Презентация по теме "Различные определения непрерывности функции в точке. Непрерывность суммы, произведения, частного. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Классификация точек разрыва"
Данная презентация создана для учеников профильных физико математических классов и студентов вузов.
Скачать:
Подписи к слайдам:
Определение 1
Определение 2 (по Коши)
Определение 3 (по Гейне) Определение 4
Теоремы о непрерывных функциях Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке ,если знаменатель не равен нулю в этой точке: .
Доказательство Непрерывность частного. Пусть f(x),g(x) непрерывны в точке х 0 , т.е. lim f(x)= f(x 0 ) lim g(x)=g(x 0 ) причем g(x 0 )≠0 x→ х 0 x→ х 0 Существует lim (f(x)/g(x)) и тот предел равен x→ х 0 ( lim f(x))/(lim g(x))=f(x 0 )/g(x 0 ), x→ х 0 x→ х 0 что означает непрерывность функции f(x)/g(x) в точке х 0
Теоремы о непрерывных функциях Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем: f(y) непрерывна в y0 ∀ ε>0,∃δ∀ y|y−y0|< δ | f(y)− φ (x0)|< ε Z непрерывна в x0 ∀ δ>0∃η∀ x |x−x0|< η| f ( x)− φ( x0)|< δ Выписывая кванторы, получим, что: ∀ ε>0∃η∀ x|x−x0|< η| f( φ( x))−f( φ (x0))|< ε что и говорит о том, что f( φ( x)) непрерывна в точке x0.
Теоремы о непрерывных функциях
Теоремы о непрерывных функциях Теорема (о непрерывности элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области определения.
Определение Функция называется элементарной , если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций .
Рассмотрим функцию f ( x ) , определенную в некоторой окрестности
Определение Если то говорят, что является точкой разрыва функции f(x). Точка разрыва функция f ( x ) не является непрерывной в точке 1) f(x) разрывна в этой точке, 2)точка
Устранимая точка разрыва в самой точке разрыва функция либо не определена, либо, если и определена, то то такая точка называется устранимой точкой разрыва . Если в точке функция имеет пределы справа и слева - непрерывна в точке
Пример точка устранимого разрыва для функции - непрерывна в точке
- непрерывна на множестве - устранимая точка разрыва
Неустранимая точка разрыва Если не существует, является точка точкой неустранимого разрыва . Определение
Точка разрыва с конечным скачком то такая точка называется Если в точке функция 1) имеет пределы справа и слева , Определение 2) они не равны точкой разрыва функции с конечным скачком функции . Не важно, равно или нет одному из односторонних пределов Скачок - разность
Пример. точка разрыва с конечным скачком, равным -2.
Точки разрыва 1-го рода точки устранимого разрыва точки разрыва с конечным скачком Функция в точке разрыва 1-го рода имеет конечный предел справа и слева.
Точки разрыва 2-го рода Если хотя бы один из односторонних пределов 1) не существует или 2) равен бесконечности, то в этой точке у функции разрыв II – го рода . Определение
Примеры. точка разрыва 2-го рода точка разрыва 2-го рода 1. 2. 3. Функция Дирихле точка разрыва 2-го рода
Непрерывность справа и слева Функция в точке непрерывна справа , если Функция в точке непрерывна слева , если Определение
Непрерывность на отрезке Функция непрерывна на интервале (a,b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция непрерывна на отрезке [a,b] , если она непрерывна на интервале ( a,b) ; непрерывна справа в точке a ; непрерывна слева в точке b . C(a,b) – множество функций, непрерывных на интервале ( a,b). C[a,b] – множество функций, непрерывных на отрезке [a,b]. Определение
Теорема Вейерштрасса Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения. у х О А а в В
Теорема Коши Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [ a ; b ] имеется хотя бы один нуль функции f . При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз. у х О А а в В
Теорема о промежуточных значениях Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и f ( a ) ≠ f ( b ), то для каждого значения y , заключенного между f ( a ) и f ( b ), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f ( x ) = y . у х О А а в В у
Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞) у х О 1 -1 Функция непрерывна на (-∞;+∞).
Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞) у х О 1 -1 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=1
Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞) у х О 1 -2 2 Функция непрерывна в точке х=-2 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=2
Установите непрерывность функции на интервале (-∞;+∞) у х О 1 -2 2 Функция непрерывна в точке х=-2 Функция не является непрерывной на (-∞;+∞). Разрыв в точке х=2, так как функция в точке х=2 не определена.