ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА - ЮГРЫ

Бюджетное учреждение высшего образования

Ханты-Мансийского автономного округа - Югры

«Сургутский государственный педагогический университет»

Социально-педагогический факультет

Кафедра высшей математики и информатики

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Курсовая работа

44.03.05 / Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

Математика и начальное образование

Исполнитель: Гусейнова Камилла Намиговна, обучающаяся группы Б-1022 

________________________________________

   (подпись)

Научный руководитель: Прозорова Гульшат Ринатовна, старший преподаватель  

________________________________________

(подпись)

Оценка ________________________________________

Заведующий кафедрой: Мугаллимова Светлана Ринатовна, кандидат педагогических наук, доцент

________________________________________

                                  (подпись)

Сургут 2023

Оглавление

Введение3

ГЛАВА 1. Теоретические основы о непрерывности функций6

1.1 Основные понятия, теоремы о непрерывности функций, свойства6

1.2 Точки разрыва и их классификация 11

1.3 Непрерывность элементарных функций13

1.4 Связь непрерывности с дифференцируемостью15

ГЛАВА 2. Решение задач на непрерывность функций17

2.1 Решение типовых задач на непрерывность функций24

2.2 Решение прикладных задач на непрерывность функций 24

Заключение26

Список литературы27

Приложение29

Введение

Непрерывность - одно из основных понятий исчисления и математического анализа, где аргументами и значениями функций являются действительные и комплексные числа. Концепция была обобщена на функции между метрическими пространствами и между топологическими пространствами. Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение является основой топологии.

Усвоение понятия непрерывности функции происходит на основе несложных примеров из физики, которое опирается на геометрический смысл. Также понятие непрерывности функции затрагивают и такую науку, как экономика, что позволяет высказать вполне значимые утверждения экономического содержания.

При упоминании термина «непрерывность функций», многие представляют линию, которую мы сможем начертить так, чтобы не отрывать карандаш от бумаги. К примеру, возьмем обычную параболу . Главное, чтобы у этих линий не было никаких особенностей. Чтобы линия не «разваливалась» на части. Классическая функция в которой мы наблюдаем расхождение это функция  – гипербола, которая не определена в точке x=0. Но разрыв функции может наблюдаться даже и у параболы к примеру  данная функция не будет определена в точке , так как знаменатель дроби будет обращаться в ноль. Данные задачи часто встречаются в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике.  

Французский математик Огюстен-Луи Коши определил непрерывность  следующим образом: бесконечно малое приращение  независимой переменной x всегда приводит к бесконечно малому изменению  зависимой переменной y. Коши через термины переменных величин определил бесконечно малое приращение, на сегодняшний день бесконечно малое определение близко соответствует с определением непрерывности Коши. Впервые Больцано были даны определение и различие между поточечной непрерывностью и равномерной непрерывностью. Карл Вейерштрасс отрицал непрерывность функции в точке С, как и Больцано, если она не была определена по обе стороны от С, но Эдуард Гурса разрешил определять функцию только в одну сторону от С, а Камиль Джордан разрешил это даже в том случае, если функция была определена только в С. Все три неэквивалентных определений поточечной непрерывности до сих пор используются. Первое опубликованное определение равномерной непрерывности в 1872 году дал Эдуард Гейне, но основал эти идеи на лекциях, прочитанных Питером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году.

Использование эффективных методов определения поведения графика функции необходимо при построении различных видов графиков. Зная и используя определения непрерывности, а также находя односторонние пределы в точках мы сможем выявить то, как ведет себя функция в этих точках. Понять и выяснить является ли функция непрерывной или имеет разрыв различного рода.

Объект исследования: непрерывность функций.

Предмет исследования: методы и приемы решения задач на непрерывность функций одной переменной.

Цель исследования: систематизация теоретического материала по теме «Непрерывность функций» и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

1. Раскрыть основные понятия, теоремы и свойства о непрерывности функций.
2. Изучить связь непрерывности с дифференцируемостью.
3. Рассмотреть типовые задачи на непрерывность функций.
4. Разобрать прикладные задачи на непрерывность функций.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение, изучение литературы.

Актуальность исследования: данная тема также встречается в задачах по физике и математике, а также при решение экономических задач.

Результаты курсовой работы были представлены на 2 научных конференциях:

1.        Х Открытая окружная студенческая научно-практическая конференция «Молодежь в мире науки». (Приложения 1).

2.        XXVIII студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске». (Приложения 2).

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, 2 приложений. Список использованной литературы включает 12 наименований.

Глава 1. Теоретические основы о непрерывности функций

1.1. Основные понятия, теоремы о непрерывности функций, свойства.

Тесно с понятием предела функции связанно другое важное понятие из курса математического анализа – понятие непрерывности функции. Для начала рассмотрим основное понятие темы – функция. Существует множество различных определений, но все они по-своему различны и чем-то похожи. Различные авторы в школьных учебниках по-разному определяют понятия через множества.

Определение 1. (Н.И.Лобачевский) Пусть E есть множество чисел и пусть в силу определённого закона каждому числу x их E приведено в соответствие (одно) число y; тогда говорят, что на Е задана функция (однозначная), которую записывают так:

Определение 2. (Н.Я. Виленкин) Пусть Х – числовое множество. Правило, сопоставляющее каждому числу х из Х некоторое число у, называют функцией, заданной на Х. Переменную, «пробегающую» множество Х, называют аргументом функции.

Рассмотрим функцию f (x), определенную в некотором промежутке Х, и пусть  будет точка этого промежутка, так что в ней функция имеет определенное значение .

Установленное понятие предела функции при стремлении х  к

говорит о том, что значения  переменная x не принимает; это значение могло даже не принадлежать области определения функции, а если и принадлежит, то значение  при образовании упомянутого предела не учитывается.

Особое внимание привлекает к себе случай, когда:

Определение 3. (Г.М. Фихтенгольц) Функция f(x) непрерывна при значении x=, если выполняется это соотношение; если же оно нарушено, то говорят, что при этом значении функция имеет разрыв.

Определение 4. (Д.Т. Письменный) Пусть функция  определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки. Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Опираясь на понятия приращения аргумента и функции можно дать еще одно определение непрерывности функции.

Пусть функция  определена в некотором интервале . Для этого возьмем произвольную точку . Для любого  принадлежащему интервалу  разность  называется приращением аргумента в точке  и обозначается .

Рис.1.

Приращением функции  в точке  называется разность значений функции  , обозначается как .  или  (см. рис. 1).

Выше были рассмотрены определения непрерывности функций из классических учебников математического анализа. Данная тема также рассматривается в школьном курсе алгебры и начала математического анализа, поэтому следует также рассмотреть определения непрерывности из школьных учебников.

Определение 6. (Н.Я. Виленкин) Функцию  называют непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и разность  бесконечно мало при  .

Это определение означает, что функция  непрерывна в точке a в том и только в том случае, когда .

Наряду с непрерывностью функции рассматривают одностороннюю непрерывность (справа или слева), определяя ее равенствами

  или  

Определение 7. Функция , не являющаяся непрерывной в точке , предельной для X, называется разрывной в ней. Точку  называют точкой разрыва функции , причем функция  может быть не определена в этой точке.

Определение  непрерывности функции в точке по Коши: функция   непрерывна в точке , если для любого , найдется такое положительное число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению

 выполняется неравенство

Определение непрерывности функции в точке по Гейне: функция  непрерывна в точке , если для любой последовательности , выполняется соотношение

Определение. Функция  называется непрерывной слева (справа) в точке , предельной для множества , если

=f ()       f()=f()

Функция  непрерывна в точке , предельной для множества X, тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке и слева и справа, то есть

Величину  называют приращением аргумента, а –приращением функции. Так как  , то условие непрерывности можно переписать в виде . Отсюда   = 0.

Равенство  = 0 называется разностным условием непрерывности функции в точке и служит практическим приемом доказательства непрерывности функции в точке.

Пример: Покажем, что функция  непрерывна в любой точке  , имеем:

Значит, функция  непрерывна во всякой .

Свойства непрерывных функций:

Теорема Больцано – Коши. Пусть функция  f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке  и на концах этого промежутка принимает неравные значения

Доказательство: Будем считать, например,

Рассмотрим в промежутке  вспомогательную функцию                          Эта функция непрерывна в промежутке и на концах его имеет разные знаки:

Тогда, между  и  найдётся точка c, для которой , т.е.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, установилось важное свойство функции  непрерывной в промежутке : функция в качестве значение хоть раз будет принимать каждое промежуточное число, во время перехода от одного своего значения к другому.

Следствие. Если функция  определена и непрерывна в каком-либо промежутке  (замкнутом или нет, конечном или бесконечном ), то принимаемые ею значения  сами также заполняют сплошь некоторый промежуток.  

Теорема Вейерштрасса. Если функция  определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ.

Доказательство:

Возьмём

это число- конечное. Допустим (вопреки тому, что нужно доказать), что всегда  т.е., что граница  не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию

 Непрерывность функции в интервале и на отрезке:

Определение 8. Функция  называется непрерывной в интервале (, если на этом интервале она непрерывна в каждой точке.

Определение 9. Функция  называется непрерывной на отрезке  если она непрерывна в интервале (),

 (непрерывность справа),

 (непрерывность слева).

 Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функция  непрерывны в точке , то их сумма , произведение  и частное  (при условии  являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция непрерывна в точке  и , то существует такая окрестность в точки , в которой
3. Если функция  непрерывна в точке , а функция                        непрерывна в точке , то сложная функция .

1.2. Точки разрыва и их классификация.

Одним из обязательных моментов исследования функции на непрерывность является нахождение точек разрыва.  Поэтому стоит разобраться с основными определениями, а также условиями при которых появляется тот или иной тип точек разрыва.

Определение 10. Если функция  определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , но не является непрерывной в этой точке, то точка  называется точкой разрыва.

Детализируем определение функции, непрерывной в точке

1. , .
2. .
3. .

Если 1, 2 пункты выполняются, а 3 не выполняется, то  – точка устранимого разрыва I рода;

Если 1 выполняется, 2 не выполняется, то точка неустранимого разрыва I рода;

Если 1 не выполняется, то  точка разрыва II рода;

Точками скачка функции называются такие точки разрыва I рода, которые не являются точками устранимого разрыва.

Пример 1:

1) Возьмем функцию ;

2) Найдем область определения данной функции , функция может иметь точки разрыва в точках склейки ее составляющих;

3) Вычислим односторонние пределы ;

4) Таким образом, если односторонние пределы равны между собой, но не равны в этой точке их значения функции, следовательно,  точка устранимого разрыва.

Пример 2:

1) Возьмем функцию ;

2) Найдем область определения данной функции , функция может иметь точки разрыва в точках склейки ее составляющих;

3) Вычислим односторонние пределы

4) Таким образом, если односторонние пределы в этой точке конечны, но не равны между собой, следовательно, точка неустранимого разрыва I рода.

Пример 3:

1) Возьмем функцию;

2) Найдем область определения данной функции , функция может иметь точки разрыва в точках склейки ее составляющих;

3) Вычислим односторонние пределы

4) Таким образом, если один из односторонних пределов равен бесконечности или вовсе отсутствует тогда, точка разрыва II рода.

1.3. Непрерывность элементарных функций.

Элементарную функцию можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из основных элементарных функций. Любую элементарную функцию можно задать формулой, набором конечного числа символов в соответствии с использованием операций.

Определение 11. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой  – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел.

Теорема. Каждая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Таблица 1

Непрерывность элементарных функций

Докажем непрерывность нескольких элементарных функций. Остальные элементарные функции доказываются на похожем принципе. (см. Таблица 1).

1. Показательная функция

Доказательство:

Данная функция монотонно возрастает при изменении  в промежутке . Так же ее значения являются положительными и заполняют весь промежуток Следовательно, показательная функция

 непрерывна при любом значении .

Что и требовалось доказать.

2. Логарифмическая функция  (a>0, a.

Доказательство:

Данная функция возрастает при изменении  в промежутке  Так же видно, что функция принимает любое значение  из промежутка  именно для . Отсюда и следует, что логарифмическая функция  непрерывна.

Что и требовалось доказать.

3. Степенная функция

Доказательство:

Данная функция возрастает при возрастании   от нуля до , если         и убывает, если  При этом степенная функция может принимать любое положительное значение для . Следовательно, данная функция непрерывна.

Что и требовалось доказать.

1.4. Связь непрерывности и дифференцируемости.

Связь между такими понятиями как непрерывность и дифференцируемость существует, и она довольно простая.

Определение 12. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала  называется дифференцируемой в этом интервале;

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Одним из главных и необходимых условий дифференцируемости функции является то, чтобы у функции существовала производная в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция  дифференцируема в некоторой точке . Следовательно, существует предел .

Отсюда имеем, что , где при , то есть .

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема неверна, непрерывная функция может не иметь производной.  

Примером такой функции является функция

Изображенная на рисунке 2 функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней.

Рис. 2.

Действительно, в точке  имеем

Отсюда следует, что не существует, т.е. функция  не имеет производной в точке , график функции (рис.1.) не имеет касательной в точке

Замечания:

1. Существуют односторонние пределы

 (непрерывность справа),

 (непрерывность слева).

В таких случаях говорят о том, что функция имеет односторонние производные. Если односторонние производные не равны, то в этой точке производная не существует.

2. Производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.

Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то такая функция называется гладкой.

Сделаем вывод о том, что непрерывность функции – это одно из необходимых условий для дифференцируемости функции, но этого недостаточно.

Таким образом, в первой главе нами были рассмотрены основные теоретические аспекты, которые касаются непрерывности функций, а именно: основные понятия, теоремы и свойства о непрерывности функций. Рассмотрели точки разрыва и их классификацию, а также систематизировали материал по непрерывности элементарных функций. Разобрали связь непрерывности и дифференцируемости. В следующей главе будут рассмотрены задачи на вычисление, доказательство и построение с подробным их решением, рассмотрим прикладные задачи на тему «Непрерывность функций».

Глава 2. Решение задач на непрерывность функций

2.1. Решение типовых задач на непрерывность функций.

В данном параграфе, нами будут рассмотрены конкретные задачи на вычисление, доказательство и построение с подробным их решением, а также обобщим алгоритмы решения задач разных типов на тему «Непрерывность функций».

Задачи на вычисление – это тип задач, в котором необходимо через известные величины выразить неизвестные величины или их отношения, которые могут быть даны в общем виде или числовыми значениями.

Задача 1. Найти точки разрыва функции

Решение:

1) Следует отметить, что функция представлена в виде дроби, следовательно, знаменатель не должен равняться нулю .

2) Найдем односторонние пределы в точке

3) Данные пределы конечны, но они не равны друг другу, следовательно, из определения точек разрыва можно сказать, что точка  – точка неустранимого разрыва I рода.

Ответ:  – точка неустранимого разрыва I рода.

Задача 2. Каким числом можно доопределить функцию

При , чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Решение:

1) При  – ограниченная функция;

2) Как известно, произведение бесконечно малой функции на ограниченную дает нам бесконечно малое, поэтому

То есть предел существует и конечен. Поэтому можно доопределить функцию так: .

Ответ: .

Задача 3. Найти точки разрыва функции . Исследовать характер этих точек.

Решение:

1) Функция не существует при:  Точкой области определения является каждая найденная точка, следовательно, и точкой разрыва.

2) Исследуем точки разрыва

 – устранимая особенность

Следовательно:

 – точки разрыва 2-го рода.

Ответ:  – устранимая особенность,  – точки разрыва 2-го рода.

Алгоритм решения задач на вычисление (нахождение точек разрыва):

Шаг 1. Необходимо найти область допустимых значений функции, найти точки и промежутки, которые не принадлежат ОДЗ.

Шаг 2. Из полученных точек, составить множество точек. Данное множество точек, может иметь те точки, которые возможно будут разрывать функцию.

Шаг 3. Вычислить односторонние пределы, для того чтобы исследовать каждую точку, подозрительных на разрыв.

Шаг 4. При обнаружении разрыва, определить тип разрыва.

Задачи на доказательство – это тип задач, в котором необходимо представить рассуждения, имеющее задачей, обосновать истинность какого-либо утверждения.

Задача 4. Доказать, что функция   не является непрерывной в точке  но непрерывна справа в этой точке.

Доказательство:

1) Найдем односторонние пределы в точке

2) Кроме того, откуда следует, что

3) Отсюда, мы можем сделать вывод, что в точке 0 не выполняются все условия непрерывности функции, но справа в этой точке функция  является непрерывной.

Что и требовалось доказать.

Задача 5. Пользуясь определением функции доказать, что функция   непрерывна в произвольной точке

Доказательство:

1)  Необходимо составить разность, для этого возьмем любое значение  на числовой оси

2) Так как , а , то при   есть б. м. функция.

3) Следовательно функция  бесконечно мала при стремление к , как произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию.

4) Отсюда, мы можем сделать вывод, что  

Что и требовалось доказать.

Задача 6. Доказать, что функция  непрерывна в произвольной точке , пользуясь определением непрерывности функции.

Доказательство:

1) Пусть – приращение аргумента в точке  Необходимо найти приращение функции:

2) Применим теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

.

3) Отсюда, мы можем сделать вывод о том, что , по определению непрерывности функции, является непрерывной в точке .

Что и требовалось доказать.

Алгоритм решения задач на доказательство:

Шаг 1. Если в условии даны точки, при которых возможен разрыв функции, то необходимо найти односторонние пределы. Если же точки не даны, то составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащих ОДЗ.

Шаг 2. При обнаружении разрыва, определить тип разрыва.

Шаг 3. Сравнить полученный результат с условием в задаче.

Задачи на построение -  это тип задач, в котором необходимо составить алгоритм построение графика (фигуры), реализовать план, выполнить построение, доказать, что полученная фигура является искомой.

Задача 7. Исследовать на непрерывность и построить график функции

Решение:

1) Найдем односторонние пределы и значения функции в точке :

Данные пределы конечны, но они не равны друг другу, следовательно, из определения точек разрыва можно сказать, что функция имеет разрыв I рода и непрерывность слева. Скачок данной функции в точке  будет наблюдаться

2) Аналогично найдем односторонние пределы и значения функции в точке :

Данные пределы конечны и равны друг другу, следовательно  – точка устранимого разрыва для функции.

Построим график

Рис. 3.

Задача 8. Исследовать функцию, найти точки разрыва и построить ее график.

Решение:

1) Найдем односторонние пределы в точках

Пусть

Односторонние пределы конечны, но не равны, поэтом мы можем сделать вывод, что в точке - точка имеет разрыв I рода.

Пусть

Односторонние пределы конечны и равны, поэтому функция непрерывна в .

Построим график функции:

Рис. 4.

Алгоритм исследования функции на непрерывность:

Шаг 1. Вычислить односторонние пределы, для того чтобы исследовать каждую точку, подозрительных на разрыв.

Шаг 2. При обнаружении разрыва, определить тип разрыва.

Шаг 3. Построить график учитывая множество точек, которое принадлежит функции.

2.2. Решение прикладных задач на непрерывность функций.

В данном параграфе мы рассмотрим прикладные задачи из экономики и физики на тему «Непрерывность функций». При усвоении понятия непрерывности функции всё происходит на основе несложных примеров из физики, которые опираются на геометрический смысл.

Прикладные задачи на тему «Непрерывность функции» по экономике

Непрерывное начисление процентов, в практических задачах на финансово-кредитных операциях, применяется крайне редко. Однако при анализе сложных финансовых проблем, оно оказывается весьма эффективным, особенно при анализе инфляционных процессов.

Задача 9. 40% составляет темп инфляции в год. Тогда реальная стоимость хранящихся денежных сбережений уменьшиться. Насколько уменьшиться темп инфляции за два месяца?

Решение:

Для вычисления инфляции применим формулу начисления непрерывных процентов:

где - денежная сумма, которая храниться дома.

Таким образом, инфляция за два месяца уменьшит реальную стоимость денежной суммы хранящееся дома на 7%.

Ответ: 7%.

Прикладные задачи на тему «Непрерывность функции» по физике

С помощью непрерывных и разрывных функций в математике описывается различие между скачкообразными и плавными изменениями величин. Если от значения  величины  и  связанны друг с другом так, что малое изменение влечет малое изменение , то  непрерывно зависит от  при  .

Задача 10. При каком значении температуры функция  имеет разрыв?

Решение:

Мы знаем, что объём 1 кг воды будет зависеть от ее температуры. Если  воды будет находится в промежутке от  до , то при малом изменении температуры, объем изменяется мало.

Если снизить температуру воды до , то она переходит в другое агрегатное состояние, то есть вода превращается в лед. Таким образом известно, что 1 кг льда значительно больше, чем 1 кг воды при . Следовательно, зависимость от  не является непрерывной и функция              имеет разрыв при .

Ответ: при - функция имеет разрыв.

Таким образом, во второй главе нами были рассмотрены задачи на вычисление, доказательство и построение с их подробным решением, мы рассмотрели прикладные задачи на тему «Непрерывность функций», а также нами было разработан алгоритм исследования функции на непрерывность.

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели основные теоретические аспекты, которые касаются непрерывности функций, а именно: основные понятия, теоремы и свойства о непрерывности функций. Рассмотрели точки разрыва и их классификацию, а также систематизировали материал по непрерывности элементарных функций. Разобрали связь непрерывности и дифференцируемости. Результаты были представлены в первой главе.

Во второй главе были описаны задачи на вычисление, доказательство и построение с их подробным решением, рассмотрели прикладные задачи на тему «Непрерывность функций». Также мы выявили алгоритмы решения задач разных типов на тему «Непрерывность функций».

В процессе выполнения курсовой работы нами были решены следующие задачи:

1. Раскрыты основные понятия, теоремы и свойства о непрерывности функций;
2. Рассмотрены точки разрыва и их классификация;
3. Изучена непрерывность элементарных функций, а также приведены доказательства непрерывности некоторых элементарных функций;
4. Изучена связь непрерывности с дифференцируемостью;
5. Решены типовые задачи на непрерывность функций;
6. Решены прикладные задачи на непрерывность функций.

Таким образом, исходя из проведенных исследований выполнены все вышесказанные задачи, следовательно, можно утверждать о том, что поставленная цель работы достигнута.

Список литературы

1. Математический анализ: [учеб. пособие] / К. Н. Гурьянова, У. А. Алексеева, В. В. Бояршинов; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 330 с.
2. Шепелявая Н.Б. Введение в математический анализ: Учебное пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2004. – 77 с.
3. Широкова Е.А.. Математический анализ (базовый уровень). Учебное пособие / Е.А.Широкова. – Казань: Казан. ун-т, 2015 – 144 с.
4. Математический анализ. Часть I. – Изд. 10-е, испр. – М.: МЦНМО, 2019. – xii+564 с. Библ.: 54 назв. Илл.: 65.
5. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. – 9-е издание. – Москва: Айрис Пресс, 2009. – 608 c. – Текст: непосредственный.
6. Бутузов, В. Ф. Математический анализ в вопросах и задачах / В. Ф. Бутузов. – 4-е издание. – Москва: Физматлит, 2001. – 480 c. – Текст: непосредственный.
7. Никольский, С. М. Курс математического анализа / С. М. Никольский. – 4-е издание. – Москва: Физматлит, 1990. – 528 c. – Текст: непосредственный.
8. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа / Г. М. Фихтенгольц. – 12-е издание. – Санкт-Петербург: Лань, 2020. - 444 c. – Текст: непосредственный.
9. Кудрявцев, Л. Д. Сборник задач по математическому анализу, Функции нескольких переменных. / Л. Д. Кудрявцев. – Санкт-Петербург: Кристалл, 1994. – 496 c. – Текст: непосредственный.
10. Виленкин, Н. Я. Алгебра и начала математического анализа / Н. Я. Виленкин. – 18-е издание. – Москва: Мнемозима, 2014. – 352 с. – Текст: непосредственный.
11. Сборник задач по высшей математике Лунгу 1 курс / К. Н. Лунгу. – Текст: электронный // gdzLungu: [сайт]. – URL: https://gdzlungu.ru/zadachnik/kurs-1.html (дата обращения: 12.06.2023).
12. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. – Текст: электронный // StudFiles: [сайт]. – URL: https://studfile.net/preview/7159530/page:3/ (дата обращения: 14.06.2023).

Приложение 1

Приложение 2