Расстояние между скрещивающимися прямыми
Координатным и векторным способом. Задача С2 ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 rasstoyanie_mezhdu_skreshchiv.ppt | 239 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основные понятия Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от точки одной прямой до плоскости параллельной данной прямой и содержащей вторую прямую.
В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 . х y z Точки A 1 (1;0;1) , B (1;1;0) Вектор A 1 B {0;1;-1} Точки D (0;0;0) , B 1 (1;1;1) Вектор DB 1 {1;1;1} Пусть КМ ┴А 1 В и КМ┴ D В 1 , значит КМ – искомое расстояние. Пусть точка К лежит на прямой A 1 B, а точка М на прямой DB 1 . Рассмотрим векторы А 1 К и DM , сонаправленные с направляющими векторами данных прямых . По лемме о коллинеарных векторах вектор А 1 К = а · А 1 В, т.е. вектор А 1 К {0;a;-a}, вектор DM = b · DB 1 , т.е. вектор DM {b;b;b}. Тогда К(1;а;1-а), М( b;b;b) и вектор КМ {b-1;b-a;b-1+a}. К М
Решим систему из условия перпендикулярности двух векторов KM·A 1 B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0 , KM·DB 1 =0 1·(b-1)+1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0 Решив систему получаем a=1/2, b=-2/3 , подставим эти значения в координаты вектора КМ: КМ { -1/3; 5/6; -1/2} . Найдём длину вектора |КМ| =√х²+ y²+z², |КМ| =√1/9+1/36+1/36=√6/6 . Ответ: √6/6 a·b = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = 0
В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 . K M x y z KM=MB 1 +BB 1 +BK=a·DB 1 +B 1 B+b·BA 1 DB 1 {1;1;1}, BA 1 {0;-1;1}, B 1 B{0;0;1} KM = {a; a ;a} + {0; 0; 1} + {0; -b ; b}= = {a; a- b; a+1+b} KM·BA 1 =0 0·a-1·(a-b) +1·(a+1+b)=0 , KM·DB 1 =0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0 b= -½, a= -⅓ KM {-1/3; 1/6;1/6} |KM|= √1/9+1/36+1/36 =√6/6
В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1 z y x Рассмотрим плоскость (А 1 В 1 С), содержащую прямую В 1 С и параллельную прямой АВ. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние от точки прямой АВ, например от А, до плоскости (А 1 В 1 С). Введём прямоугольную систему координат ОХУ Z так, чтобы ось ОХ была параллельна высоте ВН основания, ось ОУ совпадала с АС, ось О Z совпадала с АА 1. Н
Рассмотрим ∆АВС в плоскости ОХУ x y A C B H ∆ ABC – правильный, АВ=ВС=АС=1, ВН=√3/2. Составим уравнение плоскости (А 1 В 1 С): Ax+By+Cz+D=0. A 1 (0;0;1), B 1 ( √3/2 ; 1/2 ;1), C(0;1;0) , подставляем координаты точек в уравнение плоскости, получим систему: 0A+0B+ 1 C+D=0, ( √3/2 )A+(1/2)B+1C+D=0, 0A+1B+0C+D=0. Получаем C=-D, B=-D, A= ( √3/ 3)D . Уравнение плоскости (А 1 В 1 С 1 ): ( √3/3 )Dx-Dy-Dz+D=0, ( √3/3 )x-1y-1z+1=0, Формула расстояния от точки до плоскости: d= где (х 0 ;у 0 ; z 0 )- координаты точки A , d = |√3/3· 0-1·0-1·0 +1| / √ ( √3/3 )²+1+1 =√21/7. Ответ: √21/7. х у z H
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания 3√2, боковые ребра 5 ,точка М – середина ребра AS . Найдите расстояние между прямыми М D и SB. M K Из точки М проведён прямую MK параллельную SB , очевидно, что МК - средняя линия ∆ ASB, SB ‖ (KMD). Расстояние между прямыми MD и SB – это расстояние от точки прямой SB до плоскости ( MDK ) . Введём прямоугольную систему координат ОХУ Z с началом в точке пересечения диагоналей О, так чтобы ось ОХ совпадала с ОА, ось ОУ с ОВ, ось О Z с высотой OS. Сторона квадрата 3√2, =>, диагональ АС=6. В прямоугольном ∆ АО S : AO=3 , SO=4 . Составим уравнение плоскости ( MKD): Ax+By+Cz+D=0, A(3;0;0),D(0;-3;0), S(0;0;4), M(3/2;0;2) 3A+D=0 3B+D=0 (3/2)A+2C+D=0 y x z
M K A= (- 1/3)D, B=(1/3)D, C=(-1/4)D . Уравнение плоскости (МК D): (-1/3)Dx+(1/3)Dy+(-1/4)Dz+D=0, (-1/3)x+(1/3)y+(-1/4)z+1=0. Определим расстояние от точки В(0;3;0) до плоскости (МК D) по формуле d= d= | 1+1|/√1/9+1/9+1/16=√41/12 Ответ: √41/12 z x y Спасибо за внимание!!!