План урока на тему "Периодичность функции"
план-конспект урока на тему

Ход урока

В математике есть своя красота

как в живописи и поэзии.

                                                                                                                                           Н.Е.Жуковский

1.Организационный момент

2. Сообщение темы урока: «Периодичность функции»

Сегодня попытаемся показать связь математики и общей картины мира, что все живое и не живое подчинено одним законам, которые можно описать математическими методами (сравнение, анализ, обобщение, выбор, отбрасывание несущественного и т.д.). Может кому-то понравится заниматься исследовательской деятельностью и в дальнейшем будет изучать и развивать способы познания, интеллект, ум.

Одним из важнейших моментов получения новых знаний является повторение.

3. Актуализация опорных знаний

Устная работа:

1. Когда речь идет о какой-либо функции, то что нужно знать (формулу, график,

                   свойства)?

2. На циферблате отметьте числа 6, 18, 30, 42, …Добавьте ещё две цифры.

                   Сделайте вывод.

3. Какие основные свойства можно назвать по графику?
4. Что общего и в чем различие между функциями?
5. Привести примеры явлений, которым свойственно повторяться. (Множество  

                  экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим,  

                   температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное    

                   поле, морские приливы и отливы.)

4. Изучение нового материала

1. Определение периодической функции и её периода.
2. Решение задач с использованием формулы периодической функции.

Объяснение.

Учитель: К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения. Приведите примеры повторяющихся движений.

Учащиеся: Вращающиеся движения земли вокруг своей оси и вокруг солнца, вращение стрелок часов, колес автомобиля, биение сердца человека, морские приливы и отливы, смена дня и ночи, смена времен года, движение кольцевого автобуса по своему маршруту, работа двигателя внутреннего сгорания и другие.

Учитель: Весьма разнообразными повторяющимися движениями являются колебательные движения. Приведите примеры колебательных движений.

Учащиеся: Колебание маятника часов, автомобиля на рессорах, крыльев птиц, корабля на волнах и т.д.

Учитель: Колебания широко используют в различных технологических процессах и машинах. Приходится учитывать их вредные действия.

Сообщение учащегося:

«Статистика показывает, что около 80 % поломок и аварий в машиностроении является результатом недопустимых колебаний. Смертельною опасностью для самолетов одно время был так называемый «Флаттер» при некоторой заранее непредвиденной скорости самолет начинало трясти, и он разваливался в воздухе. Приходится учитывать возникновение колебаний при строительстве высотных сооружений, мостов (военные по мосту идут не в ногу)».

Учитель: Циклы движения в одних случаях, у маятников часов повторяются без изменения. Точно повторяющиеся движения называются периодическими.

Учитель: Какую функцию будем называть периодической? (Учащиеся ищут ответ на вопрос в учебнике и записывают в тетрадях. Работа в парах. Учащиеся обмениваются работами и проверяют их).

Определение: Функцию y=f(x), xЄX, называют периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из множества Х выполняется двойное равенство: f(x–T)=f(x)=f(x+T). Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функций y=f(x).

Учитель: Где вы встречались со словами период, периодический?

Ответы учащихся (учащиеся поясняют понятия):

- Периодическая дробь – бесконечная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят только периодически повторяющиеся группы цифр.

- Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль.

- Период геологический – время, в течение которого отлагались осадки, образующие геологическую систему. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

- Период индукции в химии – время между началом реакции и моментом достижения ей скорости.

- Период покоя растений – период, во время которого почти полностью приостанавливаются ростовые процессы.

- Период полураспада радиоактивного вещества – время, в течение которого число атомов данного радиоактивного вещества уменьшается в два раза.

- Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки.

- Периодическая система Менделеева – свойство простых тел, также формы и соединений элементов, находящихся в периодической зависимости.

- Периодическое воспаление глаз – конъюнктивит.

Учитель: Задание 1. Какие из представленных функций являются периодическими?

1. Y=kx+b; 2) y=kxn; 3)y=x– n; 4) y=|x|; 5)y=sinx; 6) y=cosx.

Учащиеся: у=sinx, y=cosx. Так как sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π)

cos(x–2π)=сosx=cos(x+2π) справедливы для любого х, то y=sinx, y=cosx являются периодическими, и число 2π служит периодом и той и другой функции.

Учитель: По графику определите период функций:

Задание 2. На рисунках изображены части графиков некоторых периодических функций. Определите период функции  на рисунках 1, 2, 3, 4.

Учащиеся:

Ответы: Т=2, Т=2, Т=2, Т=8.

Учитель: Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество (таблица орнаментов, элементы вышивок).

Учитель: Задание 3. На рисунке 5 изображена часть графика периодической функции y=f(x) на [-1;1], длина которого равна периоду.

Постройте график функции а) на [1;3], б) на [-3;1], на [3;7].

(После выполнения задания учащиеся сравнивают свои рисунки с изображением на доске и ставят сами себе оценки).

Учитель: Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло солнца и луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов. Фазы Луны и движение нашей планеты влияют на ритм жизни человека, поэтому он должен жить по законам природы и соблюдать режим дня для сохранения своего здоровья.

Задание 4. Коллективная работа

Учитель: Как построить графики функций y=sinx, y=cosx, не перечисляя всех точек?

Учащиеся: Необходимо построить волну [0; 2 π] или [-π; π], а затем сдвинуть волну по оси х на 2π вправо, на 2π влево. В итоге, с помощью одной волны мы можем построить весь график.

Учитель: сколько периодов у периодической функции?

Учащиеся: много.

Учитель:

Исходное положение – сидя на стуле. Плавно наклонить голову назад (раз), наклонить голову вперёд, не поднимая плеч (два). Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

5. Решение задач на закрепление темы (у доски):

Учитель:

Периодическая функция y=f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(1)=4. Найдите значение выражения 6 f(7)-5f(-2).

Решение: 1) f(7)=f(1+2∙3)=f(1)=4;

2) f(-2)=f(1-3)=f(1)=4;

3) 6f(7)-5f(-2)=6∙4-5∙4=4.

Учащиеся:

1. Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(2)=-4. Найдите 2f(-2)–f(6)+1.
2. Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(-3) = 2. Найдите f(25), если 5f(1)-3f(9) = 7.

6.Работа по вариантам. Тестирование (1 вариант - нечетные номера, 2 вариант - чётные).

1. Периодическая нечетная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 7 и f(-1)=3, f(2)=-4.Найти значение выражения f(-5)+f(6)+f(9).

Ответ: а) -5; б) 5; в) 2; г) -2.

2. Периодическая четная функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 5 и f(1)=2. Найти значение выражения 3f(16)+f(-9).

Ответ: а) -4; б) 4; в) -8; г) 8.

3. Периодическая функция у = f(х) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 7 и f(11)=-2. Найти значение выражения 6+3f(-17)-5f(18).

Ответ: а) -10; б) 10; в) 4; г) -4.

4.Периодическая функция у = f(х) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 2 и f(1)=5. Найти значение выражения 3f(7)-4f(-3).

Ответ: а) -1; б) 1; в) 4; г) -4.

5.Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 7 и f(5)=-1. Найдите f(2), если 3f(-2)+5f(-5)=12.

Ответ: а) -2; б) 2; в) 3; г) -3.

6.Периодическая функция у=f(х) определена на всей числовой прямой. Ее период равен 4 и f(-3) = 2. Найдите f(18), если 5f(1) -3 f(2) = 7.

Ответ: а) -5; б) 5; в) 1; г) 1

8. Домашнее задание