Теорема Вариньона в геометрических задачах

Теорема Вариньона

в

геометрических задачах

Автор: Дмитриева Виктория

Ученица 8 «Б» класса

Руководитель: Алмасова Г.З.

Учитель математики

п.г.т. Усть-Кинельский

2020

Содержание

Введение  ………………………………………………………………………  3

1. Основные теоретические сведения …………………………………………..   4

1.1. Определение………………………………………………………………….   4

1.2. Теорема Вариньона…………………………………………………………..  5

1.3. Следствия из теоремы Вариньона…………………………………………..   6

1.3.1. Следствие 1…………………………………………………………………   7

1.3.2. Следствие 2…………………………………………………………………   9

1.3.3. Теорема Эйлера…………………………………………………………….  10

1.3.4. Теорема о бабочках………………………………………………………...  11

2. Разбор задач ……………………………………………………………………  11                                                                                                      2.1.Задачи из школьного курса геометрии……………………………………… 11

2.2. Конкурсные задачи…………………………………………………………...  12

3.Разбор задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из неё и без её использования………………………………………………………………….. 16

Заключение……………………………………………………………………. 19

Список использованной литературы………………………………… 20

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона. Почти каждая геометрическая задача нестандартна.

 В работе рассказывается о Пьере Вариньоне, его достижениях; рассмотрено доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показано, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировано применение теоремы. Параллелограмм Вариньона — надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности. 

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов.

В школе теорема Вариньона не входит в курс программы.Более подробному изучению этой теоремы, которая будет экономить моё время и время  моих друзей, я и решил посвятить свою исследовательскую работу. Я захотел убедиться в том, что «Параллелограмм Вариньона»— надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности.

Объект исследования: Параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.

Предмет исследования: Планиметрические задачи

Цель исследования: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Гипотеза исследования: Параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач.

Проблемы: Выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона позволяет рациональней получить решение задачи.

Задачи исследования: 

1. Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее.                   
2. Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач
3. Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.
4. Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах. 
5. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона.
6. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о параллелограмме Вариньона, выполнение чертежей к задачам, осмысление собранной информации.

Практическая значимость исследования: подбор и обобщение информации о параллелограмме Вариньона могут быть представлены школьникам и учителям для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ. Также изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет подготовиться к  успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

Основные теоретические сведения.

1.1.Определение.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону, написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема

впервые и появилась.

Вариньон Пьер  (1654–1722) французский математик, член Парижской Академии наук, профессор математики коллежа Мазарини.

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и  Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.

1.2.Теорема Вариньона.

Формулировка:

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . Так как KL является средней линией треугольника ABC , то KL ║AC . По тем причинам MN ║AC . Следовательно, KL ║NM и KL= MN= AC/2 . таким образом, KLMN  - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника  ABCD.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

Теорема доказана.

1.3. Следствия из теоремы.

1.3.1. Следствие 1.

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны

б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

б) бимедианы равны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

 Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны,

то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Следствие 3

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны;  б) бимедианы равны и перпендикулярны

а) Прямая теорема: если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то диагонали исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

б) Прямая теорема: если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является квадратом, то бимедианы исходного четырёхугольника равны и перпендикулярны.

1.3.2. Следствие 2.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

LQ║ CD║ PN и PL║ AB║ NQ.

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

1.3.3. Следствие 3.(теорема Эйлера).

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверённый квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть   .

Доказательство.

Уже было отмечено что LPNQ – параллелограмм.

Поэтому ;

В последнем равенстве мы дважды воспользовались теоремой о средней линии треугольника. Аналогично для параллелограмма KPMQ имеем:

Кроме того,

  .                                                      

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона четырехугольника ABCD . Складывая первые два равенства и учитывая последнее, получаем соотношение Эйлера.

1.3.4.Следствие 4.(Теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан  LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

Доказательство.

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

Что и требовалось доказать.

Разбор задач.

2.1.Задачи из школьного курса геометрии.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Задача 1.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, а);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, а);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 1, 2, б).

Задача 2.

У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+ b .

2.2. Конкурсные задачи.

Рассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты нами с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 3.

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

Решение.

;

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то 

 Отсюда получаем,что

что и требовалось доказать.

Задача 4.

Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n= 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» .

Решение.

Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части.

Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике, куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство установлено.

Задача 5. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий . 

Доказательство:

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Задача 6. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны .

Доказательство:

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Получаем: SBKL + SDMN = (SABC + SADC)/4 = SABCD/4 = (SABD + SCBD)/4 = SAKN+SCLM

Что и требовалось доказать.

Задача 7 .

На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки  так, что  и точка  находится между и B, точка B – между  и C, точка C – между и D, точка D – между  и . Докажите, что  = .

Решение.

 



;
;
;;;;
Отсюда получаем, что .
Задача 8.

Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD . Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD.

 



Решение.

Покажем, что

.

В треугольнике ACD медиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана AL делит его на два равновеликих треугольника. Так как , то . аналогично устанавливается нужное равенство и для четырехугольника ^ NBLD . 

Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLD покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник LPNQ и не покрывают треугольники ABP и CQD, а их сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABP и CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ.


Задача 9.

Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямымиCK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке.

 



Решение.

Так как , то из этого следует, что четырехугольники AKCM и BLDN покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник, образованный прямыми CK, AM, BN, DL, и не покрывают четыре треугольника, а сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке .


Задача 10.

Противоположные стороны четырехугольника ABCD разделены на три равные части и точки деления попарно соединены. Доказать, что одна из площадей получившихся трех четырехугольников равна.

 
Решение.
Докажем, что площадь среднего четырехугольника равна трети площади исходного четырехугольника. Другими словами докажем, что

.

Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что

.

А последнее равенство есть следствие того, что основания AE, EF, FD всех трех треугольников в этом равенстве равны, а высота треугольника EH F является средней линией трапеции с основаниями, равными высотам треугольников AGE и FCD.

3.Разбор задач с использованием теоремы Вариньона  и без её использования.

Задача 11. 

Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот.

Доказательство

1-ый способ

1- AC – диагональ. KL - средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.

2- из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN. 

3- ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб. 

2-ой способ 

А) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1, 1, а);

Б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б).

Задача 12. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.

1-ый способ

1-подобно предыдущей задаче, нужно доказать, что KLMN – параллелограмм.

2- KL||AC||NM KL=NM=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD 

3- P(ABCD)=KL+NM+LM+KN= 0,5AC+0,5AC+0,5BD+0,5BD=BD+AC=a+b.

2-ой способ

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.



Задача 13.

Пусть K,L,M,N– середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD(см. рис. 8). Докажите, что 

, где – угол между бимедианами четырехугольника;

 ,где – угол между диагональю AC и бимедианой LN.




Решение. 

1-ый способ:

1- то, что KLMN – параллелограмм мы уже доказали в предыдущих задачах.

2- средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника ABCD

3- 

2-ой способ:


а) Так как KLMN- параллелограмм Вариньона, а KM и NL – бимедианы, то , где O – точка пересечения бимедиан (см. следствие 2),  (см. теорему Вариньона).

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). В процессе выполнения работы мы узнали о Пьере Вариньоне, о его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырехугольников, продемонстрировали применение теоремы. Прорешав  задачи убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надежный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Был проведен сравни-

тельный анализ количества времени, необходимого на решение заданий тради-

ционным путем и с использованием полученных знаний, который показал, что

действительно, пользуясь теоремой, задачи решаются проще и быстрее. Считаем наше исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии, т.к. геометрия не остановилась в своем развитии, а играет все большую роль в познавании мира. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Список использованной литературы:

1. Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
2. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006.
3. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
4. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение.
5. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.
6. Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука.
7.  Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука.
8. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука.