Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине "Информатика" по теме "Системы счисления и формы представления чисел в ЭВМ"

Системы счисления и формы представления чисел в ЭВМ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине "Информатика"

Мурманск

2012

Введение

История появления и развития вычислительной техники довольно коротка. Её принято исчислять с 1833 года, когда у английского математика Чарльза Беббиджа впервые возникла идея создания механического "вычислительного помощника", на основе принципа программного управления. Потребовалось более 100 лет, чтобы эта идея положила начало эры ЭВМ.

Всю получаемую человеком информацию условно разделяют на непрерывную и дискретную. Непрерывная воспринимается нашими органами чувств (глазами, ушами), дискретная – результат измерений (погода вчера, температура в какой-то момент времени). С точки зрения обработки информации последняя предпочтительней, поэтому возникает задача аппроксимации непрерывной информации дискретной.

Результаты измерения любых непрерывно меняющихся величин (в конечном итоге) всегда представляются в числовом виде с конечным числом цифр. Из-за ограниченной точности измерений они представляются в дискретной форме. Дискретная форма информации, отождествляемая с цифровой информацией, в свою очередь, является частным случаем алфавитного способа представления информации. Его основой является произвольный, фиксированный конечный набор символов любой природы, называемый алфавитом. Простейшим алфавитом является двоичный, который состоит из двух знаков: "0" и "1". Ввиду своей простоты двоичный алфавит наиболее широко распространён в технических устройствах.

Информационно-логические основы построения

ЭВМ

Основной технической базой информационных технологий является персональный компьютер (ПК). Компьютер – это электронный прибор, предназначенный для автоматизации создания, хранения, обработки и транспортировки данных. Термин «персональный» определяет настольный или переносной вариант исполнения компьютера, удовлетворяющий требованиям общедоступности и универсальности применения. Современный рынок компьютерной техники весьма разнообразен, поэтому для выбора ПК с требуемыми характеристиками необходимы специальные знания.

1. Представление информации в ЭВМ

Наиболее удобным средством представления информации, с точки зрения автоматизации процессов ее обработки, является язык чисел. Любой язык чисел определяется системой счисления.

Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе (например, римская система счисления). Тем самым исключается всякая возможность автоматизации распознавания чисел и, как следствие, обработки информации. Этого недостатка лишена позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Позиционные системы счисления характеризуются:

0. основанием Р системы счисления – количеством (Р) различных символов, используемых для изображения чисел. Значения этих символов лежат в пределах от 0 до Р-1;
1. разрядом – позицией, занимаемой отдельным символом в изображении числа. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0;
2. весом разряда – количественным значением одной единицы разряда.

Любое число C в позиционной системе счисления с основанием Р может быть представлено в виде полинома:

C= Cm Pm +Cm-1 Pm-1 +…+C1 P1 +C0 P0 +C-1 P-1 + C-2 P-2 +…+C-s P-s    ,

целая часть числа        дробная часть числа

или где в качестве Ci могут стоять любые из Р цифр алфавита, а нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд)

Численно вес разряда определяется через основание Р системы счисления и номер i разряда: Рi. Таким образом, максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах   Nmax = Pm -1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части  Nmin = P-s. Тогда, имея в целой части числа m, а в дробной s разрядов, можно представить Pm+s чисел от 0 до Pm+s-1.

Поскольку в технике известно много физических приборов и сред с двумя устойчивыми состояниями, в качестве алфавита языка ЭВМ приняты символы 0 и 1, названные двоичными цифрами. Последовательности нулей и единиц конечной длины образуют двоичные числа, которые, в свою очередь, образуют позиционную двоичную систему счисления.

2. Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ.

В вычислительной технике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание системы счисления: 15(10), 1011(2) ,735(8) , 1EA9F(16). Иногда скобки опускают и оставляют только индекс: 1510, 10112 ,7358 , 1EA9F16. Есть еще один способ обозначения системы счисления: при помощи латинских букв добавляемых после числа. Например, 15 D; 1011 В; 735 Q; 1EA9F H.

Двоичная система счисления. Основание Р=2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8, 16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

Двоичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими системами:

1. для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
2. представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
4. двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Таблица 1

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов. Алфавит восьмеричной системы счисления включает цифры от 0 до 7. Алфавит шестнадцатеричной системы счисления включает цифры от 0 до 9, для изображения цифр, больших 9, применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых восемнадцати  чисел в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в таблице 1.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Примеры.

1. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так:

1001 0111 0000 00112.

2. Десятичное число 6251 в двоично-десятичной системе выглядит так:

0110 0010 0101 00012.

3. Основные арифметические действия в различных системах счисления.

Основные действия в двоичной арифметике.

Примеры.

1. Сложение.

Числа складываются поразрядно, начиная с младшего разряда, причём, если сумма цифр некоторого разряда превышает основание системы счисления, то к следующему разряду прибавляется единица, а в данный разряд записывается разность между получившейся суммой и основанием системы счисления.

Примеры.

2. Вычитание.

Вычитание, так же как и сложение, выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда. Если в некотором разряде уменьшаемое меньше вычитаемого, то «занимается» единица из старшего разряда, т.е. старший разряд уменьшается на единицу, а данный разряд увеличивается на число, равное основанию системы счисления.

Примеры.

3. Умножение.

Умножение многозначных чисел выполняется аналогично «в столбик». Умножение этим способом сводится к перемножению однозначных чисел и сложению.

Примеры.

4. Деление.

Деление многозначных чисел в любой позиционной системе выполняется тем же способом, что и в десятичной. При этом используются операции умножения и вычитания.

Примеры.

Деление на однозначные числа

1. 528 : 38 = 168

2. 3138 : 78 = 358

3. 33416 : A16 = 5216

Деление на многозначные числа

4. 2508 : 168 = 148

5. 15528 : 238 = 568

68·238=1628

       2

            23        3·6=1810=2·8+2=228

              6        2·6+2=1410=1·8+6=168

  162

6. 5E816 : 1216 = 5416

416·1216=4816

12

  4

48

7. 63C16 : 3916 = 1C16

C 16·3916=2AC16

6

39        9·C=10810=6·16+12=6C16

  C        3·C+6=4210=2·16+10=2A16

  2AC

8. 6EF516 : 5F16 = 12B16

      0        

                            216·5F16=BE16

                             1

                     5F          F·2=15·2=3010=1·16+14=1E16

                            2          5·2+1=1110=B16

                         BE

                   FF16-BE16=4116

                             FF               F-E=15-14=1

                             BE               F-B=15-11=4

                             4 1

                     B16·5F16=41516

                                                           A

                           5F           F·B=15·11=16510=10·16+5=A516

                               B           5·B+A=5·11+10=6510=4·16+1=4116

                            415

4. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Рассмотрим общие правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Эти правила зависят от того, в какой системе счисления осуществляются арифметические операции, связанные с преобразованием чисел, - в той, в какой представлено исходное число, или в той, в которую оно переводится.

Правило 1. Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде суммы степеней:

C= Cm Pm +Cm-1 Pm-1 +…+C1 P1 +C0 P0 +C-1 P-1 +…+C-s P-s, где P - основание, C – коэффициенты, i - номера разрядов выражены в новой системе. Первая позиция слева от разделителя целой и дробной части имеет номер 0, слева от неё находится первая позиция, ещё левее – вторая и т.д. Первая позиция справа от разделителя имеет номер -1, следующая за ней – номер -2 и т.д. Все действия надо выполнять в новой системе.

Примеры.

 3  2  1  0   - 1 -2

1101,012 = 1·23  + 1·22  + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2 = 8 + 4 + 1 + 0,25 = 13,2510

  1  0   -1  -2

52,258 = 5·81 + 2·80 + 2·8-1 + 5·8-2 = 40 + 2 + 0,25 + 0,078 = 42,32810

 2   1  0    -1

1A9,416 = 1·162  + 10·161 + 9·160 + 4·16-1 = 256 + 160 + 9 + 0,25 = 425,2510

Правило 2. Перевод десятичных чисел в другую систему счисления.

Для перевода целого десятичного числа применяется следующее правило:

1. Разделить число на основание той системы счисления, в которую осуществляется перевод: выделить целую часть частного и остаток от деления. Остаток будет младшим разрядом искомого числа;
2. Целую часть частного снова разделить на основание системы счисления. Остаток от деления будет следующим разрядом числа;
3. Продолжать процесс до тех пор, пока целая часть частного не станет равной нулю.

Примеры.

1. Перевести десятичное число 356 в двоичную систему счисления.

35610=1011001002

356    2

2        178    2

15      16       89    2

14        18     8      44   2

  16      18       9    4      22    2

  16        0       8      4    2       11    2

    0                 1      4      2     10    5    2

                               0      2       1    4    2     2

                                       0             1    2     1

                                                            0

2. Перевести десятичное число 625 в восьмеричную систему счисления.

62510=11618

625    8

56      78     8

  65    72     9      8

  64      6     8      1   

    1             1   

3. Перевести десятичное число 182 в шестнадцатеричную систему счисления.

18210=B616

182   16

16      11 = B

  22

  16

    6

Правило 3. Перевод дробной части десятичных чисел в другую систему счисления.

Чтобы перевести дробную часть десятичных чисел в другую систему счисления, нужно выполнить следующие действия:

1. Умножить исходную дробь на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Целая часть произведения будет старшим разрядом дробной части числа (позиция номер -1);
2. Дробную часть произведения снова умножить на основание системы счисления. Целая часть этого произведения будет следующим разрядом дроби (позиция номер -2);
3. Продолжать процесс до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, или пока не будет достигнута нужная точность числа.

Примеры.

1. Перевести десятичное число 0,25 в двоичную систему счисления

0,2510=0,012

0,25 · 2 = 0,5;                0 – старший разряд двоичной дроби;

0,5· 2 = 1,0        1 – следующий разряд.

2. Перевести десятичное число 0,53 в двоичную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,5310 = 0,1000012

0,53 · 2 = 1,06;

0,06 · 2 = 0,12

0,12 · 2 = 0,24

0,24 · 2 = 0,48

0,48 · 2 = 0,96

0,96 · 2 = 1,92

3. Перевести десятичное число 0,13 в восьмеричную систему счисления с точностью до шестого знака после запятой.

0,1310 =0,1024368 

0,13 · 8 = 1,04

0,04 · 8 = 0,32

0,32 · 8 = 2,56

0,56 · 8 = 4,48

0,48 · 8 = 3,84

0,84 · 8 = 6,72

4. Перевести десятичное число 0,96 в восьмеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,9610 = 0,753418

0,96 · 8 = 7,68

0,68 · 8 = 5,44

0,44 · 8 = 3,52

0,52 · 8 = 4,16

0,16 · 8 = 1,28

5. Перевести десятичное число 0,891 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до пятого знака после запятой.

0,89110 = 0,Е418916

0,891 · 16 = 14,256

0,256 · 16 = 4,096

0,096 · 16 = 1,536

0,536 · 16 = 8,576

0,576 · 16 = 9,216

6. Перевести десятичное число 0,398 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до четвёртого знака после запятой.

0,39810 = 0,65Е3

0,398 · 16 = 6,368

0,368 · 16 = 5,888

0,888 · 16 = 14,208

0,208 · 16 = 3,328

7. Перевести десятичное число 13,25 в двоичную систему счисления.

13,2510 = 1101,012

0,25 · 2 = 0,5;

0,5· 2 = 1,0

8. Перевести десятичное число 42,33 в восьмеричную систему счисления с точностью до двух знаков после запятой.

42,3310  = 52,258

        0,33 · 8 = 2,64

        0,64 · 8 = 5,12

9. Перевести десятичное число 425,77 в шестнадцатеричную систему счисления с точностью до трёх знаков после запятой.

425,7710 = 1А9,C5116

        0,77 · 16 = 12,32

        0,32 · 16 = 5,12

        0,12 · 16 = 1,92

Правило 4. Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода числа из восьмеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из трёх разрядов – триад (т.к. 8 = 23). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Примеры.

1. Перевести восьмеричное число 615,278 в двоичную систему счисления:

68 = 1102

18 = 0012

58 = 1012

28 = 0102

78 = 1112

615,278 = 110001101,0101112

2. Перевести восьмеричное число 173,548 в двоичную систему счисления

18 = 0012

78 = 1112

38 = 0112

58 = 1012

48 = 1002

173,548 = 001111011,1011002

Правило 5. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Обратный перевод осуществляется следующим образом:

1. Двоичное число разбивается на триады. Разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние триады дописываются нулями.
2. Выполняется перевод отдельно для каждой триады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.

Примеры.

1. Перевести двоичное число 10111001,011012 в восьмеричную систему счисления.

1 0 1 1 1 0 0 1 , 0 1 1 0 12 = 010   111   001 , 011   0102 = 271,328

2. Перевести двоичное число 1011000011,10012 в восьмеричную систему счисления.

1011000011,10012   = 001   011   000   011 , 100   1002 = 1303,448

Правило 6. Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления.

Для перевода числа из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления достаточно перевести каждый символ отдельно, а затем записать символы последовательно друг за другом, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из четырёх разрядов – тетрад (т.к. 16 = 24). Пустые позиции в начале числа заполняются нулями.

Примеры.

1. Перевести шестнадцатеричное число 6F3,A516 в двоичную систему счисления

616 = 01102

F16 = 11112

316 = 00112

A16 = 10102

516 = 01012

6F3,A516 = 011011110011,101001012

2. Перевести шестнадцатеричное число A39,F416 в двоичную систему счисления

A16 = 10102

316 = 00112

916 = 10012

F16 = 11112

416 = 01002

A39,F416 = 101000111001,111101002

Правило 7. Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Обратный перевод осуществляется следующим образом:

1. Двоичное число разбивается на тетрады. Разбивка выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной части. Неполные крайние тетрады дописываются нулями.
2. Выполняется перевод отдельно для каждой тетрады, получившиеся символы записываются последовательно друг за другом.

Примеры.

1. Перевести двоичное число 111101,011012 в шестнадцатеричную систему счисления.

111101,011012    = 0011  1101 , 0110   10002 = 3D,6816

2. Перевести двоичное число 1010000,011102 в шестнадцатеричную систему счисления.

1010000,011102     = 0101   0000 , 0111   00002 = 50,716

Правило 8. Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Восьмеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному восьмеричному символу, должно состоять из триад;
2. Полученное двоичное перевести в шестнадцатеричную систему счисления, разбив двоичное число на тетрады.

Примеры.

1. Перевести восьмеричное число 534,7138 в шестнадцатеричную систему счисления.

534,7138 = 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , 1 1 1 0 0 1 0 1 12 =  

58      38      48       78      18      38

= 0001   0101   1100 , 1110   0101 10002 = 15С,Е5816

2. Перевести восьмеричное число 360,2348 в шестнадцатеричную систему счисления.

360,2348 = 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 1 1 1 0 02 =

38      68      08       28      38      48

= 0000   1111   0000 , 0100   1110   00002 == F0,4E16

Правило 9. Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления удобно выполнять через двоичную систему счисления.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Шестнадцатеричное число перевести в двоичное число, причём, каждое двоичное число, соответствующее одному шестнадцатеричному символу, должно состоять из тетрад;
2. Полученное двоичное перевести в восьмеричную систему счисления, разбив двоичное число на триады.

Примеры.

1. Перевести шестнадцатеричное число A2C,316 в восьмеричную систему счисления.

A2C,316 = 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 , 0 0 1 12        = 101   000   101   100 , 001   1002 =

A16        216      C16         316     

= 5054,148

2. Перевести шестнадцатеричное число CBF5,E616 в восьмеричную систему счисления.

CBF5,E616 = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 0 1 1 02 =

C16      B16      F16         516        E16         616

= 001   100   101   111   110   101, 111   001   1002 = 145765,71416

5. Формы представления чисел.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел – естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой) и нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

В естественной форме положение в разрядной сетке (общее число разрядов, отведенное для представления чисел, с указанием местоположения каждого из них) запятой, отделяющей целую часть числа от дробной части, постоянно для всех чисел. Диапазон значащих чисел небольшой и при m-разрядной целой части и s-разрядной дробной части числа без учета знака составляет от P-s до Pm - P-s. Кроме того, если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. Следовательно, необходимо прогнозировать результаты обработки с целью соответствующего масштабирования исходных данных. По этим причинам естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел. 

В нормальной форме каждое число представляется как N = ±MP±R, где М – мантисса числа (|M|<1), R – порядок (целое число), Р – основание системы счисления. Абсолютное значение порядка определяет число разрядов, на которое смещена запятая, отделяющая целую часть числа от дробной части, а знак порядка – направление смещения этой запятой. Таким образом, с изменением значения порядка запятая меняет своё положение, как бы "плавает" в изображении числа. Диапазон значащих чисел весьма велик и при m-разрядной мантиссе и s-разрядном порядке (без учета знаков порядка и мантиссы) составляет от  до . В связи с этим нормальная форма представления является основной в современных ЭВМ.

Пример.

Приведем несколько равенств: левая часть равенства – число в естественной форме, правая часть – в нормальной форме. Для записи естественной формы используются 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части.

+00721,35500 = +0,721355∙103;

+00000,00328 = +0,328∙10-2;

-10301,20260 = -0,103012026∙105.

В соответствии с двоичным представлением в информатике введены специальные единицы измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ (таблица 2).

Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Таблица 2. Единицы измерения объемов данных

Поля постоянной длины могут быть следующих размеров (форматов): слово (4 байта), полуслово (2 байта), полуторное слово (6 байт), двойное слово (8 байт), расширенное слово (10 байт). В полях постоянной длины числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова (рис.1а) и полуслова и заполняют формат справа налево. Оставшиеся свободными старшие разряды формата заполняются нулями. В крайнем левом разряде формата отображается знак числа, при этом знак "+" кодируется нулем, а знак "-" – единицей. Числа с плавающей запятой чаще всего имеют формат двойного (рисунок 1 б) и расширенного слова. Порядок заполняет соответствующую часть формата справа налево, а мантисса – слева направо. Оставшиеся свободными младшие разряды мантиссы формата заполняются нулями.

a)

б)

Рисунок 1. Структура формата слово со знаком для чисел с фиксированной (а) и плавающей (б) запятой

При выполнении операций ввода-вывода данные часто представляются в двоично-десятичной системе счисления – когда каждая цифра десятичного числа отображается 4-разрядным двоичным числом. Двоично-десятичные числа представляются полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах. В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда, при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте (1100 – знак "+" и 1101 – знак "-"). Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении арифметических операций над двоично-десятичными числами. В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится байт, представляющий собой (кроме младшего байта) адрес соответствующей ячейки таблицы символов. В старшем полубайте адреса кодируется номер столбца, а в младшем – номер строки этой таблицы. Старший полубайт младшего (правого) байта используется для кодирования знака. Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации. Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Знак мантиссы        Смещённый порядок        Абсолютная величина мантиссы

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Арифметические действия с  числами  с плавающей запятой.

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

1.        СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ.

Сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов.

После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу, а освободившиеся старшие разряды заполняются нулями. В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются.

В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево.

Нормализацией называется выбор такого значения порядка, при котором старший разряд мантиссы имеет значение 1. При нормализации возможны две ситуации:

− результат меньше 1/2, то есть старшие разряды мантиссы нулевые. Если при этом результат представлен в прямом коде, мантисса сдвигается влево до тех пор, пока первая значащая 1 не окажется в старшем разряде. Если же результат представлен в обратном или дополнительном коде (отрицательный), производится сдвиг влево до появления в старшем разряде первого значащего нуля. При каждом сдвиге значение порядка уменьшается на 1;

− результат больше 1, то есть разрядная сетка переполнена. В этом случае мантисса сдвигается вправо на один разряд с одновременным увеличением порядка на 1.

Правила выполнения основных арифметических операций справедливы для чисел любой позиционной системы счисления.

Примеры

1. Сложить десятичные нормализованные числа 0,536·106 и 0,284·103.

Разность порядков слагаемых здесь равна трём (6-3=3), поэтому перед сложением мантисса второго числа сдвигается на три разряда вправо:

2. Сложить двоичные нормализованные числа 0,11011·210     и 0,10111·2–1.

Разность порядков слагаемых здесь равна трем (102+12=112=310), поэтому перед сложением мантисса второго числа сдвигается на три разряда вправо:

3. Сложить шестнадцатеричные нормализованные числа 0,1В5·163     и 0,34Е·16–1.

Разность порядков слагаемых здесь равна четырём (316+116=416=410), поэтому перед сложением мантисса второго числа сдвигается на четыре разряда вправо:

4. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0,10101·210 и 0,11101·21.

Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице (102-12=12=110), поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0,1101·20.

4)        Выполнить вычитание восьмеричных нормализованных чисел 0,125·83 и 0,32·8-2 Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна пяти (38+28=58=510), поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на пять разрядов вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на один разряд с соответствующим уменьшением порядка на одну единицу: 0,147746 ·82.

 2.        УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ.

Для получения результата в данном случае производятся следующие действия, причем не важно, какое из двух данных чисел больше.

1. Мантиссы перемножаются или одна делится на другую;
2. Порядки при умножении складываются, а при делении вычитаются;
3. При необходимости мантисса результата нормализуется.

Примеры:

1). Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0,11101 . 2101) . (0,1001 . 211) = (0,11101 . 0,1001) . 2(101+11) = 0,100000101 . 21000.

2). Выполнить умножение восьмеричных нормализованных чисел:

(0,765 . 84) . (0,537 . 85) = (0,765 . 0,537) . 8(4+5) = 0,527353 . 811.

3). Выполнить умножение шестнадцатеричных нормализованных чисел:

(0,А25 . 167) . (0,6С . 169) = (0,А25 . 0,6С) . 16(7+9) = 0,4479С . 1610.

4). Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

(0,100000101 . 21000) : (0,1001 . 211) = (0,100000101 : 0,1001) . 2(1000-11)  = 0,11101 . 2101

5). Выполнить деление восьмеричных нормализованных чисел:

(0,527353 . 811) : (0,537 . 85) = (0,527353 : 0,537) . 8(11-5) = 0,765 . 84

6). Выполнить деление шестнадцатеричных нормализованных чисел:

(0,4479С . 1610) : (0,6С . 169) = (0, 4479С : 0,6С) . 16(10-9) = 0,А25 . 167

6. Прямой, обратный, дополнительный коды чисел.

В ЭВМ с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов:

• автоматически определяется знак результата;

• операция вычитания сводится к арифметическому сложению кодов чисел;

• упрощается операционная часть ЭВМ.

Среди арифметических операций основными являются операции сложения и вычитания, поскольку помимо самостоятельного значения, они лежат в основе операций умножения и деления, соответственно.

С целью удобства технической реализации операция вычитания заменяется операцией сложения. При этом исходные операнды (числа, участвующие в операции) должны быть представлены в обратном или в дополнительном коде.

1. Прямой двоичный код Рпр(х) — это такое представление двоичного числа х, при котором знак «плюс» кодируется нулем в старшем разряде числа, а знак «минус» — единицей. При этом старший разряд называется знаковым. Сложение в прямом коде не вызывает затруднений, когда у слагаемых одинаковые знаки: сложить модули и сумме присвоить знак слагаемых. При вычитании чисел в прямом коде нужно сначала определить больший модуль, от него отнять меньший и результату присвоить знак большего модуля.

2. Обратный код Робр(х) получается из прямого кода по следующему правилу 

Из приведенного выражения видно, что обратный код для положительных чисел совпадает с прямым кодом. Чтобы представить отрицательное двоичное число в обратном коде нужно оставить в знаковом разряде 1, во всех значащих разрядах заменить 1 на 0, а 0 на 1. Такая операция называется инвертированием и обозначается горизонтальной чертой над инвертируемым выражением.

3. Дополнительный код Рдоп(х) образуется следующим образом:

Из выражения видно, что дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа получается инверсией всех значащих разрядов и добавлением единицы к младшему разряду результата. Дополнительный код может быть получен из обратного кода путём прибавления 1 к младшему разряду обратного кода (естественно, с учётом переносов между разрядами).

Итак:

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение. Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Пример:

1). Получить обратный, дополнительный коды числа 26. Для записи кода выделен один байт:

х = 2610 = 110102

Рпр(х) = 0’0011010 – прямой код;

Робр(х )= 0’0011010 - обратный код;

Рдоп(х)= 0’0011010 - дополнительный код.

Данное число положительное, поэтому обратный и дополнительный коды совпадают с прямым кодом числа.

2). Получить обратный, дополнительный коды числа -13. Для записи кода выделен один байт:

х = -1310 = -11012

Рпр(х)=1’0001101 – прямой код;

Робр(х)=1’1110010 - обратный код (инверсия положительного кода, т.к. данное число отрицательное);

Рдоп(х)=1’1110011 - дополнительный код (к младшему разряду обратного кода прибавляется единица, т.к. данное число отрицательное).

3). Получить обратный, дополнительный коды числа -1001102. Для записи кода выделен один байт:

х = -1001102

Рпр(х)=1’0100110 – прямой код;

Робр(х)=1’1011001 - обратный код;

Рдоп(х)=1’1011010 - дополнительный код.

Сложение чисел в обратном и дополнительном коде.

Правило 1. При сложении чисел в обратном коде знаковые разряды складываются аналогично остальным, перенос из знакового разряда прибавляется к младшему разряду результата (так называемый циклический перенос), результат получается в обратном коде.

Правило 2. При сложении дополнительных кодов чисел знаковые разряды складываются аналогично остальным, перенос из знакового разряда теряется, результат получается в дополнительном коде.

Таким образом, применение обратного и дополнительного кода упрощает алгебраическое сложение. Сложение чисел с разными знаками заменяется сложением их соответствующих кодов, знак при этом получается автоматически.

Правило 3. Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах кроме знакового на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой также, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Примеры.

1. Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах.

 X= 1112, Y= -112;

а) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:     

б) Сложим числа, используя коды:

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)обр=(X+Y)доп=(X+Y)пр.

2. Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах

X= -1012, Y= -1102;

а) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

б) Сложим числа, используя коды:

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1 в знаковом разряде), то необходимо перевести результаты в прямой код:

- из обратного кода:

(X+Y)обр=1,1110100 (X+Y)пр=1,0001011;

- из дополнительного кода:

(X+Y)доп=1,1110101 (X+Y)пр=1,0001010+0,0000001=1,0001011.

Таким образом, X+Y= -1011 и полученный результат совпадает с обычной записью.

3). Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах

X= -110102, Y=10011112;

а) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

б) Сложим числа, используя коды:

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)обр=(X+Y)доп=(X+Y)пр.

4). Сложить двоичные числа X и Y в обратном и дополнительном кодах

X= -111012, Y= -1001102;

а) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

б) Сложим числа, используя коды:

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1 в знаковом разряде), то необходимо перевести результаты в прямой код:

- из обратного кода:

(X+Y)обр=1, 0111100 (X+Y)пр=1, 1000011 (инверсия (X+Y)обр );

- из дополнительного кода:

(X+Y)доп=1, 0111101 (X+Y)пр=1,1000010+0,0000001=1,1000011 (инверсия (X+Y)доп , плюс единица к младшему разряду).

Таким образом, X+Y = -1000011 и полученные результаты совпадают с обычной записью.

Практическая работа.

Отчет по практической работе представить в письменном виде с подробным описанием последовательности действий при выполнении заданий.

Задание 1.

Выполнить операции сложения, вычитания, умножения и деления над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления по вариантам. Произвести проверку, выполнив эти действия в 10 с/с (перевести в 10 с/с исходные числа и результат каждого действия).

Задание 2.

Перевести число из 2с/с  в  10 с/с, 8 с/с, 16 с/с по вариантам:

Задание 3.

Перевести число из 10 с/с  в  2 с/с, 8 с/с, 16 с/с по вариантам. Для двоичной системы счисления при переводе дробной части получить 6-7 знаков после запятой. При переводе чисел в 8 с/с и 16 с/с пользоваться правилами перевода чисел из 10 с/с в любую другую; при переводе дробной части получить 4-5 знаков после запятой.

Задание 4.

Перевести числа:

1. из 8 с/с и 16 с/с в десятичную систему счисления;
2. из 8 с/с  в шестнадцатеричную систему счисления  через двоичную;
3. из 16 с/с в восьмеричную систему счисления  через двоичную.

по вариантам: