложить числа с разными знаками?

-3+8

-6+0,2

Как сложить два отрицательных числа?

-5+(-45)

-6-10

Выполнить действия:

4-2*8

9-4*(-2)*(-5)

4. Повторение.    

Определение 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида

                        (1)

где   - переменная; , ,  - действительные числа, причем .

Решение квадратного уравнения зависит от выражения . Выражение  = , называется дискриминантом уравнения.

Теорема. Уравнение  (1)

а) имеет два разных действительных корня , , если ;

б) имеет два равных действительных корня , если ;

в) не имеет действительных корней, если .

V. Отработка навыков решения

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ.

Пример №1 Вычисление пределов функций с помощью теорем о пределах.

        Lim (4x2 – 6x +3)= lim4x2 – lim6x + lim3 =4limx2-6limx +3= 4 *22- 6 *2+3=7                              x→2                                    x→2                x→2           x→2           x→2           x→2

Какие из перечисленных теорем здесь использованы?

Пример №2    lim(x2 –2x +5):(x2 +7)

                     x→1

Найдем величину предела знаменателя: lim( x2 +7)=lim x2 +lim7=1+7=8 ≠ 0

                                                                                                              x→1                       x→1           x→1  

Так как знаменатель не равен 0, то применим теоремы о пределах и вычислим предел числителя (попробуйте самостоятельно, смотри пример №1). У вас получилось 0,5!

Вычисление пределов функций в тех случаях, когда непосредственное применение теорем о пределах не приводит к определенным результатам.

Часто бывает, что функция у=f(x) при х = хо не определена, но предел существует. В таком случае, для отыскания пределов нужно выполнить преобразование.

Напомним следующие теоремы алгебры:

а2 –в2 = (а - в)(а + в)

(а + в)2 = а2 + 2ав + в2

(а - в)2 = а2 - 2ав + в2

а3 – в3 = (а - в)( а2 + ав + в2)

а3 + в3 = (а + в)( а2 - ав + в2)

Разложение квадратного трехчлена на множители ах2 + вх + с = а(х-х1)(х-х2), где х1 и  х2 корни уравнения ах2 + вх + с =0 , которые определяются по формуле:

           -в +√в2-4ас          

Х1 =

                2а

           -в - √в2-4ас

Х2 =

                2а

Пример № 3 Вычислить предел       lim (x2 –6x +8):(x - 4)

                                                                                     x→4

т.к.  знаменатель дроби при х→4 обращается в ноль, то выполним преобразование числителя, разложив его на множители    x2 –6x +8 = 0

D = 36-4*1*8 =4

Х1 = (6+2)/2  = 4

Х2  =(6-2)/2 = 2 

lim (x2 –6x +8)/(x - 4) = lim (х-2)(x - 4)/ (х-4) = lim (х-2) = 2

  x→4                                                  x→4                                                  x→4

Вычислить предел  lim(x2 –4) / (x-2)

                                x-2

        т.к. знаменатель дроби при Х=2 обращается в ноль, то преобразуем числитель дроби, разложив на множители Х-4 с помощью формулы разности квадратов

                        Х2-4=(х-2)(х+2)

        lim(x2-4)=lim(x-2)(x+2)/(x-2)=lim(x+2)=2+2=4

           x-2             x-2                         x-2

Вычислить предел lim(x3-8)/(x-2)

                                      x-2

т.к. знаменатель дроби при х=2 обращается в ноль, выполним преобразования числителя дроби с помощью формулы разности кубов

                        х3-8= (х-2)(х+2х+4)

                lim(x3-8)/(x-2)=lim(x-2)(x+2x+4)/(x-2)=lim(x+2x+4)=2+2*2+4=10

                  x-2                     x-2                             x-2

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить предел функции в точке

1.lim (2x2 – 7x + 6)             1. lim(x2 – 25)/(x + 5)         1.lim(x3 +1)/(x + 1)           1.lim(x2+x-12)/(3x-9)                                     x  →3                              x→-5                             x→ -1                                                     x→3        

2. lim (9x2- 6x + 8)                2. lim(x2 – 1)/(x-1)        2.lim(x3 + 8)/(x + 2)          2.lim(x2-6x+8)/(x-2)

   x→1                                x→1                           x→ -2                                x→2

3. lim (5x2- 3x + 7)                3.lim(x2 – 9)/(x – 3)        3.lim(x3–1)/(x – 1)          3.lim(x2-4x-5)/(x+1)        

   x→1                                x→3                          x→1                             x→ -1

4.lim (4x2 - 3x + 7)                4.lim(x2 –16)/(x + 4)        4.lim(x3 + 27)/(x +3)          4.lim(x2+2x-3)/(x-1)        

    x→0                                     x→ -4                           x→ -3                             x→1

VI. Самостоятельная работа

 Вычислить предел функции в точке

5..lim(x2+2x – 4)                5. .lim(x2 –36)/(x + 6)       5.lim(x3-27)/(x –3)          5.lim(x2-3x-4)/(x+1)

     x→0                                x→ -6                             x→3                                                  x→ -1        

6. lim(x2 –3x +3 )                6. .lim(x2 –49)/(x - 7)          6.lim(x3 +64)/(x+4)           6.lim(x2-5x+6)/(x-2)      

     x→3                                           x→7                             x→ -4                                         x→2

7. lim(x2 +2x –7)               7. .lim(x2 –64)/(x + 8)           7.lim(x3-64)/(x-4)          7.lim(x2-x-6)/(x+2)

    x→1                                                             x→ -8                                x→ 4                                         x→ -2

8. lim(x2 –5x+1)               8.lim(x2 –81)/(x - 9)           8.lim(x3-125)/(x-5)          8.lim(x2+2x-8)/(x-2)         

    x→ -1                                                   x→9                                 x→5                               x→2

VII. Подведение итога занятия.

Над какой темой мы сегодня работали?

Что называется пределом функции?

Какие основные теоремы и свойства пределов функции мы сегодня повторили?

Домашнее задание:

1. Лекция № 2