Прямые в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве.
план-конспект занятия

Теоретическое занятие по теме: 

Прямые в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве.

Маршрутный лист занятия:

1. Запишите конспект в тетрадь. Текст, выделенный желтым цветом, конспектировать НЕ нужно, его необходимо внимательно прочитать и разобрать.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.

Основные понятия стереометрии

Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать так называемые геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.

Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость, которые являются идеализациями объектов реального пространства.

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Евклид в своей книге «Начала» определял точку как то, что не имеет частей.

Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света.

Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т. п.

Точки будем обозначать прописными латинскими буквами A, B, C,…., прямые — строчными латинскими буквами а, Ь, с, ..., плоскости — греческими … .

Точки, прямые и плоскости будем изображать, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

Обратим внимание на то, что прямая является бесконечной, а мы изображаем лишь конечный участок прямой — отрезок, который можно продолжать в обе стороны. Плоскость также является бесконечной, и мы будем изображать лишь ее конечный участок.

Аксиомы стереометрии

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку  A проходит плоскость, и притом только одна.

           Рис. 6
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и притом только одна.

       Рис. 7

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (Рис. 8):

 а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку (рис. а);

б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис.б);  

в) прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости (рис. в).

Рис. 8

Обязательно запомнить обозначения!

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Параллельность прямой и плоскости.

Если две точки прямой         лежат в данной плоскости, то по аксиоме 2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного  расположения прямой и плоскости в пространстве:

а) прямая лежит в плоскости

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются

 в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют     общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: а ∥ 𝛼. Наглядное  представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода — они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка — эта линия параллельна плоскости пола.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим плоскость а и две параллельные прямые а и b, расположенные так, что прямая b лежит в плоскости а, а прямая а не лежит в этой плоскости (Рис. 9).

Рис. 9

Докажем, что а ∥ 𝛼.. Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость а, а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость а. Но это невозможно, так как прямая

b лежит в плоскости а. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана.

Запишем еще два утверждения, которые часто  используются при решении задач.

1°. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельные прямые в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых а и b обозначается так: а ∥ 𝑏. Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой (Рис. 1о). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой а. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости а. Но в плоскости а, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b. Итак, b - единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой а. Теорема доказана.

Рис. 10

Перпендикулярные прямые в пространстве.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: a ⊥ 𝑏. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Не покосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема (O). Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Как проверить, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн зданий и т. д., которые нужно поставить прямо, т. е. перпендикулярно к той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, что для этого нет надобности проверять перпендикулярность по отношению к любой прямой, как о том говорится в определении, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Это вытекает из следующей теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикуляр и наклонная

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью а (Рис. 11).

Рис. 11

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости а, а точка  Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости а какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость а. Сравним перпендикуляр АН и наклонную AM: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН — катет, а сторона AM— гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости а наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а, называется расстоянием от точки А до плоскости а.

Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на такой-то высоте, скажем, 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки      до      поверхности      земли      измеряется      по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли.

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство. Обратимся к рисунку, на котором отрезок АН — перпендикуляр к плоскости a, AM —наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости а через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что a ⊥ AM. Рассмотрим  плоскость        АМН.        Прямая        а        перпендикулярна        к        этой        плоскости, так как        она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МНа ⊥ HM по   условию и a ⊥ AH, так как АН ⊥ 𝛼). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности a ⊥ AM. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

2. Рассмотрим следующую задачу (записать в тетрадь):

Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и AC; е) MD и ВС.

Решение:

https://www.youtube.com/watch?v=Im7DzwL1HX8

Посмотреть видео-разбор, законспектировать.

3. Вопросы для самоконтроля (ответить устно):

1. Дать определение стереометрии?
2. Какие основные фигуры в пространстве вы знаете?
3. Как обозначаются основные фигуры в пространстве (точка, прямая, плоскость)?
4. Какие аксиомы стереометрии и следствия из них вы знаете?

4. Домашнее задание (письменно):

1. Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.

           рис. 12 

2. Дан куб .

В каких плоскостях лежат прямые:

а) AB

б) AC1

в) DC

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости:

а) ABC  и ABB1

б) DCC1 и  BB1C.