Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач

Применение дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной при решении геометрических задач

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений. Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений – математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, геометрия, алгебра и теория вероятностей.

Большой вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли Клеро Алексис Клод - французский математик и астроном и Лагранж Жозеф Луи. Клеро на примере одного дифференциального уравнения 1-го порядка (уравнение Клеро) ввел понятие общего и особого решений дифференциального уравнения 1-го порядка. Лагранж в области дифференциальных уравнений создал теорию особых решений и разработал метод вариации произвольных постоянных.

      Задача 1. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник постоянной площади  (рис.1).

Рис.1

В системе координат  к кривой в точке  проведем касательную. Касательная образует с осями координат треугольник . По условию его площадь .

Используя геометрический смысл производной, находим  , .

Составим дифференциальное уравнение

 или выразив

Получили дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Клеро. Решим его с помощью введения параметра  

.

В равенстве рассмотрим как функцию двух независимых переменных  и . Полный дифференциал этой функции имеет вид

После преобразований получим равенство

     или    

Тогда решение уравнения Клеро запишется в виде:

или

Исключив параметр  из системы, получим, что указанным в условии задачи свойством обладают гиперболы и семейство прямых .

Задача 2. Найти кривую, зная, что полуразность подкасательной и поднормали в любой точке, равна абсциссе точки касания (рис.2).

Рис.2

В системе координат  к кривой в точке  проведем касательную и нормаль. Касательная пересекается с осью  в точке , нормаль – в точке . Тогда отрезок  - подкасательная,  - поднормаль.

Из прямоугольных треугольников  и , воспользовавшись геометрическим смыслом производной, найдем катеты  и .

Из условия задачи составляем дифференциальное уравнение.

.

Запишем его в виде

Это дифференциальное уравнение первого порядка не разрешенное относительно производной – уравнение Лагранжа. Решим данное уравнение с помощью замены , после котрой уравнение примет вид

Рассмотрим как функцию двух независимых переменных  и . Полный дифференциал этой функции запишется в виде

После преобразований  получим обыкновенное  дифференциальное уравнение первого порядка  с разделенными переменными

Общим решением его является функция

Тогда решение уравнения Лагранжа имеет вид:

Исключив из системы параметр , получим равенство  - уравнение парабол. То есть искомой кривой является парабола.

Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики. Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Литература

1.   Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения / Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Высш. Школа», 1976. – 304с.

2.   Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1987. – 160с.

3.   Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс. Учебное пособие / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Высш. Шк., 2006 – 383 с.