Предел последовательности, функции в точке и в бесконечности. Непрерывность функции.

Тема: Предел последовательности, функции в точке и в бесконечности. Непрерывность функции.

1. Последовательности.

Ограниченность.

Предел последовательности.

1. Числовая последовательность.

ОПР.  Если каждому числу n из натурального ряда чисел (1, 2, 3, n…) поставлено в соответствии вещественное число , то множество вещественных чисел   называют числовой последовательностью, или просто последовательностью.

 – элементы последовательности.

 - общий вид последовательности.

n – номер элемента.

 – обозначение последовательности.

Последовательности  называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей  и .

Пример: Дана формула общего элемента последовательности .Написать пять первых элементов последовательности.

Полагая последовательно  в общем элементе , получаем:

2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

 ОПР. Последовательность  называется ограниченной, если найдется число М > 0  такое, что для всех номеров   = 1.2,… выполняется неравенство  <М, или - М< <М.

 ОПР. Последовательность называется неограниченной, если какое бы большое число

           М > 0  ни взять, всегда найдется  номер такой, что   >М.

Пример:

1.  Последовательность - ограничена снизу , но не ограниченна сверху.
2. Последовательность  - ограниченна сверху , но не ограниченна снизу.
3. Последовательность   - ограниченна,    т. к.       .
4. Последовательность   - неограниченная, т. к. любого числа  существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству  (т. е. либо .

3. Предел последовательности.

 ОПР. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого  найдется такой номер N, зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами  верно неравенство:

ОПР. Последовательность, имеющая конечный предел называется  сходящейся, не имеющая предел или имеющая предел равный ∞, называется  расходящейся.

2. Предел функции.

1. Предел функции в точке и в бесконечности.

ОПР. Число А называется пределом функции  при , если для любого  найдется также число , зависящее от , что для всех  таких, что , будет верно неравенство:

ОПР. Число А называется пределом функции  при , если для любого  найдется число , зависящее от , что для всех  и удовлетворяющих условию  выполняется неравенство:  

Геометрический смысл:

для любых 𝑥 достаточно близких к х0,

значение  сколь угодно мало отличается

от числа А.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

ОПР. Функция  называется бесконечно малой (б\мф.) функцией при  (или ), если   .

Пример:   у =  - б\м ф., т.к. при х→0 .

Теорема. Если у = имеет предел равный А при , то ее можно представить в виде: , -б\м ф. при .

Свойства б\м функций.

1. Если - б\м ф. при , то - б\м ф. при .
2. Если - б\м ф. при, ограниченная(б\м), то -б\м ф. при.
3. Если - б\м ф. при, а  , то  -б\м ф. при .

• Если - б\м ф. при , то  - образует неопределенность .

ОПР. Функция  называется бесконечно большой (б\б ф.) функцией при (или ), если

.

Свойства б\б функций.

1. Если - б\б ф. при , то -  б\б ф. при .
2. Если - б\б ф. при , то - б\б ф. при .
3. Если  - б\б ф. при, , то           -  б\б ф. при .

• Если - б\б ф. при , то  - образует неопределенность .

3. Основные теоремы о пределах.

• Теорема о связи б\б и б\м функций.

Если ∝(𝑥)- б\м функция при , то = - б\б функция при . И наоборот, если  - б\б функция прито ∝(𝑥)= - б\м при .

• Теоремы о пределах.

1.  (С - постоянная).

Если , то

Если то

5. Функция не может иметь более 1 предела.

Пример:   найти .

 при  - б\б ф., по теореме о связи б\б и б\м ф.  при-б\м ф. ⇒ по опр. .

• Замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

, разрешает неопределенность вида .

Второй замечательный предел (число е):

Пример:

1. *1=3;
2. ;
3. .

4. Непрерывность функции.

ОПР. Функция  называется непрерывной в точке , если:

1. ∃
2. ∃
3. .

ОПР. Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Пример:  у = , проверим условия непрерывности в точке 𝑥=0.

1. ∃ у(0)=0
2. ∃ 
3.  функция у =2 непрерывна в точке 𝑥=0.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Если  непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем.
2. Теорема Вейерштрасса.

Если  непрерывна на отрезке , то она достигает на отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

3. Теорема Больцана - Коши.

Если  непрерывна на отрезке  и  имеют значения противоположных знаков, то ∃ с∈, такая что .

5. Точки разрыва первого и второго рода.

ОПР. Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Виды точек разрыва:

1. Точка  называется точкой разрыва первого рода, если .

Точка  называется точкой устранимого разрыва, если ∃, но  

2. Точка  называется точкой разрыва второго рода, если не существует хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них равен ∞.

;

∄  или  .