Решение ЕГЭ(профиль). Угол между плоскостями.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Чтобы найти угол между двумя плоскостями с помощью векторно-координатного метода, необходимо воспользоваться формулой:

 =          (1)

или в координатной форме:

  = ,  (2)

где   – вектор нормали плоскости ,   – вектор нормали плоскости .

Таким образом, угол между двумя плоскостями в пространстве равен модулю угла между нормалями к этим плоскостям.

Рассмотрим пример на нахождение угла между плоскостями с нахождения векторов нормали.

Пример 1.

Дан куб ABCD. M, N, P – середины соответственно ребер A, AB, BC. Найти угол между плоскостями (MNP) и (M).

1) Введем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1. Длину ребра куба можно выбрать произвольно. Удобно, например, взять длину ребра куба, равную 2.

Рис.1

2) Относительно выбранной системы координат найдем необходимые нам координаты точек и векторов:

M (2;0;1), N (2;1;0), P( 1;2;0), (0;0;2), (0;2;2).

 = ,  = ,  = ,  = .

3) Пусть   – нормальный вектор плоскости  = (MNP).

В этом случае выполняются условия:

                               = (1;1;1).

Аналогично, если   – нормальный вектор плоскости ), тогда

                               = (1;0;2).

3) Если  = (), то

cos  =  =  = = .

Откуда

 = arcos .

Ответ: arcos .