Краткий справочник по математике (тригонометрия)

Министерство образования и науки Хабаровского края

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Комсомольский –на- Амуре лесопромышленный техникум»

(КГБОУ СПО КнАЛПТ)

КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК

по математике

 (тригонометрия)

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Предмет тригонометрия

Слово "тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов: "тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Тригонометрические функции

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть α° - градусная мера угла, β - радианная, тогда справедливы формулы:

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента

Формулы сложения

Формулы двойных и половинных углов

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы преобразования произведения в сумму

Формулы приведения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Для решения простейших тригонометрических неравенств , , ,  (вместо знака  могут стоять , , ) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой , расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.

Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.

Тригонометрические функции половинного аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти

находится угол )

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол )

1. Через

2. Через

3. Через

4. Через

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Преобразование степеней синуса и косинуса

5. Графики и основные свойства тригонометрических функций

Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций

Связь тригонометрических функций с обратными тригонометрическими функциями осуществляется при помощи следующей таблицы

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

Примеры решения задач

1. Найти значение следующих тригонометрических выражений:

,  , если .

Решение. Выпишем формулы для нахождения ,  :

, , .

.

Из основного тригонометрического тождества найдем :

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ: , ,

2. Доказать тождество:

Решение. Приведем левую часть к 1:

.

        Тождество доказано.

3. Вычислить значение выражения:

Решение. Используя формулы приведения, получим:

        Итак, значение выражения 0.

Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.

Из общих соображений выскажем следующее: при замене одной функции другой следует избегать введения радикалов, так как это усложняет решение и требует проверки найденных корней (при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни).

Иногда оказывается возможным, перенеся все члены уравнения в левую часть, разложить ее на сомножители.

1. Уравнения, однородные относительно  и .

Каждое из уравнений:

,

 и т.д.

называется однородным относительно  и . Сумма показателей степеней у  и  во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на ,  степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно .

Разделив, например, уравнение  на , получим уравнение:

.

При  эти уравнения эквивалентны, так как если , то из первого уравнения получим, что и , что невозможно (и  при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим , решая квадратное уравнение относительно , а по значениям  - соответствующие значения.

4. Решить уравнение:

Решение. Заменяя  и , получим однородное уравнение:

,

или

.

Деля на  (), получим:

.

Вводим новую переменную  и получаем квадратное уравнение относительно нее:

.

Корни этого уравнения: . Далее получаем равносильную совокупность уравнений:

2. Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.

Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду .

Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.

Рассмотрим пример.

5. Решить уравнение:

.

Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:

или .

Разность косинусов преобразуем в произведение , которое равносильно совокупности уравнений:

3. Уравнения вида .

Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки , воспользовавшись формулами, выражающими  и  через :

        и .

Исходное уравнение сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого нами было рассмотрено ранее.

Такие уравнения рациональнее решать введением вспомогательного угла: . Рассмотрим дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой части:

.

Введем обозначения:

 и .

Заметим, что выражение в скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:

.

Таким образом, исходное уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому уравнению:

, или ,

решение которого, суть

, .

Задача решена в общем виде.

6. Решить уравнение:

.

Решение. (первый способ) Заменив  и  через , получим:

.

Введем новую переменную:  и получим эквивалентное квадратное уравнение относительно :

,

у которого дискриминант равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень . Задача свелась к решению уравнения:

; ;        , .

Решение. (второй способ). Введем вспомогательный угол: .

Тогда решение исходного уравнения сразу запишется в виде:

=, .

Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно.