Публикации "Диофантовы уравнения"

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

                   Учитель готовится

к хорошему уроку всю жизнь…

   и, чтобы дать ученикам искорку знаний,

учителю надо впитать целое море света.

 В.А. Сухомлинский.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Результаты ЕГЭ последних лет свидетельствуют о наличии достаточно высокого процента учащихся, не преодолевающих минимальный порог баллов. Выполнение требований стандарта, сформулированных на минимальном уровне достижений учащихся, учителю необходимо обеспечивать у всех обучаемых. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне.

Считается, что задания типа С-6 зачастую вызывают огромные затруднения у современных учеников и выпускников общеобразовательных учреждений, так как на занятиях не уделяется должного внимания подобного рода задачам, и причин тому немало: недостаток времени, нехватка методической литературы, слабый уровень математической подготовки выпускников и др.

В связи с вышесказанным, тема «Диофантовы уравнения», то есть решение уравнений в целых и рациональных числах, была, есть и будет актуальна и в наше время. Разнообразные задачи данного класса предлагаются как на олимпиадах, едином государственном экзамене, так и  вступительных экзаменах в вузы.

Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики.

Проследим, как осуществлялось развитие и происходило становление теории диофантовых уравнений. Если обратиться к истории, то можно заметить, что конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик  Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения.

Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу. В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта. Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков – Франсуа Виета и Пьера Ферма.

Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39-48].

Итак, сформулируем определение понятия «диофантово уравнение»:  линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида , где  коэффициенты  – целые числа, а неизвестные  являются целыми или рациональными числами.  К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.

В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано  многочленов от  переменных,  с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество  всех рациональных решений системы

    (1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение  называется рациональным, если все  [2, c. 42].

Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т.е. к случаю :

           (2)

Это уравнение определяет на плоскости  алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой  [1, c. 15].

Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где  и  - рациональные функции [1, c. 23].

При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:

1. имеет ли уравнение целочисленные решения;
2. конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
3. решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
4. решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
5. решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

• использование алгоритма Евклида;
• использование цепных дробей;
• способ перебора вариантов;
• использование сравнений [3].

Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:

1. не иметь решений в целых числах;
2. иметь конечное число решений в целых числах;
3. иметь бесконечное множество решений в целых                     числах [3, c. 134].

При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.

На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно [3]:

• метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;
• метод разложения на множители;
• метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение;
• метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных;
• метод бесконечного (непрерывного) спуска;
• метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;
• метод, основанный на выделении полного квадрата.

Далее рассмотрим несколько примеров решения диофантовых уравнений, а именно: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение и метод разложения на множители.

1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение. 

Пример 1.

Найти всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения .

Решение.

Выразим из уравнения переменную  через : .

Так как  и  – натуральные числа, то , , , .

Перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются , .

Ответ:  [3, c. 13].

Пример 2.

Решить в целых числах уравнение .

Решение.

1. Правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .
2. Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то , следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то , следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, ни при каких целых  левая часть уравнения на 3 не делится, а правая часть – делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решении не имеет.

Ответ: решений нет [3, c. 15].

2. Метод разложения на множители.

Данный метод применяется в случаях, когда в уравнениях можно применить какой-либо из способов разложения на множители:

• Формулы сокращенного умножения;
• Вынесение общего множителя за скобку и т.д.

Итак, охарактеризуем метод разложения на множители на конкретных примерах.

Пример 1.

Решить уравнение в целых числах .

Решение.

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители .

Выпишем все делители числа 91: , , , .

Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел  и  число ,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными.

Тогда уравнение  равносильно совокупности систем уравнений: .

Решив системы, получим:

1. первая система имеет решения , ;
2. вторая система решений в целых числах не имеет;
3. третья система имеет решения , ;
4. четвертая система решений в целых числах не имеет.

Пример 2.

Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение.

Проведем цепочку равносильных преобразований:

 ⬄  ⬄  ⬄  ⬄ .

Так как  можно представить в виде двух целых чисел с учетом порядка двумя способами, т.е. , получаем две системы:

 или .

Решением первой системы является пара , а второй – .

Ответ: ,  [3, c. 17–19].

Оказывается, что некоторые текстовые задачи практического содержания также можно свести к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Покажем данный прием на конкретных  примерах.

Задача №1

Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа  за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа  за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа  будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа  входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа ?

Решение.

Пусть в автобус типа  входит  человек, а в автобус типа входит  человек.

Пусть каждый из трех автобусов типа  сделает по  рейсов, а каждый из двух автобусов типа  – по .

Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей.

Получаем уравнение: ;

;

.

При  получаем:  или .

Число  – один из восьми делителей числа . Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар  и ): , , , , , , , .

Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные : 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 504.

Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа  (по 15 человек) или двумя автобусами типа  (по 22 человека) за 45 рейсов.

Задача 2. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решение.

Пусть в каждой из  коробок лежит 3 пакетика, по  шариков в каждом. Во втором случае коробок , пакетиков в коробке 2, а шариков в пакетике . По условию задачи получаем уравнение: , откуда .

Заметим, что из  следует, что , откуда .

Учитывая, что числа  и  натуральные, получаем, что  – натуральный делитель числа 36.

Количество шариков при этом .

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при  и монотонно возрастает при . Следовательно, наибольшее значение функции  достигается, если  – наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.

Если , то , .

Если , то , .

Ответ: 840 шариков [4, c. 27–28].

Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах – один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого  используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни – последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, является актуальным и в наше время и служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.

Список используемой литературы:

1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.:                  «Наука», 1972 г.
2. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. – М.: «Наука», 1984 г.
3. Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. – Брест, 2013 г.
4. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. – Брянск, 2010 г.
5. Шевкин А.В., Пукас Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. – М.: «Экзамен», 2014г.

Диофантовы уравнения

Мы обратились к теме «Диофантовы уравнения», так как задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на едином государственном экзамене,  вступительных экзаменах в вузы. Безусловно, тема решения уравнений в целых и рациональных числах была, есть и будет актуальна. Недаром ей занимались с самого зарождения математики.

Конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик  Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения.

Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу.

В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта.

Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI–XVII веков — Франсуа Виета и Пьера Ферма.

Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39–48].

Итак, линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида , где  коэффициенты  – целые числа, а неизвестные  являются целыми или рациональными числами.  К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.

В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано  многочленов от  переменных,  с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество  всех рациональных решений системы

    (1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение  называется рациональным, если все  [2, c. 42].

Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т.е. к случаю :

           (2)

Это уравнение определяет на плоскости  алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой  [1, c. 15].

Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где  и  - рациональные функции [1, c. 23].

При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:

1. имеет ли уравнение целочисленные решения;
2. конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
3. решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
4. решить уравнение на множестве целых положительных чисел;
5. решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

• использование алгоритма Евклида;
• использование цепных дробей;
• способ перебора вариантов;
• использование сравнений [3].

Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:

1. не иметь решений в целых числах;
2. иметь конечное число решений в целых числах;
3. иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].

При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.

На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно:

• метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение;
• метод разложения на множители;
• метод, основанный на оценке выражений, входящих в уравнение;
• метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных;
• метод бесконечного (непрерывного) спуска;
• метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;
• метод, основанный на выделении полного квадрата [3].

Итак, решение уравнений в целых и рациональных числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Приведем пример задания типа С6 единого государственного экзамена, сводящего к диофантовому уравнению: Натуральные числа  и  таковы, что и , и  делятся на . Найти  и  [5, c. 17].

Диофантовы уравнения используются так же в инженерии, биологии и повседневной жизни, примером чего может служить следующая задача: Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа  за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа  за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа  входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа  [4, c. 134]?

Таким образом, диофантовы уравнения, известные еще в III в. до н.э., актуальны и в наше время и являются предметом исследования как математиков, так и методистов.

Библиографический список:

1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: «Наука», 1972 г.
2. Башмакова И.Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. – М.: «Наука», 1984 г.
3. Гринько Е.П., Головач А.Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. – Брест, 2013 г.
4. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. – Брянск, 2010 г.
5. Шевкин А.В., Пукас Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6. – М.: «Экзамен», 2014г.