Окасании уравнения Пфаффа на многообразии размерности 3, 4, 5
Научная работа по теме "О КАСАНИИ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА С ПОВЕРХНОСТЬЮ НА МНОГООБРАЗИИ РАЗМЕРНОСТИ 3,4,5 "
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 90.92 КБ |
Предварительный просмотр:
О КАСАНИИ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА С ПОВЕРХНОСТЬЮ НА МНОГООБРАЗИИ РАЗМЕРНОСТИ 3,4,5 .
Ю.А. Шкарупо
Учительматематики и информатики МБОУ «СОШ №34»
Wkarupo_djulia@mail.ru
Определение 1 [1]: Уравнением Пфаффа на дифференцируемом многообразии М размерности n называется уравнение вида
(1)
где ω – дифференциальная 1-форма на М, причем ω нигде не обращается в 0.
Уравнение (1) для краткости будем обозначать .
Если , то уравнение (1) имеет вид:
(2)
Если - функция, нигде не обращающаяся в 0, то уравнение (1) будет считать эквивалентным уравнению
.
Уравнение (1) называется интегрируемым, если существует функция такая что уравнение (1) эквивалентно уравнению
.
Уравнение (2) всегда интегрируемо, так как имеет интегрирующий множитель. Уравнение (1), вообще говоря, не является интегрируемым.
Определение 2 [1]: Классом уравнения (1) в точке называется число
, если форма
и
.
Класс уравнения в точке
будем обозначать:
Замечание: Уравнение (1) интегрируемо тогда и только тогда, когда его класс в каждой точке равен 1.
Если - функция на
, такая что
, то определена билинейная симметричная форма
на
формулой:
для любых
где локальные координаты на М в окрестности точки
Форма Н называется гессианом функции в точке
[2].
По аналогии, если дифференциальная 1-форма на
такая что
для некоторой точки
, и в локальных координат в окрестности точки
имеет вид:
,
то можно определить обобщенный гессиан формы
в точке
формулой:
.
Обобщенный гессиан формы является билинейной, но вообще говоря несимметричной формой. [3]
Определение 3 [3]: Аннулятором уравнения вида (1) в точке
называется множество
.
Рассмотрим -мерную поверхность
касающуюся уравнения Пфаффа (1) в точке
. Это означает, что
. Тогда
. Поэтому определен обобщенный гессиан формы
на поверхности S в точке
, представляющий собой билинейную форму
:
.
Теорема 1: Пусть - уравнение Пфаффа вида (1) на М,
и
-мерная поверхность
касается уравнения
в точке
. Тогда
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда
Теорема 2: Пусть - уравнение Пфаффа вида (1) на М,
и 4-мерная поверхность
касается уравнения
в точке
. Тогда
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда
Литература
- Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир, 1973.
- Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2003
- Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ.1988
Научный руководитель – к.ф-м.н., доцент Черненко В.Н.