Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.

Ефанова Надежда Викторовна
Опубликовано 21.01.2015 - 20:24 - Ефанова Надежда Викторовна

Методическая разработка к открытому занятию

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл formula_binoma_nyutona._treugolnik_paskalya.docx264.74 КБ

Предварительный просмотр:

ОГАОУ СПО

«Белгородский механико-технологический колледж»

Методическая разработка

открытого занятия

по математике

Тема: Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.

Подготовила и провела: Ефанова Н.В.,

преподаватель математики

Белгород 2014

Тема: «Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля»

Тип занятия: Комбинированный.

Цели:

  1. Образовательная:

- показать, что такое бином, определить его формулу;

- показать, что из себя представляет треугольник Паскаля и каким способом можно его построить.

  1. Развивающая:

- развить умение обобщать полученные знания;

- развить логическое мышление;

- развить внимание, грамотную устную и письменную речь;

  1. Воспитательная:

- учить высказывать свое мнение;

- формировать умение помогать товарищу по парте;

- умение определять, чем свое мышление отличается от других.

Ход занятия:

  1. Организационный  момент.

- проверка отсутствующих

- организация рабочего места

  1. Проверка домашнего задания

Задачи:

  1. В группе 20 студентов. Сколькими способами могут  быть выбраны профорг и староста при условии, что каждый учащийся может быть избран только на одну из этих должностей?

Ответ:  380 способов.

  1.  Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Ответ: 720 способов.

  1. Группу студентов колледжа должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в колледже пять преподавателей математики?

Ответ: 10 способов.

  1. Актуализация опорных знаний

- кто такой Ньютон и чем он знаменит? (ответы)

- Хорошо, давайте обратимся к исторической справке.

Историческая справка:

Исаа́к Нью́тон (или Ньюто́н) (англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря 1642 года — 20 марта 1727 года по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 года — 31 марта 1727 года по григорианскому календарю) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

- кто такой Паскаль и чем он знаменит? (ответы)

- Хорошо, давайте обратимся к исторической справке.

Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция — 19 августа 1662, Париж, Франция) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

  1. Изучение нового материала

- Итак, давайте определим, что же такое бином.

        Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n

где    {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}    — биномиальные коэффициенты,    n    — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; 

        Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

- Теперь давайте разберемся, что представляет из себя треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси.

        Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

        «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Мартин Гарднер

- Давайте определим, какими свойствами обладает треугольник Паскаля.

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

В строке с номером n:

  •  первое и последнее числа равны 1.
  •  второе и предпоследнее числа равны n.
  •  третье число равно треугольному числу  \textstyle T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2} , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
  •  четвёртое число является тетраэдрическим.
  •  m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту  \textstyle\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}.

В математических исследованиях нередко возникает необходимость представить выражение вида  - некоторый коэффициент. Для этого обычно применяется один из двух способов: метод, основанный на «треугольнике Паскаля» и использование формулы «бинома Ньютона».

Сначала рассмотрим  построение «треугольника Паскаля», а потом – его использование для преобразования выражения .

«Треугольник Паскаля» представляет собой набор строк, состоящий из чисел, сгруппированных по определенному закону таким образом, что получается фигура, напоминающая треугольник. Например, изобразим первые 5 строк.

Слева от вертикальной черты указан номер строки, при чем нумерация строк начинается с 0.

  1. Первичные закрепления изученного материала.

(Каждый из студентов выходит к доске и по формуле расписывает степень.)

Задания:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

Ответы:

  1. Итог.

- Итак, вы молодцы, с задачей справились!

- А теперь самостоятельная работа по предыдущей теме.

  1. Рефлексия.

(у вас на столе лежат карточки со сайликами: один – улыбающийся, а другой - грустный).

Оставьте на столе тот смайлик, который отражает ваше настроение после занятия. (Улыбающийся – я усвоил материал, грустный – тема осталась не понятна)

  1. Домашнее задание.

  Учебник: Каченовский М.И. [2], § 12; №3.21 (1), 3.24 (1), 3.26 (1)