Функции

Слайд 2

• Свойства функции • Обратная функция • Определение числовой функции Заглавие

Слайд 3

Свойства функции • Чётность нечетность • Периодичность • Нули функции • Монотонность • Экстремумы • Асимптоты

Слайд 4

Четная и нечетная функция Функция называется четной если: •область определения функции симметрична относительно нуля •для любого x из области определения f (- x ) = f ( x ) Функция называется нечетной если: • область определения функции симметрична относительно нуля • для любого x из области определения f (- x ) = - f ( x ) y = x 2n , n Z; y = cos x . y = x 2n + 1 , n Z; y = sin x .

Слайд 5

Многие функции могут быть НИ ЧЕТНЫМИ , НИ НЕЧЕТНЫМИ y = e x , y = ln x, y = x - 2, y = (x + 1) 2

Слайд 6

Периодичность Функция f ( x ) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения значения x + T и x - T также принадлежат области определения и f ( x ) = f ( x + T) = f ( x - T) . При этом любое число вида Tn , где n N , также является периодом этой функции. График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)

Слайд 7

Нули функции Нулем функции y = f ( x ) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль: f (x 0 ) = 0 . В нуле функции её график имеет общую точку с осью x . x 1 ,x 2 ,x 3 - нули функции y = f ( x )

Слайд 8

МОНОТОННОСТЬ Функция y = f ( x ) называется убывающей на интервале ( a ; b ) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) > f (x 2 ). Функция y = f ( x ) называется возрастающей на интервале ( a ; b ), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ).

Слайд 9

ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ) Внутренняя точка x max области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство : f (x 1 ) < f ( x max ) называется максимумом этой функции. Внутренняя точка x min области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f (x 1 ) > f ( x min ) называется максимумом этой функции. x max - точка максимума y max - максимум x max - точка максимума y max - максимум

Слайд 10

АСИМПТОТЫ Если график функции y = f ( x ) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви. Горизонтальная асимптота y = b Вертикальная асимптота x = a Наклонная асимптота y = kx + b

Слайд 11

Обратная функция Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x 2 таким промежутком является, например, луч [0; ) , для функции y =sin x - отрезок [- / 2; / 2]). Функция g называется обратной для функции f , если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f , что y = f ( x ). Таким образом, если y = f ( x ), то x = g ( y ). Функции f и g являются взаимно обратными. • Область определения функции f является областью значений функции g , а область значений функции f является областью определения функции g . Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x

Слайд 12

НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ Пользуясь формулой y = f ( x ), следует выразить x через y , а в полученной формуле x = g ( y ) заменить x на y , а y на x . Пример: Найти формулу для функции, обратной функции: Выразить x через y: x = 2y - 2. Заменить x на y: y = 2x - 2. Результат: функция y = 2x - 2 является обратной для функции .

Слайд 13

Определение функции Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y . Обозначение: y = f ( x ), где x - независимая переменная (аргумент функции), y - зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обычно обозначается D ). Множество значений y называется областью значений функции (обычно обозначается E ). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами ( x , f ( x )).

Слайд 14

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 10 Аналитический способ: функция задается с помощью математической формулы ( y = x 2 , y = ln x ) в которой зависимая переменная выражается через независимую. Формула указывает те действия и их последовательность, которые нужно совершить над независимой переменной, чтобы вычислить значение функции при заданном значении аргумента. Табличный способ: функция задается с помощью таблицы: Графический способ: функция задается с помощью графика. Графики некоторых функций имеют свои названия: Параболой называется график квадратичной функции Описательный способ: функция задается словесным описанием. Кубической параболой называется график функции y = x 3 Гиперболой называется график обратной пропорциональности ( y = k / x )

Слайд 15

Источник http://fgraphiks.narod.ru/