Вступ. Еволюція розвитку математики та її роль в практичному житті людей.

Тема. Вступ. Еволюція розвитку математики та її роль в практичному житті людей.

Мета: ознайомити студентів з основними періодами розвитку математики і її ролі в практичному житті людей. Розвивати увагу та пам’ять. Виховувати критичне мислення і вміння робити логічні висновки.

Вид заняття: лекція

Обладнання: таблиці, web-ресурс, схеми, ПК, презентація.

Література:  

1. О.М. Роганін „Алгебра і початки аналізу”
2. А.М.Колмогоров „Алгебра і початки аналізу”
3. Г.М. Яковлєв „Алгебра і початки аналізу”
4. М.І. Шкіль „Алгебра і початки аналізу”

Лекція за планом.

План.

1. Предмет математики і основні періоди її розвитку.
2. Математика і науково-технічний прогрес.
3. Поняття про математичне моделювання. Приклади математичних моделей

Предмет математики і основні періоди її розвитку. Математика – це одна із самих важливих фундаментальних наук. Слово „математика” походить від грецького слова „матема”, що означає знання. Виникла математика на перших етапах створення людської культури в зв’язку з практичною діяльністю людини. З давніх давен люди, виконуючи різні роботи, зустрічалися з необхідністю рахувати, міряти, обчислювати. В усіх цих випадках потрібно було встановити кількісні оцінки множин, визначити форми плоских і просторових фігур, виміряти площі  і об’єми, порівнювати, обчислювати і перетворювати (демонструється web-ресурс «Математикою споглядається істина…»)

        Математика – це наука, яка вивчає кількісні відношення і просторові форми дійсного світу. В результаті багатовікової діяльності людей виникли основні абстрактні поняття такі як число, геометрична фігура, функція, похідна, інтеграл та інші.

        За своєю історією математика, яка розвивається в тісному зв’язку з розвитком виробничої діяльності людей і загальнолюдської культури, перетворилася в струнку дедуктивну науку, що має могутній апарат для вивчення навколишнього світу.

        Академік А. М. Колмогоров виділив слідуючи чотири основні етапи в розвитку математики.

        І етап – період зародження математики, початок якого губиться в глибині тисячоліть історії людства і продовжується до VI-V ст.. до нашої ери. В цей період створюється арифметика і початки геометрії. Математичні відомості цього періоду складаються  в основному із правил розв’язку різних практичних задач.

        ІІ етап – період елементарної математики, тобто математики сталих величин (VI-V ст. до н.е. – XVII ст. н.е.). На початку цього періоду давньогрецький математик Евклід створює серію із тринадцяти книг „Начала Евкліда” – перші теоретичні дослідження з математики, які дійшли до нас, аксіоматичне обґрунтування елементарної математики. Видана в ІХ ст. праця ал-Хорезмі „Кітаб-ал-джабр ал мукабала” містить загальні прийоми розв’язку задач, що зводяться до рівнянь першого і другого степеня. В XV ст. стали використовувати замість словесних описів знаки арифметичних дій, дужок і степеня. В XVI ст. французький математик Франсуа Вієт застосував букви для позначення даних і невідомих величин. До середини XVII ст. в основному створилась сучасна алгебраїчна символіка і цим були створені основи математичної мови.

        ІІІ етап – період створення математики змінних величин (XVII ст. – середина XVIII ст.). Починаючи з XVII ст. з’являється поняття функції. В цей період в роботах Рене Декарта (французький математик і філософ) на базі широкого використання методу системи координат створюється аналітична геометрія. В роботах англійця І. Ньютона і німецького математика та філософа Лейбніца завершується створення диференціального і інтегрального числення. Великий вклад в дальший розвиток математики вніс швейцарський вчений Ейлер, який жив в Росії.

        IV період – період сучасної математики. Його початок потрібно віднести до 20-х років XIX ст. Цей період починається з робіт французького математика Галуа, в яких закладені ідеї алгебраїчних структур Лобачевского. Цей вчений відкрив першу неевклідову геометрію. Пізніше дальше поширення набуває аксіоматичний метод, математична логіка і математичне моделювання. Створення в середині XIX ст. ЕОМ привело до більш широкого застосування математики в інших областях знань, в технічних науках, в питаннях організації і управління виробництвом.

        При вивченні кількісних характеристик складних об’єктів, процесів, явищ використовується метод математичного моделювання, який полегшує роботу тому, що дані закономірності формулюються на математичній мові і досліджуються при допомозі відповідних математичних засобів.  

Математика і науково-технічний прогрес. Однією з характерних рис сучасного науково-технічного прогресу е суттєве розширення галузей застосування теоретичної і обчислювальної математики на базі широкого застосування методу математичного моделювання й електронно-обчислювальних машин (ЕОМ).

Наразі математичні методи і обчислювальна техніка застосовуються не тільки в таких традиційних науках як механіка, астрономія, фізика, але й в економіці, хімії і навіть у таких, на перший погляд, ніби далеких від математики галузях знань як соціологія, лінгвістика, біологія, медицина тощо.

Чим пояснити таке широке проникнення математики в інші науки? У першу чергу більшість напрямів наукової та технічної діяльності людини досягли порівняно високого рівня розвитку і на даному етапі вичерпали можливості описового методу дослідження. У зв'язку з цим подальший успіх можливий лише на базі використання точних кількісних методів дослідження, тобто застосування математичного апарата. По-друге, розвиток самої математики дав можливість створити потужні електронно-обчислювальні машини, які здатні виконувати великі об'єми громіздких обчислень.

У середній школі ви познайомилися з основами теорії рівнянь і їх систем, векторного, диференціального й інтегрального числення та їх застосуванням під час розв'язування практичних задач. Мета вивчення математики у вищих навчальних закладах полягає в тому, щоб поглибити знання з вивчених розділів і ознайомити з деякими новими розділами математики (аналітична геометрія, теорія диференціальних рівнянь, функції багатьох змінних тощо), що збагачують загальну культуру, розвивають логічне мислення і широко використовуються в математичному моделюванні задач, з якими зустрічається сучасний спеціаліст у своїй діяльності. Демонструється презентація-дослідження історичних етапів становлення математики.

Поняття про математичне моделювання. При вивченні кількісних характеристик складних об'єктів, процесів, явищ використовують метод математичного моделювання, який полягає в тому, що закономірності, які розглядаються, формулюються на математичній мові і досліджуються за допомогою відповідних математичних засобів. Математична модель об'єкта, який вивчається, записується за допомогою математичних символів і складається із сукупності рівнянь, нерівностей, формул, алгоритмів, програм для ЕОМ. до складу яких входять змінні і постійні величини, різні операції, функції та інші математичні поняття.

Прикладами складання найпростіших математичних моделей служать добре відомі з курсу математики середньої школи прийоми розв'язування задач за допомогою рівнянь і системи рівнянь – отримані рівняння чи система рівнянь є математичною моделлю даної задачі. Це були, як правило, приклади задач з єдиним розв'язком. Але часто зустрічаються задачі, які мають багато розв'язків. У таких випадках на практиці виникає питання про знаходження такого розв'язку, який є найбільш підходящим з тої чи іншої точки зору. Такі розв'язки називаються оптимальними. Оптимальні розв'язки визначаються як розв'язки, для яких деяка функція, що називається цільовою функцією, приймає при заданих обмеженнях найбільше чи найменше значення. Цільова функція складається з умови задачі і виражає величину, яку потрібно оптимізувати, тобто максималізувати і мінімізувати, наприклад, прибуток, який отримується, кількість ресурсів, що затрачаються, тощо.

Розглянемо типовий приклад задачі оптимального поєднання продукції виробництва.

Для виготовлення двох видів продукції (А і Б) , які обробляються на токарних і фрезерних станках, використовується певна кількість сталі і кольорових металів. Прибуток від реалізації одиниці продукції виду А - 3 тис. грн., виду Б - 8 тис.грн. Дані про витрати і ресурси подано в таблиці.

Необхідно визначити такий план виробництва продукції, який забезпечує найбільший прибуток при умові, що час роботи фрезерних станків повинен бути використаний повністю. Побудову математичної моделі задачі почнемо з введення позначень для основних характеристик плану: χ - кількість одиниць продукції А, у - продукції Б. Знайдемо відношення між характеристиками плану (х; у). На виготовлення продукції за планом (х; у) піде 10x+70y кг сталі і 20x +50y кг кольорових металів. Оскільки затрати ресурсів не можуть перевищувати їх запаси, отримуємо нерівності:

10х+70у<3200

20х+50у<4200.

Далі час обробки всіх виробів за планом (х;у) на токарних станках становить 300x + 400y годин, і ця кількість не повинна перевищувати число 62000, а на фрезерних станках - 200x + 100y годин і повинно складати 34000. Таким чином, отримуємо співвідношення:

300х+ 400y ≤ 62000

200x + 100y = 34000.

Враховуючи, що величини x і у не можуть бути від'ємними, отримуємо систему обмежень:

           (1)

Довільний розв'язок системи (1) допускається планом у нашому виробництві. З умови задачі легко підрахувати, що прибуток, який дає план (х;у), дорівнює Зх+8у тис. грн. Позначимо отриманий вираз через F (х;у), прийдемо до функції, яка є цільовою:

F(x;y) = 3x+8y   (2).

Таким чином, математична модель задачі складається з системи (1)        і цільової  функції  (2). Для  розв'язку  задачі   необхідно  знайти
значення χ і у, які задовольняють систему (1), для яких цільова функція (2) приймає найбільші значення.

Дану задачу підібрано так, що вона може бути розв'язана елементарними методами. З четвертого співвідношення виразимо у через х:

у = 340 - 2х       (3),

підстановка значення у в інші співвідношення дає:

Розв'язуючи кожну з цих нерівностей окремо, знаходимо, що всіх їх задовольняють значення х з відрізка (160; 170), тобто 160<х<170. З виразу для цільової функції F(x;y) = Зх + 8y = Зх + 8(340-2х;)=2720 – 13х видно, що найбільше її значення одержимо при найменш допустимих значеннях х, тобто при х=160. Тоді з (3) отримаємо у - 20.

Таким чином, план х = 160, у = 20 дає найбільший прибуток, який дорівнює F(160;20) = 640 (тис. грн.).

Підсумки заняття.

Домашнє завдання.

Повторити дії з дійсними числами.