Решение тригонометрических уравнений. (10кл)

Конспект урока на тему: Решение тригонометрических уравнений. (10кл)

Цели:

Образовательные – 1. Рассмотрение методов решения тригонометрических уравнений.
2. Выработка умения распознавать приемы решения тригонометрических уравнений.

Развивающие – 1. Способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации.
2. Развивать математическое мышление, речь.

Воспитывающие – формирование эмоционально – ценностного отношения к своей учебной деятельности.

Задачи:

1. расширение и углубление представления учащихся о приемах и методах решения тригонометрических уравнений;

2. оказание помощи в овладении ряда технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их пользования;

3. развитие интереса и положительной мотивации изучения математики.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, наглядно-практический.

Педагогические средства: проблемные задания, работа с раздаточными материалами.

Приобретаемые навыки детей: применение знаний к решению уравнений.

Продолжительность урока: 45 минут.

Оборудование: медиапроектор, компьютерная презентация, раздаточный материал.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Постановка целей урока.

II. Актуализация знаний. (Отработка всех формул тригонометрических уравнений)

III. Решение уравнений. (Устно.)

                   ()

                     ()

                      ()

                  ()

                      ()

                    ()

                       ()

                  ()

                      (нет решений, т.к. 2>1)

                  (нет корней, т.к. |-3|>1)

IV. (I) Объяснений нового материала.

Решение тригонометрических уравнений состоит их двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решения полученного тригонометрического уравнения. Первый этап занимает куда больше времени и усилий, т.к. не все уравнения можно решить стандартными способами. Существует несколько методов, с помощью которых более сложные уравнения сводятся к простейшим уравнениям.

1. метод замены переменных.

2. метод разложения на множители.

3. метод непосредственных тригонометрических преобразований.

Рассмотрим первый метод (замена переменных).

Решить уравнение .

Решение: Это уравнение является квадратным относительно sin х.

 Пусть  , |t|≤1, Имеем:   его корни t= -1; t =1/2, то есть sin х = -1, sin х = 1/2.

Уравнение sin х = - 1 имеет корни: ,

 а уравнение sin x=1/2 - корни .

Ответ: ; .

V. (I) Закрепление полученных знаний.

Решите уравнения:

1. ;  

2. ;  

3. .

IV.(II) Объяснений нового материала.(Продолжение)

Рассмотрим второй метод (разложение на множители).

Решить уравнение: .

Решение. Перепишем уравнение в виде , откуда .

Рассмотрим случаи: 1) , тогда ;

2) , тогда  и .

Ответ: .

V.(II) Закрепление полученных знаний.

Решите уравнения:

1. ;

2. ;

3.

IV.(III) Объяснений нового материала.(Продолжение)

Рассмотрим третий метод (непосредственные тригонометрические преобразования).

Определение.  Уравнения вида  a sin x + b cos x =0 - называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени,

 a sin2 x + b sin x cos x +  c cos2 x =0 – однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению . Решая это квадратное уравнение относительно , находим , . Откуда получаем следующие корни: , .

Ответ: , .

V.(III) Закрепление полученных знаний.

 Решите уравнение .

VI. Подведение итогов урока.

• Кратко охарактеризовать работу класса на уроке.
• Обратить внимание учащихся на теоретические факты и методы решения уравнений, которые рассматривались на уроке.
• Озвучить оценки и прокомментировать их.

Домашнее задание.

Домашняя самостоятельная работа.

Задания первого уровня

Карточки с заданиями на оценку "3".

Вариант 1                                  Вариант 2

Решите уравнениe методом сведения к квадратному.

2 соs²x+5sinx-4=0                        4-5cosx-2sin²x=0

Решите уравнениe методом разложения на множители

3cosx+2sin2x=0                          5sin2x-2sinx=0

Решить однородное тригонометрическое уравнение

2sin²x-5sinx∙cosx+4cos²x=0           3sin²x-4sinx∙cosx-5cos²x=0

Задания второго уровня.
Карточки с заданиями на оценку "4".

Решить уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

1 вариант                                2 вариант

1) cos2x – 5sinx – 3 = 0               1)cos2x + 3sinx = 2

2)sinx – cos3x = 0                         2) cosx – sin3x = 0

3)2sin²x-5sinx cosx+3cos²x=0       3)4sin²x+sinx cosx-3cos²x=0

Задания третьего уровня.

Карточки с заданиями на оценку "5".

Решить уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

1 вариант                                 2 вариант

1)1 + 7cos2x = 3sin2x                    1)3 + sin2x = 4sin2x

2)cosx + 1 = ctgx + cosx ctgx             2) tgx – sinx·tgx = 1 – sinx

     3) 5-5cos(π/2-x)=2cos²(π-x)            3) sin²(2π+x)-sin²(π/2+x)=1/2

Приложение.

1. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является квадратным относительно , его корни , . Уравнение  не имеет корней, а уравнение  имеет корни , которые и составляют множество корней заданного уравнения.

Ответ: .

2. Решить уравнение .

Решение. Заменив  на , получим , или , откуда , . Уравнение  не имеет корней, из второго уравнения находим корни: .

Ответ: .

3. Решить уравнение .

Решение. Имеем биквадратное уравнение относительно .

Пусть , тогда , его корни .

1) , откуда  а) ;

                                      б) .

2) , откуда   а) ;

                                         б) .

Объединяя полученные решения можно записать:

Ответ: ; .

4.Решить уравнение .

Решение. Вынесем общий множитель за скобки, получим: .

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, если один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

  или

а) ;

б)  - однородное уравнение первой степени относительно  и .

Разделим на , так как . Получим , , откуда .

Ответ: ; .

5. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем обе части уравнения:

,

,

,

После приведения подобных членов получим уравнение: ,

.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) .

Б)  - однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Разделим обе части уравнения на , причем .

Получим уравнение , , , , .

6. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение к однородному, для чего заменим -2 на  и запишем его в виде

 . После приведения подобных слагаемых уравнение примет вид . Разделив все члены полученного однородного уравнения на , получим уравнение , корни которого , , откуда находим корни уравнения: , .

Ответ: ; .