КУРСОВАЯ РАБОТА на тему "Методика изучения четырехугольников в основной школе"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский)

федеральный университет»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Направление подготовки:

44.03.05 «Педагогическое образование

(математическое образование, информатика и информационные технологии)»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Методика изучения четырехугольников

в основной школе

Студент 3 курса

Группа 05-504

«      » мая 2018 г.       Афанасьева Дарья Сергеевна

Научный руководитель:

Доцент, кандидат педагогических наук

«      » мая 2018 г.       Шакирова Кадрия Бариевна

Казань – 2018

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

Логико-дидактический анализ содержания темы «Четырехугольники»…….5

ЛМА темы «Четырехугольники»……………………………………………….7

Классификация

Параллелограмм……..…………………………………...……………………...11

Трапеция…………………………………………………………………………13

Прямоугольник…………………………………………………………….…….15

Ромб………………...………………………………………………………….…16

Квадрат…………………………………………………………………………...17

Описанные и вписанные четырехугольники…………………………………..19

Задачи из ОГЭ повышенной сложности………………………..........................23

Методические рекомендации по изучению темы «Четырехугольники»….....27

План – конспект урока на тему «Прямоугольник»……………………………31

Заключение……………………………………………………………………….46

Список литературы………………………………………………………………47

Введение

В современной школе в связи с появлением новых учебников, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии.

Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.

Между тем при изучении темы «Четырехугольники» возникают определенные трудности:

• при решении задач на построение;
• при применении определений, свойств и признаков четырехугольников к решению практических задач, к доказательству теорем и т. п.

Соответственно возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы с теоретическим и задачным материалом по данной теме. В связи с этим цель курсовой работы: исследовать возможности применения методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники».

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования – методика обучения по теме «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.

Задачи:

1. Раскрыть содержание понятий методов научного познания.
2. Изучить учебно-методическую литературу по теме исследования.
3. Показать применение методов научного познания при изучении геометрического материала.
4. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе

Для реализации цели и задач были использованы следующие методы:

1. Изучение и анализ учебно-методической литературы по теме исследования.
2. Анализ учебника по геометрии 7-9 автора Атанасян Л.С.
3. Проведение практического исследования задач.
4. Разработка урока на тему «Прямоугольник»

Методические рекомендации по изучению темы «Четырехугольники»

§ 2. Параллелограмм и трапеция

Назначение параграфа – ввести понятия параллелограмма и трапеции, рассмотреть свойства и признаки параллелограмма и закрепить полученные знания в процессе решения задач. Следует иметь в виду, что свойства и признаки параллелограмма широко используются в следующих разделах курса, поэтому выработке соответствующих умений и навыков следует уделить серьезное внимание.

Учебный материал можно распределить по урокам следующим образом: параллелограмм, его свойства и признаки – 3 урока, трапеция – 2 урока, задачи на построение циркулем и линейкой – 1 урок.

Определение параллелограмма можно отработать в процессе решения устных задач по заготовленным чертежам.

Теоретический материал п.43 достаточно прост, поэтому доказательство утверждений о свойствах параллелограмма можно предложить учащимся провести самостоятельно (без помощи учебника) на первом же уроке. Для экономии времени можно провести эту работу по вариантам, а затем выслушать учеников, выполнявших разные варианты. Для лучшего усвоения целесообразно решить в классе задачи 376 (а) – устно, 372 (а).

Перед тем как приступить к изучению признаков параллелограмма, следует напомнить учащимся, что означает слово «признак» и что такое обратная теорема. Полезно предложить учащимся сформулировать самим теоремы, обратные утверждениям о свойствах параллелограмма. Нужно подчеркнуть, что если некоторое утверждение верно, то отсюда еще не следует, что верно и обратное утверждение. Обратное утверждение требует отдельного рассмотрения в отношении того, верно оно или нет.

Доказательства утверждений о признаках параллелограмма можно предложить учащимся провести самостоятельно. Для лучшего усвоения доказанных теорем можно решить задачи 379, 382.

На третьем уроке решаются задачи на свойства и признаки параллелограмма. В конце третьего урока целесообразно провести проверочную самостоятельную работу.

Перед изучением п.45 «Трапеция» полезно еще раз вспомнить свойства и признаки параллельных прямых в процессе выполнения устных заданий. В самом п.45 учебника приведены только определения трапеции, ее видов и элементов, а свойства и признаки раскрыты в задачах 386 (свойство средней линии трапеции), 388 (свойство равнобедренной трапеции), 389 (признаки равнобедренной трапеции). Эти задачи необходимо разобрать с учащимися. Это же относится к задаче 385 (теорема Фалеса).

На втором уроке можно провести самостоятельную работу, проверить которую рекомендуется сразу же, например, с помощью мультимедийного оборудования.

Основные требования к учащимся: в результате изучения параграфа учащиеся должны знать и уметь четко формулировать определения параллелограмма и трапеции; уметь формулировать и доказывать утверждения о свойствах и признаках параллелограмма, указывая среди них те, которые являются обратными к уже доказанным утверждениям; знать и уметь обосновывать утверждения о свойствах и признаках равнобедренной трапеции (задачи 388 и 389); уметь решать задачи типа 372 – 377, 379 – 383, 387, 390, 392, решать задачи на построение; должны в ходе изучения темы проявить способность самостоятельно (даже не используя учебник) доказывать утверждения о свойствах и признаках параллелограмма.

§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат.

Назначение параграфа – более детально познакомить учащихся с частными видами параллелограмма – прямоугольником, ромбом и квадратом, их особыми свойствами, а также осевой и центральной симметрией как свойствами некоторых геометрических фигур.

На первом уроке можно изучить п.46 «Прямоугольник», на втором – п.47 «Ромб и квадрат», а третий урок целесообразно посвятить закреплению полученных сведений в процессе решения задач.

Перед изучением темы «Прямоугольник» полезно повторить свойства параллелограмма, признаки равенства прямоугольных треугольников и утверждение о сумме углов выпуклого четырехугольника в процессе решения устных задач.

После того, как сформулировано определение прямоугольника, можно предложить учащимся самим перечислить те его свойства, которыми он обладает, как и любой параллелограмм. Желательно, чтобы они сами доказали утверждение об особом свойстве прямоугольника, а также обратное утверждение (признак прямоугольника). В классе рекомендуется решить задачи 399 (устно), 400, 402.

Перед рассмотрением другого частного вида параллелограмма – ромба полезно провести устную работу по заранее заготовленным чертежам к некоторым задачам.

После введения определения ромба можно предложить учащимся самим сформулировать те его свойства, которые следуют непосредственно из определения, а затем самостоятельно (по вариантам) доказать утверждения об особых свойствах ромба. Полезно обратить внимание учащихся на то, что утверждения, сформулированные в задаче 408 (а, б), являются признаками ромба.

Определение квадрата и его свойства учащиеся могут изучить самостоятельно по учебнику. Затем полезно решить задачу 410. Сделать это можно устно с помощью заранее заготовленных чертежей.

На следующем уроке усвоение изученного материала закрепляется в процессе решения задач. На этом же уроке целесообразно провести самостоятельную работу обучающего характера с проверкой в классе.

Основные требования к учащимся: в результате изучения параграфа учащиеся должны знать и уметь четко формулировать определения прямоугольника, ромба и квадрата; уметь формулировать и доказывать утверждения об особых свойствах прямоугольника и ромба и обратные утверждения (признаки прямоугольника и ромба); уметь решать задачи типа 401-423; в ходе изучения темы должны еще более развить умение самостоятельно обосновывать новые утверждения, опираясь на накопленный опыт.

ЛМА темы «Четырехугольники»

Учебник Геометрия, 7–9 Атанасян Л.С. (Глава V)

Блок А. 

Базовые знания: понятие отрезка; смежных и не смежных отрезков; понятие середины отрезка; понятие параллельных прямых; признаки параллельности прямых; понятие угла; понятие градусной меры угла; понятие развернутого угла; понятие прямого угла; понятие смежных и вертикальных углов; понятие перпендикуляра; признаки равенства треугольников; понятие окружности; хорды; радиуса; диаметра.

Базовые умения: умение выполнять построение углов; умение сравнивать отрезки; умение измерять длину отрезка; умение измерять величину угла; умение применять основные теоремы при решении задач на равенство треугольников; умение решать основные геометрические задачи по пройденным ранее темам; умение решать задачи на построение; умение решать задачи, применяя признаки параллельных прямых.

Блок В.

Вводимые понятия.

Понятия, вводимые на примерах: понятие многоугольника.

Понятия, вводимые с помощью определения: понятие периметра многоугольника; понятие n – угольника; понятие соседних сторон многоугольника; понятие диагонали многоугольника; понятие выпуклого многоугольника; понятие параллелограмма; понятие трапеции; понятие прямоугольника; понятие ромба; понятие квадрата.

Блок С.

Вводимые свойства: свойства параллелограмма; особое свойство прямоугольника; особое свойство ромба; свойства квадрата.

Вводимые признаки: признаки параллелограмма.

Блок D.

Задачный материал

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Результаты анализа задачного материала темы

В результате выполнения анализа задач была проведена их классификация по уровню сложности и виду, на основании которой составлена таблица 3.

Таблица 3.

Классификация задач по теме «Четырёхугольники»

Логико-дидактический анализ содержания темы «Четырехугольники»

Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно, как и в 5 и 6 классах.

В учебнике «Геометрия, 7-9», авт. Атанасян Л.С. тема «Четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На изучение данной темы по программе отводится 14 часов.  

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице 1.

Таблица 1.

Тематическое планирование, 2 часа в неделю

Материал в учебнике по данной теме представлен в V главе «Четырёхугольники», которая содержит три параграфа. Каждый параграф содержит теоретический материал, который разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать и выучить теоретический материал по данной теме. После изучения каждого параграфа идёт система задач различной степени трудности на закрепление изученного материала, а после изученной главы идёт система упражнений и вопросов на отработку знаний, умений и навыков. Дан образец решения задач на доказательство (№378, №384), доказана теорема Фалеса (задача №385), дано решение задач на построение 393 а), 396, даны чертежи ко всем этим задачам.  

Названия пунктов выделены другим цветом. Материал для заучивания (понятия, определения, формулировки теорем) выделен жирным тёмным цветом. Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического материала, дано доказательство всех свойств и признаков рассматриваемых фигур.

Изучение четырехугольников в учебнике Л. С. Атанасяна идет по следующей схеме:

Классификация

1. Параллелограмм

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1˚ В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2˚ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1˚ Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2˚ Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3˚ Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Задачи из учебника

371. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: а) ∠ВАС =∠АСD   и   ∠ВСА =∠DАС;

б) АВ || СD, ∠A=∠C.

373. Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см, ∠С=30˚, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

376. Найдите углы параллелограмма АВСD, если: а) ∠ А = 84˚;

 б) ∠А - ∠В = 55˚; в) ∠А +∠С = 142˚; г) ∠А=2∠В;

д) ∠САD=16˚, ∠АCD = 37˚.

380. На сторонах АВ, ВС, СD и DA четырехугольника АВСD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что АМ = СР, ВN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что четырехугольник АВСD и MNPQ – параллелограммы.

382. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD, - параллелограмм.

Задачи из ОГЭ

№1. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

Решение: По определению параллелограмма ВС || АD, АЕ — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы ВЕА и ЕАD равны как накрест лежащие. Поскольку ∠ВЕА=∠ВАЕ, треугольник АВЕ — равнобедренный, откуда АВ=ВЕ. Аналогично, треугольник СЕD —равнобедренный и ЕС=СD. Стороны АВ и СD равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:

.

Ответ: 17.

№2. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение: Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.

2. Трапеция   

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Задачи из учебника

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и D трапеции АВСD с основаниями АD и BC, если ∠А=36˚, ∠С=117˚.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68˚. Найдите остальные углы трапеции.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а=4 см, b=7 см, α=60˚; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а=10 см, b=15 см, α=45˚.

397. Постройте равнобедренную трапецию АВСD: а) по основанию АD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

Задачи из ОГЭ

№1. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 44, BC = 24, CF:DF = 3:1

Решение: Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники KFC  и ACD, угол C — общий, углы CAD и CKF равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники KFC и ACD подобны. Откуда  поэтому KF==33. Аналогично, из треугольников EKA и ABC получаем, что EK=BC=24=6. 

Таким образом, EF=EK+KF=6+33=39.

Ответ: 39.

№2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.

Решение: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит,  .

Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F. По теореме Пифагора находим AB: .

 Ответ: 25.

3. Прямоугольник

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Особое свойство прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Задачи из учебника

399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

401. Найдите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла А делит: а) сторону ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) сторону DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

402. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОD и АОВ равнобедренные.

403. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если =30˚, АС = 12 см.

Задачи из ОГЭ

№1. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение: Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.

4. Ромб

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят

Задачи из учебника

405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

406. Найдите периметр ромба АВСD, если =60˚, АС=10,5 см.

402. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45˚.

403. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла.

433. Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч ВD является биссектрисой угла КВМ.

434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Задачи из ОГЭ

№1. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

Решение: Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: АН=

№2. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

В ответе запишите величины различных углов в порядке возрастания без пробелов.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть диагональ АС равна 76. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник АОН, он прямоугольный, найдём синус угла ОАН: sin= , следовательно, угол OAH равен 30°.

Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они прямоугольные, AO — общая, AB=AD, следовательно, эти треугольники равны, откуда ∠ВАO =∠OAD=30˚, поэтому ∠BAD=2∙30˚=60˚. Сумма смежных углов ромба равна 180˚, откуда ∠AВС=180˚-∠BAD=180˚-60˚=120˚.

Ответ: 60120

5. Квадрат

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Основные свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Задачи из учебника

409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник – квадрат.

415. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

436. Диагональ АС квадрата АВСD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и СD соответственно в точках М и N. Найдите МN.

Задачи из ОГЭ

№1. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 39.

Решение: Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности, значит площадь данного квадрата равна:

Ответ: 6084

№2. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение: Площадь получившейся фигуры равна разности площадей квадрата и прямоугольника: 6 · 6 − 4 · 2 = 28.

Ответ: 28.

Описанные и вписанные четырехугольники

(Глава VIII §4)

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник, не являющимся квадратом, можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя вписать окружность.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.  Верно и обратное утверждение.

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом. Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚. Верно и обратное утверждение.

Задачи из учебника

695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника.

696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – ромб.

698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.

708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.

710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция – равнобедренная.

Задачи из ОГЭ

№1. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.

Решение: Поскольку ∠QPS = ∠QPM = ∠MNQ = ∠QNP (см. рис.), треугольник PQS подобен треугольнику NQP по двум углам (угол при вершине Q общий). Поэтому .  Пусть NS = x. Тогда .

Из этого уравнения находим, что x = 45.

Ответ: 45.

№2. Диагонали четырёхугольника АВСD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что ∠АВС = 72°, ∠ВСD = 102°, ∠AMD = 110°. Найдите ∠ACD.

Решение: Пусть ∠АСD = x.

∠DMC = 180˚-110°=70˚;

∠DMC = ∠DBC+∠BCA;

∠BCA=102˚-x; ∠DBC+102˚-x =70˚; x=∠DBC+32˚.

∠DBC+∠ABD=72˚; ∠ABD=x; ∠DBC=72˚-x; 2x=104˚; x=52˚.

Ответ: 52˚

№3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82˚ и 58˚. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180˚. Пусть угол А равен 82˚. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58˚, то угол D равен 180˚-58˚=122˚.

Ответ:122.

№4. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Решение: Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и с, а боковые стороны — b и d. По свойству описанного четырехугольника, a+c=b+d, и значит, периметр равен 2(a+c).
Получаем, что a+c=20, а средняя линия равна 10.

Ответ: 10.

№5. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение: Пусть сторона АВ равна х, АD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит, х+3х=ВС+2х.
Получается, что BC равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х=4, а большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

План – конспект урока

на тему «Прямоугольник»

Цель урока:

-рассмотреть свойства и признаки прямоугольника как частного случая параллелограмма, сформулировать и доказать его особые свойства и признаки, формировать умения решать задачи с применением доказанных теорем.

-развивать логическое мышление учащихся, умение грамотно выполнять и читать чертежи, математическую речь, интерес к предмету.

-воспитывать дисциплинированность, ответственное отношение к учебному труду.

Задачи урока:

-Повторить понятия прямоугольника, опираясь на полученные знания в курсе математики 1-6 классе;

-Рассмотреть свойства и признак прямоугольника через элемент исследования;

-Научить обучающихся, применять свойства в процессе решения задач;

-Рассмотреть задачи, развивающие компетентности ученика.

Оборудование: ПК, проектор, экран, презентация.

Тип урока: урок изучения и закрепление новых знаний.

Ход урока

1.Организационный момент. 

Добрый день ребята!

Я рада видеть вас на нашем уроке. Надеюсь мы с вами сегодня хорошо поработаем.

Садитесь.

2. Мотивация урока.

" Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия". Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье, в начале ХХ века очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука.

Сегодня на уроке каждый оценит свою работу и выставит себе баллы в оценочный лист.

• правильно выполненное задание – 3 балла

• ошибки при выполнении задания – 2 балла

• невыполнение задания – 0 баллов.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Геометрия в 8 классе началась с главы «Четырехугольник». Это одна из важных тем, которая широко используется при решении задач на ОГЭ и ЕГЭ.

Проверка домашнего задания.

- Какая фигура называется четырехугольником?

- Назовите виды четырехугольников, которые изучили?

- Дайте определение трапеции. Какие бывают трапеции. Определение равнобедренной, прямоугольной трапеции.

- Дайте определение параллелограмма.

- Каким свойством обладают противоположные стороны параллелограмма?

- Каким свойством обладают противоположные углы параллелограмма?

- Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?

- Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников?

Решение задач на готовых чертежах.

4.Изучение нового материала.

В жизни нет важней фигуры!

 Прямоугольник всюду есть.

 С ним любые процедуры

 Угол равен, ему – честь!

 Дом и Стол, тетрадь и книжка

 Прямоугольника пример…

 Без фигуры этой – крышка!шо

 Не построишь – мерь, не мерь!

Запишите число и тему урока.

1.Ввести понятие прямоугольник.

Среди предложенных четырехугольников выбрать те, которые являются прямоугольником.

Давайте будем разбираться с данной фигурой.

Каково взаимное расположение противоположных сторон прямоугольника? Верно, они попарно параллельны.

А мы уже встречались с фигурой, у которой противоположные стороны попарно параллельны, как называется такая фигура? Правильно параллелограмм!

Какой мы можем сделать вывод о прямоугольнике? Как можно назвать прямоугольник? Да. Прямоугольник - это параллелограмм.

А что его отличает от параллелограмма? У него все углы прямые, т. е. равны. А у параллелограмма только противоположные углы равны.

Закончите предложение: «Прямоугольник-это параллелограмм, у которого…….»

2.Рассмотреть особое свойство диагоналей прямоугольника.

Так как прямоугольник – это параллелограмм, то какими свойствами он обладает? Ответим на этот вопрос, исследуйте стороны, углы и диагонали прямоугольника и заполните таблицу на рабочих листах

Каким отличительным свойством он обладает?

3.Свойства прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны.

1)Рассмотрим Δ ACD и Δ DBA

   AD-общая

   AB=CD, т. к. ABCD-параллелограмм

   2) Значит ΔACD= ΔDBA по 2 катетам.

   3) Значит AC=BD, как соотв. элементы в равных треугольниках.

Теорема доказана.    

4.Рассмотреть признак треугольника.

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство:

1.  AC=BD (по условию), тогда ΔACD = Δ ABD по3 сторонам(AD- общая сторона, AB = CD, AC=BD)
2.  ∟A= ∟D - как соответственные элементы

∟A=∟C, ∟B= ∟D, т. к. в параллелограмме противоположные углы равны;

∟A= ∟D= ∟C= ∟B

4)  ∟A+∟B+ ∟C+ ∟D= 3600 следовательно,∟A= ∟B= ∟C= ∟D=900 

5) Значит ABCD- прямоугольник.

Теорема доказана.

Оцените свою работу

5.Закрепление изученного материала

Решение задач на готовых чертежах.

Решение задачи № 403 у доски.

Дано: ABCD – прямоугольник, AC ∩ BD = O, 0, AC = 12 см.     

   Найти: P AOB

                     Оцените свою работу                                                                                                                                                                   

5.Контроль знаний

Впишите пропущенные слова.

Прямоугольником называется _____, у которого все углы _____.

Свойство прямоугольника: _____ прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали _____, то этот параллелограмм – _____.

Оцените свою работу

6.Итог урока. Домашнее задание п.45, вопросы 12,13 стр. 115, № 399, № 401 (а).

 Рефлексия.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма точкой пересечения длятся пополам.

Применим это свойство для получения оценки за урок. Посчитайте итоговое количество набранных баллов и разделите на 2.

Если вы набрали 10-13 баллов, ваша оценка «5»

Если вы набрали 7-9 баллов, ваша оценка «4»

Если вы набрали 5-7 баллов, ваша оценка «3»

Трудным ли для тебя был материал урока?

На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?

Что нового ты узнал на уроке? Чему научился?

Работал ли ты на уроке в полную меру сил?

Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?

Прием рефлексии «Яблоня»

Яблоня красного цвета: «Я удовлетворен уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, я получил заслуженную оценку, я понимал все, о чем говорилось и что делалось на уроке»

Яблоня желтого цвета: «Урок был интересен, и я принимал в нем активное участие, урок был в определенной степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно»

Яблоня зеленого цвета: «Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чем идет речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу    на   уроке я не был готов»

Число______                                              Ф.И.О.__________________

Тема урока.

Исследуйте стороны, углы и диагонали прямоугольника и заполните таблицу на рабочих листах

Задача № 403

Впишите пропущенные слова.

Прямоугольником называется ________________, у которого все углы __________.

Свойство прямоугольника: ___________________ прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали _________, то этот параллелограмм –_____________.

Лист оценки

Критерии оценивание работы

• правильно выполненное задание – 3 балла                      

• ошибки при выполнении задания – 2 балла

• невыполнение задания – 0 баллов.

Если вы набрали 10-13 баллов, ваша оценка «5»

Если вы набрали 7-9 баллов, ваша оценка «4»

Если вы набрали 5-7 баллов, ваша оценка «3»

Заключение

Мы находимся в ситуации неопределённости, ситуации постоянного выбора, нас окружает быстро меняющийся мир. В будущем развитие общества будут определять люди умственного труда. Человек, получив профессиональную подготовку, порой вынужден менять профессию или постоянно повышать свою квалификацию. То есть выпускник современной школы должен уметь учиться.  Задача учителя дать ученику опыт самостоятельной и исследовательской деятельности.

Главной целью школьного образования является развитие ребёнка как компетентной личности путём включения его в различные виды ценностной человеческой деятельности: учёба, познание, коммуникация, личностное саморазвитие.

В теме «Четырехугольники» закладываются понятия основных видов четырехугольников и здесь же учащиеся знакомятся с основными видами задач, с методами их решения, оформления записи. В ходе изучения важно добиться, чтобы каждый ученик овладел всеми знаниями и умениями, необходимыми для дальнейшего успешного изучения новых понятий и теорем.  

Поэтому при подготовке к урокам геометрии по теме «Четырехугольники» учителю необходимо тщательно подбирать учебный материал, наглядные средства. На уроках больше времени отводить самостоятельной работе, творческой деятельности учащихся, использовать различные методики, формы работы. Также учителю необходимо обучать не только готовым знаниям, но и применять в своей работе разнообразные методы познания, приводящие к этим знаниям. Поэтому естественно применять в обучении и те эмпирические методы познания, с помощью которых формулируются гипотезы, подлежащие обоснованию (или опровержению) уже иными методами.

Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т, д. Все это будет наиболее полно способствовать лучшему усвоению геометрии учениками.

Особое внимание должно уделяться познавательной активности учащихся, их мотивированности к самостоятельной учебной работе. Это предполагает использование нетрадиционных форм уроков, использование компьютерных технологий на уроках, технологии полного усвоения, технологии обучения на основе решения задач, технологии обучения на основе схематических и новых знаковых моделей. Таким образом, цель курсовой работы на тему «Методика изучения четырехугольников в основной школе» выполнена.

Поставленные задачи решены, произведен отбор средств обучения теме, логико–математический анализ темы «Четырехугольники», анализ задачного материала учебника, выполнена классификация задач учебника Геометрия 7-9 Атанасян Л.С., тематическое планирование, разработана таблица задач, методические рекомендации обучения теме и показано их применение при обучении учащихся, проведена классификация четырехугольников, теоретический материал по теме, основные задачи из учебника на данную тему, а также задачи из ОГЭ повышенной сложности с решением. Был разработан план – конспект урока на тему «Прямоугольник».

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по геометрии; анализ методических рекомендаций из пособия для учителей.

Список литературы

1. Атанасян А. С. Геометрия: учеб. для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений / А. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2014. – 335 с.
2. Методика преподавания математики: учебник для вузов / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин [и др.] – М.: Просвещение, 2014. – 368 с.
3. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевосщикова [и др.] – Н. Новгород: НГПУ, 2013. – 320 с.
4. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей.  Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2012. - 255 с
5. Примерные программы по математике. – М.:Просвещение, 2014. –67с.
6. Геометрия. Самостоятельные и контрольные работы. 7-9 классы. Иченская М. А., 2014.
7. Геометрия. Тематические тесты к учебнику Л.С.Атанасяна и др. Авт: Мищенко Т. М., Блинков А. Д., 2014
8. Геометрия. Рабочая тетрадь. 8 класс. Авт: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. М.: Просвещение, 2014
9.  Геометрия. 7-9 классы. Электронное приложение к учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б./1 CD/
10. Геометрия. Комплект демонстрационных таблиц к учебнику Л.С. Атанасяна с методическими рекомендациями. Авт: Бурмистрова Т. А., Ходот Т. Г., Ходот А. Ю., 2014
11. Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. – М.: Просвещение, 2012.
12. ОГЭ – 2018. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Авт: Ященко И.В., Кукса Е.А., Лескина О.М.. Изд: Национальное образование, 2018.
13. Фридман Л.М. Психологические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии. -М.: Просвещение, 1983

Задачи из ОГЭ повышенной сложности

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.