Определение интеграла через суммы Дарбу

Нижние и верхние функции

Пусть f – функция из R в R, определённая в области определения I и ограниченная на каждом отрезке  

Для каждого отрезка  положим

Для  каждого  разбиения   Т невырожденного  отрезка  на отрезки

положим

Назовемисоответственно  нижней и верхней

суммами функции f напо разбиению Т.

Лемма. Для любых двух разбиений T1 , T2 отрезка

2. Нижние и верхние интегралы .

Для каждого невырожденного отрезкаимеем два непустых семейства вещественных чисел:  

.  

Пусть А и Б—множества  их значений.В  силу  леммы .

 конечны, причем

Определение 1. Если—невырожденный отрезок, то

называют нижним интегралом функции f

на и  обозначают  или если  а

 —верхним  интегралом  функции  fнаи

пишут или если             называют

пределами интегрирования. Если же —вырожденный отрезок, то за нижний и верхний интегралы функции f напринимают 0.

Таким образом, нижний и верхний интегралы конечны и для каждого отрезка

При этом для каждого

Определение  2. Нижним и верхним интегральными средними функции

 f на невырожденном отрезке называют соответственно

Теорема 1. Нижнее и верхнее интегральные средние функции f заключены в тех же границах, что и ее значения, т. е. еслидля всехто

3. Аддитивность. Теорема 2. Пусть f — функция из R в R, определенная на

невырожденном промежутке I и ограниченная на  каждом  отрезке

Тогда ее нижний и

верхний интегралыи—аддитивные функции

отрезкана I, т. е. если ито

(2)

Теорема 3. Соотношения аддитивности (2) верны при любом взаимном

расположении точек

4. Нижний и верхний интегралы с переменным верхним пределом.

Теорема 4.

Пусть f —функция из R в R, определенная на  невырожденном промежутке I и

ограниченная на каждом отрезке  Зафиксируем  произвольно  точку

и для всех

 положим

(4)

Если f непрерывна в точке , тоидифференцируемы

 в этой точке, причем

Доказательство.    Если   f   непрерывна   в   точке  , то

Пусть h таково, что и, так что и все

точки,   заключенные между  х  и x + h, содержатся в I.

Тогда в силу теоремы 3

Но если t принадлежит отрезкус концами х и х+, то и, значит, , т. е.

С другой стороны f — нижнее  интегральное среднее функции f

на Следовательно, по теореме 1,

Тем самым,при h--> 0, т.е.

существует и равно f(x). Так как были использованы только теоремы 3 и 1, а

они верны и для верхнего интеграла, то такое же рассуждение справедливо

и для

Теорема 5. Всякая непрерывная функция на невырожденном промежутке обладает первообразной.

Формула Ньютона — Лейбница

Теорема 1. Всякая непрерывная функция f на отрезке [а, b] интегрируема на нем.

2. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема 2.   Пусть f — непрерывная на

отрезкефункция и F — любая ее

первообразная на этом отрезке. Тогда

(2)

Доказательство. По теореме 1 функция f интегрируема

 наПри этом—одна из ее первообразных (теорема 5 ). Поэтому

 разностьпостоянна , в частности,

и, следовательно,

Формулу (2) называют формулой Ньютона—Лейбница. Она позволяет сводить нахождение определенного интеграла непрерывной функции к нахождению ее первообразной (если последнее удается). Правую часть формулы (2) удобно обозначать так:

свойства

Линейность определенного интеграла. 1°. Если функции f u g интегрируемы

 на отрезке [а, b], то и их сумма f + g интегрируема на этом отрезке, причем

(4)

2°. Если функция f интегрируема на отрезке [а, b], то и функция kf для любой постоянной k интегрируема на этом отрезке, причем

(5)

3°. Если функцииинтегрируемы на отрезке

[а,   b],   то   и  любая  их  линейная комбинация+ . . . . . . +интегрируема на этом отрезке, причем

В частности, разность f — g функций f u g, интегрируемых на отрезке [а, b], интегрируема на [а, b] и

(4')

3. Аддитивность. 4°. Определенный интеграл есть аддитивная

 функция отрезка интегрирования, т. е. если  и функция f

интегрируема на отрезках [а, с] и  [с, b],  то  f  интегрируема на отрезке [а, b], причем

(6)

5°. Функция f, интегрируемая на отрезке [а, b], интегрируема на каждом

отрезке

 [с, d][a, b].

6° (теорема об интеграле с переменным верхним пределом).   Пусть

функция f  интегрируема на отрезке (и,   значит,  в силу  5°  на  каждом

отрезке  [а, b] содержащегося в  ). Зафиксируем  произвольно точку  и  

для всех .

положим

Если  f непрерывна  в  точке  х,  то F   дифференцируема в этой точке, причем

5. Интегрируемость модуля и произведения. 7°. Если функция f

интегрируема на отрезкето и ее

модульинтегрируем на этом отрезке, причем

8°  Если  функции  f u g интегрируемы на отрезке  то  и их

произведение fg интегрируемо на этом отрезке.