К ВОПРОСУ О РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ

К ВОПРОСУ О РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ

В. С. Белый

В данной статье классифицируются и анализируются многомерные пространства. Рассматриваются взаимосвязи между видами пространств в соответствии с их классификацией, а также математические модели и обобщенные свойства рассматриваемых пространств.

Ключевые слова: Пространство, размерность, уровень пространства, пределы пространства,

Введение. В настоящее время существует ряд задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение, которые не нашли достаточного освещения в отечественной и зарубежной литературе [1]. Например, в современной научной литературе [2, 3, 4, 5] существует достаточно много подходов к анализу таких категорий как «точка» и «пространство». В данной статье анализируется взаимосвязь между ними как единым целым.

Во избежание путаницы целесообразно рассмотреть более детально категорию «пространство». Именно с анализа этой категории удобно с логической точки зрения подойти к сущности других категорий, в том числе и к категории «точка».

Под пространством будем понимать философскую категорию, выражающую факт сосуществования и сорасположенности множества точек и имеющую такие свойства как размерность и упорядоченность (топологичность).

С точки зрения математики наибольший интерес вызывает такое свойство пространства как его размерность. Количественно размерность любого пространства характеризуется величиной его порядка или количеством измерений. Порядок пространства и количество измерений (далее – порядок пространства) считаются равнозначными понятиями.

Постановка задачи. Для того чтобы математически корректно сформулировать задачу исследований, введем ряд определений и обозначений.

В математике существует условное обозначение любого пространства в виде

,                ,                                                                        (1.1)

где  - порядок пространства, однозначно характеризующий количество его измерений.

С теоретической точки зрения возможно существование пространств любого порядка. Если пространство имеет величину порядка меньше нуля , то такие пространства являются пространствами отрицательного порядка. На практике такие пространства обычно применения не находят.

Очевидно, что любое пространство -го порядка состоит из бесконечно большого множества пространств -го порядка, основу которых составляют пространства еще более низких порядков. Более того, из бесконечно большого количества пространств -го порядка состоят пространства высших порядков. Таким образом, справедливо следующее определение: Пространство -го порядка – это пространство, состоящее из множества пространств -го порядка, расположенных один возле другого на одной линии.

Любое пространство -го порядка имеет свой уровень и свои пределы.

Уровнем  пространства будем называть уровень бесконечно большой или бесконечно малой величины [1], являющейся количественной характеристикой величины пределов этого пространства. Обозначается:

,        .                                                                        (1.2)

В выражении (1.2):

 - обозначение бесконечно большой величины;

 - уровень пространства;

 - множество целых чисел.

Таким образом, уровень любого пространства условно определяется его пределами. Поэтому для наиболее полной характеристики термина «уровень пространства» введем термин «предел пространства».

Пределом пространства является количественная характеристика, условно определяющая его границы.

Размеры пространства -го порядка определяются бесконечно большими (бесконечно малыми) величинами отдельно по каждому из пространственных измерений.

В таблице 1 представлены типовые виды пространств, а также взаимосвязь размерности пространств с их уровнями и пределами.

Таблица 1

Из таблицы видно, что пространство нулевого порядка представлено «точкой», пространство первого порядка – «прямой» и т. д..

В таблице представлены только отдельные виды пространств, являющимися частными (а нередко – идеальными) случаями, встречающимися на практике. Ведь кроме приведенных примеров существуют искривленные, ломанные, замкнутые и ограниченные пространства. Такие пространства являются сложными пространствами. Анализ таких пространств является с математической точки зрения очень трудным и выходит за рамки данной статьи.

В настоящей статье рассмотрим математические модели простых пространств -го порядка, под которыми понимаются именно частные случаи пространств, приведенных в таблице 1.

Установлено, что математическая модель пространства -го порядка в пространстве порядка  при условии, что , в общем виде записывается с помощью системы из  алгебраических уравнений

.                        (1.3)

В системе (1.3):

, ,         ,  - постоянные коэффициенты;

,          - координаты пространства -го порядка в пространстве высшего порядка.

Систему уравнений (1.3) можно переписать в виде системы функций  переменных:

,                (1.4)

В выражении (1.4):

,                 ,                 ;

,                ,

.

Требуется составить системы уравнений для описания простых пространств нулевого, первого и второго порядков одного уровня в пространстве более высокого порядка такого же уровня.

Решение задачи. Математическая модель любого  - мерного пространства в пространстве порядка  (при условии, что ) представляет собой систему, состоящую из  уравнений, которая описывает проекции  - мерного пространства на пространства  - го порядка. Эти пространства  - го порядка «образуют» пространство  - го порядка.

В качестве математической модели точки в  - мерном пространстве используется система уравнений точек на прямой, состоящая из  уравнений вида:

                                                                        (2.1)

или

,                                                                                (2.2)

где , …,  - постоянные коэффициенты.

Таким образом, математическая модель точки в  - мерном пространстве есть координаты проекций данной точки на  прямых, «образующих» данное  - мерное пространство.

Следствия:

1. Для описания точки в пространстве третьего порядка (трехмерном пространстве , ) используется математическая модель представляющая собой систему уравнений точек на прямой, состоящая из трех уравнений вида:

                                                                        (2.3)

или

,                                                                                (2.4)

где , ,  - постоянные коэффициенты.

Таким образом, моделью точки в трехмерном пространстве является совокупность трех ее координат в каждом измерении (проекций на каждую из трех координатных осей). Другими словами, для того чтобы задать трехмерное пространство, достаточно всего трех перпендикулярных прямых.

Вывод: математическая модель точки в трехмерном пространстве есть координаты проекций данной точки на три перпендикулярные прямые, «образующие» данное пространство.

2. Для описания прямой в трехмерном пространстве используем математическую модель прямой. Данная модель представляет собой систему уравнений прямых на плоскости (пространстве второго порядка), состоящую из двух уравнений вида:

                                                                (2.5)

или

,                                                                (2.6)

где , , ,  - постоянные коэффициенты.

Таким образом, моделью прямой в трехмерном пространстве является совокупность ее проекций на две координатные плоскости. Другими словами, для того чтобы задать трехмерное пространство, достаточно всего двух перпендикулярных плоскостей.

Вывод: математическая модель прямой в трехмерном пространстве есть система функций, описывающих проекции данной прямой на две перпендикулярные плоскости, «образующие» данное трехмерное пространство.

3. Для описания плоскости в трехмерном пространстве используем математическую модель плоскости в виде алгебраического уравнения

                                                        (2.7)

или

,                                                        (2.8)

где , ,  - постоянные коэффициенты.

Из (2.8) видно, что  - функция двух переменных. Графиком функции  является поверхность (в зависимости от порядка уравнения – прямая или искривленная плоскость (поверхность первого или высшего порядка)).

Таким образом, математическая модель плоскости в трехмерном пространстве есть функция двух переменных, описывающая проекцию плоскости на рассматриваемое трехмерное пространство.

Вывод: математическая модель плоскости в трехмерном пространстве есть функция, описывающая проекцию этой плоскости на данное трехмерное пространство.

Выводы:

1. Математическая модель точки в трехмерном пространстве есть координаты проекций данной точки на три перпендикулярные прямые, «образующие» данное пространство.
2. Математическая модель прямой в трехмерном пространстве есть система функций, описывающих проекции данной прямой на две перпендикулярные плоскости, «образующие» данное трехмерное пространство.
3. Математическая модель плоскости в трехмерном пространстве есть функция, описывающая проекцию этой плоскости на данное трехмерное пространство.

Литература:

1. Алексеева Т.Н. Напряженно-деформированнное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур. Научно-практический журнал Коломенского института (филиала) Университета машиностроения – Коломна, 2013. – №3. – 212 с.
2. Белый В.С. К вопросу об исследовании свойств величин. Научная статья. Физика в военном вузе. Материалы регионального совещания-семинара 21-23 мая 2008 г. Сызрань. СВВАУЛ (ВИ), 2008 г.;
3. Бермант А. Ф.. Краткий курс математического анализ. Изд. 2-е переработанное и дополненное. Москва: ФМ, 2008. – 532 с.
4. Мышкис А. Д.. Лекции по высшей математике. Москва: Наука, 2010. – 365 с.
5. Толстов И. П.. Курс математического анализа. Том 1, 2. Изд. 2-е переработанное и дополненное. Москва: ФМ, 2007. – 658 с.