Определение интеграла Стильтьеса
Определение интеграла Стильтьеса и его свойства
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 integral_stiltesa.docx | 57.1 КБ |
Предварительный просмотр:
Интеграл Стилтьеса
Определение интеграла Стилтьеса
Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и . Разложим точками
(1)
промежуток на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции
Наконец, составим сумму всех таких произведений:
(2)
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом
Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство
,
как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .
Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :
Общие условия существования интеграла Стилтьеса
Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.
Отсюда следует, что при теперь все .
Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы
где и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции в -м промежутке . Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.
Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)
причем и служат точными границами для стилтьесовских сумм .
Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:
1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.
2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.
Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:
и
то, оказывается, что
Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:
Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было
Или
если под , как обычно, разуметь колебание функции в -м промежутке .
В следующем пункте мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций и , для которых интеграл Стилтьеса существует.
Свойства интеграла Стилтьеса
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
