ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В. С. Белый

Введение. Одним из путей повышения прибыли коммерческих организаций является снижение издержек на производство товаров или услуг. Одним из видов издержек являются затраты на содержание средств производства – зданий, сооружений, оборудования, автомобильного транспорта, а также объектов промышленной собственности. Любой сложный продукт производства, средство производства, в том числе и объекты промышленной собственности (в дальнейшем – продукт производства (ПП)) можно представить как сложную техническую систему (СТС), имеющую потребность как в техническом (сервисном) обслуживании, так и в восстановительных работах на всех стадиях их эксплуатации.

Как часто ПП испытывает потребность в техническом обслуживании или в восстановительных работах? Сколько стоит техническое обслуживание и восстановление исправности ПП в течении всего назначенного ему срока службы? Ответы на такие и подобные им вопросы приводятся в данной статье. Нет сомнений в том, что величина суммарных издержек на техническое обслуживание и восстановление работоспособности зависит от такого свойства ПП как его надёжность. Надёжность – это комплексное свойство, включающее в себя безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость. Основным из перечисленных свойств надёжности является безотказность. С целью поддержания уровня безотказности ПП, а также предотвращения фактов нарушения работоспособного состояния в период, ограниченный сроком службы ПП, необходимо проведение технического обслуживания. Объём и периодичность технического обслуживания ПП определяется выбранной стратегией технического обслуживания (СТО) [1].

Таким образом, потребность в техническом обслуживании и его стоимость зависят от свойств ПП и выбранной СТО.

Постановка задачи. Любая СТС, несмотря на наличие структурной, функциональной, информационной, временной и программной избыточностей, в конечном итоге имеет свою структуру, включающую составные части (СЧ) и совокупность взаимосвязей между ними.

Техническое состояние СЧ характеризуется значением одного или нескольких её определяющих параметров. Процесс изменения значений таких параметров во времени является случайным процессом вида , ,  и представляет собой случайную функцию детерминированного аргумента .

В зависимости от свойств и характера случайного процесса целесообразно выбирать одну из существующих СТО СЧ – по наработке или по состоянию. В случае выбора СТО по состоянию, в зависимости от характера случайного процесса  – непрерывного или дискретного с конечным числом состояний, определяется вид стратегии: до предотказного состояния или до отказа. В конечном итоге получается, что все СЧ СТС можно условно разделить на три группы. Одну группу СЧ целесообразно эксплуатировать по наработке, другую группу – по состоянию до предотказного состояния, а третью группу – по состоянию до отказа.

Формально задачу оптимизации СТО ПП можно сформулировать следующим образом. Выбор оптимальной стратегии зависит от объективных физических свойств ПП и возможности контроля его технического состояния. Поэтому вся совокупность СЧ распределяется по долям  таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее значение обобщённого показателя эффективности функционирования ПП в виде целевой функции

                                                                (1)

при наличии ограничения вида , где  – количество СЧ, из которых состоит ПП.

Целевая функция (1) является обобщённым показателям эффективности функционирования ПП, заданная в неявном виде. Обобщённый показатель должен включать в себя совокупность общих показателей, которые характеризуют основные свойства ПП. К таким свойствам относятся (см. таблицу 1):

Таблица 1

Основные свойства ПП их характеристика

Как видно из таблицы 1 такие свойства как эксплуатационная и ремонтная технологичность ПП к основным свойствам отношения не имеют, при этом характеристики данных свойств могут являться только частными показателями.

Предположим, что какой-либо выбранный образец ПП обладает высокими эксплуатационно-ремонтными характеристиками, при этом:

• отличается приспособленностью к техническому обслуживанию;
• средства контроля и диагностирования ПП являются совершенными;
• для технического обслуживания ПП имеется возможность широкого выбора соответствующих стратегий.

В данной ситуации, при условии существования взаимосвязи между частными показателями эффективности СТО ПП с целевой функцией (1), рассмотрим следующую совокупность показателей (таблица 2):

Таблица 2

Частные показатели эффективности СТО ПП

Из анализа данных, представленных в таблице 2, видно, что существует достаточное количество показателей, характеризующих ПП как объект технического обслуживания, а также выбранную для этой цели стратегию. Таким образом, имеем взаимосвязь между общими и частными показателями следующего вида

.                                                        (2)

Общая задача сводится к исследованию на экстремум выражения (2).

Алгоритм решения задачи. Высокие показатели эффективности функционирования ПП достигаются за счёт:

• высоких показателей безотказности;
• технически грамотного применения ПП по назначению;
• высоких показателей эффективности технического обслуживания ПП на всех стадиях его эксплуатации.

Требуемый уровень безотказности ПП закладывается на стадии проектирования, обеспечивается на этапе разработки (модернизации) и поддерживается на всех стадиях эксплуатации. Технически грамотное применение ПП в соответствии с их прямым предназначением во многом определяется опытом эксплуатации последних. Высокий уровень эффективности технического обслуживания ПП во многом определяется оптимальным выбором СТО. Показатель является безусловным и включает в себя как функции аргументов , так и функции времени . Таким образом, в случае абсолютной надёжности ПП и технически грамотном его применении по предназначению, что соответствует граничным условиям и можно перейти к условному показателю эффективности функционирования в виде

,                                        (7)

зависящем только от выбора СТО.

Оптимизация данного условного показателя сводится к решению задачи поиска экстремума функции нескольких переменных

.                                                        (8)

Исходными данными для решения поставленной задачи являются:

1. Вектор технического состояния ПП вида

.                                                                        (9)

Количество компонентов  вектора определяется количеством СЧ или числом параметров, характеризующих техническое состояние ПП. Как было сказано выше, функции  являются случайными функциями детерминированного аргумента. При этом случайный процесс  может носить как детерминированный, так и дискретный характер. Для упрощения математической модели изменения технического состояния ПП во времени можно допустить, что случайный процесс  является дискретным с числом состояний равным двум. При этом

                                                (10)

Интервалом  определяется область допустимых значений определяющих параметров . Величины  и  являются соответственно нижней и верхней границами допустимых значений на параметр .

2. Диагональная матрица контролепригодности ПП вида

.                                                                (11)

Порядок  матрицы определяется числом компонент вектора технического состояния ПП.

3. Диагональные матрицы полноты, глубины и достоверности контроля и диагностирования технического состояния ПП:

;; .   (12)

4. Матрица гибкости СТО размерностью

.                                                                (13)

Количество строк  матрицы определяется количеством СЧ из которых состоит ПП или количеством определяющих его техническое состояние параметров. Количество столбцов  матрицы определяется количеством существующих на сегодняшний день базовых СТО.

5. Вектор, характеризующий «структуру» общей СТО ПП вида

.                                                                        (14)

Требуется:

• вывести аналитическое выражение показателя (7) в явном виде;
• найти решение экстремальной задачи (8).

Алгоритм расчёта показателя эффективности функционирования (7) сводится к выполнению следующей последовательности действий:

1. Сначала определяется вектор, характеризующий приспособленность ПП и его СЧ к техническому обслуживанию. В явном виде с учётом начальных и граничных условий (5,6) выражение перепишется следующим образом:

.                                (17)

2. На втором шаге определяется матрица показателей эффективности средств контроля и диагностирования технического состояния ПП в явном виде с учётом ограничений (5,6):

.  (19)

3. На третьем шаге необходимо определить степень соответствия программы технического обслуживания ПП своему предназначению. В явном виде выражение (20) для расчёта компонентов вектора  записывается в виде:

.                                        (21)

В полученном выражении также учтены начальные и граничные условия вида (5,6).

4. На завершающем этапе определяется численное значение функции, показывающей меру эффективности используемой СТО ПП в явном виде

        (23)

с учётом ограничений (5,6).

Полученное выражение соответствует условному показателю эффективности функционирования ПП.

Решение экстремальной задачи (8) может осуществляться аналитическим или графическим методами. Аналитический метод решения предполагает исследование на экстремум (7) как функции нескольких переменных в соответствии с существующими в настоящее время методиками и использованием установленных критериев, определяющих условия наличия точек минимума и максимума. Практика исследования на экстремум функций нескольких переменных показывает, что существующие критерии минимума или максимума всегда однозначно выполняются в случае наличия у функции двух переменных. Если количество переменных более двух (), то оговоренные критерии выполняются не всегда.

Графический метод позволяет получить наглядное решение задачи поиска экстремума функции нескольких переменных. Однако, если количество переменных , то график функции представляет собой объемное тело или геометрические фигуры высших размерностей. Поэтому задача исследования на экстремум таких функций связана с использованием многомерных математических моделей, построением многомерных фигур в многомерной системе координат.

Пример решения задачи. Рассмотрим пример решения задачи оптимизации стратегии технического обслуживания ПП. Исходными данными для решения задачи являются:

1. Вектор технического состояния ПП вида

.

2. Матрица приспособленности ПП к контролю его технического состояния вида

.

3. Матрицы полноты, глубины и достоверности контроля и диагностирования технического состояния:

;        ;

.

Приведённые значения полноты, глубины и достоверности контроля и диагностирования технического состояния ПП на сегодняшний день являются фактически достижимыми.

4. Матрица гибкости СТО вида

.

5. Предположим, техническое обслуживание первой группы СЧ ПП осуществляется с применением СТО по наработке. Обозначим долю этих СЧ символом . Техническое обслуживание второй группы СЧ осуществляется по состоянию до предотказного состояния. Этой группе соответствует доля . Доля СЧ третьей группы обслуживается с использованием стратегии по состоянию до отказа. Третьей группе соответствует доля . В связи с вышесказанным, вектор, характеризующий «структуру» общей стратегии, имеет три компонента и является единичным: .

Требуется оптимально распределить СЧ ПП на три группы технического обслуживания с применением разных стратегий для достижения экстремального значения показателя качества вида (23).

Результат решения задачи оптимизации аналитическим методом с использованием программной среды «Mathcad-14» представлен в таблице 3.

Таблица 3

Таблица значений показателя эффективности функционирования

Результат решения задачи оптимизации графическим методом представлен на рисунке 4. Поскольку существующие на сегодняшний день графические редакторы могут работать, в лучшем случае, с трёхмерной графикой, многомерное графическое изображение можно получить только путём совмещения двух и более трёхмерных изображений.

Приведенный график функции представляет собой трёхмерную фигуру в четырёхмерной системе координат. В основании фигуры находится равносторонний треугольник, представляющий собой геометрическое место точек, сумма координат которых одинакова и соответствует ограничению в выражении (8), т.е. .

Из анализа данных, представленных в таблице 3 и на рисунке 10, следует:

1. Максимальное достижимое при заданных начальных условиях значение показателя качества составляет 0.502. Практика эксплуатации ПП показывает [2], что в случаях ухудшения показателей полноты, глубины и достоверности контроля и диагностирования технического состояния СЧ ПП, значение показателя качества даже не достигает величины 0.25.
2. Для достижения максимально возможного значения показателя качества техническое обслуживание СЧ ПП осуществляется с применением только одной стратегии – СТО по состоянию до отказа. Такая стратегия предусматривает проведение восстановительных работ в случае отказа СЧ либо замену данной СЧ на новую, если затраты на восстановление превышают её стоимость. Никаких профилактических мероприятий при этом не проводится, что свидетельствует о потенциально низких издержках на эксплуатацию всего ПП в целом.

Выводы:

Результаты проведённого исследования позволяют сформулировать вывод о возможности снижения издержек производства за счёт оптимизации стратегии технического обслуживания средств производства.

Литература:

1. ГОСТ Р 27.002-2009 Надежность в технике. Термины и определения;
2. Воронкин Ю.Н., Поздняков Н.В. Методы профилактики и ремонта промышленного оборудования. Учебник. 4-е издание стер. Москва: Издательский центр «Академия», 2010. – 240 с.