ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ РОСТА ВНУТРЕННЕГО ВАЛОВОГО ПРОДУКТА

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ РОСТА ВНУТРЕННЕГО ВАЛОВОГО ПРОДУКТА

Белый В.С.

В данной статье математически корректно формулируется постановка задачи прогнозирования процессов роста внутреннего валового продукта (ВВП) с точки зрения удобства последующего ее решения существующими методами статистического моделирования.

В общем виде задачу прогнозирования процесса роста ВВП можно сформулировать следующим образом. Предположим, что процесс роста ВВП характеризуется определяющим параметром , изменение во времени которого описывается случайной функцией детерминированного аргумента . Для параметра известна область допустимых значений [Xmin, Xmax]. При нахождении значения параметра в пределах этой области кризисной ситуации не возникает. Предположим, что в течение некоторого интервала времени  были определены вид и характеристики случайной функции .

Требуется на основе имеющейся информации о виде функции и ее статистических характеристиках предсказать для момента времени  значение этой функции .

Пусть функция  является реализацией гауссовского случайного процесса с известными статистическими характеристиками. Анализ особенностей задачи прогнозирования состояния случайного процесса изменения значения определяющего параметра по результатам контроля, когда математическими моделями динамики его переходов из одного состояния в другое являются гауссовские случайные процессы, показывает [1, 2, 3]:

• увеличение числа точек измерения параметра на интервале  способствует повышению точности прогноза;
• наличие неизбежных ошибок измерения параметра на интервале  способствует снижению точности прогноза.

При прогнозировании, когда необходимо определить значение параметра в будущем, считается, что в начальный момент времени  параметр находится в номинальном состоянии. В момент времени  производится оптимальный прогноз  значения параметра в момент времени . Оптимальным прогнозом является математическое ожидание условного распределения [4, 5, 6]

,                                        (1)

а дисперсия ошибки прогноза равна дисперсии условного распределения

.                                                                        (2)

Априорно считается известным условное распределение возможных значений параметров в различные моменты времени контроля  , . Оно определяется из выражения (3)

,                                        (3)

где совместное гауссовское распределение для двух моментов времени  и

,        (4)

в котором:

• , ;
•  – коэффициент корреляции, обладающий свойствами ;
• .

Пусть  и величина интервала  таковы, что

,                                                        (5)

тогда  т. к. .

Условное распределение

                        (6)

и в соответствии с этим оптимальный прогноз

                                (7)

и дисперсия ошибки прогноза

                                                                        (8)

зависят от положения точки  на интервале .

Если  то  и , а , т.е. даже абсолютно точное измерение параметра не влияет на значение и точность прогноза. Если  то  и его величина будет «ближе» к максимальному значению , т. е. при  достигается наименьшая дисперсия ошибки прогноза.

Исходными данными для реализации алгоритма статистического прогнозирования значения параметра по результатам контроля является:

а) Временная реализация процесса изменения значения во времени определяющего параметра, представленная на рисунке 1:

   0                                                                                               t

Рисунок 1

б) Известны:

• момент времени измерения параметра ;
• состояние случайного процесса в этот момент времени ;
• момент времени прогноза параметра ;

Задача сводится к определению точечных прогнозов параметра и исследованию их статистических характеристик. Другими словами, решается экстремальная задача поиска фиксированных точек , …,  на интервале , доставляющих минимум дисперсии ошибки прогноза в виде

.                                                (9)

Выводы:

1. В основе прогнозирования лежит фундаментальное предположение: поведение определяющих параметров в будущем определяется прошлым значением данных параметров.

2. При прогнозировании производятся наблюдения за процессом изменения параметров на участке наблюдения, эти данные обрабатываются и на основе полученных результатов делается заключение о значении параметров в назначенный момент времени.

Литература:

1. Болелов Э. А., Кузьмин А. Б., Шишкин В. Ю. Вариант синтеза линейной стохастической системы управления. // Научный вестник МГТУ ГА. 2000 г. №20.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964.

3. Гнеденко Б. В. и др. Математические методы в теории надежности. – М.: Наука, 1965.

4. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. – М.: Наука, 1975.

5. Кузьмин А. Б. Свойства характеристик точечных оценок случайных сигналов. Техническая кибернетика №6. Москва, АН СССР. 1991.

6. Саульев В. К. Вероятностно-статистические методы теории исследования операций. Москва: Общество «Знание» РСФСР. 1973.