Материал к занятиям
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие первообразной Ж.Л. Лагранж (1736 – 1813) Определение №1. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале ( a,b ) , если F(x) дифференцируема на ( a,b ) и F ’ (x)=f(x) Если f(x) имеет на интервале ( a,b ) первообразную F(x) , то и все функции вида: F(x ) + C будут для неё первообразными на том же промежутке
Неопределенный интеграл Определение №2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале ( a,b ) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается: – подынтегральная функция – дифференциал независимой переменной – подынтегральное выражение – значок интеграла
Неопределенный интеграл Найти (взять, решить) неопределенный интеграл – это значит найти определенную функцию F(x) + C (множество всех первообразных), пользуясь некоторыми правилами, методами, таблицей. проверка: Интеграл
О пределенный интеграл Определение №3. Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b] и имеет на нём первообразную F(x) . Разность F(b) – F(a) называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a , b] и обозначается: a, b – пределы интегрирования
О пределенный интеграл 1 2 Находим неопределенный интеграл, пользуясь таблицей интегралов, различными приёмами интегрирования Не подставляем константу С при нахождении определенного интеграла Применяем формулу Ньютона-Лейбница Алгоритм нахождения определенного интеграла:
Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).
2 . Основные свойства определенного интеграла 1) Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. где x и t – любые буквы. 2) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный ( свойство аддитивности) 4) Если промежуток [ a ; b ] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [ a ; b ], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. 2 . Основные свойства определенного интеграла.
5) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. 6) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. 2 . Основные свойства определенного интеграла
Пусть f ( x ) – непрерывная на отрезке [ a ; b ] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Область ( σ ) xOy , ограниченная отрезком [ a ; b ] оси Ox , прямыми x = a , x = b и кривой y = f ( x ), называется криволинейной трапецией с основанием [ a ; b ] . Замечание . Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки Криволинейная трапеция
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [ a;b ] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей полученных прямоугольников. по определению , его Называют определенным интегралом от функции y=f(x ) по отрезку [ a;b ] и обозначают так:
Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a;b ] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a;b ] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Геометрический смысл определенного интеграла Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [ a;b ] , то
Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла
Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [ a;b ], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:
Плоская область в полярной системе координат В П СК основная область , площадь которой находят с по - мощью определенного интеграла – криволинейн ый сектор . Криволинейным сектором называется область, ограничен- ная двумя лучами = , = и кривой r = f ( ) . Его площадь находится по формуле:
Длина плоской кривой Пусть y = f ( x ) – непрерывно дифференцируема на [ a ; b ]. Длина ℓ кривой y = f ( x ) , где x [ a ; b ].
Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [ a;b ]:
Масса отрезка Пусть ( x ) – плотность распределения массы на отрезке [ a ; b ] . Тогда масса отрезка равна Работа переменной силы Пусть под действием силы F ̄ тело движется вдоль оси Ox из точки x 1 = a в точку x 2 = b . Если F = F ( x ) и F ̄ ⇈ Ox , то работа силы равна
Работа переменной силы Пусть под действием силы F ̄ тело движется вдоль оси Ox из точки x 1 = a в точку x 2 = b . Если F = F ( x ) и F ̄ ⇈ Ox , то работа силы равна Таким образом, с помощью определенного интеграла находятся физические и геометрические величины, которые обладают свойством аддитивности (т.е. при разбиении [ a ; b ] на части, величина, соответствующая отрезку [ a ; b ] , складывается из величин, соответствующих его частям).
Прирост численности популяции. N ( t ) прирост численности за промежуток времени от t 0 до T , v ( t ) – скорость роста некоторой популяции. интеграл от скорости по интервалу времени ее размножения.
Несобственные интегралы Определение: Пусть функция f ( x ) определена на бесконечном интервале [ a ; + ) и интегрируется на любом интервале [ a ; b ], где b < + . Если существует , то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на интервале [ a ; + ) и обозначается .
Если этот предел некоторое число , то интеграл называется сходящимся , если предела не существует, или он равен , то говорят, что интеграл расходится . Таким образом, по определению,