Логико-математический анализ и методика введения теоремы о средней линии треугольника в 8 классе

Слайд 1

Логико – математический анализ и методика введения теоремы о средней линии треугольника в 8 классе Нигоматовой Ольги БМ - 31 1

Слайд 2

Логико – математический анализ теоремы Формулировка: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Вид формулировки : категорическая Вид суждения : общеутвердительное Импликативная форма : если в треугольнике проведена средняя линия, то она параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Структура теоремы Условие: в треугольнике проведена средняя линия; Заключение: она параллельна одной из его сторон и равна ее половине; Разъяснительная часть: множество прямых, параллельных стороне треугольника Обратная теорема : Если прямая, пересекающая две стороны треугольника, параллельна третьей стороне и отрезок этой прямой, заключенный между двумя сторонами треугольника равен половине третьей стороны, то такой отрезок является средней линией треугольника. (истинно) 2

Слайд 3

Восходящий анализ Для того, чтобы доказать, что MN ΙΙ AC , достаточно доказать, что 1 = 2; Для того, чтобы показать равенство углов, достаточно доказать подобие треугольников MBN и ABC ; Для того, чтобы показать подобие треугольников, достаточно показать пропорциональность сторон или/и равенство углов (то есть воспользоваться одним из признаков подобия треугольников); Для того, чтобы показать пропорциональность двух сторон, достаточно воспользоваться определением средней линии (линия, соединяющая середины сторон); Для того, чтобы показать, что MN=0.5 AB , достаточно найти коэффициент подобия треугольников MBN и ABC и умножить длину стороны AB на него; Для того, чтобы найти коэффициент подобия треугольников, достаточно найти отношение линейных элементов фигуры образа и прообраза. 3

Слайд 4

Нисходящий анализ Пусть MNIIAC и MN=0.5AC ; Если MN ΙΙ AC , то 1 = 2 как соответственные углы при пресечении параллельных прямых секущей АМ; Если 1=2 и угол А – общий, то имеем пару подобных треугольников: BMN и ABC ; Если BMN и ABC подобны, то их стороны пропорциональны, то есть BM:BA = BN:BC = MN:AC = 1:2 ; Если BM:BC=1:2, то M – середина ВС, если BN:BC=1:2, то N – середина АВ; Если M – середина ВС, а N – середина АВ, то MN – средняя линия треугольника АВС (по определению средней линии). 4

Слайд 5

Теорема о средней линии треугольника 8 класс Учебник «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян Тема урока: «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Средняя линия треугольника» Перед теоремой введено понятие средней линии треугольника Программные требования к уровню подготовки учащихся: Знать: теорему о средней линии трапеции Уметь: доказывать рассмотренную теорему и применять ее при решении задач Абстрактно-дедуктивный метод введения теоремы о средней линии треугольника 5

Слайд 6

Учитель: Давайте вспомним (фронтальный опрос): Что такое средняя линия треугольника? Сколько признаков подобия треугольников вы знаете? Какие? Как найти коэффициент подобия двух подобных треугольников? Какие углы образуются при пересечении параллельных прямых секущей? Что мы знаем об этих углах? Сейчас мы рассмотрим теорему о средней линии треугольника. Эта теорема очень важна, так как на сегодняшний день в ОГЭ встречается очень много задач, решаемых с помощью этой теоремы. Ученики отвечают: Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон 3 признака: по двум равным углам, по одному углу и двум парам пропорциональных сторон, по трем парам пропорциональных сторон Для того, чтобы найти коэффициент подобия треугольников, достаточно найти отношение соответствующих линейных элементов треугольников Накрест лежащие, соответственные, односторонние Накрест лежащие углы – равны, соответственные углы – равны, сумма односторонних равна 180 градусам 6

Слайд 7

Учитель: Формулирует теорему: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна его половине. Чертит чертеж, оформляет символьную запись теоремы, просит зафиксировать формулировку, символьную запись и чертеж в тетрадь Ученики: слушают, записывают. 7

Слайд 8

Учитель: Теперь приступим к доказательству теоремы. Сначала запишем, что нам дано и что нужно доказать (может спросить учеников). Само доказательство не должно представлять для вас никакой сложности, так как опирается на те теоремы, которые мы изучили ранее. Давайте взглянем на чертеж обсудим, что нам необходимо знать для доказательства. Далее учитель задает вопросы: Что достаточно показать, для того, чтобы MNIIAC ? Какие виды углов мы выберем и почему? Как показать равенство этих соответственных углов? Подобны ли треугольники MBN и ABC ? Почему? Теперь самостоятельно запишите в тетрадях, почему MNIIAC . 5. Как показать, что MN=0.5AC ? Запишите в тетрадь, почему MN=0.5AC . Таким образом, в треугольнике АВС средняя линия MNIIAC и MN=0.5AC , что и требовалось доказать. Ученики: Записывают в тетрадь: Отвечают на вопросы: Для доказательства параллельности прямых достаточно показать равенство накрест лежащих или соответственных углов или показать, что сумма односторонних углов равна 180 градусам Выберем соответственные углы, так как для накрест лежащих требуется сделать дополнительное построение, а для односторонних требуется знать величины углов. Для того, чтобы показать равенство соответственных углов, достаточно показать подобие треугольников MBN и ABC Данные треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников (угол В – общий, боковые стороны пропорциональны) Для того, чтобы показать, что MN=0.5 AB , достаточно найти коэффициент подобия треугольников MBN и ABC и умножить длину стороны AB на него. Коэффициент подобия данных треугольников равен 0,5. 8

Слайд 9

Доказательство, записанное учеником: 9

Слайд 10

Задачи на применение теоремы для решения задач на вычисление Дан треугольник АВС, стороны которого равны 8 см, 3 см, 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника Точки P и Q – середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника А PQ равен 21 см. 10

Слайд 11

Задачи на применение теоремы для получения новых математических фактов 11