Технологическая карта "Производная"

Методическая разработка

для преподавателя

по дисциплине МАТЕМАТИКА

«Геометрический и физический смысл производной.

Касательная к графику функции»

Аннотация:

Методическая разработка предназначена для оказания помощи в преподавании и изучении тем «Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции» по учебнику  Алимова Ш. А., Колягина Ю.М., Ткачёвой М.В. и др. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень)» на первом курсе на базе основного общего образования по специальностям.

В пособии содержится теоретический материал, представлены алгоритмы решения типовых задач, приведены решения примеров, задания для самостоятельной работы.

 Задания составлены таким образом, чтобы можно было осуществить проверку теоретических знаний и практических умений.

Содержание

1.Технологическая карта занятия

Тема: «Геометрический и физический смысл производной. Касательная к графику функции».

Цель: Рассмотреть геометрический и физический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции, рассмотреть решение практических задач.

Задачи:

Образовательные:

• выявить уровень усвоения понятия производная, производная функции в точке, умения находить производную функции, применять правила и формулы дифференцирования;
• формировать умение находить угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, составлять уравнение касательной к графику функции;
• формирование умения работать  самостоятельно.

Развивающие:

• продолжать работу по формированию и совершенствованию приемов умственной деятельности: анализ, сравнение, обобщение, аналогия, алгоритмизация, критического мышления.

Воспитательные:

• формировать представления об идеях и методах математики как форме описания и методе познания действительности;
• воспитывать культуру общения, навыки самоконтроля и взаимоконтроля; формировать познавательные интересы и мотивы самосовершенствования.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные:

• развитие способности оценивать ситуацию и принимать осознанные решения;
• воспитание аккуратности, точности, самостоятельности, привитие навыков групповой работы, сотрудничества, готовности и способности к образованию и самообразованию.

Метапредметные: 

• воспитание у обучающихся ценностного отношения к труду и полученным знаниям;
• развитие  способности и готовности к самостоятельному поиску методов решения практических задач;
• овладение видами деятельности по получению нового знания, его интерпретации, преобразованию и применению в различных учебных ситуациях;
• формирование научного типа мышления, владение научной терминологией, ключевыми понятиями и методами;
• выявлять причинно-следственные связи и актуализировать задачу, выдвигать гипотезу ее решения, находить аргументы для доказательства своих утверждений.

Предметные: 

• владение алгоритмами решения задач;
• умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция;
• умение оперировать понятиями: производная;
• умение находить производные элементарных функций, используя справочные материалы;
• умение применять производную при решении задач на движение, нахождение пути, скорости и ускорения.

Основные технологии:

• технология оценивания образовательных достижений учащихся; 
• технологии личностно-ориентированного развивающего образования;
• здоровьесберегающая технология;
• технология обучения в сотрудничестве.

Тип занятия: комбинированное (изучение нового и закрепление).

Вид занятия: теоретическое.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесные, наглядные, практические, решение задач, алгоритмизированные.

Формы контроля: фронтальный опрос, индивидуальный опрос у доски, решение задач.

Межпредметные связи: физика.

Внутрипредметные связи: производная, правила дифференцирования, элементарные функции, производные элементарных функций.

Оборудование: доска классная, мел, линейка.

Оснащение:

Методическое оснащения занятия:

Рабочая программа учебной дисциплины Математика, технологическая карта занятия, методическое пособие для преподавателя.

Дидактическое оснащение занятия: учебник, раздаточный материал (памятки с алгоритмами решения типовых задач, варианты самостоятельной работы).

План:

1. Организационный момент (2-3 мин).
2. Постановка целей и задач, мотивация (5-7 мин).
3. Проверка домашнего задания (3-5 мин).
4. Актуализация знаний (8-10 мин).

• Фронтальный опрос.
• Индивидуальный письменный опрос у доски.

5. Изучение нового (25-30 мин).

• Геометрический смысл производной.
• Физический смысл производной.
• Касательная к графику функции.

6. Первичное закрепление (15-20 мин).
7. Проверка первичного понимания (10-15 мин).
8. Домашнее задание (1-2 мин).
9. Рефлексия (2-3 мин).

2.Ход занятия

1. Организационный момент (2-3 мин).

Проверка присутствующих и их готовности к занятию.

2. Постановка целей и задач, мотивация (5-7 мин).

• Объявление темы.
• Вовлечение обучающихся в постановку цели занятия.
• Обоснование важности изучения темы и умения определять угловой коэффициент касательной к графику функции, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс и составления уравнения касательной к графику функции при решении практических задач.

3. Проверка домашнего задания (3-5 мин).

Проверка наличия у обучающихся выполненной домашней работы.

Творческая работа «Презентация»-доклад.

4. Актуализация знаний (8-10 мин).

1. Фронтальный опрос.

Вопросы:

• Дайте определение понятию производная через формулу.
• Перечислите элементарные функции, дайте определение и приведите примеры.
• Выполнение заданий на карточках (вычисление производной), сверка полученных ответов (при необходимости демонстрация решения у доски тех заданий, которые вызвали затруднения).  

4.2. Индивидуальный письменный опрос у доски.

У доски работают 2 человека.

Задания: 

1 ученику: Запишите формулы, выражающие правила дифференцирования.

2 ученику: Запишите формулы нахождения производных элементарных функций.

5. Изучение нового (25-30 мин).

Чтение с учебника стр. 252 и 249 (3-6мин)

5.1. Геометрический смысл производной.

Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 можно провести касательную, НЕпараллельную оси у, то производная функции y=f(x) в точке х0 будет равна угловому коэффициенту в уравнении касательной (у = kx+b) и равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс:

f′(x0) = k = tga

Алгоритм нахождения углового коэффициента/тангенса угла наклона касательной в точке х0

1) Найти производную f’(х).

2) Найти значение производной в точке х0: f’(х0).

3) Записать ответ k = f’(х0) или tgα = f’(х0).

Рассмотрим примеры:

1. Найти угловой коэффициент касательной функции f(x)= х4 + 3х2 – 6 в точке х0=2 (по алгоритму).

1) f’(х) = (х4 + 3х2 – 6 ) ’=(х4)’+ (3х2 )’– (6 )’=4х3 + 3·2·x1 – 0 = 4x3 +6x.

2) f’(х0) = f’(2) = 4·23 +6·2=32+12=44.

3) k = 44.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции f(x)= х2 - х3 + 2х в точке х0=1: (по алгоритму).

1) f’(х) = (х2 - х3 + 2х) ’=(х2)’- (х3 )’+ (2х)’= 2х - 3·x2 + 2.

2) f’(х0) = f’(1) = 2·1 - 3·12 + 2=1.

3) tgα = 1 , α = arctg 1 = .

y= x(1 –e) -1.

5.2. Физический смысл производной.

Физический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке показывает скорость изменения функции в этой точке.

Пусть S(t) – функция, задающая зависимость от времени t, тогда:

V=S’(t)

a(t) = V’(t),

где а – ускорение в момент времени.

Алгоритм нахождения скорости в момент времени t0

1) Найти производную S’(t).

2) Найти значение производной в точке t0: S’(t0).

3) Записать ответ V = S’(t0).

Алгоритм нахождения ускорения в момент времени t0

1) Найти производную S’(t).

2) Найти производную V’(t).

3) Найти значение производной в точке t0: V’(t0).

4) Записать ответ a(t) = V’(t0).

Рассмотрим пример:

3. Найти скорость движущегося по закону S(t) = 8t2 + 3t3 – 6t + 1 тела в момент времени t0=1: (по алгоритму).

1) S’(t) = (8t2 + 3t3 – 6t + 1) ’= (8t2)’+ (3t3)’– (6t)’ + (1) ’ = 16t + 9t2 – 6 + 0 = 16t + 9t2 – 6.

2) S’(t0) = S’(1)= 16·1 + 9·12 – 6=16+9-6=19.

3) V = S’(t0) = 19м/с.

4. Найти ускорение движущегося тела по закону S(t) = 8t2 + 3t3 – 6t + 1 в момент времени t0=1: (по алгоритму).

1) S’(t) = (8t2 + 3t3 – 6t + 1) ’= (8t2)’+ (3t3)’– (6t)’ + (1) ’ = 16t + 9t2 – 6 + 0 = 16t + 9t2 – 6.

2) V’(t) = (16t + 9t2 – 6) ’= (16t)’ +(9t2)’– (6)’ = 16 + 18t.

3) V’(t0) = V’(1)= 16 + 18·1=34.

4) a = V’(t0) = 34м/с2.

5.3. Касательная к графику функции.

Также, зная функцию, заданную аналитически: y=f(x), к которой проводим касательную, и абсциссу точки касания х0, можно, не производя построения графика функции, составить уравнение этой касательной, используя равенство:

Алгоритм составления уравнения касательной функции f(х) в точке х0

1. Найти значение функции в точке х0: f(х0).
2. Найти производную: f’(х).
3. Найти значение производной в точке х0: f’(х0).
4. Записать уравнение касательной, подставив свои данные:

y = f(x0) + f’ (x0)(x – x0).

6. Первичное закрепление (15-20 мин).

Решение заданий СДЕЛАТЬ И РАСПЕЧАТАТЬ!

7. Проверка первичного понимания ОНЛАЙН ТЕСТ (10 мин).

8. Домашнее задание (1-2 мин).

Учить конспект лекции.

Book.ru № 7.42(1,4), 7.43(1,4) стр. 145-146

9. Рефлексия (2-3 мин).

Ответ на вопросы студентов.

3.Список источников

Основные:

1. Башмаков, М. И., Математика. Практикум : учебно-практическое пособие / М. И. Башмаков, С. Б. Энтина. — Москва : КноРус, 2023. — 294 с. — ISBN 978-5-406-10588-7. — URL: https://book.ru/book/945228 — Текст : электронный.
2. Башмаков, М. И., Математика : учебник / М. И. Башмаков. — Москва : КноРус, 2019. — 394 с. — Текст : непосредственный.
3. Башмаков, М. И., Математика : учебник / М. И. Башмаков. — Москва : КноРус, 2024. — 394 с. — ISBN 978-5-406-12450-5. — URL: https://book.ru/book/951555 — Текст : электронный.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень). Просвещение, 2018г.

Дополнительные источники:

1. Богомолов, Н. В. МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА. БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ: 10—11 КЛАССЫ / Н. В. Богомолов — . — Москва: Юрайт, 2023 — 240 c. — ISBN 978-5-534-16084-0. — URL: https://urait.ru/author-course/matematika-algebra-i-nachala-analiza-bazovyy-uroven-10-11-klassy-530391 — Текст : электронный.
2. Гусак, А. А. Математика : пособие-репетитор / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. — 3-е изд. — Минск : Тетралит, 2023. — 720 c. — ISBN 978-985-7171-71-2. — Текст : электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART : [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/131481.html — Режим доступа: для авторизир. пользователей
3. Филипенко, О. В. Математика : учебное пособие / О. В. Филипенко. — Минск : Республиканский институт профессионального образования (РИПО), 2019. — 268 c. — ISBN 978-985-503-932-8. — Текст : электронный // Цифровой образовательный ресурс IPR SMART : [сайт]. — URL: https://www.iprbookshop.ru/94336.html (дата обращения: 15.09.2023). — Режим доступа: для авторизир. пользователей